【2019年整理】函数的单调性与极值 (2)

f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2)
解方程f ( x) 0 得，x1 1, x2 2. 当 x 1时，f ( x) 0, 在(,1]上单调增加；
当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时，f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]，[1,2]，[2,).
y 3 x2
当x 0时,导数不存在. 当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少； 当0 x 时，f ( x) 0, 在[0,)上单调增加； 单调区间为 (,0]， [0,).
例4 确定函数 f ( x) 2x 3 9x 2 12x 3的单调区间.
解
D : (,).
函数单调减少；
在(0,)内, y 0,
函数单调增加.
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号 来判别一个区间上的单调性．
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各 个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该 区间称为函数的单调区间.
任何点x,除了点x0外, f (x) f (x0 )均成立,
就称f (x0)是函数f (x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0处具有导数,且 在 x0处取得极值, 那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f (x) 的极值点必定是它的驻 点,
第四章 微分中值定理与导数的
应用
高等数学
第四节 函数的单调性与极值
一、函数单调性的判定法
y
y ห้องสมุดไป่ตู้ (x) B
y
A y f (x)
A
B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理1 设 函 数y f ( x)在[a, b]上 连 续 ， 在(a, b)内 可
导.
（1）如 果 在(a, b)内f ( x) 0， 那 末 函 数y f ( x)
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界 点．
方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点
来划分函数f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数 的 符 号.
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解
D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数f (x)在区间(a,b)内有定义, x0是
(a, b)内的一个点,
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的
任何点x,除了点x0外, f (x) f (x0 )均成立,
就称f (x0)是函数f (x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的
在[a, b]上 单 调 增 加 ；
(2) 如 果 在(a, b)内 f ( x) 0， 那 末 函 数y f ( x)
在[a, b]上 单 调 减 少.
证 x1 , x2 (a, b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ).
y f ( x)在[a,b]上单调减少.
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如, y x3 , y x0 0, 但在(,)上单调增加.
例5 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
例1 判定函数y x sin x在[0，2 ]的单调性 解： 因为在（0，2 )内
y' 1 cos x 0
所 以 由 定 理1可 知 ，
函数y x sin x在[0，2 ]上单调增加
例2 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 y e x 1. 又 D : (,).
在(,0)内, y 0,
当x 1， 有f ( x) f (1) 由 于f (1) 0,故f ( x) f (1) 0
即 2 x (3 1 ) 0 x
也即 2 x (3 1 ) x
4.4.2 函数的极值及其求法
• 一、函数极值的定义 • 二、函数极值的求法 • 三、小结 思考题
一、函数极值的定义
y
y f (x)
f (0) 0, 当x 0时，x ln(1 x) 0,
即 x ln(1 x).
例6 证明：当x>1时，2 x 3 1
x
证 令 f (x) 2 x (3 1 ), 则 x
f ( x)
111 x x2 x2 (x
x 1)
f ( x)在[1， ＋） 上 连 续 ， 在 （1， ＋） 内f ( x) 0
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )