电路第五章 正弦稳态电路分析

最大值、频率和初相位称为正弦量的三要素。 相位间的差别称为相位差(phase difference)
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
电压u的相位超前(leading)电流 的相位一个角度φ，说明电压u比电流i先达 到正的最大值(或零值)。反过来说明电流i滞后(lagging)电压u一个角度φ 。
乘时，模相乘，辐角相加；相除时，模相除，辐角相减。
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.2 旋转因子
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.3 正弦量的相量表示法 可以通过数学的方法，把一个实数范围的正弦时间函数与一个复数范 围的复指数函数一一对应起来，而其复常数部分则把正弦量的最大值和初
相结合成一个复数表示出来。
指数形式(exponential form)
e j cos j sin
A A e j
A A φ
极坐标形式(polar form)
复数的相加或相减，应使用复数的代数形式来进行，同时也可以在复 平面上应用平行四边形法则进行。
复数的乘和除的运算，用指数形式或极坐标形式来进行较为方便，相
其模就是给定正弦量的有效值 I ，其辐角 就是该正弦量的初相φi。相量也可以在复 平面上用向量来表示。这种表示相量的图
0
常简称为正弦量(sinusoid)。正弦电流和 电压的波形(wave form)如图5-2所示。
图5-2 正弦交流电
t
正弦量的三要素 Im、ω、φi三个常数称为正弦量的三要素，三要素 是决定正弦量的三个基本参数，有了这三个要素就能唯一确定一个正弦 量(sinusoid)。
§ 5-1 正弦量
5.1.1 最大值与有效值
Im称为正弦电流 i 的振幅(amplitude)，它是正弦电流所能达到的最大值， Im 、Um 及Em 分别表示电流、电压及电源电动势的最大值。 有效值是以电流的热效应来规定的。变化的电流还是直流，只要它们在 相等的时间内通过同一电阻而两者的热效应相等，就把它们的安培值看作是
相等的。这个周期性变化的电流的有效值在数值上就等于这个直流。
j 1 称为虚单位(imaginary unit ) (它在数学中用i代表，而在电工中，
i已用来表示电流，故改用j代表)。 三角函数形式
A A cos j A sin A (cos j sin )
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.1 复数的表示方法及其四则运算
欧拉公式(Euler’s identities)
§ 5-1 正弦量
5.1.2 频率与周期 正弦量变化一次所需的时间称为周期 T (period)，单位为秒(s)。每秒内正 弦量变化的次数称为频率 f (frequency)，单位为赫兹(Hz)，简称赫。
在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家(如美国、
日本等)采用60Hz。Hz这种频率在工业上应用广泛，习惯上也称为工频。 高频炉的频率是200～300 kHz；中频炉的频率是500～8000Hz；高速电动 机的频率是150～2000Hz；无线电工程上用的频率则高达 104～30×1010Hz。
§ 5来自百度文库1 正弦量
5.1.3 初相位和相位差 相位差为零，则称为同相位(简称同相)，这时两个正弦量同时到达正的最 大值，也同时通过零值，如果它们之间的相位差为π/ 2 (或90°)，则称它们为 相位正交，相位差为π (或 180°)，则称它们为反相位。
u,i u i 0 ?t 0 ?t i ?t u,i u i u,i u
2 2 f T
§ 5-1 正弦量
5.1.3 初相位和相位差 正弦量随时间变化的核心部分是ωt +φi ，它反映了正弦量的变化进程，称 为正弦量的相角或相位(argument)。 t=0时的相位称为初相位或初相(initial phase)，即
(t i )
t 0
i
初相位的单位可以用弧度或度来表示。通常在|φi|≤π的主值范围内取值。 初相角的大小和正负与计时起点的选择有关。对任一正弦量，初相允许任意指 定，但对于一个电路中的多个相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计时 起点确定各自的相位。
§ 5-1 正弦量
5.1.3 初相位和相位差
如果最近的一个从负到正的零点，则φi=0；A点位于0点的左侧，A点位于 0点右侧，则-π<φi<0 。
A
A 0
ωt
A
0
ωt
0
ωt
φ
(a) φ = 0 i
i
( b) φ i > 0
φ
i
(c) φ i < 0
图5-4 初相角
§ 5-1 正弦量
5.1.3 初相位和相位差
§ 5-1 正弦量
5.1.1 最大值与有效值 综上所述，可得

T
0
i 2 Rdt I 2 RT
由此可得出周期电流 i 的有效值
1 T 2 I i dt 0 T
Im 1 2T I Im 0.707I m 或 T 2 2
同理
Im 2I 1.414I
U m 2U Em 2 E
I m I me ji I mi
Im 就表示正弦电流的最大值相量，上面加的小圆点代表相量，用来区 别普通复数。

§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.3 正弦量的相量表示法
在正弦交流电路分析中，经常使用的是正弦量的有效值，因此可把最
大值相量换为有效值相量，即
I Ie ji I i
(a)
(a)
(b) 同相；(b) 正交； (c)反相
(c)
图5-6 电压、电流的相位关系
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.1 复数的表示方法及其四则运算 一个复数 (complex number) A可以用几种形式来表示。用代数形式 (rectangular form) 时，有
A a1 ja2
目录
§ 5-1 正弦量
§ 5-2 § 5-3
§ 5-4 § 5-5
正弦量的相量表示法 电阻、电感和电容元件的交流电路
复阻抗、复导纳及其等效变换 正弦稳定电路的功率
§ 5-6 § 5-7
§ 5-8
正弦稳态电路的计算 功率因数的提高
串联电路的谐振
§ 5-1 正弦量
u，i
按正弦规律变化的电流、电压、电 动势统称为正弦交流电，在电路分析中