§4.4微分方程应用举例

sin
t
e
Rdt
L dt
Rt
C]e L [
Em L
sin
t
e
Rt
L dt
C]
Rt
∵ e L sint dt
Rt
eL
(RLsint L2 cost) ，
R 2 2 L2
∴
I
(t)
R
2
Em 2
L2
Rt
(Rsint Lcost)Ce L (c为任意常数 )
。
∴ I (t)
Em
Rt
(Rsint Lcost)Ce L (c为任意常数 ) 。
(1 x) y y 1 x 1 y2 dx ， 20
且有 y x0 0 ， y x0 0 。
两边对 x 求导，得(1 x) y 1 1 y2 ， 2
这是可降阶的微分方程。
令 p y ，则原方程化为(1 x)P 1 1 P2 ， 2
分离变量得： dP 1 dx ， 1 P2 2(1 x)
车间内的 CO2 的改变量 CO2 的通入量 — CO2 的排出量 ，
通入量 1500 dt 0.04% ， 排出量 1500 dt x% ，
CO2的改变量 10800 [x(t dt)% x(t)%] 10800 dx% ,
故得微分方程10800 dx 1500 (0.04 x)dt ，
即
dx dt
5 (0.04 36
x)
，且初始条件为x
t
0
0.12
。
分离变量得 dx 5 dt ，
x 0.04 36
5 dt
两端积分得通解： x 0.04 Ce 36 ，
代入初始条件 x t0 0.12 ，得C 0.08 ，
5 dt
5 dt
故 x 0.04 0.08e 36 ，即 x 0.08e 36 0.04 ，
6 e
gt
6)
2
x 6, t 6 ln(6 35)秒.(取正号) g
例 6 设过点( 3 , 3)的曲线L位于第一象限，过L上任 22
一点M处的切线总与y轴相交，交点记为A，且长度
AM OA，求L的方程.
解 设M (x, y), 切线MA的方程为 Y y y (X x) A(0, y xy )
两端积分得： ln P
1 P2
1 2
ln
1
x
ln C1 ，即
1 P2 P C1 ， 1 x
代入初始条件 y(0) 0 ，得C1 1 ，
从而 1 P2 P 1 ，即 1 x
1 y2 y 1 ，
①
1 x
亦即 1 y2 y 1 x ，
②
①- ②得 y 1 1 1 x ，
2 1 x 2
d2x dt2
mg a
x
，
故有
d2x dt 2
g a
x0
，且x(0) 2a
，x(0) 0
。
1．解题思路与分析
设 t 时刻 尸体的温度为T T (t) ，并记晚8:20为 t 0 ， 则有 dT k(T 21.1) ，T (0) 32.6C ，T (1) 31.4C 。
dt 要确定受害者死亡的时间，即要求T (t) 37 C 的
时刻T ，如果此时张某在办公室，则他可被排除在 嫌疑犯之外，否则张某不能被排除在嫌疑犯之外。
2
而流入盐量 11dt 32dt 6dt ，
流出盐量
2
2
dt
2x 100
t
dt
，
故dx (6 2x )dt,
100 t
或 dx 6 2x , dt 100t
即 dx 2x 6 ， dt 100t
通解为
x
e
2 100t
dt
[
6
e
2 100t
dt
dt
C
]
1 (100
t)
2
[2(100
t
)3
C]
2(100
t)
Байду номын сангаас
C (100
t
)2
.
把初始条件 x t0 50 代入通解，
得 50
2 100
C 100 2
，C
100 2
150
，
从而
x
2(100
t)
1500000 (100 t)2
，
x t30 260 15103000020 171 （g ）。
即30 min后容器内含盐 171g。
的航行曲线方程，并问走私船航行多远时被我缉私艇追上。
解：如图建立坐标系。设缉私艇的航行曲线方程为y f (x) ，
在时刻 t 位于 P(x, y),
y
则有 y vt y ， 1 x
又
x 0
1 y2 dx 2vt ，
o
P(x, y) x
vt x
1
所求曲线就是以上联立方程组的特解，消去 t ，得
C],
k
即
v
mg
kt
Ce m .
k
把初始条件v(0) 0 代入通解，得C mg ， k
∴所求特解为v
mg
kt
(1e m
)
。
k
例 2．一容器盛有盐水 100 cm3 ， 含盐 50 g 。现以流量
为 1 3cm3 min ，浓度为1 2 g cm3 的盐水注入容 器，同时又以流量为2 2cm3 min 将混合均匀的溶液 流出，问 30 min 后 ，容器内含盐多少？
Em sin(t ) ， R2 2 L2
I (t)
LEm R2 2L2
e
Rt L
其中 arctanL 。 R
Em sin( t ) ， R2 2L2
当 t 增大时，上式右端第一项（叫做暂态电流）逐渐 衰减而趋于零；第二项（叫做稳态电流）是正弦函数， 它的周期和电动势的周期相同，而相角落后 。
作业题提示
F mg k v ，
由牛顿第二定律可知， mv mg kv ，
又∵起跳时的速度为 0，故初始条件为v t0 0 。
∴得初值问题：
m v
v(0)
mg 0.
k
v,
v k v g ，是一阶线性非齐次微分方程，通解为 m
v
e
k dt
m[
k dt
gem dt C]
e
kt m
[
mg
e
kt m
A
M
AM OA
2y y 1 y2
x
O
x
zy2
z
1
z
x
解得 z x(C x)
x
即 y2 x(C x) y x(C x)
y( 3) 3 y x(3 x) (0 x 3) 22
例 7 设过点M 0 (2, 0)的曲线L的极坐标方程为
r r( )，M (r, )为L上任一点，若极径OM 0 ,
E U L U R
，而U R
R
I
，U L
Ld I dt
，
故 E L dI RI ，即 dI R I E 。
dt
dt L L
dI R I E, dt L L
把 E Em sint 代入，得
dI dt
R L
I
Em L
s in t
，且I
t 0
0
。
（2）解方程
I
(t)
e
R dt
L [
Em L
5 10
x t10 0.08e 36 0.04 0.06 ，
即鼓风机开动 10 分钟后，车间中CO2 的含量降低到 0.06% 。
4．我缉私艇雷达发现，正东 1 海里处一艘走私船正以常
速 v 向北方向 逃窜，缉私艇立即以 2v 的速度追赶，借助
于雷达，缉私艇航行的方向始终对准走私船。试求缉私艇
R 2 2 L2
将初始条件 I
t 0
0
代入得C
R
LE m 2 2 L2
，
∴ I (t)
LEm
Rt
e L
Em
(Rsint Lcost) ，
R 2 2 L2
R2 2 L2
令cos
R
；sin L
，则有
R 2 2 L2
R 2 2 L2
I (t)
LEm
Rt
e L
R2 2 L2
其中 arctanL 。 R
§4.4 微分方程应用举例
例 1．设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与它下落 的速度成正比（比例系数为常数 k 0 ），起跳时的速
度为 0，求下落的速度与时间之间的函数关系。
解：设跳伞员下落速度为v v(t) 。
跳伞员所受的外力等于重力和阻力之和，重力 的大小为 mg ，方向与速度的方向一致；阻力的大 小为 kv ，方向与速度的方向相反，故所受外力为
30
从小孔流出的水的体积dV 0.620.5 2ghdt ，
∴ 1 h2dh 0.31 3
2ghdt ，且h t0 10 。
4．解题思路与分析：
血液中葡萄糖含量的变化率 dG 等于增加速率 dt
与减少速率之差，而增加速率为常数b ，减少速
率（即转化为其它物质或转移到其它地方的速率）
为 kG (k为比例系数 ) ，则有
3．有容积为10800 m3 的化工车间，开始时空气中含有
0.12%的CO2 ，为了保证工人的身体健康，用一台风量 为1500 m3 min 的鼓风机，通入含有0.04% CO2 的新鲜 空气，同时以相同风量将车间中的空气排出，问鼓风机 开动 10 分钟后，车间中CO2 的 百分比降低到多少？
解：设在时刻 t 分钟车间内的 CO2的含量为 x % ， 在时间段[t, t dt] 上，
解：设在时刻t 容器内含盐量为x x(t) g 。
此时容器内的盐水为100(32)t 100t (cm3) ，
故流出的混合溶液在时刻t
的浓度为2
x 100 t
(g
/
cm3 )
。
下面利用“微小增量分析法”来建立微分方程。
在 t 到 t t 这段时间内， 1
容器内盐的改变量
x dx 流入盐量—流出盐量，
3．解题思路与分析：
设容器的底半径为 R ， 则 R 10tan30 10 3 ，
3
设在 t 时刻水面高度为 h ， 水面圆周半径为 r ，
在[t, t dt] 这段时间上，容器内
R
减少的水的体积等于从小孔流出水 的体积dV 。
h dh
h r 10
容器内减少的水的体积 r2dh1 h2dh ， 3
3
再积分得 y
1
x
1 3
(1
x)
2
C2
，
代入初始条件
y(0)
0
，得C2
2 3
，
故缉私艇的航行曲线方程为
3
y 1 x 1(1 x) 2 2 （ 0 x 1 ）。
3
3
当 x 1 时， y(1) 2 ， 3
即走私船航行2 海里时被我缉私艇追上。
3
例5.长为6米的链条自桌上无摩擦地向下滑动,
dg dt
b
k
G
，且
G
t
0
G(0)
。
10．解题思路与分析：
取铅直向下的方向为x 轴的 正向，
坐标原点 O 取在距固定端 L a 处 。
设在时刻 t ，重物的 位移为 x ，
La
则 F kx (k为比例系数 ) ，
mo
有5mg 5ka ，k mg ，故 F mg x 。
a
a
x
由牛顿第二定律得m
OM与曲线L围成的曲边扇形的面积等于L上
两点间弧长的一半，求L的方程.
解 1 r 2 ( )d 1 r 2 ( ) r2 ( )d
20
20
M
r 2 ( ) r 2 ( ) r2 ( ) M0
r r 4 r 2 r r 2 1
dr d arcsin 1 C
r r2 1
假定在运动开始时链条自桌上垂下1米,
试问需多长时间链条才能全部滑下来 ?
解:设链条的线密度为
常数(kg/m),则其质量为6(kg);
再设经过t时间,链条自桌上垂下x(t)米,
则受力F x g
从而有 : 6 x gx
x g x 0 6
且 x 1, t 0
x 0 t 0
x 1 (e
gt
r
r(0) 2 C L : r sin( ) 1
6
6
例 1．一个R L 电路如图所示，其中电源电动势为
E Em sin t(Em ,m 为常数) ，电阻 R 和电感 L 都
是常数，求电流I (t) 。
R
解：（1）列方程
L
K
由 Kirchhoff 回路电压定律知：
E
～
电源电动势应等于电流流过各元件的电压降总和，即