求数列{an}通项公式的方法
求数列通项公式方法大全
求数列通项公式的常用方法种类 1、 S n f (a n )解法：利用 a nS 1 Sn 1(n 1) 与 a n S nSn 1f (a n )f (a n 1) 消去 S n (n2) 或与S n( n 2)S n f (S n S n 1 ) (n2) 消去 a n 进行求解。
例 1 已知无量数列 a n 的前 n 项和为 S n ，而且 a n S n 1(n N * ) ，求 a n 的通项公式？nQ S n 1 a n ， a n 1S n 1 S n a n a n 1 ， a n 11a n ，又 a 11， a n1 .222变式 1. 已知数列 a n 中， a 11，前 n 项和 S n 与 a n 的关系是 S nn(2n 1)a n ，求 a n3变式 2. 已知数列 { a } 的前 n 项和为 S ，且知足 2S2ann 3 (nN *) ．nnn求数列 { a n } 的通项公式变式 3. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n (n 1)b n ，此中 {b n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列 . 求数列 {a n } 的通项公式；变式 4. 数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 1 1， a n 12S n (n N * ) ．求数列 a n 的通项 a n变式 5. 已知数列 { a } 的前 n 项和为 S ，且知足 2S2an n3 (n N * ) ．nn n求数列 { a n } 的通项公式；变式 6. 已知在正整数数列 { a n } 中，前 n 项和 S n 知足 S n1 (a n2)281（1）求证： { a n } 是等差数列（ 2）若 b n 2 a n30 ，求{ b n }的前 n 项和的最小值种类 2、an 1ka nb型（此中 k 、 b 为常数， kb0 ， k1 ）解：设 a n 1m k(a nm) ∴ a n 1 ka n km mb比较系数：kmmm1b ∴k{ a nb }a 1k b∴k 1 是等比数列，公比为 k，首项为1∴ ank b1 (a 1 k b1) k n 1∴ a n(a 1b ) k n 1 bk 1k1例 1 已知数列 a n 中, a 1 1, a n 2a n 1 1(n 2) , 求 a n 的通 公式 . 【分析】 : 利用 ( a nx) 2( a n1x) , a n2a n 1 x , 求得 x 1 ,a n 1 2( a n 1 1) ,a n 1 是首 a 1 1 2,公比 2的等比数列 , 即 a n 1 2 ? 2n 1 , a n1 2n ,a n2n1式 1. 已知数 { a n } 的 推关系 a n 12a n4 ，且 a 1 1 求通 a n3型 3、an 1a nf ( n)型，（ f (n) 可求前 n 和），利用 a na 1 (a 2 a 1 ) (a na n 1) 求通 公式的方法称 累加法。
数列通项公式的求法
a n 1 n 2 an n 1
再用累乘法 也可以
练习
1. ( 福建 )数列an 的前 n项和 Sn , a1 1, 2 Sn an 1 ( n N )， 求数列 an 的通项公式
略解： 2Sn1 an2 , 两式相减整理得
an2 a2 1(n 1) 3而 2 3，故a n n2 a n1 a1 2 3 (n 2)
分析：当n 2时，an S n S n1
1 1 1 S n S n1 S S n 1 n
(n 1) 1 a1 1 不合上式，故 an (n N ) 1 (n 1) S1 可用an 处理 n(n 1) (n 2） S S ( n 2 ) n 1 n
类型二：类等差（比）数列,即an1 an f (n)
且a1 , a 2 , a3成公比不为1的等比数列
(1)求 c 的值； (2)求数列a n 的通项公式。
2 分析：由 a1, a2 , a3成公比不为 1的等比数列得 a2 a1 a3
即(2 c)2 2 (2 3c) c 2, 故有an1 an 2n
n ∵a >0 ， ∴ a ana an. ＋1＋an≠0，∴有 n ＋1＝ n n ∵an>0，∴an 1＋an≠0，∴有 an 1＝ n. n＋1 n＋1 aa a a2 a2 n n 1－1 n a n ∵ a × ×…× ×a1，×a ， n＝ ∵an＝ an 1 × a1 an 2 ×…× 1 a1 an－1 an－2
＋ ＋ － － －
得(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
an1 n an 中，a1 1且满足 例 2： 已知数列 ，则数 an n2 2 列an 的通项公式为 a n n(n 1) an1 an 1 2 3 4 n a2 a3 a4 n－1 分析 : 得 an n 2 a1 a2 a3 an1 3 4 5 6 n 1 an 1 2 2 a1 1 an a1 n(n 1) n(n 1) 累乘 方法二:
数列通项公式的九种求法
1数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强 的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
笔者总结出九种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 类型的题目.2例1 .等差数列｛an｝是递增数列，前n 项和为S1，且引，*3，a9成等比数列，S 5^*5.求 数列｛a n｝的通项公式 解：设数列｛an｝公差为d(d >0)2•/a1，a 3，a 9 成等比数列，••• a 3 =a1a9 ,2 2即 @1 +2d)=印@1 +8d)，得 d =a 1d...d H0 a1=d--S s = a](n -1)n ,1a3 -a2 = ---这种方法适应于已知数列5a 1 +5*4d =⑻ +4d)2a1=3 —5 =3 -5 由①②得：3 •••an —5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。
二、累加法求形如a n -a n 」= f(n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项, …n — 1得到n — 1个式子累加求得通项。
+ (n-1)3 =-n 5可用累加法，即令 n=2, 3,例2.已知数列｛a n ｝中, an _an4解：由已知得a 1=1，对任意自然数 1an = an4 中n 都有n(n+1)，求 an .—n(n+1),an ~ an-2 1a 2y,13^4 ,丄+ an_ q _ 2x3+■(n-2)(n —1) (n —1)n n(n+1)31…a=2 n +1 ,点评：累加法是反复利用递推关系得到n —=丄n(n+1) nn +1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求｛f(n)｝的前n—1项的和，要注意求和的技巧.三、迭代法求形如a n* =q a n +d(其中q,d为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。
数列求通项的七种方法及例题
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
求数列an通项公式方法
求数列an通项公式方法求数列an通项公式引言•数列是数学中重要的概念之一，通过研究数列的性质和规律，可以解决许多实际问题。
•求数列an的通项公式是指通过已知的数列项，找到一个能够计算出数列任意项的公式。
方法一：观察法•通过观察数列的前几项，尝试寻找相应的规律。
•对于等差数列和等比数列，常见的规律往往可以明显地被观察到。
方法二：递推法•数列的通项可能与前一项或前几项之间存在某种关系。
•通过递推关系式，可以将数列的第n项表示为前一项或前几项的函数。
方法三：代数法•针对某些特定的数列，可以利用代数运算的方法求解通项公式。
•例如，斐波那契数列可以通过构建其特征方程来求解。
方法四：生成函数法•生成函数是一种将数列转化为多项式的方法。
•通过对数列的生成函数进行运算和展开，可以得到数列的通项公式。
方法五：数学归纳法•对于一些具有特定递推关系的数列，数学归纳法可以帮助我们证明并求解其通项公式。
•数学归纳法的关键在于证明递推关系正确性的基础段和归纳步骤。
方法六：利用求和公式•对于一些可以通过求和的方式来表示的数列，可以通过求和公式得到其通项公式。
•例如，等差数列可以通过求和公式求解。
方法七：离散数学方法•对于一些特定的数列，可以借助离散数学中的组合数学、图论等知识方法来求解其通项公式。
•这种方法通常需要一定的离散数学知识储备。
结论•求解数列an通项公式有多种方法可供选择，具体方法取决于数列的性质和规律。
•在实际问题中，我们可以根据数列的已知项尝试使用不同的方法来求解其通项公式，以便更好地解决问题。
求数列通项公式的8种方法
求数列通项公式的8种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
由递推公式求an的通项公式
由递推公式求的通项公式类型1叠加法：)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以n a a n 111-=- 211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴类型2累乘法：n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴ （2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩ 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，n a a a a a a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1，将以上n 个式子相乘，得2!n a n =)2(≥n 类型3（待定系数法）q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
通项公式的求法
（条件：若 {an }的相邻两项关系式可化为： 条件： Aan+1 ⋅ an + Ban+1 + Can + D = 0 (A ≠ 0) 可用这种方法；(其中方程 Ax + (B + C)x + D = 0 可用这种方法； 其中方程
2
该数列的特征根） 的根称为该数列的特征根）
可视an +1与an都为x得到x的一元二次方程求出特 征根
6
三、待定系数法
类型:an +1 = k ⋅ an + b
例 6:在数列{an}中，a1 = 1, an+1 = 3 ⋅ an − 1, 求 an .
7
四 Sn与 n及 的 系 ， 通 an .知 a n 关 式 求 项
(n =1 ) S1 类 :应 公 an = 型 用 式 求 解 Sn − Sn−1(n ≥ 2)
17
七、对数法
q an +1 = pan ( p > 0) 类型七 类型七：
例
2 a1 = 2, an +1 = 3an + 6an + 2 ，求 17：数列 {a n }满足 ：
数列 {a n }的通项公式
18
七、对数法
q an +1 = pan ( p > 0) 类型七 类型七：
的图象上，其中n = 1, 2,3,⋯，求数列{an }的通项公式。
13
引 拓 :an+1 = qan + An + Bn +C 伸 展
2
例13 :已知数列{an } 满足a1 = 1， 且an +1 = 2an + n − n + 1，
求数列an通项公式方法(一)
求数列an通项公式方法(一)求数列an通项公式的方法引言在数学中，我们经常会遇到需要求解数列的通项公式的问题。
求解数列的通项公式可以帮助我们找到数列中任意一项的值，加深我们对数列规律的理解。
以下是几种常见的方法用来求解数列an的通项公式。
方法一：递推法1.递推法是最常见的一种方法，通常适用于具有明显的规律或者特殊的关系的数列。
2.首先，我们通过观察数列的前几项来寻找规律和关系。
3.然后，我们根据这些规律和关系构建递推关系式，即找到数列中当前项与前一项之间的关系。
4.最后，我们解递推关系式，得到数列的通项公式。
方法二：等差数列与等比数列的通项公式1.对于等差数列，其通项公式可以通过数列的首项和公差来表示，即an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.对于等比数列，其通项公式可以通过数列的首项和公比来表示，即an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
方法三：数学归纳法1.数学归纳法在求解数列通项公式中也是常用的方法之一。
2.首先，我们需要利用数学归纳法证明数列的通项公式对于某个特定的数成立。
3.然后，我们将数列的前几项带入这个公式，通过归纳法的假设证明公式成立。
4.最后，我们可以得出结论，数列的通项公式通过数学归纳法得证。
方法四：利用生成函数1.生成函数是求解数列通项公式的高级方法之一。
2.首先，我们将数列具体化成一个多项式并用一个变量替代其中的项。
3.然后，我们构建生成函数，将数列的每一项与该变量的对应幂次相乘并相加。
4.最后，通过对生成函数进行求导、求和或者其他操作得出数列的通项公式。
方法五：特殊数列的通项公式1.对于一些特殊的数列，也存在特殊的求解方法。
2.例如斐波那契数列、等差数列的和数列等，都有其独特的求解方法。
3.对于这些特殊数列，我们需要了解其规律和性质，并采取相应的方法来求解通项公式。
总结求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，通过递推法、等差数列与等比数列的通项公式、数学归纳法、生成函数和特殊数列的通项公式等多种方法，我们可以有效地解决这个问题。
数列{an}的通项公式的求法(全)
（其中，k, b, c, m, s为常数）
(4)通项公式为an1 kan ban1可化为an1 san t (an san1 ) （其中，k, b, s, t为常数）
(2)通项公式为an1 kan c bn可化为an1 mbn1 k (an mbn ) （其中，k, b, c, m为常数）
(3)通项公式为an1 kan c bn +t可化为an1 mbn1 s k (an mbn s ) （其中，k, b, c, m, s为常数）
如：通项公式为an1 2an 3n 可化为an1 m 3n1 2(an m 3n ) 解得 m 1 即化为an1 3n1 2(an 3n )
(3)通项公式为an1 kan c bn +t可化为an1 mbn1 s k (an mbn s )
(4)通项公式为an1 kan ban1可化为an1 san t (an san1 ) （其中，k, b, s, t为常数）
八、倒数法>>
适用于an1 k1an 的形式，(其中，k1 ,k 2 ,b1 ,b2为常数). k2an b2
本节作业
1、数列{an }中, a1 2, an1 an 2n , 求{an }的通项公式.
an 2 n 3 an 3 n 1
.........................
n1 n 2 n 3 3 2 1 1 ... n1 n n1 5 4 3 2 1 n( n 1)
高中求数列通项公式九法
高中求数列通项公式九法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解，特别是在综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结了九种求解数列通项的方法，供大家参考。
一、已知Sn求an例1、已知：数列{an}的各项均为正数，它的前n项和Sn满足Sn= ，且a2、a4、a9成等比数列，求数列{an}的通项公式。
解：当n=1时，a1=S1= ，得a1=1或2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=∴6an=an2-an-12+3an-3an-1，∴0=an2-an-12-3an-3an-1∴0=（an+an-1）（an-an-1-3）。
∵an>0，∴an-an-1-3=0；所以数列{an}为等差数列。
当a1=1、d=2时，an=1+3（n-1）=3n-2，满足a2·a9=a42；当a1=2、d=3时，an=2+3（n-1）=3n-1，不满足a2·a9=a42，舍去。
所以an=3n-2。
二、题型：an+1-an=f（n）；方法：利用叠加法求an例2、已知：数列{an}，a1=0，an+1=an+ ，求数列{an}的通项公式。
解：∵an+1=an+ ∴an+1-an=∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+……+（a2-a1）+a1=++……+ + +0=1-故数列{an}的通项公式为an=1-。
三、题型：=f（n）；方法：叠乘法求an例3、已知数列{an}满足：a1=1，an>0，（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，求an。
解：∵（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，∴[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0∵an>0，∴an+an+1>0，∴（n+1）an+1=nan，即∴an=a1· · ·……·=1× × × ×……××= 。
由数列递推公式求通项公式的常用方法
21世纪，信息技术在各行各业都在运用，它已和人们的学习生活息息相关，掌握不好信息知识和信息技能，就难以高效地工作和生活。
初中信息技术的开设，引导着我们每个教学者探究如何采取适当的教学方法激发学生主动学习，提高信息技术的教学质量、提升学生素质。
一、编好导学案，培养学生独立探究的品质什么样的导学案才叫好的导学案？一要能激发学习动机，在学案中创设特定的情境和启发性的问题，引导学生积极思考和主动探索，能和实践紧密结合。
二要针对不同类型的信息课，设计不同的形式的导学案，新授课的导学案要着重关注学生的最近发展区，问题设计情境化，有启发性和探究性。
习题课的导学案应着重帮助学生总结解答典型问题的基本方法和基本思路，复习课导学应帮助学生梳理知识体系。
设计导学时要充分考虑学生在学习过程中可能会遇到的问题和困难，考虑怎样去帮助学生克服困难，导学思考题，要求将学习目标问题化、情境化。
能力训练题，每个知识点学完后，要给予适当的题目进行训练，但题目应少而精，要有利于学生巩固基础知识，突出易混淆的和需注意的知识点；能力提高题，主要是针对掌握程度好的学生设计的，这部分题目的设置可以多链接学生的疑点。
学生对每一项应该完成的任务都必须掌握和理解，才开始学习新的任务，这样才能保证收到效果。
比如，初中“网络课件构件设计”导学案设计。
①学习对象设计包括中哪五个环节？（内容结构设计、内容呈现设计、SCOS 设计、内容编序设计和元数据设计）。
②每个设计的方案是什么？(如：内容呈现设计，在画面中应该尽量删除无用的背景和多余的细节。
元数据设计，SCORM 中的元数据包括Assets 元数据、SCOS 元数据、学习活动元数据、内容组织元数据和内容聚合元数据。
元数据设计时可参照SCORM。
定义的九大类元数据元素及其应用情况，其中“M”为必选项，“O”为可选项，“NP”为不选项。
)导学案为提高课堂效益架设了一座快捷的桥梁，导学让学生在课前有一定的时间构思，在课堂上学生参与、学生创新潜质更易发挥。
求数列{an}通项公式的方法
∴{ }为等差数列.
=
∴ =n·
5． =p ＋q 型（p、q为常数）
特征根法：
（1） 时， = · + ·
（2） 时， =（ + ·n）·
例5.数列{ }中， =2， =3，且2 = + （n∈N+，n≥2），求 .
[解] =2 －
∴ ∴
∴ =（ + ·n）· = + ·n
∴ ∴
∴
7．“已知 ，求 ”型
[解] 依题意，得 － +2 · =0
∴ － =2
∴ =２+2（n－１）=2n
∴ = ， =
∴ = -
=－2× ×
ห้องสมุดไป่ตู้= （ ）
∴ =
累乘法： = · … ·
例2.已知数列{ }满足 （n∈N+）， =1，求 .
[解] = · … ·
=（n－1）·（n－2）…1·1=（n－1）！
∴ =（n－1）！ （n∈N+）
4． =p + 型（p为常数）
方法：变形得 = + ，
则{ }可用累加法求出，由此求 .
例4.已知{ }满足 =2， =2 + .求 .
1． = + 型
累加法：
=（ － ）+（ － ）+…+（ － ）+
= + +…+ +
例1.已知数列{ }满足 =1， = + （n∈N+），求 .
[解] = － + － +…+ － +
= + +…+ +1
求数列通项公式的十种方法-例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：已知aa =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
十种求数列通项公式的方法
解：设 an 1 x 2
y 3(an x 2n y )
⑥
将 an 1 3an 5 2 4 代入⑥式，得
n
3an 5 2n 4 x 2n 1 y 3(an x 2n y )
整理得 (5 2 x) 2 4 y 3 x 2 3 y 。
-4-
得 an 5 2 2 0 ，则
n n
an 1 பைடு நூலகம்5 2n 1 2 3， an 5 2n 2
1
故数列 {an 5 2 2} 是以 a1 5 2 2 1 12 13 为首项，以 3 为公比的等比数列，因 此 an 5 2 2 13 3
评注：本题解题的关键是把递推关系式 an 1 2an 3 5 转化为 an 1 5
n n n n 1
2(an 5n ) ，从
而可知数列 {an 5 } 是等比数列，进而求出数列 {an 5 } 的通项公式，最后再求出数列
{an } 的通项公式。
例8 已知数列 {an } 满足 an 1 3an 5 2 4，a1 1 ，求数列 {an } 的通项公式。
十种求数列通项公式的方法
一、公式法 例1 已知数列 {an } 满足 an 1 2an 3 2 ， a1 2 ，求数列 {an } 的通项公式。
n n
an 1 an 3 a 1 an 3 a n ，则 n n ，故数列 { n }是 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2 3 1 (n 1) 1 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 n 以 1 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n ，所以数列 {an } 的通项公式为 an ( n )2 。 2 2 a 1 an 3 n ，说明数列 评注：本题解题的关键是把递推关系式 an 1 2an 3 2 转化为 n 2n 1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 n 1 (n 1) ，进而求出数列 n n 2 2 2
数列求通项公式的9种方法
例14
已知 满足+2 = 3+1 − 2 ，2 = 2, 1 = 1，求 的通项公式
九、奇偶分项求通项公式
核心思想：
n为奇数时，设n=2k-1
n为偶数时，设n=2k
例15 数列 满足 = ቊ
2，为奇数时
，求 的通项公式。
2 ，为偶数时
变式训练15
n2
a n ，求 {an } 的通项公式.
n
变式训练 6 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1 2n an ，求 {an } 的通项公式.
变式训练 7 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an n(an1 an ) ，求 {an } 的通项公式.
四、加法构造
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d
an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·
qn－1
am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
S1，
n＝1，
an＝
Sn－Sn－1， n≥2.
例1
n＋3.
已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋
17
3
变式训练 10 已知数列 {an } 满足 a1
， an an1 5( n 2) ，求 {an } 的通项公式.
2
2
五、倒数构造
型如 an1
m an
(m pq 0) 的数列直接取倒数
pan q
例 8 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an1
数列求通项公式方法大全
求数列通项公式方法之马矢奏春创作一、二、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项（ 、 ）1、数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；2、已知数列}{n a 满足211,211=-=+nn a a a ，求数列{}n a 的通项公式； 3、已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；4、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
二、累加法适用于： )(1n f a a n n +=+，如221++=+n a a n n 、n n n a a 21+=+等若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑n n -1n -11、 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式；2、 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式；3、已知数列{}n a 满足nn a a a n n -+==+2111,21，求数列{}n a 的通项公式；三、累乘法 适用于：n n a n f a )(1=+，即 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()n n k a a f k a +==⋅∏ 1、已知数列{}n a 满足n n n a n a ⨯⋅+=+5)1(21，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。
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1．1+n a =n a +)(n f 型
累加法：
n a =（n a －1-n a ）+（1-n a －2-n a ）+…+（2a －1a ）
+1a =
)1(-n f +)2(-n f +…+)1(f +1a
例 1.已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n
2（n ∈
N +），求n a . [解]
n a =n a －1-n a +1-n a －2-n a +…+2a －1a +1a
=1
2-n +2
2
-n +…+1
2+1
=
2
12
1--n
=n
2－1
∴n a =n
2－1 （n ∈N +）
3．1+n a =p n a +q 型（p 、q 为常数）
方法：（1）1+n a +1-p q
=)1
(-+p q a p n ，
再根据等比数列的相关知识求n a .
（2）1+n a －n a =
)(1--n n a a p
再用累加法求n a .
（3）
1
1++n n p a =
n
n p a +1
+n p q
，先用累加
法求
n
n
p a 再求n a .
例 3.已知{n a }的首项1a =a （a 为常数），
n a =21-n a +1（n ∈N +，n ≥2），求n a .
[解] 设n a －λ=2（1-n a －λ），则λ=－1
∴n a +1=2（1-n a +1） ∴{1+n
a }为公比为2的等比数列.
∴n a +1=（a+1）·1
2-n
∴n a =（a+1）·1
2
-n －1
2．)(1
n g a a n
n =+型 累乘法：n a =
1
-n n a a ·
2
1--n n a a …
1
2a a ·1a
例 2.已知数列{n a }满足
n a a n
n =+1
（n ∈N +），1a =1，求n a .
[解]
n a =
1
-n n a a ·
2
1--n n a a …
1
2a a ·1a
=（n －1）·（n －2）…1·1=（n －1）！ ∴n a =（n －1）！ （n ∈N +）
4．1+n a =p n a +)(n f 型（p 为常数） 方法：变形得
1
1++n n p a =
n
n p a +
1
)
(+n p n f ， 则{n
n p a }可用累加法求出，由此求n a .
例
4.已知{
n
a }满足
1
a =2，
1+n a =2n a +12+n .求n a .
[解] 112++n n a =n n
a 2+1
∴{n n
a 2}为等差数列.
n n a 2=
n n a =-+12
1
∴n a =n ·n
2
5．2+n a = p 1+n a ＋q n a 型（p 、q 为常数）
特征根法：q px x +=2
（1）21x x ≠时，n a =1C ·n x 1+2C ·n
x 2 （2）21
x x =时，n a =（1C +2C ·n ）
·n
x 1 例5.数列{n a }中，1a =2，2a =3，且2n a =1-n a +1+n a （n ∈N +，n ≥2），求n a . [解]
1+n a =2n a －1-n a
∴122
-=x x
∴121==x x
∴n a =（1C +2C ·n ）·n
1=1C +2C ·n
∴⎩⎨⎧=+=+3222121C C C C ∴⎩⎨⎧==112
1C C
∴)(1+∈+=N n n a n
7．“已知n S ，求n a ”型
方法：n a =n S －1-n S （注意1a 是否符合）
例6.设n S 为{n a }的前n 项和，
n S =2
3
（n a －1），求n a （n ∈N +） [解] ∵n S =
2
3
（n a －1） （n ∈N +）
∴当n=1时，1a =2
3
（1a －1）
∴1a =3 当n ≥2时，
n a =n S －1-n S
=23（n a －1）－2
3
（1-n a －1） ∴n a =31-n a ∴n a =n
3（n ∈N +）
6．1+n a =
D
Ca B
Aa n n ++型（A 、B 、C 、D 为常数）
特征根法：x =D Cx B
Ax ++
（1）21x x ≠时，21x a x a n n --=C ·2
11
1x a x a n n ----
（2）21x x =时， 11x a n -=
C x a n +--1
11
例6. 已知1a =1，1+n a =2
2+n n
a a （n ∈N +），求n a .
[解] x =22+x x
∴021==x x
∴n a 1=1
1
-n a +C
∵1a =1，2a =32，∴代入，得C=2
1
∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为首项为1，d=21的等差数列.
∴
n
a 1
=
21+n ∴n a =1
2
+n （n ∈N +） 8．“已知n a ，1+n a ，n S 的关系，求n a ”
型
方法：构造与转化的方法.
例8. 已知{n a }的前n 项和为n S ，
且n a +2n S （1+n S －1+n a －n a ）=0（n ≥2），
1a =
2
1
，求n a . [解] 依题意，得n S －1-n S +2n S ·1-n S =0
∴n S 1－11-n S =2 ∴n
S 1=２+2（n －１）=2n ∴n S =n
21
，1-n S =)1(21-n
∴n a =n S -1-n S
=－2×n 21
×)1(21-n
=)
1(21n n -（2≥n ） ∴n a =⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥∈-=+)2,()1(21)1(21
n N n n n n。