数学：4.8《简单的对数方程》教案(3)(沪教版高一上).docx

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4.8简单的对数方程

一、教材内容分析

本节是在学生了解了对数、对数的运算性质，指数函数与对数函数性质的基础上，为对

数函数性质的应用安排的. 由于对数方程属于超越方程，在一般情况下不可以用初等方程求

解，所以只介绍几种最简单的特殊类型的对数方程的解法. 教材从实例引入对数方程；说明对数方程来自于实践的需要，本节的重点是掌握几种简单的对数方程的解法；难点是掌握检验

对数方程的增失根，关键是理解将对数方程转化为代数方程时，有时会扩大（缩小）字母的

允许值范围 .

二、教学目标设计

1．理解对数方程的意义，掌握简单的对数方程和解法.

2．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法. 3．运用观察、类比、分析的方法探究对数方程的解法，领会化归、数形结合的数学思想，形

成应用数学知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.

三、教学重点及难点

对数方程的解法；对数方程的增根与失根；造成增根与失根的原因.

四、教学流程设计

复习引入

类型

方法对数方程

巩固与提高

课堂小结并布置作业

五、教学过程设计

( 一 ) 复习引入新课

1、练习：

求下列函数的定义域( 请两位学生板演) ．

1． y=log 2(x 2-x-2)

2． y=log (x-2) 4

( 学生板演后教师评讲)

2、提出问题：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x 呢？

可以得到两个等式：log 2(x 2 -x-2)=2及log(x-2)4=2．

反问：这是方程吗？

3、然后师生共同得出：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程．

( 二 ) 对数方程的解法

一些简单的对数方程是可以求解的．如方程log (x-2) 4=2，但怎么解呢？是否能将其转化为已学过的普通方程解呢？( 这里体现了化归思想．)

引导学生将方程转化为：(x-2) 2=4．

解得 x1=4，x2=0．

提出问题：它们是原方程的解吗？

引导学生得出x=0 不是原方程的解，因为当x=0 时，原方程中的对数底数x-2 小于 0 了，所以它不是原方程的解．

提出问题：那为什么会出现这种情形呢？

引导学生进行分析：实际上将原方程log (x-2) 4=2 转化为新方程(x-2) 2 =4 后，未知数 x 的范围变大了，由 {x|x ＞2，且 x≠ 3} ，扩大为 {x|x ∈ R 且 x≠2} ，这样就可能产生增根. 由此，指出验根的必要性 .

小结：形如log g(x) f(x)=a的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为指数式f(x)=g(x) a 再求解，注意需验根．

例 1如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度v(km / s) 和燃料的质量M (kg ) 、火箭（除燃料

M ) ，

外）的质量m(kg ) 之间的关系是v 2ln(1

m

当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度能达到

（ 1） 8km / s （精确到 0.1 倍） （ 2） 12km / s （精确到 0.1 倍）

解：（ 1）根据题意，得

2ln(1

M ) 8,ln(1 M ) 4,1 M

e 4

所以

M

m

m

m

e 4 1 54.6

1 53.6 （倍）

m

M

（ 2）用同样方法，可得

e 6 1 403.4 1 402.4 （倍）

m

综上所述，当燃料的质量分别是火箭质量的

53.6 倍和

402.4 倍时，火箭的最大速度能达到

8km / s 和 12km / s .

例 2：解方程 log 2 (x

14) log 2 ( x 2) 3 log 2 ( x

6)

分析：利用对数运算性质变形为

log

a

f ( ) lo

g a ( x )

x g

解：原方程可变形为： log 2 (x 14)(x 2) log 2 8(x

6)

可得： x 2 8x 20 0

解得： x 1 10, x 2 2

经检验： x

10 是增根，原方程的根是 x

2

教师：我们注意到原方程允许解的范围是

{ x | x

2} ，而变形后方程： x 2 8x 20

0 允许

解的范围扩大了，因为

x 10 ， 10 { x | x

2} ，所以方程产生增根 .

小结：形如 log

a

f ( ) lo

g ( ) 的对数方程可用 “同底法” 脱去对数符号， 得 f ( x) g (x) ，

x a g x

解出 x 后，要满足

f ( x) 0

g (x) .

例 3

解方程 (log 3 x)2

log 9 3x

2

解：运用换底公式把原方程化为：

(log 3 x)2

log 3 3x 2

log 3 9

化简得： 2(log

x)2 log x 3

3

3

令 log 3 x

y ，则 2 y 2

y

3 0

解得： y 1 1, y 2

3

2