第四章圆与方程复习教案(教师)
高二数学必修2教案：第四章 圆与方程
将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2. 化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.② 若点 M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点 M 的坐标满足方程②,反之若点 M 的坐标满足方程②,这就说明 点 M 与圆心 C 的距离为 r,即点 M 在圆心为 C 的圆上.方程②就是圆心为 C(a,b),半径长为 r 的圆的方程,我们 把它叫做圆的标准方程. ⑥这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和 圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2. 提出问题 ①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? ②确定圆的方程的方法和步骤是什么? ③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断? 讨论结果：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2 中,有三个参数 a、b、r,只要求出 a、b、r 且 r＞0,这时 圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条 件. ②确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直接求出圆心(a,b) 和半径 r,一般步骤为： 1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2； 2°根据已知条件,建立关于 a、b、r 的方程组； 3°解方程组,求出 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
|AB|= (2 6)2 (9 5)2 212 ,
|CD|= (x 3)2 ( y 8)2 .
②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆). ③圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位 置和大小. ④确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是常数,r＞0).设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公
圆与方程复习 优秀教案
第四章圆与方程复习【课题】：第四章圆与方程复习【设计与执教者】：单位：番禺市桥二中姓名：邓雄华e-mail地址：ACT488@【学情分析】：在上一阶段的学习中，在初步学习了直线和圆的基础上，要求学生熟练掌握其内容和能力，进一步领会解析几何的数形结合的思想方法。
【教学目标】：（1）知识与技能：1、熟练掌握圆的标准方程和一般方程2、熟练掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对解析几何的理解（3）情感态度与价值观：初步培养让学生了解解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的思想方法。
【教学重点】：1、熟练掌握圆的标准方程和一般方程2、熟练掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。
3、数形结合的思想方法【教学难点】：熟练掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。
【课前准备】：Powerpoint【教学过程设计】：练习与测试：1、过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4 C.（x －1）2＋（y －1）2＝4 D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 答案：C解析一：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件,再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程.A 不满足条件.∴选C.解析二:设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ,因为圆心C 在直线x +y －2=0上,∴b =2－a . 由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1 因此所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=42、若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ） A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－1 答案：D解析：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1 ∴其圆心为（1，0），半径为1，若直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d 等于圆的半径r∴11)1(|11|2=++++a a ∴a ＝－13、圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ． 答案：圆心到直线的距离d ＝5|843|++＝3 ∴动点Q 到直线距离的最小值为d －r ＝3－1＝24、已知圆的方程为22(1)(1)1,(2,3),x y P -+-=点坐标为求圆的过P 点的切线方程 解、(1)若切线的斜率存在，可设切线的方程为3(2)y k x -=- 即230kx y k --+= 则圆心到切线的距离1d ==解得34k =故切线的方程为3460x y -+=（2）若切线的斜率不存在，切线方程为x=2 ，此时直线也与圆相切。
圆的方程复习课 教学设计
5、增加难度，方法一考察三元方程组的求解方法，方法二考察圆的模型、直线的方程交点问题
课后练习
1、圆心坐标为 ，半径为2的圆的标准方程是。
2、已知圆 经过点 ，且圆心为 ，则圆 的方程为。
3、以点(﹣2，3)为圆心且过坐标原点的圆的方程是_______．
4、求过点 ，且圆心在直线 上的圆的方程。
根据变式题进行即时巩固，深化学生对圆的方程的求解方法的理解。
板书设计
圆的方程
1、标准方程
2、一般方程
3、中点坐标
多媒体展示部分
草稿
圆的方程复习课教学设计
课题名称
圆的方程（复习课）
授课人
朱文廷
授课班级
高二（5）班
授课时间
2019年12月19日
教学目标
知识与技能：掌握圆的标准方程与一般方程，并理解其几何意义；
过程与方法：通过习题变式，掌握几种求解圆的方程的方法并总结归纳。
情感、态度与价值观：让学生了解圆的数学模型，培养学生的学习兴趣。
教学方法
习题变式讲解与解题方法总结
教学重难点
教学重点：求解圆的标准方程的方法；
教学难点：已知圆经过三点，求解圆的方程的方法。
教学过程
教学环节
教学内容
设计意图
知识点复习
1、圆的模型
2、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合。
3、圆的标准方程： ，其中，圆心为 ，半径为 。
4、圆的一般方程： ，其中 ，圆心为 ，半径为 。
1、知识点回顾，用圆的模型建立圆的标准方程，用圆的标准方程得出圆的一般方程。
圆的方程复习教案
圆的方程复习教案 知识梳理 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.3、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r ：(1）点在圆上 ； (2）点在圆外 d ＞ｒ； (3)点在圆内 d ＜r ．２.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ﻫ3.涉及最值：(１)圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+(2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC ==-max PA AM r AC ==+4、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .MM当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ,半径2422F E D r -+=． 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：(１）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A５、直线与圆的位置关系: 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1)相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>(２)相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=(3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔< ﻫ相离 相切 相交(其中:22B A C Bb Aa d +++=)还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断:（１）当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点）,直线与圆相交；(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点）,直线与圆相切；（３）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；ﻫ即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心Ｃ到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：(1) 相切⇔⇔Δ＝0（2)相交⇔d<r ⇔Δ>0； （3)相离⇔d>r ⇔Δ<0。
圆与方程复习 优秀教案
【课题】：圆与方程小结【设计与执教者】：单位：番禺石基三中，姓名：温必安，e-mail地址：anzzy2004@【学情分析】：学生已有的知识结构是初步掌握了圆的方程、直线与圆的位置关系，空间直角坐标系,但是对本章的知识还没有一定的系统性。
【教学目标】：(1)知识与技能：掌握圆的标准方程与圆的一般方程与互相转化；根据圆的一般方程求圆心和半径；用待定系数法求圆的方程。
(2)过程与方法：让学生经历复习过程，使学生掌握数学结合等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯。
(3)情感态度与价值观：让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
【教学重点】：圆的方程以及直线与圆的位置关系的复习.【教学难点】：直线与圆的方程的应用的复习。
【教学突破点】：熟悉直线与圆的位置关系的判定方法以及一些基本的公式。
【课前准备】：投影Powerpoint【教学过程设计】：练习与测试：（基础题）1、已知圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（）A．22-+-=B．22x y(6)(5)10+++=x y(6)(5)10C ．22(5)(6)10x y -+-=D ．22(5)(6)10x y +++=解：由圆心坐标（6，5）可排除BCD ，故选A 。
2、圆06222=-++y x y x 的圆心为 ，半径长 。
解：将方程配方为222)10()3()1(=-++y x ，所以圆心为)3,1(-，半径为10。
3、圆0324,032222221=++-+=--+y x y x C x y x C ：：，则两圆的位置关系是 。
解：通过配方得：2)1()2(,4)1(222221=++-=+-y x C y x C ：：圆1C 圆心为)0,1(，半径2=r ，圆2C 圆心为)1,2(-，半径2=r ，∴2)01()12(2221=--+-=O O∴212121r r O O r r +<<- ，两圆相交。
圆与方程复习学案教师版含答案
密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题圆与方程复习学案知识讲解一、 圆的标准方程：⑴以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-=⑵圆心在原点的圆的标准方程：222x y r += 二、 圆的一般方程：方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）① 说明：⑴2x 和2y 项的系数相等且都不为零；⑵没有xy 这样的二次项．⑶表示以(,)22D E -- a)当2240D E F +-=时，方程①只有实根2D x =-，2E y =-，方程①表示一个点(,)22D E--b)当2240D E F +-<时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形 三、 圆的参数方程：概念：cos ,(sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)叫做圆的参数方程．特别地，当0,a b ==即圆心在原点，圆的参数方程式为cos ,(sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数)． 圆的参数方程，其实质是三角换元．当涉及有关最值或取值范围问题时，可设圆上的点参数，这样可把代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识来处理． 四、 圆心的三个重要的几何性质：1.圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2.圆心在一条弦的中垂线上．3.两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 五、 判断点与圆的位置关系的方法：1.圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，圆心(,)A a b ，半径r ，若点00(,)M x y 在圆上，则22200()()x a y b r -+-=；若点00(,)M x y 在圆外，则22200()()x a y b r -+->；若点00(,)M x y 在圆内，则22200()()x a y b r -+-<．反之，也成立． 2. 利用几何法来判断点与圆的位置关系． 即AM r >⇔点M 在圆外；AM r <⇔点M 在圆内；AM r =⇔点M 在圆上六、直线与圆的位置关系：位置关系有三种：相交、相切、相离 判断直线与圆的位置关系：1）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其∆的值，然后比较判别式∆与0的大小关系， 若0∆<，则直线与圆相离 若0∆=，则直线与圆相切 若0∆>，则直线与圆相交2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：d r <⇔相交，d r =⇔相切，d r >⇔相离．七、 计算直线被圆截得的弦长的常用方法：1）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式A B AB x -=说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．八、 圆与圆的位置关系的判定：判定：设2222221111122222:()()(0),:()()(0)C x a y b r r C x a y b r r -+-=>-+-=>，则有：12121C C r r C >+⇔与2C 外离 12121C C r r C =+⇔与2C 外切 1212121r r C C r r C -<<+⇔与2C 相交 1212121()C C r r r r C =-≠⇔与2C 内切 12121C C r r C <-⇔与2C 内含九、 圆的切线方程问题：已知2222222123:,:()(),:O xy r O x a y b r O x +=-+-=+++则00(,)M x y 为切点的1O 的切线方程：200;xx yy r +=2O 的切线方程：200()()()(),x a x a y b y b r --+--= 3O 切线方程：0000()()022D x xE y y xx yyF ++++++= 十、圆系方程：概念：具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．1）过两已知圆22(,)0(1,2)i i i i f x y x y D x E y F i =++++==的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=即12(,)(,)0(1)f x y f x y λλ+=≠-．当1λ=-时，方程变为121212()()0,D D x E E y F F -+-+-=表示过两圆的交点的直线（当两圆密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题是同心圆时，此直线不存在），当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心垂直的直线． 2）过直线与圆交点的圆系方程设直线:0l Ax By C ++=与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=相交，则方程22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程．热身练习1．已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a=0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ． 【解答】解：∵方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a=0表示圆， ∴a 2=a +2≠0，解得a=﹣1或a=2． 当a=﹣1时，方程化为x 2+y 2+4x +8y ﹣5=0，配方得（x +2）2+（y +4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5； 当a=2时，方程化为，此时＜ ，方程不表示圆，故答案为：（﹣2，﹣4），5．2．圆（x +2）2+y 2=5关于直线x ﹣y +1=0对称的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+y 2=5 B ．x 2+（y ﹣2）2=5 C ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=5 D ．（x +1）2+（y +1）2=5【解答】解；由圆（x +2）2+y 2=5可知，圆心（﹣2，0），半径r= ． 设点（﹣2，0）关于直线x ﹣y +1=0对称的点为（x ，y ），则，解得．∴所求圆的圆心为（﹣1，﹣1）． 又∵半径r= ．∴圆（x +2）2+y 2=5关于直线x ﹣y +1=0对称的圆的方程为（x +1）2+（y +1）2=5． 故选：D ．3．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C 1C 2|=（ ）A ．4B ．C ．8D ．【解答】解：∵两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内， 设两个圆的圆心的坐标分别为（a ，a ），（b ，b ），由于两圆都过点（4，1），则有 =|a |，| =|b |， 故a 和b 分别为（x ﹣4）2+（x ﹣1）2=x 2 的两个实数根，即a 和b 分别为x 2﹣10x +17=0 的两个实数根，∴a +b=10，ab=17， ∴（a ﹣b ）2=（a +b ）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C 1C 2|= • =8， 故选：C ．4．圆心在直线y=x 上，经过原点，且在x 轴上截得弦长为2的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2 C ．（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2或（x +1）2+（y +1）2=2B ．（x ﹣1）2+（y +1）2=2 D ．（x ﹣1）2+（y +1）2=2或（x +1）2+（y ﹣1）2=2 【解答】解：画出圆A 满足题中的条件，有两个位置， 当圆心A 在第一象限时，过A 作AC ⊥x 轴，又|OB |=2，根据垂径定理得到点C 为弦OB 的中点，则|OC |=1，由点A 在直线y=x 上， 得到圆心A 的坐标为（1，1），且半径|OA |= ，则圆A 的标准方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x 轴，又|OB′|=2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x 上， 得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|= ， 则圆A′的标准方程为：（x +1）2+（y +1）2=2，综上，满足题意的圆的方程为：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2或（x +1）2+（y +1）2=2． 故选：B ．座号：密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题5．圆心在y 轴上，且过点（3，1）的圆与x 轴相切，则该圆的方程是（ ） A ．x 2+y 2+10y=0B ．x 2+y 2﹣10y=0C ．x 2+y 2+10x=0D ．x 2+y 2﹣10x=0【解答】解：圆心在y 轴上且过点（3，1）的圆与x 轴相切， 设圆的圆心（0，r ），半径为r ． 则： =r ． 解得r=5．所求圆的方程为：x 2+（y ﹣5）2=25．即x 2+y 2﹣10y=0． 故选：B ．经典例题：例1．已知过点 作圆 的切线，切点分别为 ， ，那么点 到直线 的距离为 A.B.C.D.例2．直线l 过点（﹣4，0）且与圆（x +1）2+（y ﹣2）2=25交于A 、B 两点，如果|AB |=8，那么直线l 的方程为（ ） A ．5x +12y +20=0 B ．5x ﹣12y +20=0或x +4=0C ．5x ﹣12y +20=0D ．5x +12y +20=0或x +4=0【解答】解：当切线的斜率不存在时，直线l 的方程为 x +4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件．当切线的斜率存在时，设直线l 的方程为 y ﹣0=k （x +4 ），即 kx ﹣y +4k=0，则圆心（﹣1，2）到直线l 的距离为 d= =．再由 d 2+=r 2，得=3，∴k=﹣，∴直线l 的方程为 y ﹣0=﹣（x +4），即 5x +12y +20=0． 故选：D ．例3．如图，设P 是圆x 2+y 2=25上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上一点，且|MD |=|PD |． （1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率的直线被C 所截线段的长度．【解答】解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x ，y ）P 的坐标为（x p ，y p ） 由已知得：∵P 在圆上，∴，即C 的方程为．（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：， 设直线与C 的交点为A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）， 将直线方程代入 的方程，得即：，，∴线段AB 的长度为|AB |=== ．密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题例4．（1）若P （x ，y ）在直线x +y ﹣4=0上，则x 2+y 2的最小值是（ ）A ．8B ．2C ．D ．16【解答】解：∵x 2+y 2≥0，∴ 表示直线上的点到原点的距离， ∴原点到直线的距离d==2 ，∴ =2 ， ∴x 2+y 2的最小值为8． 故选：A ．（2）点P （x ，y ）是直线2x +y +4=0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2+（y ﹣1）2=1的两条切线，A ，B 是切点，则三角形PAB 周长的最小值为（ ）A ．4+B ．5C ．4D ．4【解答】解：圆心C 到直线2x +y +4=0的距离为= ，圆的半径为1， 设PC=d ，则d ≥ ，PA=PB= ，AB=2•=2•=2，∴当d 取得最小值时，PA 取得最小值，AB 取得最小值， ∴当d 取得最小值 时，三角形PAB 周长取得最小值， 最小周长为2 +2=4+． 故选：C ．思考题1．已知△ABC 的三个顶点A （﹣1，0），B （1，0），C （3，2），其外接圆为圆H ．对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围是 ．【解答】解：由题意，A （﹣1，0），B （1，0），C （3，2）， ∴AB 的垂直平分线是x=0，∵BC ：y=x ﹣1，BC 的中点是（2，1），∴BC 的垂直平分线是y=﹣x +3．由，得到圆心H 是（0，3），∴r= ，则直线BH 的方程为3x +y ﹣3=0，设P （m ，n ）（0≤m ≤1），N （x ，y ）．因为点M 是点P ，N 的中点，所以M （，），又M ，N 都在半径为r 的圆C 上，所以，即， 因为上式是关于x ，y 的方程组有解， 即以（3，2）为圆心，r 为半径的圆，与以（6﹣m ，4﹣n ）为圆心，2r 为半径的圆有公共点， 所以（2r ﹣r ）2≤（3﹣6+m ）2+（2﹣4+n ）2≤（r +2r ）2，又3m +n ﹣3=0，所以r 2≤10m 2﹣12m +10≤9r 2对任意m ∈[0，1]成立． 而f （m ）=10m 2﹣12m +10在[0，1]上的值域为[，10]，又线段BH 与圆C 无公共点，所以（m ﹣3）2+（3﹣3m ﹣2）2＞r 2对任意m ∈[0，1]成立，即r 2＜．10m 2﹣12m +10＜9r 2对任意m ∈[0，1]成立，则有r 2≥， 故圆C 的半径r 的取值范围为[ ，）． 故答案为：[，）． 思考题2．已知直线l ：x +y=3与圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣5）2=10交于A ，B 两点，圆C 在点A ，B 处的切线l 1，l 2相交于点P （ ，），则四边形ACBP 的面积为 . 【解答】解：根据题意，圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣5）2=10的圆心为（a ，5）， 过圆心C 与P 的直线与直线AB 垂直，则有=1，解可得a=2，密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题则|PC |==， 圆心C 到直线x +y=3的距离d==2 ，则|AB |=2× =2 ， 则S 四边形ACBP =×|PC |×|AB |=5； 故答案为：5．圆与方程课后习题1. 已知圆 ：上到直线 ： 的距离等于 的点至少有 个，则 的取值范围为 A. B. C. D. 【解析】由圆的方程可知圆心为 ，半径为 ．因为圆上的点到直线 的距离等于 的点至少有 个，所以圆心到直线 的距离 ， 即，解得 ．2. 已知直线 ： 与曲线 ： 有公共点，则 的取值范围为A. B. C. D. 【解析】提示：最长弦为过点 的直径，最短弦经过点 且与 垂直.3. 圆 ，过点 作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 A. B. C. D.4. 已知圆 与 轴的公共点为 ，与 轴的公共点为 ，设劣弧 的中点为 ，则过点 的圆 的切线方程是A.B.C. D.5. 若当方程 所表示的圆取得最大面积时，则直线的倾斜角A.B.C.D.【解析】方程表示的圆的半径，当 时， 有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线 的斜率为 ，从而倾斜角为． 6．直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6] B ．[4，8] C ．[ ，3 ] D ．[2 ，3 ] 【解答】解：∵直线x +y +2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A （﹣2，0），B （0，﹣2），|AB |= =2 ，∵点P 在圆（x ﹣2）2+y 2=2上，∴设P （2+ ， ）， ∴点P 到直线x +y +2=0的距离： d==，∵sin （）∈[﹣1，1]，∴d=∈[ ， ]，∴△ABP 面积的取值范围是：[ ，]=[2，6]． 故选：A ．7．直线ax ﹣y +3=0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=4相交于A 、B 两点且|AB |=2 ，则a =（ ）A ．1B ．C ．2D ． 【解答】解：圆的圆心为（1，2），半径为2， ∵|AB |=2 ，∴圆心到直线AB 的距离d= = ， 即= ，解得a=1． 故选：A ．8．已知过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8，则直线l 的方程为（ ） A ．y=﹣3或4x ﹣3y +3=0 B ．y=﹣3或4x +3y +21=0 C ．x=﹣3或4x ﹣3y +3=0 D ．x=﹣3或4x +3y +21= 【解答】解：圆x 2+y 2+12x +4y +15=0的圆心C （﹣6，﹣2），半径r=5， 若过点M （﹣3，﹣3）的直线l 被圆x 2+y 2+12x +4y +15=0截得的弦长为8， 则圆心C 到直线l 的距离d=3， 由直线l 过点M （﹣3，﹣3），当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x=﹣3满足要求；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y +3=k （x +3），即kx ﹣y +3k ﹣3=0，密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题则=3，解得：k=，故直线l 的方程为x ﹣y +1=0，即4x ﹣3y +3=0 故选：C ．9．已知⊙C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ﹣3=0，点 M （﹣2，0）是⊙C 外一点，则过点 M 的圆的切线的方程是（ C ） A ．x +2=0，7x ﹣24y +14=0 B ．y +2=0，7x +24y +14=0 C ．x +2=0，7x +24y +14=0 D ．y +2=0，7x ﹣24y +14=010．圆x 2+y 2=4被直线y=﹣ 截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°，则b 的值（ ） A ．±2 B ． C ．2 D ． 【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2=4的圆心为（0，0），半径r=2， 若圆x 2+y 2=4被直线y=﹣ 截得的劣弧所对的圆心角的大小为120°， 则圆心到直线的距离d==1，即=1，解可得b=±2， 故选：A ．11.已知圆 的圆心位于第二象限且在直线 上，若圆 与两个坐标轴都相切，则圆 的标准方程为 . 【解答】解：12. 已知圆 ： 和两点 ， ，若圆 上至少存在 一点 ，使得 ，则 的取值范围是 ． 【解析】因为圆 ： ， 所以圆心 ，半径 ；设点 在圆 上，则 ， ， 因为 ，所以 ， 即 ； 因为 ， 所以 ，易知 表示原点 到点 的距离， 因为点 在圆 上，所以 的最大值是 ，最小值是 ，所以 的取值范围是 ．13. 已知圆心 ，且经过点 ． （1）写出圆 的标准方程；（2）过点 作圆 的切线，求切线的方程及切线的长； 【解答】解：（1） 因为圆心 ，且经过点 ， 圆 的半径 ， 所以圆 的标准方程： ．（2） 设过点 的切线方程为 ， 即 ，有：，所以 ，解得 或 ，所以所求切线的方程为 或 ，由圆的性质可知： ．14. 已知点 是圆 上任意一点．（1）求 点到直线 的距离的最大值和最小值； （2）求 的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值．【解答】解：（1） 圆心 到直线 的距离为．所以 点到直线 的距离的最大值为，最小值为． （2） 设 ，则直线 与圆 有公共点． 所以．所以 ．所以 ， ． 即 的最大值为 ． 最小值为 ．密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题（3） 设，则直线 与圆 有公共点， 所以 ．所以．所以，．即的最大值为，最小值为．15．已知⊙C 的圆心在直线y=x 上，且与直线y=1相切与点（﹣1，1）． （1）求⊙C 的标准方程；（2）求过点P （0，1）且被⊙C 截得弦长为 的直线的方程； （3）已知⊙O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0），是否存在这样的r 的值使得⊙O 能平分⊙C 的周长？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明你的理由．【解答】解：（1）∵⊙C 与直线y=1相切与点（﹣1，1），故圆心在直线x=﹣1上． 又圆心在直线y=x 上，故圆心坐标为（﹣1，﹣1），从而半径为2． 故⊙C 的标准方程为（x +1）2+（y +1）2=4；（2）∵直线截得圆所得弦长为 ，圆的半径为2，由弦长公式可知圆心C （﹣1，﹣1）到该直线的距离 ． 若过P 的直线不存在斜率，即x=0，经检验圆心到其距离为1，符合题意， 若过P 的直线存在斜率设为k ，则直线方程为kx ﹣y +1=0， 则，解得，此时直线方程为3x ﹣4y +4=0，综上所述，符合题意的直线方程为x=0或3x ﹣4y +4=0；（3）若⊙O 能平分⊙C 的周长，则它们的公共弦必过⊙C 的圆心． 将两圆方程对应相减，可得公共弦所在的直线方程为：2x +2y +r 2﹣2=0． 将C （﹣1，﹣1）代入，解得r 2=6， ．经检验，此时两圆位置关系属于相交，符合题意．16．已知圆C 过坐标原点O ，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，圆心坐标C （t ，）（t ∈R ，t ≠0） （1）求证：△AOB 的面积为定值；（2）直线2x +y ﹣4=0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |=|ON |，求圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x +y +2=0和圆C 上的动点，求|PB |+|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．【解答】（1）证明：由题设知，圆C 的方程为（x ﹣t ）2+（y ﹣ ）2=t 2+， 化简得x 2﹣2tx +y 2﹣y=0，当y=0时，x=0或2t ，则A （2t ，0）； 当x=0时，y=0或，则B （0，），∴S △AOB =|OA |•|OB |= |2t |•||=4为定值． 解：（2）∵|OM |=|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上， 设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线， 则直线OC 的斜率k== =， ∴t=2或t=﹣2．∴圆心为C （2，1）或C （﹣2，﹣1），∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5或（x +2）2+（y +1）2=5，由于当圆方程为（x +2）2+（y +1）2=5时，直线2x +y ﹣4=0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5．（3）点B （0，2）关于直线x +y +2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2）， 则|PB |+|PQ |=|PB′|+|PQ |≥|B′Q |， 又B′到圆上点Q 的最短距离为|B′C |﹣r= ﹣ =3 ﹣ =2 ．故|PB |+|PQ |的最小值为2 ，直线B′C 的方程为y=x ， 则直线B′C 与直线x +y +2=0的交点P 的坐标为（﹣，﹣ ）．密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题备选题：1．（2016秋•武清区期末）已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=4， （Ⅰ）若直线l 1过定点A （1，0），且与圆C 相切，求l 1的方程；（Ⅱ）若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x +y ﹣2=0上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．【解答】解：（Ⅰ）①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意．（1分） ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y=k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k=0． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2， 即（4分）解之得．所求直线方程是x=1，3x ﹣4y ﹣3=0．（5分）（Ⅱ）依题意设D （a ，2﹣a ），又已知圆的圆心C （3，4），r=2， 由两圆外切，可知CD=5∴可知=5，（7分） 解得a=3，或a=﹣2，∴D （3，﹣1）或D （﹣2，4），∴所求圆的方程为（x ﹣3）2+（y +1）2=9或（x +2）2+（y ﹣4）2=9．（9分）2．（2016秋•濮阳期末）一圆与y 轴相切，圆心在直线x ﹣3y=0上，且直线y=x 截圆所得弦长为 ，求此圆的方程．【解答】解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x ﹣3y=0上，故设圆方程为（x ﹣3b ）2+（y ﹣b ）2=9b 2．又因为直线y=x 截圆得弦长为2 ， 则有（）2+（ ）2=9b 2，解得b=±1．故所求圆方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9．3．（2015春•宜昌期末）已知以点P 为圆心的圆经过点A （﹣1，1）和B （2，0），线段AB 的垂直平分线交该圆于C 、D 两点，且|CD |=10（Ⅰ）求直线CD 的方程； （Ⅱ）求圆P 的方程．【解答】解：（1）直线AB 的斜率k=﹣ ，AB 中点坐标为（ ，），…（3分）∴直线CD 的斜率为3，方程为y ﹣ =3（x ﹣）即3x ﹣y ﹣1=0；（2）设圆心P （a ，b ），则由点P 在直线CD 上得： 3 a ﹣b ﹣1=0 ①…（8分） 又直径|CD |=10， ∴|PA |=5∴（a +1）2+b 2=25 ②…（10分） 由①②解得 或∴圆心P （2，5）或P （﹣1，﹣4）…（12分）∴圆P 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=25 或（x +1）2+（y +4）2=25 (14)4．（2016•山东）已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay=0（a ＞0）截直线x +y=0所得线段的长度是2 ，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1的位置关系是（ ）密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【解答】解：圆的标准方程为M ：x 2+（y ﹣a ）2=a 2 （a ＞0）， 则圆心为（0，a ），半径R=a ，圆心到直线x +y=0的距离d=，∵圆M ：x 2+y 2﹣2ay=0（a ＞0）截直线x +y=0所得线段的长度是2 ，∴2 =2=2=2 ，即= ，即a 2=4，a=2，则圆心为M （0，2），半径R=2，圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1的圆心为N （1，1），半径r=1， 则MN= = ， ∵R +r=3，R ﹣r=1， ∴R ﹣r ＜MN ＜R +r ， 即两个圆相交． 故选：B ．5．（2013•重庆）已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |+|PN |的最小值为（ ） A ． ﹣1 B ．5 ﹣4 C ．6﹣2 D ．【解答】解：如图圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A （2，﹣3），半径为1， 圆C 2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P ，M ，N ，三点共线时，|PM |+|PN |取得最小值， |PM |+|PN |的最小值为圆C 3与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：|AC 2|﹣3﹣1=﹣4= ﹣4=5 ﹣4． 故选：B ．6．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l ：mx +y +3m ﹣ =0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |=2 ，则|CD |= 4 ． 【解答】解：由题意，|AB |=2 ，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3， ∴m=﹣∴直线l 的倾斜角为30°，∵过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点， ∴|CD |==4．故答案为：4．7．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l ：x ﹣ y +6=0与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |= 4 ．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，∴|AB |=2 =2 ，∵直线l ：x ﹣ y +6=0密 封 线 内 不 可 答 题 密 封 线 内 不 可 答 题∴直线l 的倾斜角为30°，∵过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点， ∴|CD |==4．故答案为：4．。
高中数学人教A版必修2第四章《第四章 圆与方程(通用)》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试教案
高中数学人教A版必修2第四章《第四章圆与方程（通用）》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.使学生掌握圆的标准方程和一般方程,加深对圆的方程的认识。
2.熟悉直线与圆,圆与圆的位置关系并能解决一些简单问题。
2学情分析
学生已经学习了圆与方程的有关内容,已经有了一定的观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。
根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,对前后知识加以联系,并灵活运用它解决一些实际问题,可以使
学生进一步了解数学在实际生活中的应用,从而激发学生学习数学的兴趣。
3重点难点
1.解析几何解题的基本思路和解题方法。
2.整理本章的知识结构。
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【活动】圆与方程的综合应用
导入新课
同学们,我们前面学习了圆、直线与圆的有关知识,那么我们具体学了哪些知识点,有哪些重要的方法?为此我们利用这节课的时间进行系统的整理,帮助同学们构建思维导图,掌握解题的思路和方法。
知识探究
提出问题1.圆的方程有哪几种形式?你能说出它们各自的特点吗?
讨论结果:
(1)圆的标准方程: ,其中圆心是 ,半径长是 .特别地,圆心在原点的圆的标准方程为 .。
高中数学第4章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2
高中数学第4章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2求圆的方程【例1】 求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程．[解] 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12，r ＝|b |.又圆心(a ，b )在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝12，r＝1，b＝±1.所以所求圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋(y－1)2＝1，或⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋(y＋1)2＝1.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组)．(3)解出a, b, r(或D, E, F)．(4)代入圆的方程．1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．[解]设圆心为M(m，0)(m∈Z)，由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以|4m－29|5＝5，即|4m－29|＝25，因为m为整数，故m＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.直线与圆的位置关系(1)m∈R时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．[解](1)直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4, －3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．(2)如图，当圆心C (3, －6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，所以直线l 的斜率为－13，所以m ＝－16.在△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5， 所以|AP |2＝|AC |2－|PC |2＝25－10＝15， 所以|AP |＝15，所以|AB |＝215， 即最短弦长为215.直线与圆位置关系的判断：直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法. 一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．2．已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得弦长相等，求此时直线l 1的方程．[解] (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a , －a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2，解得a ＝－2. 因为圆心C (－2，0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1，所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.圆与圆的位置关系C 1x 2y 2x y C 2x 2y 2x y (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．[解] (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2，2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝（－2－4）2＋（2＋2）2＝213＝r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0， 即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.判断两圆位置关系的两种比较方法：(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系．(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能象几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A , B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．x ＋y －3＝0 [AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3，0)，C 2(0，3)，所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.]空间中点的坐标及距离公式的应用【例4】 如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．[解] 由题意应先建立坐标系，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B (a ，a ，0)，A ′(a ，0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0，0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a .根据空间两点间的距离公式， 可得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝（ 1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.。
高中数学第四章圆与方程复习教案新人教A版必修2
1.了解解析几何的基本思想 ,了解用坐标法研究几何问题 ;掌握圆的标准方程和一 般方程,加深对圆的方程的认识. 教 学 目 标 2.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能用直线与圆 的方程解决一些简单问题. 3.了解空间直角坐标系 ,会用空间直角坐标系刻画点的位置,会用空间两点间的距 离公式. 4.通过本节的复习,使学生形成系统的知识结构,掌握几种重要的数学思想方法,形 成一定的分析问题和解决问题的能力. 教 学 教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成. 重、 教学难点:整理形成本章的知识系统和网络. 难 点 教 学 多媒体课件 准 备
2 2 所以圆心 C(2,1),r=|CA|= (5 2) ( 2 1) 10
所以所求圆的方程为(x－2) ＋(y－1) =10. 点评: 本题介绍了几何法求圆的标准方程 ,利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用 两圆相切时连心线过切点,可得圆心满足的一条直线方程 ,结合其他条件可确定圆 心,由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到圆的标准方程.其实求圆的标准方 程,就是求圆的圆心和半径,有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算,可大大简 化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程,则需要三个独立的条件,“选 标准,定参数”是解题的基本方法,其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方 程形式,进而确定其中三个参数. 变式训练 圆：x +y -4x+6y=0 和圆：x +y -6x=0 交于 A、B 两点,则 AB 的垂直平分线的方 程是( A.x+y+3=0 D.4x-3y+7=0 答案：C(由平面几何知识知 AB 的垂直平分线就是连心线.) 例 2 两定点 A、B 相距为 8,求到 A、B 的距离的平方和为 50 的点 P 的轨迹方程. ) B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0
市溆浦县第三中学高中数学 第四章 圆与方程复习教案 新人教A版必修2
第四章．圆与方程复习重点：圆方程的求法，直线与圆的位置关系，弦长的求法。
难点：弦长的求法教学方法：自主学习，合作探究，教师引导。
1.自主学习：一、圆的方程1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般式方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.二、直线与圆的位置关系1．圆的切线问题(1)过圆x2＋y2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程是xx0＋yy0＝R2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2上一点P(x0，y0)的切线方程是(x－a)(x0－a)＋(y －b)(y0－b)＝R2，2．直线与圆的位置关系(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切．(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d ＜r⇔相交；d＞r⇔相离；d＝r⇔相切．(主要掌握几何方法)三、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：(d 表示圆心距，R ，r 分别表示两圆的半径，R ＞r ) (1)d ＞R ＋r ⇔相离； (2)d ＝R ＋r ⇔外切；(3)R －r ＜d ＜R ＋r ⇔相交；(4)d ＝R －r ⇔内切；(5)0＜d ＜R －r ⇔内含． 2．曲线C 1：f (x ，y )＝0与C 2：g (x ，y )＝0的交点坐标⇔方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，y ＝0，g x ，y ＝0的解．3．过两圆C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0交点的圆(公共弦)系为f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0，当且仅当无平方项时，f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0为两圆公共弦所在直线方程．四、空间直角坐标系1．空间中点的坐标的确定(1)过空间一点M 分别作三个坐标平面的平行平面，与三个坐标轴的交点的坐标分别为点M 的横、纵、竖坐标．(2)特殊位置点的坐标的特征．x 轴上的点的坐标为(x,0,0)，其中x 为任意实数；y 轴上的点的坐标为(0，y,0)，其中y 为任意实数；z 轴上的点的坐标为(0,0，z )，其中z 为任意实数；xOy 平面上的点的坐标为(x ，y,0)，其中x ，y 为任意实数；xOz 平面上的点的坐标为(x,0，z )，其中x ，z 为任意实数；yOz 平面上的点的坐标为(0，y ，z )，其中y ，z 为任意实数．2．空间两点间的距离(1)空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)则|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22(2)空间直角坐标系中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点为P (x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22)，即平面直角坐标系中的中点坐标公式可推广到空间直角坐标系中．2．合作探究①学生分组合作，相互督促其记忆本章的公式与公理。
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学
圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。
第四章圆与方程复习教案(教师)
学习必备欢迎下载圆与方程复习【学习目标】1、通过复习帮助同学们系统掌握本章知识。
2、通过习题帮助同学们熟悉相关知识在解题中的应用【重点难点】相关知识的应用【使用说明及学法指导】1、先进行知识归类，再做习题【预习导学】【知识归类】1．圆的两种方程（ 1）圆的标准方程(x a)2( y b)2r 2，表示_____________．（ 2）圆的一般方程x2y 2Dx Ey F0 ．①当D2＋E2－ 4F＞ 0时，方程②表示（1）当D2 E 24F0 时，表示__________；②当D 2E24F0 时，方程只有实数解x D， yE，即只表示_______；22③当D 2E24F0 时，方程_____________________________________________．综上所述，方程x2y 2Dx Ey F0 表示的曲线不一定是圆．2．点M ( x0 , y0 ) 与圆( x a) 2( y b)2r 2的关系的判断方法：（ 1）( x0a)2( y0b)2> r2，点在_____；（ 2）( x0a)2( y0b)2= r2，点在 ______；（ 3）( x0a)2( y0b)2< r2，点在 ______．3．直线与圆的位置关系设直线l：ax by c0 ，圆C：x 2y 2Dx Ey F0 ，圆的半径为r ，圆心(D,E) 到直线的距离为 d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：22（ 1）当（ 3）当ddr 时，直线r 时，直线l 与圆 C ______；（2）当l 与圆 C ________．d r时，直线l 与圆 C ________；4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（ 1）当 l r1r2时，圆 C1与圆 C 2 _______；（ 2）当 l r1r2时，圆 C1与圆 C 2 ______；（3）当 | r1r2| l r1 r2时，圆 C1与圆 C 2 ____ ；（ 4）当 l| r1r2 | 时，圆 C1与圆 C2 ___；（5）当 l| r1r 2 | 时，圆 C1与圆 C 2 ______．5．空间直角坐标系任意点 M 的坐标都可以用有序实数组(x, y, z) 来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M ( x, y, z)，x叫做点 M 的横坐标，y叫做点 M 的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点 P2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式________________ ．【典例探究】题型一：求圆的方程例 1 ．求过三点 A （0， 0）， B （1， 1），C（4， 2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．题型二：圆的切线问题例 2 ．过圆 (x－ 1)2+（ y－ 1）2=1 外一点 P(2,3), 向圆引两条切线切点为A、B. 求经过两切点的直线 l 方程．题型三：与圆有关的动点轨迹问题例 3. 已知线段 AB的端点 B 的坐标是（ 4，3），端点 A 在圆上x 124 运动，求y2线段 AB的中点 M的轨迹方程．【自我检测】见课件【思想方法】1. 数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决2.数学方法 : 圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．【自我检测】1.方程 x2+y 2+2ax-by+c=0 表示圆心为 C（ 2， 2），半径为 2 的圆，则 a、 b、 c 的值依次为（）．（ A ） 2、 4、 4；（B）-2、4、4；（C）2、-4、4；（D）2、-4、-42.22截得的弦长为（）．直线 3x-4y-4=0 被圆 (x-3) +y =9(A) 22(B)4(C) 42(D)23.点 (1,1)在圆( x a) 2( y a ) 2 4 的内部，则a的取值范围是（）．(A)1a1(B)0a1(C)a 1或a1(D)a14.自点( 1,4)作圆(x2 )2(y3)21的切线，则切线长为（）．A(A)5(B)3(C)10(D) 55.已知 M (-2,0), N (2,0),则以 MN为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是 () ．(A) x2y 2 2 (B)x 2y 2 4 (C)x 2y 22( x2)(D)x 2y 24( x2)6.若直线 (1+a)x+y+1=0与圆 x2+y 2-2x=0 相切，则 a 的值为（）．(A) 1 ，-1(B)2 ， -2(C)1（D）-17.过原点的直线与圆x2 +y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）．(A) y3x(B)y3x(C) y 3 x（D ）y 3 x338.过点 A （ 1， -1）、 B （ -1，1）且圆心在直线x+y-2=0 上的圆的方程是（）．22222222 (A) (x-3) +(y+1) =4(B) (x+3) +(y-1) =4 (C) (x-1)+(y-1)=4（ D） (x+1) +(y+1) =49．直线 3 x y 2 30 截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（）．(A)6(B)4(C)（D ）3210． M （ x0， y0）为圆 x2+y 2=a2（ a>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系是（）．(A) 相切(B) 相交(C)相离（ D ）相切或相交11. 已知圆x2y 24x 2 y m0 与y轴交于A、B两点，圆心为P，若APB90 .求 m 的值．12.已知直角坐标平面内点 Q(2， 0)，圆 C：x2+y2 =1，动点 M 到圆 C 的切线长与｜ MQ ｜的比等于常数λ( ＞λ0)，求动点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．第二章圆与方程小结与复习( 教案 )【知识归类】1．圆的两种方程（ 1）圆的标准方程(x a)2 ( y b)2r 2 ，表示圆心为 A(a,b), 半径为 r 的圆的方程．（ 2）圆的一般方程x 2 y 2DxEy F0 ．①当 D 2＋ E 2－ 4F ＞ 0 时，方程 ② 表示（ 1）当 D 2E 2 4F0 时，表示以（ - D ，2-E）为圆心, 1 D 2 E 2 4F 为半径的圆；22②当 D2E24F0 时，方程只有实数解xD， yE，即只表示一个点22（ -D ，-E）；22③当 D 2 E 2 4F0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程 x 2y 2 Dx Ey F0 表示的曲线不一定是圆．2．点 M ( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x a) 2 ( y b)2r 2 的关系的判断方法：（ 1） ( x 0 a)2 ( y 0 b)2 > r 2 ，点在圆外；（ 2） ( x 0 a)2 ( y 0 b)2 = r 2 ，点在圆上； （ 3） ( x 0 a)2 ( y 0 b)2 < r 2 ，点在圆内．3．直线与圆的位置关系设直线 l ： axby c 0 ，圆 C ： x 2y 2 DxEy F0 ，圆的半径为r ，圆心(D,E) 到直线的距离为 d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：2 2 （ 1）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离；（ 2）当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切；（ 3）当 dr 时，直线 l 与圆 C 相交．4．圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（ 1）当 l r 1 r 2 时，圆 C 1 与圆 C 2 相离；（ 2）当 l r 1 r 2 时，圆 C 1 与圆 C 2 外切；（3 ）当 | r 1 r 2 | l r 1 r 2 时，圆 C 1 与圆 C 2 相交；（ 4）当 l | r 1 r 2 | 时，圆 C 1 与圆 C 2 内切；（5 ）当 l| r r 2|时，圆 C与圆 C 内含．1125．空间直角坐标系任意点 M 的坐标都可以用有序实数组(x, y, z) 来表示， 该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记 M ( x, y, z) ， x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标， z 叫做点M 的竖坐标．空间中任意一点 P1 ( x1 , y1 , z1 )到点 P2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间的距离公式P1 P2( x1 x2 )2( y1 y2 ) 2(z1 z2 )2．【题型归类】题型一：求圆的方程例 1 ．求过三点 A （ 0， 0）， B（ 1，1）， C（ 4， 2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【审题要津】据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程．解：设所求的圆的方程为： x2y 2Dx Ey F0 ．∵ A(0,0), B(11，） ,C(4,2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 D , E, F 的三元一次方程组，F0即 D E F 20解此方程组，可得：D8,E6, F0 ．4D2EF200∴所求圆的方程为：x 2y28x6y0 ．r1 D 2 E 24F 5 ；D4, F3．得圆心坐标为（4， -3 ）.222或将 x 2y 28x 6 y0 左边配方化为圆的标准方程，(x4) 2( y 3) 225 ．【方法总结】条件恰给出三点坐标，不妨利用代定系数法先写出圆的一般方程再求解．题型二：圆的切线问题例 2 ．过圆 (x－ 1)2+（ y－ 1）2=1 外一点 P(2,3), 向圆引两条切线切点为A、B. 求经过两切点的直线 l 方程．【审题要津】此题考察过切点的直线的求法，但是要与切点在圆上的切线求法区别开来，此题不要通过求切点的方法来求直线方程，这样计算会很繁琐．解：设圆 (x－ 1)2+(y－1) 2=1 的圆心为O1，由题可知 ,以线段 P O1为直径的圆与与圆O1交于 AB 两点 ,线段 AB 为两圆公共弦 ,以 P O1为直径的圆方程．(x3)2( y20) 2 5 ①已知圆O1的方程为(x-1)2+(y-1)2=1②2①②作差得 x+2y- 1=0，即为所求直线l的方程．4【方法总结】通过两圆作差来求公共弦，是非常简便的求法．变式练习：自点 A （－ 3， 3）发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线 m所在直线与圆C：x 2+ y 2－ 4x－ 4y +7 = 0 相切，求光线 L 、 m 所在的直线方程．解：已知圆的标准方程是 (x 2) 2 ( y 2) 21, 它关于x轴的对称圆的方程为( x 2) 2(y2)21, 设光线 L 所在的直线方程是 y-3=k(x+3), 由题设知对称圆的圆心C 1 (2, 2)到这条直线的距离为1，即 d5k 51 12 k 225 k12 0, 解得 k3或k4．故所k 214 3求入射光线 L 所在的直线方程为： 3x 4 y 3 0或4x 3y3 0 这．时反射光线所在直线的斜率为 k 13或k 14，所以反射光线m 所在的直线方程为： 3x －4y － 3=0 或 4x － 3y+3=0 ．4 3题型三：与圆有关的动点轨迹问题例 3. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（ 4，3），端点 A 在圆上 x124 运动，求y 2 线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．【审题要津】如图点A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满足方2y 2 4 。
圆与方程复习教案
圆与方程复习教案教案标题：圆与方程复习教案教学目标：1. 复习并巩固学生对圆的基本概念的理解，包括圆的定义、半径、直径、弧、弦等。
2. 复习并巩固学生对圆的相关方程的掌握，包括圆的标准方程、一般方程以及圆心半径式等。
3. 培养学生运用所学知识解决与圆相关问题的能力，包括求圆心、半径、圆心角、弧长等。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、教学PPT、白板、黑板、彩色笔等。
2. 学生准备：教科书、笔记本、铅笔、直尺、圆规等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入圆的相关问题或实例，激发学生对圆的兴趣，引起学生思考。
2. 提问学生对圆的定义以及圆的基本要素的记忆情况，引导学生回忆并复习。
二、复习圆的基本概念（15分钟）1. 教师通过PPT或黑板，复习并讲解圆的基本概念，包括圆的定义、半径、直径、弧、弦等。
2. 教师通过示意图或实物，帮助学生更好地理解圆的基本概念，例如通过画圆、测量半径等活动。
三、复习圆的相关方程（20分钟）1. 教师通过PPT或黑板，复习并讲解圆的标准方程、一般方程以及圆心半径式的推导和应用。
2. 教师通过示例和练习题，引导学生熟练掌握圆的相关方程的求解方法和技巧。
3. 学生进行课堂练习，巩固对圆的相关方程的理解和应用能力。
四、解决与圆相关问题（25分钟）1. 教师提供一些与圆相关的问题，例如求圆心、半径、圆心角、弧长等，让学生运用所学知识解决问题。
2. 学生进行小组讨论和解答，教师进行指导和辅导。
3. 学生展示解题过程和答案，教师进行点评和总结。
五、课堂小结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，强调学生在学习中需要注意的关键点。
2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和困惑，并与教师和同学进行交流。
教学延伸：1. 布置相关的课后作业，巩固学生对圆与方程的理解和应用能力。
2. 鼓励学生通过阅读相关教材、参考资料或互联网资源，进一步拓展对圆与方程的学习。
教学评估：1. 教师通过课堂练习、小组讨论和学生展示等方式，对学生的学习情况进行评估。
高中数学必修二《圆与方程》复习课教学设计
复习必修2 第四章圆与方程(1)一．复习目标：1.知识目标：（1）圆的方程；（2）直线与圆的位置关系.2.能力目标：（1）掌握圆的方程求法；（2）会解决直线与圆相切问题.3.情感、态度、价值观：通过本节课的学习，进一步熟悉并掌握数形结合思想的应用. 二.复习重点：圆的方程及直线与圆的位置关系三.复习难点：直线与圆相切问题四.辅助教学：多媒体课件五.教学过程：例题分析：例1. 求过P(5，－3)，Q(0，6)两点，且圆心在直线2x－3y－6＝0上的圆的方程．分析：知识要点：(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。
2)一般式：220x y Dx Ey F (2240D E F )，其中圆心为)2,2(E D --，半径为 F E D 42122-+.利用待定系数法和几何特征求圆的方程.即时练习：会考指导 P48 1 3例2、求以c(1,3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程. 知识要点分析：直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。
有两种判断方法：(1) 代数法（判别式法） ⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆相离相切相交000(2) 几何法，圆心到直线的距离⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<相离相切相交r d r d r d 例3、 求过点P(-1，5)的圆221(2)4x y 的切线方程. 即时练习：会考指导 P48 5六、本节复习小结1、掌握求解圆的方程问题（重点）；2、掌握求解直线与圆相切问题（重点、难点）.七、课后预习1、直线与圆相交问题的解决办法2、圆与圆的位置关系八、课后作业 会考指导P49 第17题。
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圆与方程复习【学习目标】1、通过复习帮助同学们系统掌握本章知识。
2、通过习题帮助同学们熟悉相关知识在解题中的应用【重点难点】相关知识的应用【使用说明及学法指导】1、先进行知识归类，再做习题【预习导学】【知识归类】1．圆的两种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，表示_____________．（2）圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ．①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示__________； ②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示_______； ③当0422<-+F E D 时，方程_____________________________________________． 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．2．点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_____；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在______； （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在______． 3．直线与圆的位置关系设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C ______；（2）当r d =时，直线l 与圆C ________；（3）当r d <时，直线l 与圆C ________．4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C _______；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C ______；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C ____；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C ___；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C ______．5．空间直角坐标系任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式________________．【典例探究】题型一：求圆的方程例1 ．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．题型二：圆的切线问题例2 ．过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程．题型三：与圆有关的动点轨迹问题例3.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【自我检测】见课件【思想方法】1.数学思想：数形结合是解决有关圆的位置关系的重要思想方法，借助图形可以将问题生动直观地加以解决，避免了一些代数上的繁琐的运算．同时等价转化和．函数的思想也是常用的思想，如联立直线和圆的方程组，用判别式或韦达定理加以解决2.数学方法: 圆的方程的求解，主要利用待定系数法，要适当选取圆的方程的形式，与圆心及半径有关的一般设圆的标准方程，已知圆上的三点求圆的方程通常设圆的一般形式．【自我检测】1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值 依次为（ ）．（A ）2、4、4； （B ）-2、4、4； （C ）2、-4、4； （D ）2、-4、-42.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）． (A)22 (B)4 (C)24 (D)23.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ ）．(A) 11<<-a (B) 10<<a (C) 11>-<a a 或 (D) 1±=a4.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）．(A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 55.已知M (-2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) ．(A) 222=+y x (B) 422=+y x (C) )2(222±≠=+x y x (D) )2(422±≠=+x y x6.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为（ ）．(A) 1，-1 (B)2，-2 (C)1 （D ）-17.过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）．(A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33= （D ）x y 33-= 8.过点A （1，-1）、B （-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（ ）．(A) (x-3)2+(y+1)2=4 (B) (x+3)2+(y-1)2=4 (C) (x-1)2+(y-1)2=4 （D ）(x+1)2+(y+1)2=49．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是（ ）．(A) 6π (B)4π (C)3π （D ）2π 10．M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（ ）．(A)相切 (B)相交 (C)相离 （D ）相切或相交11.已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB .求m 的值．12.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．第二章 圆与方程小结与复习 (教案)【知识归类】1．圆的两种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，表示圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程．（2）圆的一般方程 022=++++F Ey Dx y x ．①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）； ③当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．2．点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上；（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内． 3．直线与圆的位置关系设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交．4．圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含．5．空间直角坐标系任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=．【题型归类】题型一：求圆的方程例1 ．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【审题要津】据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程．解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x ． ∵(0,0),(11A B ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D ．∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x ． 542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-F D ．得圆心坐标为（4，-3）. 或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22=++-y x ． 【方法总结】条件恰给出三点坐标，不妨利用代定系数法先写出圆的一般方程再求解． 题型二：圆的切线问题例2 ．过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程．【审题要津】此题考察过切点的直线的求法，但是要与切点在圆上的切线求法区别开来，此题不要通过求切点的方法来求直线方程，这样计算会很繁琐．解：设圆(x －1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程．5)20()23(22=-+-y x ① 已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1② ①②作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程． 【方法总结】通过两圆作差来求公共弦，是非常简便的求法．变式练习：自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．解：已知圆的标准方程是,1)2()2(22=-+-y x 它关于x 轴的对称圆的方程为,1)2()2(22=++-y x 设光线L 所在的直线方程是y -3=k(x+3),由题设知对称圆的圆心)2,2(1-C 到这条直线的距离为1，即,0122512115522=++⇒=++=k k k k d 解得34k 43-=-=或k ．故所求入射光线L 所在的直线方程为：033y 4x 0343=++=-+或y x 这．时反射光线所在直线的 斜率为34k 4311==或k ，所以反射光线m 所在的直线方程为：3x －4y －3=0或4x －3y +3=0． 题型三：与圆有关的动点轨迹问题例3.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【审题要津】如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程()2214x y ++=。