高中数学不等式教案(1)

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高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.基本不等式1教案第一册

2.2基本不等式教材分析:“基本不等式" 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用。

利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1。

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2。

掌握基本不等式2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式；【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣。

教学重难点【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b+≤的证明过程; 【教学难点】 12a b+≤等号成立条件； 22a b+≤求最大值、最小值。

教学过程 1。

课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地,∀a ,a ∈a ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a 〉0，b 〉0,我们用√a ，√a 分别代替上式中的a ，b ，可得√aa ≤a +a 2①当且仅当a =b 时，等号成立。

通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）。

其中，a +a 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√aa 叫做正数a ，b 的几何平均数。

基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）类比弦图几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥,(a>0,b>0)2a bab +≤2)2a bab +≤用分析法证明:要证 2a bab +≥（1）只要证 a +b ≥（2）要证（2），只要证 a +b - ≥0(3）要证(3）,只要证 ( — ）2≥0 （4）显然，（4）是成立的。

高中数学不等式的模型教案

高中数学不等式的模型教案
教学目标：
1. 理解不等式的概念及性质。

2. 掌握解不等式的方法。

3. 能够运用不等式解决实际问题。

教学重点：
1. 不等式的定义。

2. 不等式的性质。

3. 解不等式的方法。

教学难点：
1. 不等式组合的运算规则。

2. 不等式解答实际问题的能力。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生讨论生活中的“不等式”，以引起学生的兴趣和思考。

二、讲解不等式的定义（15分钟）
1. 介绍不等式的定义和符号表示。

2. 讲解不等式的性质和性质与等号的关系。

三、解不等式的方法（20分钟）
1. 介绍解一元一次不等式的基本方法。

2. 演示解决不等式的过程，并指导学生做练习。

四、练习与讨论（15分钟）
1. 让学生做一些不等式的练习题，并讨论解题过程和答案。

2. 教师解答学生提出的问题，帮助学生理解不等式的知识点。

五、实际问题解决（15分钟）
1. 给学生提供一些实际问题，让学生运用不等式解决问题。

2. 学生自主讨论解决问题的方法，并展示解题过程。

六、总结（5分钟）
1. 教师对本节课进行总结，提出学生存在的问题和不足之处。

2. 提醒学生在日常生活中多加练习，提高不等式解决问题的能力。

作业布置：
* 完成课堂练习题目。

* 自编不等式实际问题，并解答。

教学反思：
* 对学生学习不等式过程中的困难加以理解和帮助。

* 注重学生实际问题解决能力的培养。

高中数学《不等式》教案

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

【教案】等式与不等式性质(一)教学设计

实数的大小的一般步骤是：作差→恒等
变形→判断差的符号→下结论．作差后变形
是比较大小的关键一步，变形的方向
是化成几个完全平方式的形式或一
些易判断符号的因式积的形式．
例 1 比较（ x+2 ） (x+3) 和
(x+1)(x+4)的大小
语言表示
符号表示
如果 a-b 是正数，
那么 a＞ b
> ⇔− >0
x
秒，人在此时间内跑
0.5
燃烧的速度是每秒 0.5 cm，人跑开的
x
x
的路程为 4×
m．由题意可得 4× >100.
0.5
0.5
速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索
3.答案
的人能够在爆破时跑到 100 m 以外的
安全区，导火索的长度 x(cm)应满足
的不等式为(
解析
A
1
3
∵M－N＝x2＋x＋1＝x＋22＋ >0，
习的
目标，
整体
提升
数学
素养。
教学环节：板书设计
1. 不等关系与不等式“翻译”表
2. 两个实数比较大小的方法
3. 整体讲解在电子白板上下课时保存，下节课可以打开继续使用
6
学科网（北京）股份有限公司
言
③多个不等关系用不等式组表示．
变式练（1）某套试卷原以每本 2.5
元的价格销售，可以售出 8 万本．据
市场调查，若单价每提高 0.1 元，销
等于，等于，
至少，至多，
不低
不超
于
过
符
号
>
语
2

一元二次不等式的解法教案

课题：一元二次不等式的解法（1）教材: 人民教育出版社全日制普通高中教科书(必修)第一册(上) 教学目标知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法；理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.能力目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.德育目标：通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.情感目标: 在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神.教学重点:一元二次不等式的解法.教学难点:一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.教学过程:(一)引入新课.问题1：(幻灯片1)画出一次函数y=2x-7的图象，填空：2x-7=0的解是 .不等式 2x-7>0的解集是 .不等式 2x-7<0的解集是 .请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系).从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论.(幻灯片2): 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x,0),就有如下结果.}一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x一元一次不等式ax+b>0(<0)解集};(1)当a>0时, 一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x<x}；}；(2)当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是{x|x<x}.一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x>x(学生看图总结,教师在幻灯片中给出结果).问题2：(幻灯片3)（2004年江苏省高考试题）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分则ax2解集是 .引导学生运用解决问题1的方法,画出二次函数y=ax2+bx+c的图象求解.并请学生说出不等式ax2+bx+c<0的解集和方程ax2+bx+c=0的解集,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系).(二)讲授新课.1.问题2的解决表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出. 请同学们解下面两组题:题组1（课本19页例1、例2）（1）解不等式2x2-3x-2>0（2）解不等式-3x2+6x>2学生根据问题2的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图象的要领和方法.2.题组2（课本19页例3、例4）（1）解不等式4x2-4x+1>0（2）解不等式-x2+2x-2>0学生不难想到,这两题的方法和上面完全相同,教师在巡回指导中及时提醒学生注意和上面两题的不同,由图象写出解集是难点,必要时教师在黑板上画出图象给予一定的提示或讲解.3.至此我们掌握了用图象法来解一元二次不等式.当然我们可以仿照前面探讨“三个一次”关系的做法来探讨这里“三个二次”的关系.引导学生分三种情况(△＞0,△＜0,△＝0)讨论一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0 )与ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集.何?课后仿上表给出.4.由上面的例题和总结我们发现,一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,进一步引导学生总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).(四)课堂练习.1.课本P 19～20练习1～3.2.(幻灯片5)题组3：（1）x 2+x+k>0恒成立，求k 的取值范围.（2）ax 2+bx+c>0（a ≠0）恒成立的条件为 .ax 2+bx+c ≤0（a ≠0）恒成立的条件为 .（3）（x-a ）（x-a 2）<0（0<a<1）的解集是 .课本P 19练习1的四个小题由4位同学板演,教师通过学生板演发现问题,纠正错误,规范书写过程.课堂练习1、2是两组有梯度的练习题,练习1面向全体学生,练习2供程度较好的学生进一步发展提高.(五)课时小结.1.“三个二次”关系.2.一元二次不等式的两种解法----图象法和“三步曲”法.(六)课后作业.1.课本P 20习题1,3,5,6.2.补充练习：1.若不等式 2282001x x mx mx -+<--对一切x 恒成立，求实数m 的范围. 解析：∵x 2-8x+20=(x-4)2+4>0, ∴ 只须mx 2-mx-1<0恒成立，即可：①当m=0时，-1<0,不等式成立；②当m ≠0时，则须2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩ 解之：-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m ≤0.2.设不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(0<α<β),求不等式cx 2+bx+a<0的解集. 分析：由题001111a c b b a c c a a cαβαβαβαβ⎧⎧⎪⎪<<⎪⎪⎪⎪+=-⇒+=-⎨⎨⎪⎪⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩∴cx 2+bx+a<0的解集是{x|x< 1β或x>1α}．课后预案课堂中学生可能提出的意外问题设想:1.学生可能提出的问题:不等式(x+2)(x-3)＜0能不能转化为不等式组{0203＞x＜x +-或{0203＜x＞x +-求解?2.学生在解题中可能出现的问题:把不等式(x-1)(x+2)＞1转化为{1112＞x＞x -+去解.课后反思(略)板书设计(略)教学设计说明本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏.复习引入的问题1是学生已经熟知的一元一次不等式、一元一次方程及一次函数既“三个一次”的关系问题,旨在为后面探讨“三个二次”的关系提供方法和思路.问题2是课本中的材料,以高考题的形式出现可以引起学生更大的关注和兴趣.教材中的四个例题让学生完全按照解决问题2的方法自己去解,教师只在必要的时候提醒学生应该注意的问题,或学生遇到困难时给予引导.完成四道例题后,学生对一般一元二次不等式的解法和“三个二次”的关系已经有一定的理解,然后由特殊到一般,引导学生总结规律,形成一般结论.最后学生再利用自己的总结去完成课堂练习,刚刚形成的方法与结论可以进一步巩固和深化.例题、练习和作业的设置由浅入深,并且补充部分题目照顾各个层次的学生.一元二次不等式的求解过程,也是函数与方程、数形结合、分类讨论及类比等数学思想方法的综合应用过程,在教学中提醒学生注意深刻体会,也在补充题目中逐步加以渗透.一元二次不等式的解法（第一课时）说课稿各位评委、各位老师:大家好！今天我说课的课题是《一元二次不等式的解法》（第一课时）。

新人教A版高中数学必修第一册2.2 基本不等式教学设计(1)

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（共2课时）（第1课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。

从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。

引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

1.教学重点：的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式ab ba ≤+2等号成立条件；多媒体2a b+新人教A 版必修第一册教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？（二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a,b （a ≠b ）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当a=b 时的图像）2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b ，我们有，当且仅当a=b 时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为通过介绍第24届国际数学家大会会标的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。

高中数学代数不等式教案

高中数学代数不等式教案
一、教学目标：
1. 了解不等式的概念，掌握不等式的性质和解不等式的方法；
2. 能够解决简单的一元一次不等式；
3. 能够推导不等式，简单应用不等式解决实际问题。

二、教学重点和难点：
1. 不等式的性质和解不等式的方法；
2. 推导不等式和应用不等式解决实际问题。

三、教学内容：
1. 不等式的概念及性质；
2. 解一元一次不等式的方法；
3. 推导不等式；
4. 应用不等式解决实际问题。

四、教学过程：
1. 导入新课：通过提问引出学生对不等式的认识，引出不等式的概念和性质；
2. 学习不等式的性质和解不等式的方法，并讲解示例；
3. 学生练习解题；
4. 学习推导不等式的方法，并讲解示例；
5. 学生练习推导不等式；
6. 学习应用不等式解决实际问题，并讲解示例；
7. 学生练习应用不等式解决实际问题；
8. 总结本节课的内容，布置作业。

五、课后作业：
1. 练习册上的相关习题；
2. 思考如何应用不等式解决生活中的问题。

六、教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了更深入的理解，解不等式的方法也得到了初步掌握。

但是，需要鼓励学生多加练习，提高解题能力。

在教学中，要充分启发学生的思维，引导学生灵活运用不等式解决实际问题。

高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)

高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。

2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。

教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。

（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。

对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。

具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。

高中数学基本不等式(第一课时)教案

课题:§3.42a b +≤（第1课时）数学组 2009-3-18 授课类型：新授课教学目标：1、知识与技能目标：（12a b +≤,认识其运算结构；（2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；（2）体会多角度探索、解决问题。

教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。

教学难点：2a b +≤求最值的前提条件。

教学过程：一、创设情景，引入新课1.勾股定理的背景及推导赵爽弦图引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。

2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab +=（2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a（3）推理证明：作差法二、讲授新课1.思考：如果用222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条件？2a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。

2.推理证明：作差法3.(1)探究:(课本P98)如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。

引导学生发现：2a b +CD,得到2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。

高中数学基本不等式教案设计

高中数学基本不等式教案设计基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

接下来是小编为大家整理的高中数学基本不等式教案设计，希望大家喜欢!高中数学基本不等式教案设计一教材分析本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。

要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。

基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

课程目标分析依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重、难点分析重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。

高中数学_基本不等式(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思

《基本不等式》教学设计一、教学目标1.知识与技能：了解基本不等式的几何背景，探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。

2.过程与方法：进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3.情感态度与价值观：培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生形成数形结合的思想意识。

二、教学重难点1.教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，基本不等式在实际问题中的应用。

2.教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。

三、教材分析最新版教材之所以把“基本不等式”前置是经过了学习的重要性与可能性两方面的综合考量。

相比旧教材，“基本不等式”的教材地位与教学要求都发生的变化，由于“基本不等式”本身内涵非常丰富，其学习过程不可能一蹴而就，“反复认知，螺旋上升”才是课堂教学的有效策略。

四、学情分析本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性质，一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推出勾股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。

方法上，能够运用数形结合和化归的思想提炼基本不等式，阐述基本不等式的几何意义。

能力上，运用作差法，综合法能从数量关系上进行逻辑推理验证基本不等式。

五、教学方法1、借助“折纸游戏”，从特殊到一般的猜想，发现基本不等式（数学抽象、直观想象）。

2、探索基本不等式的证明过程，会用作差比较法、综合法，分析法，证明基本不等式（逻辑推理、数学运算、直观想象）。

3、从不同角度理解基本不等式（直观想象）。

4、感知与基本不等式相近一些不等式的证明（逻辑推理、数学运算）。

学生：消去了教师：得到定值学生：2教师：当且仅当学生：x x 1=时等号成立教师：这时我们得到的是学生：最小值2教师：好的，我们类比这道例题完成三个变式，这里请三位同学上来板书变式1：已知0>x ，求x x 12+的最小值. 变式2：已知0<x ，求x x 1+的最大值. 变式3：已知1>x ，求11-+x x 的最小值. 教师：我们看变式3，如果4>x 时，最值还是这个答案吗学生：不是教师：原因是什么学生：当且仅当的相等教师：所以我们运用基本不等式求最值的条件可以总结为学生：一正、二定、三相等教师：观察我们例1和变式，我们发现在利用基本不等式后两正数之积为定值，这时我们能求出两正数之和的最小值，那么我们是否可以得到结论：能力，灵活运用已学知识，体会证明的答题过程《基本不等式》学情分析本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性质，一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推出勾股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。

《等式性质与不等式性质(一)》教学设计【高中数学人教A版必修第一册教案】

等式性质与不等式性质（一）【整体感知】问题1：请同学们阅读本章引言的文章，说说本章要学习的内容是什么？和初中所学的哪些内容有联系？对我们今后学习数学有什么作用？用什么方法来研究本章内容？师生活动：学生自主阅读后、讨论交流．预设的答案：1．本章主要研究的内容是方程和不等式，包括不等关系和不等式，基本不等式和一元二次不等式的研究，通过回顾、梳理初中学习的等式内容，提炼出其中蕴含的思想方法，用一次函数的观点看一次方程、不等式中蕴含的思想方法，用于研究不等式和一元二次不等式有关问题．2．方程和不等式是重要的数学工具，可以解决数学内外的各种问题，为今后学习作工具上的准备，另外，用函数的观点看方程和不等式是一种重要的思想方法，体现了数学知识之间的联系性和整体性，为今后的学习作思想方法上的准备．设计意图：一章的起始课，首先要从整体上把握所学内容，让学生明确本章内容的地位、作用、内在联系及研究方法，有助于学生良好认知结构的建立和完善．引语：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，首先来学习等式性质和不等式性质．（板书：等式性质和不等式性质）【新知探究】任务一：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40 km/h；（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系．预设的答案：（1）设速度为v km/h，则0＜v≤40；追问：如何解不等式①？解方程的依据是什么？类比解方程的依据，解不等式的依据是什么？师生活动：学生回忆初中解方程方法，教师引导学生得到解方程的依据为等式的性质．因些解不等式要用不等式的性质，为此我们需要先研究不等式的性质．设计意图：从实际情境出发，得到不等式，并通过将类比等式的解决，引出不等式性质研究的必要性．任务三：两个实数大小关系的基本事实问题4：若要研究不等式的性质，首先要用到两个实数大小关系的基本事实．如何比较两个式的大小关系呢？师生活动：让学生回忆初中两个数比较大小的方法，从而得出结论：0>-⇔>b a b a ；0=-⇔=b a b a ；0<-⇔<b a b a ．追问：这三条就是“两个实数大小关系的基本事实”．据此，要比较两个实数的大小，可以转化为什么运算完成？预设的答案：转化为减法运算，并将求得的结果与0比较．设计意图：学生通过回忆实数比较大小的方法，明确基本事实，了解把大小比较转化为数学运算的思路，提高学生的化归能力．例1 比较(x +2)(x +3)和(x +1)(x +4)大小．师生活动：学生独立完成之后展示交流．师生总结求解思路：将问题转化为两个多项式的差与0的大小．教师点拨：0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”．预设的答案：因为(x +2)(x +3)-(x +1)(x +4)=(x 2+5x +6)-(x 2+5x +4)=2＞0，所以(x +2)(x +3)＞(x +1)(x +4)．设计意图：两个实数大小关系的基本事实的初步应用，让学生体会作差比较法在比较大小中的作用．任务四：重要不等式的探究和证明问题5：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？师生活动：首先让学生用四个全等的直角三角形拼接出图形，小组交流不同人的拼接图形中的不同，之后教师利用几何画板进行动态演示：改变直角三角形两直角边长，让学生直观感觉图形的变化．然后按照前面的程序，引入符号，比如用a，b表示直角三角形的两条直角边，寻找关系，写出不等式．然后以小组为单位合作探究，展示成果．预设方案1：学生已经发现重要不等式，让学生展示其发现过程．预设方案2：学生没有发现重要不等式，可以进一步启发．追问1：你能用字母表示出图中四个直角三角形和大正方形的面积吗？预设的答案：用a，b表示直角三角形的两条直角边，则直角三角形的面积为2ab，大正方形的面积为a2+b2．追问2：在变化过程中四个直角三角形的面积和大正方形面积之间存在着相等和不等关系，你能表示出来吗？师生活动：学生得到a2+b2＞2ab．教师进一步变化图形，引导学生观察当a=b时，小正方形的面积为0，这时a2+b2=2ab．综合两类情况，得到a2+b2≥2ab，当a=b且仅当时取等号．追问3：上述过程中，a，b为正数，如果a，b∈R，式子是否成立？为什么？师生活动：引导学生分析问题，回归到用“两个实数大小关系的基本事实”作差比较，并规范证明过程．证明：∵a2+b2-2ab=( a-b)2≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．设计意图：对实际问题深入分析，发现不等关系，引入符号，表示不等关系，感受到由“形”到“数”的转换过程．利用软件演示图形的动态变化，感受图形从量变到质变的过程，培养学生直观想象素养．通过追问，让学生经历猜想到证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．对问题情境的分析中让学生感受数学文化的价值．【归纳小结】问题6：本节课我们主要学习了哪些知识，为什么要研究这些内容？研究这些内容有什么作用？师生活动：师生一起总结．预设的答案：。

高中数学必修五《不等式的基本性质》教案

不等式的基本性质教学设计教学设计思想本节主要学习了不等式的三个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质3的探索及运用，讲解时要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。

对于不等式的基本性质3，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。

并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的.教学目标（一）教学知识点1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别．（二）能力训练要求通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．（三）情感与价值观要求通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流．教学重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．教学难点能根据不等式的基本性质进行化简．教学方法类推探究法即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质．教具准备投影片两张第一张：（记作§1.2 A）第二张：（记作§1.2 B）课时安排1课时教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？［生］记得．等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式．基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式．［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证．Ⅱ.新课讲授1．不等式基本性质的推导［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法．［生］∵3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a＜5+a3－a＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．［师］很好．不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究．［生］∵3＜5∴3×2＜5×23×a＜5×b．所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变．［生］不对．如3＜53×（－2）＞5×（－2）所以上面的总结是错的．［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明．［生］如3＜43×3＜4×33×5＜4×53×（－3）＞4×（－3）3×（－4）＞4×（－4）3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变．［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导．［生］当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变．［师］因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用．2．用不等式的基本性质解释(l/4)2＞π?(l/2π)2的正确性．［师］在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为(l/4)2和π?(l/2π)2，且有(l/4)2＞π?(l/2π)2存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？［生］∵4π＜16∴1/4π＞1/16根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得(l/4)2＞π?(l/2π)23．例题讲解将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－5＞－1；（2）－2x＞3；（3）3x＜－9．［生］（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得x＞－1+5即x＞4；（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜－2/3；（3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得x＜－3．说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否．4．议一议投影片（§ 1.2 A）讨论下列式子的正确与错误．（1）如果a＜b，那么a+c＜b+c；（2）如果a＜b，那么a－c＜b－c；（3）如果a＜b,那么ac＜bc；（4）如果a＜b,且c≠0,那么ac＞bc．［师］在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负．本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流．.［生］（1）正确∵a＜b，在不等式两边都加上c，得a+c＜b+c；∴结论正确．同理可知（2）正确．（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得ac＜bc；所以正确．（4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得ac＜bc．所以结论错误．［师］大家同意这位同学的做法吗？［生］不同意．［师］能说出理由吗？［生］在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有a＜b,两边同时乘以c时，没有指明c的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc,正是因为c的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号．而结论ac＜bc．只指出了其中一种情况，故结论错误．在（4）中存在同样的问题，虽然c≠0,但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c＞0,则有ａ＜b ,若 c＜0，则有a＞b ,而他只说出了一种情况，所以结果错误．［师］通过做这个题，大家能得到什么启示呢？［生］在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否．［师］非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行．［生］不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条．区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变．联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似．Ⅲ.课堂练习1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）x－1＞2（2）－x＜３［生］解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－３．2．已知x＞y,下列不等式一定成立吗？（1）x－6＜y－6；（2）3x＜3y；（3）－2x＜－2y．解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6．∴不等式不成立；（2）∵x＞y,∴3x＞3y∴不等式不成立；（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y∴不等式一定成立．投影片（§ 1.2 B）3．设a＞b,用“＜”或“＞”号填空．（1）a+1 b+１；（2）a－3 b－3；（3）3a 3b；（4）a/4 b/4；（5）－1/2a－1/2b；（6）－a－b．分析：∵a＞b根据不等式的基本性质1，两边同时加上1或减去3，不等号的方向不变，故（1）、（2）不等号的方向不变；在（3）、（4）中根据不等式的基本性质2，两边同时乘以3或除以4，不等号的方向不变；在（5）、（6）中根据不等式的基本性质3，两边同时乘以－１／2或－1，不等号的方向改变．解：（1）a+1＞b+1；（2）a－3＞b－3；（3）3a＞3b；（4） a/4＞；（5）－1/2＜－1/2；（6）－a＜－b．Ⅳ．课时小结1．本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质．2．利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空．Ⅴ．课后作业习题1.2Ⅵ．活动与探究1．比较a与－a的大小．解：当a＞0时，a＞－a；当a=0时，a=－a；当a＜0时，a＜－a．说明：解决此类问题时，要对字母的所有取值进行讨论.2．有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大哪个小？解：原来的两位数为10b+a．调换后的两位数为10a+b．根据题意得10a+b＞10b+a．根据不等式的基本性质1，两边同时减去a，得9a+b＞10b两边同时减去b，得9a＞9b根据不等式的基本性质2，两边同时除以9，得a＞b．板书设计§1.2不等式的基本性质1．不等式的基本性质的推导．2．用不等式的基本性质解释＞．3．例题讲解.4．议一议练习小结作业备课资料参考练习1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x－2＜3；2）6x＜5x－1；（3） x＞5；（4）－4x＞3．2.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.（1）a－3 b－3；（2）；（3）－4a－4b；（4）5a 5b；（5）当a＞0，b 0时，ab＞0；（6）当a＞0，b 0时，ab＜0；（7）当a＜0，b 0时，ab＞0；（8）当a＜0，b 0时，ab＜0．参考答案：1.（1）x＜5;（2）x＜－1；（3）x＞10;（4）x＜－．2.（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜（7）＜（8）＞．。

高中数学必修五《几个重要不等式(一)》教案

几个重要不等式(一)一、平均值不等式设a1,a2,…, a n是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=a n时取等号1、.二维平均值不等式的变形(1)对实数a,b有a2+b2³2ab(2)对正实数a,b有(3)对b>0，有，(4)对ab2>0有，(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b)(6)对a>0,有(7) 对a>0,有(8)对实数a，b有a2³2ab-b2(9) 对实数a，b及l¹0，有二、例题选讲例1.证明柯西不等式证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取代入(9)得有两边平方得法二、，即二次式不等式恒成立则判别式例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：(1)(2)证明：(1)左=[]=³(2)由知同理：相加得：左³例3.求证：证明：法一、取，有a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, a n(a n-b)³b(a n-b)相加得(a12+ a22+…+ a n2)-( a1+ a2+…+ a n)b³b[(a1+ a2+…+ a n)-nb]³0所以法二、由柯西不等式得：(a1+ a2+...+ a n)2=((a1×1+ a2×1+...+ a n×1)2£(a12+ a22+...+ a n2)(12+12+ (12)=(a12+ a22+…+ a n2)n,所以原不等式成立例4.已知a1, a2,…,a n是正实数，且a1+ a2+…+ a n<1，证明：证明：设1-(a1+ a2+…+ a n)=a n+1>0,则原不等式即n n+1a1a2…a n+1£(1-a1)(1-a2)…(1-a n) 1-a1=a2+a3+…+a n+1³n1-a2=a1+a3+…+a n+1³n …………………………………………1-a n+1=a1+a1+…+a n³n相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-a n)³n n+1例5.对于正整数n，求证：证明：法一、>法二、左==例6.已知a1,a2,a3,…,a n为正数，且，求证：(1)(2)证明：(1)相乘左边³=(n2+1)n 证明(2)左边= -n+2(= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-a n)](³-n+2×n摘自数学教育之窗。

必修五高中数学不等式教案

必修五高中数学不等式教案
主题：不等式
教学目标：
1. 了解不等式的基本概念和符号表示。

2. 能够解决简单的一元一次不等式。

3. 能够运用不等式解决实际问题。

教学重点：
1. 不等式的基本概念和符号表示。

2. 一元一次不等式的解法。

教学难点：
1. 解决复杂一元一次不等式。

2. 运用不等式解决实际问题。

教学准备：
1. 教师准备不等式相关的教学资料。

2. 学生准备笔记本和文具。

教学过程：
一、引入
教师通过提出一个问题引入不等式的概念，如：假设今天外面的温度高于25摄氏度，用一个不等式表示这个条件。

二、概念解释
1. 讲解不等式的基本概念和符号表示。

2. 介绍一元一次不等式的解法。

3. 展示解决不等式的步骤和技巧。

三、练习
1. 让学生做简单的一元一次不等式的练习。

2. 带领学生一起解决一些稍复杂的一元一次不等式。

四、实践
1. 提供一些实际问题，让学生利用不等式解决。

2. 学生可以自行制定一些实际问题，并用不等式来解决。

五、总结
教师带领学生总结本节课学过的知识点，并强调运用不等式解决问题的重要性。

六、作业
布置相应的作业，让学生复习不等式相关知识。

教学评价：
1. 学生是否能够理解不等式的基本概念。

2. 学生是否能够熟练解决一元一次不等式。

3. 学生是否能够应用不等式解决实际问题。

教学反思：
根据学生的反馈和表现，及时调整教学内容和方法，以提高教学效果。

高中数学第六章不等式教案

高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。

教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。

教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。

二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。

2. 介绍不等式的性质和基本性质。

三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。

2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。

四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。

2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。

五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。

2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。

六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。

七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。

不等式高中数学教案

不等式高中数学教案教学目标：1. 能够理解不等式的概念和性质。

2. 能够解决简单的一元不等式。

3. 能够应用不等式解决实际问题。

教学重点和难点：重点：不等式的概念和性质，一元不等式的解法。

难点：应用不等式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备PPT课件，包括不等式的定义、性质和解法。

2. 打印不等式练习题目，用于课堂练习。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾线性方程的解法，了解不等式的概念。

2. 提出一个简单的不等式问题，让学生思考如何解决。

二、讲解不等式的定义和性质（15分钟）1. 介绍不等式的定义，即含有不等号的等式。

2. 讲解不等式的性质，包括可加性、可乘性和转化性等。

三、解决一元不等式（20分钟）1. 讲解一元不等式的解法，包括加减法解法、乘除法解法和开平方解法。

2. 给学生提供几个简单的一元不等式练习题目，让他们尝试解答。

四、应用不等式解决实际问题（15分钟）1. 引导学生思考如何应用不等式解决实际问题，例如长度、面积和体积等问题。

2. 给学生一个实际问题案例，让他们运用所学知识进行解答。

五、总结复习（5分钟）1. 通过回顾本节课的内容，强化学生对不等式的理解和运用能力。

2. 鼓励学生积极思考和练习不等式相关的题目，提高解决问题的能力。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的概念和性质，能够解决简单的一元不等式，并能够应用不等式解决实际问题。

在接下来的教学中，需要继续强化学生对不等式知识的理解和应用能力，提高他们的数学思维和解决问题的能力。