人教A版高中数学选修曲线与方程课件
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2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
双曲线及其标准方程 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
l
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2
2
− 2
的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2
2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为
< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+
= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.
高中数学人教A版2019选择性必修第一册 双曲线及其标准方程(课件)
+ 2 = ±2
①
= ±2 整理得 ( + )2 + 2 −
−
2
+ 2 =±
且②与①右边同时取正号或负号，①+ ②整理得 ( + )2 + 2 =±(a+ )
2 − 2
将③式平方再整理得
2
2 − 2 = 2 − 2
2
2
④因为 > > 0
个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为 1 千米/秒,求在 A 处发现 P 的方位角.
解:因为|PC|=|PB|,所以 P 在线段 BC 的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,
所以 P 在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上.
以线段 AB 的中点为坐标原点,AB 的垂直平分线所在直线为 y 轴,正东方向为 x 轴
04
教学过程
04
教学过程
【跟踪训练 2*】“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回
舱预计到达区域安排了三个救援中心(记 A,B,C),A 在 B 的正东方向,相距 6 千米,C 在 B 的北偏西 30°方向,相
距 4 千米,P 为航天员着陆点.某一时刻,A 接收到 P 的求救信号,由于 B,C 两地比 A 距 P 远,在此 4 秒后,B,C 两
D.双曲线的一支和一条射线
2
2.已知双曲线2
−
2
=1(a>0,b>0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所
2
得弦长|AB|=m,则△ABF2的周长为( C )
A.4a
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)(1)
2 =5
2
则有 25 4
,解得 2
,双曲线的标准方程为 5 －y2＝1.
− 2 = 1
=1
2
法二∵焦点在x轴上，c＝
25
2
y2
6，∴设所求双曲线方程为 λ －6−λ＝1(其中0<λ<6)．
4
∴ λ －6−λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
2
∴所求双曲线的标准方程是 5 －y2＝1.
P到焦点F2的距离．
【错解一】
a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.
【错解二】
a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解
将P、Q两点坐标代入可得
y2
225
9
−
=1
162
2
25
256
−
=1
2
92
2
2 =9
,解得 2
,
= 16
y2
2
（三）典型例题
1.求双曲线的标准方程
例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．
15
16
(1)经过点P(3， 4 )，Q(－ 3 ，5)．
2 y2
法二：设双曲线方程为 ＋ ＝1(mn<0)．
焦点
两个定点叫做双曲线的焦点
焦距
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
集合
语言
P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}
2
则有 25 4
,解得 2
,双曲线的标准方程为 5 －y2＝1.
− 2 = 1
=1
2
法二∵焦点在x轴上，c＝
25
2
y2
6，∴设所求双曲线方程为 λ －6−λ＝1(其中0<λ<6)．
4
∴ λ －6−λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
2
∴所求双曲线的标准方程是 5 －y2＝1.
P到焦点F2的距离．
【错解一】
a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.
【错解二】
a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解
将P、Q两点坐标代入可得
y2
225
9
−
=1
162
2
25
256
−
=1
2
92
2
2 =9
,解得 2
,
= 16
y2
2
（三）典型例题
1.求双曲线的标准方程
例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．
15
16
(1)经过点P(3， 4 )，Q(－ 3 ，5)．
2 y2
法二：设双曲线方程为 ＋ ＝1(mn<0)．
焦点
两个定点叫做双曲线的焦点
焦距
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
集合
语言
P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}
【数学】2.1.1《曲线与方程》课件(新人教A版选修2-1)
例子：(2)画出函数 y
y 8
= 2x
2
(-1≤x≤2) 的图象C.
y
y = 2x 2
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
8
-1
O
2
x
-1
O
2
x
符合条件①不符合条件②
符合条件②不符合条件 ①
例子：(2)画出函数 的图象C.
y 8
y = 2x
2
(-1≤x≤2)
y = 2x 2
(-1≤x≤2)
-1
O
2
x
y 1 -1 0 x 1 y 1 -2 -1 0 1 2 x y 1 -2 -1 0 1 2 x
图3
例2 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2 +y2 = 25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆 上.
证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点 的距离等于5，所以 x 0 2 + y 0 2 = 5 , 也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解.
即：曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够 一一对应
集合的 观点
3、如果曲线C的方程是f(x，y）=0，那么点 P( x0 , y0 ) 在曲线C上的充要条件 是 f ( x0 , y0 ) = 0
学习例题巩固定义
例1判断下列结论的正误并说明理由 对（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线为x=3 错（2）到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错（3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 例2证明：圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是 y x2 + y2 = 25 5 M 1 (3,−4)、M（ − 2 5， 是否在圆上 2） 并判断 2 变式训练： 变式训练：写出下列半圆的方程
487kj_数学新人教A版选修4-4 1.3《简单曲线的极坐标方程》课件ppt
(３)中心在(a,/2)，半径为a； (４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
题组练习2
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ ＝sinθ的两个圆以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为 半径的圆的方程是 ( C )
A. 2cos 4 C. 2cos 1 B. 2sin 4 D. 2sin 1
题组练习4
曲线 5 3 cos 5 sin 关于极轴对
称的曲线是：(
C)
B . 10 cos 6 D . 10 cos 6
圆心在(a,0)(a>0)的 圆极坐标方程 O
=2acos
C(a,0)
x
探究2
已知圆O的半径为r，建立怎样的 坐标系，可以使圆的极坐标方程 更简单？
= r
O M
题组练习1 求下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos ＝2asin
1.3简单曲线的 极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：
若曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标符合方程 f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
探究1
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？ M
A. 10 cos 6 C . 10 cos 6
小结： （１）曲线的极坐标方程概念 （２）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程及应用。
高中数学人教A版() 选择性必修1第三章3.2.1《双曲线及其标准方程》课件ppt（）
看符号：正
小试身手 求下列双曲线的a2,b2,并写出焦点坐标
(1) x2 - y2 =1 16 9
(2) x2 - y2 -1 9 16
(3) 25x2 -9 y2 =-225 (4) x2 -2 y2 =1
c2 =a2 +b2
已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲 线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等 于6，求双曲线的标准方程.
焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里 c2=a2+b2
理解概念 探求方程
方程 叫做双曲线的标准方程
x2 a2
-
y2 b2
=1
(a>0,b>0)
它表示的双曲线焦点在x轴上，
焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
y
M
F1 o F2 x
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是：
y2 a2
轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
M
② |F1F2|=2c ——焦距. （0<2a<2c）
F1 o F2
双曲线定义的符号表述：
P={M | | |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< 2c)}
（群1）策若群2力a=2c深,则化轨概迹念是什么？
P
M F1
F2
M
解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，
所以设它的标准方程为：
x2 a2
-
y2 b2
=1
(a > 0,b > 0)
∵ 2a = 6, 2c=10
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
高中数学 双曲线的定义和方程课件(1) 新人教A版选修1
练习：写出适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) a=2，b=1，焦点在x轴上； (2)两个焦点的坐标分别是(0，-6)，(0，6) ，并 且经过点(2，-5) ；
(3)焦点坐标分别为(0，-5)，(0，5) ，a=4；
(4)a+c=10，c-a=4； (5) a b 6, c 2 5
2
2
距离是（ ） A.7 B. 23 C. 5或25
D. 7或23
x2 y2 2.若椭圆 1 (m n 0) F1 和双曲 m n 线 (a b 0) F2 x2 y2 1 有相同的焦点 、 a b 点 P 为椭圆与双曲线的公共点，则
| PF1 | | PF2 | 等于（ ） 1 m a A. B. ( m a ) 2
对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a) (c,0)、(-c,0) (0 , c)、(0, -c) a>b>0
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
2 2 2 c a b b 0代入上式整理得： 设
x y 2 1 a 0, b 0 2 a b
2
2
四 、 标 准 方 程 应 用
判断下列方程是否表示双曲线，若 是，求出其焦点的坐标
x y x y (1) 1 (2) 1 4 2 2 2 2 2 x y (3) 1 (4)4 y 2 9 x 2 36 4 2
1
P
F2
x
三 、 双 曲 线 的 标 准 方 程
移项两边平方后整理得：
3.2.1双曲线及标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
在双曲线定义中，将“小于 F1F2 ”改为“等于F1F2 ” 或“大于F1F2 ”的常数，其它条件不变，点的轨迹 是什么？
当距离之差的绝对值等于 F1F2 时，动点的轨迹是两条射线； 当距离之差的绝对值大于 F1F2 时，动点的轨迹不存在。
双曲线标准方程的推导
• 1.建系：
• 以F1,F2所在的直线为x轴，
动画演示
双曲线的定义
1、文字语言：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于
常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
y
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
M
② |F1F2|=2c ——焦距.
2、符号语言： |MF1－MF2|=2a ,2a<2c
F1 o F2 x
生活中的双曲线
思考讨论
y2 b2
1(a 0, b 0)
y
M
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，且
焦点在x轴上，焦点是 F1(－c，0)， F2(c，0)，其中c2 =a2+b2.
F1 o F2 x
在上面我们所得到的双曲线方程中，只要互
换x，y，便可得到焦点在y轴上的双曲线的标准方
y
程：
M
F2
x
它的焦点是 F1(0，－c)，F2(0，c)，
复习
• 1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的集合.
Y
O
F1 c, 0
• 2. 问题
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的集合，它运动的轨迹是什么呢？
Mx, y
F2 c, 0 X
3.2.1双曲线及其标准方程
当距离之差的绝对值等于 F1F2 时，动点的轨迹是两条射线； 当距离之差的绝对值大于 F1F2 时，动点的轨迹不存在。
双曲线标准方程的推导
• 1.建系：
• 以F1,F2所在的直线为x轴，
动画演示
双曲线的定义
1、文字语言：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于
常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
y
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
M
② |F1F2|=2c ——焦距.
2、符号语言： |MF1－MF2|=2a ,2a<2c
F1 o F2 x
生活中的双曲线
思考讨论
y2 b2
1(a 0, b 0)
y
M
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，且
焦点在x轴上，焦点是 F1(－c，0)， F2(c，0)，其中c2 =a2+b2.
F1 o F2 x
在上面我们所得到的双曲线方程中，只要互
换x，y，便可得到焦点在y轴上的双曲线的标准方
y
程：
M
F2
x
它的焦点是 F1(0，－c)，F2(0，c)，
复习
• 1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的集合.
Y
O
F1 c, 0
• 2. 问题
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的集合，它运动的轨迹是什么呢？
Mx, y
F2 c, 0 X
3.2.1双曲线及其标准方程
高中数学(新人教A版)选择性必修一：抛物线及其标准方程课件
y
Ｈ
M(x,y)
K-p O
2
x
l
p
2
Fx
（p ，0） 2
想一想?
这种坐标系 下的抛物线 方程情势怎 样?
y2=2px (p>0)
解：取过焦点F且垂直于准线l 的直线
Ｈ
为xy轴轴 ，线段KF的中垂线为yx轴轴
y M(x,y)
设︱KF︱= p
则F（ p20,，p20），l：yx
=-
p 2
设点M的坐标为（x，y），
MF
|
y0
p 2
( x0 , y0 )
y
M
H
y
( x0 , y0 )
M
F
0, p 2
· ·
O
x=- p 2
F（ p ，0） x 2
o
H
x
y p 2
l
请看课本P133：练习
3.填空：
a
a p 2
(6, 6 2 )或 (6, 6 2 )
学以致用：
1.抛物线
x2＝1y 4
上的一点
M
到焦点的距离为
焦点坐标是
p ( , 0) ,
准线方程为:
xp
2
2
p的几何意义是：焦点到准线的距离
y
Ｈ
M(x,y)
K-p O
2
x
l
p
2
Fx
（p ，0） 2
图形
Ｈ
y
M
O Fx
标准方程
y2=2px (p>0)
y
M
Ｈ
y2=－2px
F O x (p>0)
yM
F
数学人教A版选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程课件
回忆童年的折纸游戏
折折看
在纸上画一个圆(圆心为 F1)，在圆外取一定点 F2，把点 F2 分别折到圆周的不同点上，每折一次即在纸上得一折痕， 用笔描出折痕使折痕保留.当折叠的次数足够多时，纸上的 折痕就会显现出一个美丽图形的轮廓哦！
双曲线及其标准方程
欣赏：生活中的双曲线
德基水库
德基水库是台湾第一座由混 凝土为材料所构成的双曲线 薄型拱坝，大坝高度为180 公尺，长度为290公尺，顶 部宽度为4.5公尺，为目前台 湾最高之水坝。
方程
yx22 a2
-
yx2 b2
=1
(a>0,b>0)
叫做双曲线的标准方程
它表示的双曲线焦点在y轴上， 焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2
•思考
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
焦点在x轴上
焦点在y轴上
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
小结
•1.双曲线定义及标准方程
•2.求双曲线标准方程（定位,定量 ）•3.双曲线与椭圆之间的区分与联系
路思义教堂 路思义教堂是在建筑学上应用双曲线最有名的建筑之一。
工业冷却塔
清酒瓶
广州塔
双曲线在工程、光学、声学上都有很多应用,在土木 工程中双曲线就被用来评估基桩极限承载力,以图解 法取代复杂的数学运算。
探究双曲线的定义
双曲线究竟是什么？
平面内与两定点 F1，F2 的距 离之差的绝对值是常数 2a 的点的 轨迹叫双曲线.
看 x2 , y2前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区分与联系?
折折看
在纸上画一个圆(圆心为 F1)，在圆外取一定点 F2，把点 F2 分别折到圆周的不同点上，每折一次即在纸上得一折痕， 用笔描出折痕使折痕保留.当折叠的次数足够多时，纸上的 折痕就会显现出一个美丽图形的轮廓哦！
双曲线及其标准方程
欣赏：生活中的双曲线
德基水库
德基水库是台湾第一座由混 凝土为材料所构成的双曲线 薄型拱坝，大坝高度为180 公尺，长度为290公尺，顶 部宽度为4.5公尺，为目前台 湾最高之水坝。
方程
yx22 a2
-
yx2 b2
=1
(a>0,b>0)
叫做双曲线的标准方程
它表示的双曲线焦点在y轴上， 焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2
•思考
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
焦点在x轴上
焦点在y轴上
x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
小结
•1.双曲线定义及标准方程
•2.求双曲线标准方程（定位,定量 ）•3.双曲线与椭圆之间的区分与联系
路思义教堂 路思义教堂是在建筑学上应用双曲线最有名的建筑之一。
工业冷却塔
清酒瓶
广州塔
双曲线在工程、光学、声学上都有很多应用,在土木 工程中双曲线就被用来评估基桩极限承载力,以图解 法取代复杂的数学运算。
探究双曲线的定义
双曲线究竟是什么？
平面内与两定点 F1，F2 的距 离之差的绝对值是常数 2a 的点的 轨迹叫双曲线.
看 x2 , y2前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区分与联系?
高中数学人教A版 选择性必修第一册 双曲线及其标准方程 课件
所以双曲线 C 的方程为 y2 x2 1 . 45
（2）由双曲线 C 的方程，知 a 2 ，b 5 ，c 3 .
设 PF1 m ， PF2 n ，则| m n | 2a 4 ，
两边平方得 m2 2mn n2 16 .③
在△F1PF2 中，由余弦定理得 (2c)2 m2 n2 2mn cos120 m2 n2 mn 36 .④ 由③④得 mn 20 .
解析：（1）椭圆 x2 y2 1 的焦点分别为 (0, 3) ，(0,3) ， 27 36
设双曲线
C
的方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
，
则 a2 b2 32 9 .①
又双曲线 C 经过点 (
15,
4)
，所以
16 a2
15 b2
1
.②
由①②得 a2 4 ， b2 5 或 a2 36 ，b2 27 （舍去），
设炮弹爆炸点 P 的坐标为 (x, y) ， 则| PA | | PB | 340 2 680 ，即 2a 680 ， a 340 . 又| AB | 800 ，所以 2c 800 ， c 400 ，b2 c2 a2 44400 . 因为| PA | | PB | 680 0 ， 所以点 P 的轨迹是双曲线的右支，因此 x 340 . 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为 x2 y2 1(x 340) .
PF2
24
，故
C
正确，D
错误.故选
ABC.
6.若双曲线 x2 y2 1 的一个焦点到坐标原点的距离为 3，则 m 的值为 m m5
7或-2 ____________.
解析：依题意可知 c 3，当双曲线的焦点在 x 轴上时， m 5 ，c2 m m 5 9 ， 所以 m 7 ；当双曲线的焦点在 y 轴上时，m 0 ，c2 m 5 m 9 ，所以m 2 . 综上， m 7 或 m 2 .
高中数学新课标人教A版选修2-1：2.3.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用课件
y2 6
1的右焦点F2 , 倾斜角
为30 的直线交双曲线于A, B两点，求 AB . y
解：由双曲线的方程得，两焦点
分别为F1(-3,0),F2(3,0).
·
·
因为直线AB的倾斜角是30°， F1 O B F2 x
且直线经过右焦点F2，所以，直
A
线AB的方程为
y 3 (x 3).
(1)
3
3
由
(2)确立关于a,b,c的方程(组)，求出参数a,b,c；
(3)写出标准方程．
【例2】点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定
直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，求点M的轨迹.
5离，根
H d.M
据题意，所求轨迹就是集合
P
M
|
MF d
|
5 4
1a
0, b
0 ,令点C的
坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y 55）.
因为点B,C在双曲线上 ,所以
252 y 552
122
b2
1,
132 122
y2 b2
1.
由方程 2 ,得y 5b 负值舍去 ,
12
y
（1） C ' 13 C
A'
12 OA
x
（2）
B'
25 B
代入方程（1），得
y
x2
3
(x 3), 3
y2 1,
6
消去y，得
5x2 6x 27 0.
解这个方程，得
x1
3,
x2
9 5
.
将
x1
,
x
的
2
双曲线及其标准方程 课件(人教A版选修)
师生互动
二、双曲线的标准方程
如何求这条优美曲线的方程呢？ y
P
(c,0)
(-c,0) F1
o
2C
F2
建系 以F1,F2所在的直线为X轴， 线段F1F2的中垂线为 y轴 建立直角坐标系,则F1(C,0),F2(C,0)
设点 列条件
P(x，y)
PF PF2 2a 1
化简 ( x c)2 y 2 ( x c)2 y 2 2a
x y 2 1 2 a b y2 x2 2 1 2 a b
2
2
(a>b>0) (a>b>0)
探究新知
思考：
平面内M与两定点F1、F2的距离的差等于非零常数 2a的点的轨迹是什么图形？
一、双曲线的定义
y
双曲线定义
x
平面内与两定点F1、F2 的距离的差的绝对值是 常数2a(0<2a<| F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲 线．这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两 个焦点之间的距离叫做 焦距2c．
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b ∵ 2a = 6, 2c=10 ∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52 - 32 =16
2
2
x2 y2 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16
小结：求标准方程要做到先定型，后定量。
例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程：
2
2
定义 图象
| PF1 PF2 | 2a 0 2a 2c
P
方程
x y 2 1 2 a b
F1 (c,0) F2 (c,0)
2 2 2
2
2
高中数学人教A版选修4-4课件：2.1曲线的参数方程
因为 θ∈ 0,
2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
关系比较明显,容易列出方程.
首 页
1
2
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
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J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
2
所以 sin θ +
4
,所以 θ+ ∈
4
∈
2
,1
2
3
,
4 4
4
Hale Waihona Puke ..,即 2sin θ +
故 x+y 的最大值是 2,最小值是 1.
4
∈ 1, 2 .
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关系比较明显,容易列出方程.
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1
2
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3
思考 2 求曲线参数方程的步骤是什么?
提示:第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图
时要注意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系.
C.相切
D.相离
解析:圆的普通方程为 x2+y2=4,圆心(0,0)到直线 xcos φ+ysin φ-2=0 的距离
2
1
d= =2.因为圆的半径为 2,所以直线与圆相切.
答案:C
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
x = 1 + 2θ,
3.将参数方程
HONGDIAN NANDIAN
1
2
1.与普通方程 xy=1 表示相同曲线的参数方程(t 为参数)是(
人教A版高中数学高二选修2-1课件 2.1 第1课时 曲线与方程
议一议:求曲线的方程和求轨迹一样吗?(讨论并回答)
【解析】不一样.若是求轨迹,则要先求出方程,再说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形,即图形的形状、位置、大小都需说 明、讨论清楚.
1.已知圆 C:(x-2)2+(y+1)2=4 及直线 l:x+2y-2=0,则点 M(4,-1)( ).
A.不在圆 C 上,但在直线 l 上 B.在圆 C 上,但不在直线 l 上 C.既在圆 C 上,也在直线 l 上 D.既不在圆 C 上,也不在直线 l 上
(2)在学习圆锥曲线时要注重知识的形成过程,从圆锥曲线 的形成过程到圆锥曲线的定义,再根据定义引导学生建立适当的 直角坐标系,指导学生根据求曲线方程的一般步骤求得椭圆、双 曲线、抛物线的标准方程,增强学生的研究兴趣和信心.
(3)利用对比的手段,将椭圆与双曲线的定义、方程和性质进 行对比,让学生从对比中找出相同与不同,并熟练掌握两种曲线 的特点.注重圆锥曲线定义的使用与转化,特别是通过抛物线的 定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离求解.
【解析】x(x2+y2-1)=0⇔x=0 或 x2+y2=1,则方程表示直线 x=0
和以(0,0)为圆心,1 为半径的圆.
x2+(x2+y2-1)2=0⇔
x = 0, x2 + y2-1
=
0⇔
x y
= =
0±,1,则方程表示点
(0,1),(0,-1).
【答案】C
探究 3:直接法求轨迹方程
【例 3】已知点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 满足 MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差为负数的等差数列,求点 P 的 轨迹方程.
【解析】满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,但曲线 C 上 的点的坐标不一定都满足方程 f(x,y)=0,故 A 不正确;坐标不满足 f(x,y)=0 的点,也可能在曲线 C 上,故 B 不正确;因为满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,故不在曲线 C 上的点必不满足方程 f(x,y)=0,故 C 正确,D 不正确.
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册3.2.1双曲线及其标准方程课件
4分
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
6分
如图所示，在△F1PF2 中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2
＝ 100－100 ＝0，
8分
2|PF1|·|PF2|
∴∠F1PF2＝90°，
标准方程
图形
焦点坐标 a，b，c 的关系
焦点在x 轴上 x 2 y 2 1(a 0，b 0) a2 b2
y M
焦点在y 轴上 y 2 x 2 1(a 0，b 0) a2 b2
y M
F2
F1
O
F2
x
O
x
F1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(-c，0)，(c，0)
(0，-c)，(0，c)
c2 a2 b2
1．已知两定点 F1(5，0) ， F2(5，0) ，动点P 满足| PF1 | | PF2 | 2a ，则 当a＝3和5时，P点的轨迹为( C ) A．双曲线和一直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于
|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
y
两个定点叫做双曲线的焦点；
M
两焦点间的距离叫双曲线的焦距.
F1
O
F2
x
1.定义中为什么要强调差的绝对值？ 若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支.
2.定义中的常数可否为0，等于|F1F2|，大于|F1F2|？ 不能.若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线； 若等于|F1F2|，曲线应为两条射线； 若大于|F1F2|，这样的曲线不存在.
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练习2:x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
新课导入
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面 截圆锥，截口曲线是一个圆．用一个不垂直于 圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与圆锥轴的夹 角不同时，可以得到不同的截口曲线．那么它 们的方程又该如何表示呢？下面进一步研究一 般曲线(包括直线)和方程的关系．
新课感知
1．初中所学的圆是如何定义的？ 2．求过点(1,0)和(0,1)的直线方程， 并判断点(－1,2)是否在直线上？ 3. 直线（圆）的方程与方程的直 线（圆）又有什么关系？
x
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
解:(1)不正确，不具备完备性.
(2)不正确, 不具备纯粹性.
(3)正确.
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常y 数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
M
o
x
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
新知应用
例1 :判断下列命题是否正确 (1)已知点M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的 直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是x2＋y2=4. (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1. (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程 为︱xy︱=1.
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是D( )
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是全部 D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
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人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
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课堂小结
曲线的方程与方程的曲线的定义。 从集合角度来看，记曲线C上的点集为 M，方程f (x,y)=0的解集为N，若
(1) M N ; (2) N M. 则M=N。
课外作业
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（纯粹性）. 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（完备性）. 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x, y)=0，那么点P0(x0 , y0) 在曲线C 上的 充要条件 是f(x0, y0)=0.
练习1：证明到点F(0, 1)和到直线y=-1的距
离相等的点的轨迹方程是 y 1 x2
4
例3：方程 (1)xy=0; (2) y 1 x 2 ; (3) (x+y-1)√x-1=0. 分别表示什么曲线？
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
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的点一定在圆上。
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分析特例归纳定义
（3）说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y
A
0
2
第一步，设 M (x0, y0)是曲线C上任一点， 证明(x0, y0)是f(x, y)=0的解；
第二步，设(x0, y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0, y0)在曲线C上.
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
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分析特例归纳定义
（2）方程 (x a)2 ( y b)2 r2 表示如图的圆
图像上的点M与此方程 (x a)2 ( y b)2 r2 有什么关系？
满足关系：
y
··M
0
x
①如果 M (x0, y0 ) 是圆上的点，那么 M (x0, y0 ) 一定是这个方程的解;
②如果 M (x0, y0 )是方程(x a)2 ( y b)2 r 2 的解，那么以它为坐标
一般地，曲线和方程之间有什么 对应关系呢？
新课探究
2.1 曲线与方程
分析特例归纳定义
（1）求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐 标满足的关系。
第一、三象限角平分线l
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
曲线
条件
方程
y
l
得出关系：
x-y=0
① l上点的坐标都是方程x-y=0的解;
0x
②以方程x-y=0的解为坐标的点都在l上.
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
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新课导入
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面 截圆锥，截口曲线是一个圆．用一个不垂直于 圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与圆锥轴的夹 角不同时，可以得到不同的截口曲线．那么它 们的方程又该如何表示呢？下面进一步研究一 般曲线(包括直线)和方程的关系．
新课感知
1．初中所学的圆是如何定义的？ 2．求过点(1,0)和(0,1)的直线方程， 并判断点(－1,2)是否在直线上？ 3. 直线（圆）的方程与方程的直 线（圆）又有什么关系？
x
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定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
解:(1)不正确，不具备完备性.
(2)不正确, 不具备纯粹性.
(3)正确.
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例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常y 数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
M
o
x
归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤
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新知应用
例1 :判断下列命题是否正确 (1)已知点M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的 直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是x2＋y2=4. (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1. (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程 为︱xy︱=1.
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是D( )
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是全部 D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
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课堂小结
曲线的方程与方程的曲线的定义。 从集合角度来看，记曲线C上的点集为 M，方程f (x,y)=0的解集为N，若
(1) M N ; (2) N M. 则M=N。
课外作业
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（纯粹性）. 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（完备性）. 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x, y)=0，那么点P0(x0 , y0) 在曲线C 上的 充要条件 是f(x0, y0)=0.
练习1：证明到点F(0, 1)和到直线y=-1的距
离相等的点的轨迹方程是 y 1 x2
4
例3：方程 (1)xy=0; (2) y 1 x 2 ; (3) (x+y-1)√x-1=0. 分别表示什么曲线？
人教A版高中数学选修2-1第二章 2.1--曲线与方程 课件
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的点一定在圆上。
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分析特例归纳定义
（3）说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系
①直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2 ②满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上 结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2
y
A
0
2
第一步，设 M (x0, y0)是曲线C上任一点， 证明(x0, y0)是f(x, y)=0的解；
第二步，设(x0, y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0, y0)在曲线C上.
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分析特例归纳定义
（2）方程 (x a)2 ( y b)2 r2 表示如图的圆
图像上的点M与此方程 (x a)2 ( y b)2 r2 有什么关系？
满足关系：
y
··M
0
x
①如果 M (x0, y0 ) 是圆上的点，那么 M (x0, y0 ) 一定是这个方程的解;
②如果 M (x0, y0 )是方程(x a)2 ( y b)2 r 2 的解，那么以它为坐标
一般地，曲线和方程之间有什么 对应关系呢？
新课探究
2.1 曲线与方程
分析特例归纳定义
（1）求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐 标满足的关系。
第一、三象限角平分线l
点的横坐标与纵坐标相等 x=y（或x-y=0）
曲线
条件
方程
y
l
得出关系：
x-y=0
① l上点的坐标都是方程x-y=0的解;
0x
②以方程x-y=0的解为坐标的点都在l上.