分析自动控制系统性能的常用方法
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第4章 分析自动控制系统性能的常 用方法
建立自动控制系统数学模型的目的，就是为了 对自动控制系统进行分析。在经典控制理论中， 对系统的分析方法主要有两种： 时域分析法(由时域响应及传递函数出发去进行分 析) 频率特性法(由频域响应及传递函数出发去进行分 析)
4.2 频率特性法
频率特性法的基本概念 频率特性的图形表示方法 典型环节的对数频率特性 系统开环对数频率特性
Ac 0.193 M ( ) 50 0.193 Ar 1
( ) 50 c r 78.9 0 78.9
当我们选择足够多的频率点后，通过幅值与频率，相 位与频率之间一一对应的关系，我们最后可以绘制出 如图所示的幅频率特性曲线与相频率特性曲线。并由 此曲线来分析该电路的性质
结论：这是一个低通滤波电路
现在，我们从理论上进一步分析，首先设系统输入的 正弦激励信号的表达式为：
r (t ) Ar sin( t r )
则其输出的正弦稳态响应信号为：
c(t ) Ac sin( t c ) MAr sin( t c )
在上式中，MAr是输出正弦稳态响应信号的最大值，而 c 是以度（deg）为单位的输出正弦稳态响应信号 的初相位。现设线性系统的传递函数是 G（s）,那么 输入激励与与输出稳态响应之间的Laplace变换关系 就是：
4.2.1频率特性的基本概念
由《电路基础》可知，当电路中存在储能元件时， 电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时， 将发生一个中间过程——过渡过程，而这一过程 的特点就是过渡过程随时间的变化而变化，是一 个与时间有关过程。 引起过渡过程的原因有两个，即内因——电路中 必有储能元件。外因——电路的接通或断开，电 源的变化，电路参数的变化或电路的改接等因素， 这些能引起电路或系统发生过渡过程的外部因素 我们统称为激励。而过渡过程所发生时所产生的、 我们关心的结果，如输出电压的变化，系统的运 行等，我们则统称为电路对时间的响应。
由过渡过程分析中的三要素法可知，电路对 时间响应常常分为两个部分：暂态响应和稳 态响应。线性电路的时间响应 c (t ) 通常可以 写成：
c(t ) ct (t ) css (t )
ct (t ) 为暂态响应，css (t ) 为稳态响应 其中：
当输入激励是为正弦周期信号时：
其输出响应为： c(t ) MAm e t MAm sin( t )
的拉氏变换式为：
U i ( s) Am 2 2 s
所以，该一阶RC电路输出响应的拉氏变换式为：
1 U C ( s ) G ( s)U i ( s) Am 2 RCs 1 s 2 1 Am 2 Ts 1 s 2
两边取拉氏变换，则有：
( ) 20 (c r ) 26 0 26
此时输入信号有角频率 50rad / s
实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为 ω=50rad/s时，该一阶RC电路稳态时输出的仍然是 同频率的正弦信号。但是与输出的正弦响应信号的 78 . 9 幅值为|Ac|=0.193，相位滞后了 。因此 在这一频率信号作用下，此时的频率特性为：
M ( ) 为该一阶RC电路的幅频特性，它是指输出正 则： 弦响应信号的最大值与输入正弦激励信号最大值之间 的比值；称 ( )为该一阶电路的相频特性，它是指 输出正弦信号的初相位与输入正弦信号初相位之差 （相位差）。
( ) c ( ) i ( ) arctan(T )
r (t ) Am sin( t )
为了更好地理解频率特性的概念，我们在这举一个 这是一个简单的例子。如图所示为一阶RC电路，如 果我们设电容两端的ຫໍສະໝຸດ Baidu压为Uc为输出响应，则当激 励为正弦周期信号时，由此电路的传递函数，可得：
+
i Ui + R
C
1 U C ( s) G( s)U i ( s) U i ( s) RCs 1 Uc 由于正弦周期信号 u (t ) Am sin( t )
从以上定义中，我们不难发现，所谓频率响应， 本质上讨论的就是我们在《电路基础》中学过的 正弦交流电路中三要素中的两个要素而已。所不 同之处在于《电路基础》中，我们研究的是在给 定某一正弦信号频率的情况下，电路所对应的某 一确定的正弦输出稳态响应信号幅值大小与初相 位的改变。而在自动控制原理与系统中，我们所 研究的是当输入正弦激励信号的角频率从0→∞变 化过程中，其输出的正弦稳态响应信号的幅值与 初相位随输入正弦周期信号频率的改变而随之变 化的函数关系。 对于本例，当我们取R=1Ω，C=0.1F 的实验电路 参数时，其随频率变化的响应曲线如下：
T RC
u c (t )
Am 1 (T )
2
e
t T
Am 1 (T )
2
sin[ t arctan(T )]
暂态分量
稳态分量
由此我们定义：所谓频率特性就是指正弦激励下线 性系统的正弦稳态响应。并且从其稳态分量表达式 中，我们知道：对于线性电路而言，其输出的稳态 响应是一个与输入激励同频率的正弦函数信号，只 不过经过系统传送后，相对于输入激励的幅值和初 相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置） 发生了一定的变化而已。若令： Acm Am 1 1 M ( ) Am 1 (T ) 2 Am 1 (T ) 2
暂态响应
稳态响应
此时输入信号有角频率 20rad / s
实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为 ω=20rad/s时，该一阶RC电路稳态时输出的仍然是 同频率的正弦信号。但是其输出的正弦响应信号的 幅值为|Ac|=0.438，相位滞后了 26 。因此在这 一频率信号的作用下，此时的频率特性是： Ac 0.438 M ( ) 20 0.438 Ar 1
建立自动控制系统数学模型的目的，就是为了 对自动控制系统进行分析。在经典控制理论中， 对系统的分析方法主要有两种： 时域分析法(由时域响应及传递函数出发去进行分 析) 频率特性法(由频域响应及传递函数出发去进行分 析)
4.2 频率特性法
频率特性法的基本概念 频率特性的图形表示方法 典型环节的对数频率特性 系统开环对数频率特性
Ac 0.193 M ( ) 50 0.193 Ar 1
( ) 50 c r 78.9 0 78.9
当我们选择足够多的频率点后，通过幅值与频率，相 位与频率之间一一对应的关系，我们最后可以绘制出 如图所示的幅频率特性曲线与相频率特性曲线。并由 此曲线来分析该电路的性质
结论：这是一个低通滤波电路
现在，我们从理论上进一步分析，首先设系统输入的 正弦激励信号的表达式为：
r (t ) Ar sin( t r )
则其输出的正弦稳态响应信号为：
c(t ) Ac sin( t c ) MAr sin( t c )
在上式中，MAr是输出正弦稳态响应信号的最大值，而 c 是以度（deg）为单位的输出正弦稳态响应信号 的初相位。现设线性系统的传递函数是 G（s）,那么 输入激励与与输出稳态响应之间的Laplace变换关系 就是：
4.2.1频率特性的基本概念
由《电路基础》可知，当电路中存在储能元件时， 电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时， 将发生一个中间过程——过渡过程，而这一过程 的特点就是过渡过程随时间的变化而变化，是一 个与时间有关过程。 引起过渡过程的原因有两个，即内因——电路中 必有储能元件。外因——电路的接通或断开，电 源的变化，电路参数的变化或电路的改接等因素， 这些能引起电路或系统发生过渡过程的外部因素 我们统称为激励。而过渡过程所发生时所产生的、 我们关心的结果，如输出电压的变化，系统的运 行等，我们则统称为电路对时间的响应。
由过渡过程分析中的三要素法可知，电路对 时间响应常常分为两个部分：暂态响应和稳 态响应。线性电路的时间响应 c (t ) 通常可以 写成：
c(t ) ct (t ) css (t )
ct (t ) 为暂态响应，css (t ) 为稳态响应 其中：
当输入激励是为正弦周期信号时：
其输出响应为： c(t ) MAm e t MAm sin( t )
的拉氏变换式为：
U i ( s) Am 2 2 s
所以，该一阶RC电路输出响应的拉氏变换式为：
1 U C ( s ) G ( s)U i ( s) Am 2 RCs 1 s 2 1 Am 2 Ts 1 s 2
两边取拉氏变换，则有：
( ) 20 (c r ) 26 0 26
此时输入信号有角频率 50rad / s
实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为 ω=50rad/s时，该一阶RC电路稳态时输出的仍然是 同频率的正弦信号。但是与输出的正弦响应信号的 78 . 9 幅值为|Ac|=0.193，相位滞后了 。因此 在这一频率信号作用下，此时的频率特性为：
M ( ) 为该一阶RC电路的幅频特性，它是指输出正 则： 弦响应信号的最大值与输入正弦激励信号最大值之间 的比值；称 ( )为该一阶电路的相频特性，它是指 输出正弦信号的初相位与输入正弦信号初相位之差 （相位差）。
( ) c ( ) i ( ) arctan(T )
r (t ) Am sin( t )
为了更好地理解频率特性的概念，我们在这举一个 这是一个简单的例子。如图所示为一阶RC电路，如 果我们设电容两端的ຫໍສະໝຸດ Baidu压为Uc为输出响应，则当激 励为正弦周期信号时，由此电路的传递函数，可得：
+
i Ui + R
C
1 U C ( s) G( s)U i ( s) U i ( s) RCs 1 Uc 由于正弦周期信号 u (t ) Am sin( t )
从以上定义中，我们不难发现，所谓频率响应， 本质上讨论的就是我们在《电路基础》中学过的 正弦交流电路中三要素中的两个要素而已。所不 同之处在于《电路基础》中，我们研究的是在给 定某一正弦信号频率的情况下，电路所对应的某 一确定的正弦输出稳态响应信号幅值大小与初相 位的改变。而在自动控制原理与系统中，我们所 研究的是当输入正弦激励信号的角频率从0→∞变 化过程中，其输出的正弦稳态响应信号的幅值与 初相位随输入正弦周期信号频率的改变而随之变 化的函数关系。 对于本例，当我们取R=1Ω，C=0.1F 的实验电路 参数时，其随频率变化的响应曲线如下：
T RC
u c (t )
Am 1 (T )
2
e
t T
Am 1 (T )
2
sin[ t arctan(T )]
暂态分量
稳态分量
由此我们定义：所谓频率特性就是指正弦激励下线 性系统的正弦稳态响应。并且从其稳态分量表达式 中，我们知道：对于线性电路而言，其输出的稳态 响应是一个与输入激励同频率的正弦函数信号，只 不过经过系统传送后，相对于输入激励的幅值和初 相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置） 发生了一定的变化而已。若令： Acm Am 1 1 M ( ) Am 1 (T ) 2 Am 1 (T ) 2
暂态响应
稳态响应
此时输入信号有角频率 20rad / s
实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为 ω=20rad/s时，该一阶RC电路稳态时输出的仍然是 同频率的正弦信号。但是其输出的正弦响应信号的 幅值为|Ac|=0.438，相位滞后了 26 。因此在这 一频率信号的作用下，此时的频率特性是： Ac 0.438 M ( ) 20 0.438 Ar 1