自动控制原理 第二章剖析
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所以由初值定理有
s0
f (0) lim s
s
s 1 lim 1 2 s 4 4 (s 2) 1 2 s s
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
（三）常用函数的拉氏变换表
象函数 F ( s) 原函数 f (t ) 象函数 F ( s) 原函数 f (t )
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的RLC无源网络的运动微分方程。 解： 根据基尔霍夫电压定律有： di 1 ur Ri L idt dt C 1 uc idt C
消去中间变量i 即可得运动微分方程
L
R C
ur
i
uc
2 d uc duc 令 T LC R C /(2 L ) 有 T 2T uc u r 2 dt dt 2 d u du 2 2 c c 令 T 1 / n 有 T 2 u n n c n ur 2 dt dt 2
自动控制原理
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
系统的数学模型是描述系统的输入、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表达式。 自动控制系统中描述系统内在规律的数学模型的形 式很多，单输入单输出系统主要采用微分方程、传递 函数、结构框图和信号流图来描述，最优控制或多变 量系统主要采用传递矩阵、状态方程来描述。 列写元件或系统微分方程的一般步骤： （1）确定元件或系统的输入、输出变量。 （2）按信号传递的顺序依次列写个元件的微分方程。 （3）消去中间变量求得系统的微分方程，并标准化。
其中： f s (t ) Kx(t )
弹簧力
f (t )
m
dx (t ) dt
K B
f d (t ) B
阻尼力
d 2 x(t ) dx(t ) 所以有： m B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt 特点： f (t ) 为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化 了相同的位移 x(t ) 。
K1x1 (t ) x2 (t ) f (t )
dx3 (t ) f (t ) dt
（2）各部件的位移与作用力 f (t ) 的关系为
K1
x1
K2 x2 (t ) x3 (t ) f (t )
B
K2
B
x2
x3
1 1 1 ) f (t ) f (t )dt （3）所以系统运动微分方程为 x1 (t ) ( K1 K 2 B
0
复变量
原变量
拉氏反变换
1 c j st f (t ) L F ( s) F ( s ) e ds c j 2j
1
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
（二）有关拉氏变换的几个常用定理
1.线性性质 Laf1 (t ) bf2 (t ) aF 1 ( s) bF 2 ( s)
标准化：将与输入有关各项移至等式右侧，将与输出有关各项移至 等式右侧，并按降幂排列。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的质量、弹簧、阻尼器机械位移系 统的运动微分方程。 解： 由牛顿力学第二定律有：
d 2 x(t ) f (t ) f s (t ) f d (t ) m dt 2
d 2.微分定理 L f (t ) sF ( s) f (0) dt
d2 2 L 2 f (t ) s F ( s) sf (0) f (0) dt
3.积分定理
L
1 f (t )dt F ( s ) f ( 1) (0) s
2 s 2 2s 2
1 2
et sin( 1 2 t )
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
d 2uc duc LC 2 RC uc u r dt dt
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
一、拉氏变换与拉式反变换
拉氏变换时一种函数变换，它能把一个实数域（时间域）的实 变函数变换为一个在复数域与它等价的复变函数。
（一）定义
拉氏变换
象函数
原函数
F (s) L f (t ) f (t )e st dt
f (t )在 t 0 时 刻的积分值
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
4.初值定理 f (0 ) lwenku.baidu.comm sF (s)
s
5.终值定理 f () lim sF ( s)
1 例：求 F ( s) ( s 2) 2 的原函数 f (t ) 的初始值 f (0) 和f (0) 解：1）由初值定理有 f (0) lim s lim 1 0 s (s 2) 2 s s 4 4 s s s f (0) 可得 L f (t ) 2）因 L f (t ) sF ( s) f (0) 2 ( s 2) ( s 2) 2
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的机械位移系统的运动微分方程。 解： 根据力平衡原理，作用于各部件的为同一外
力 f (t ) ，而系统的总位移x1 (t ) 为各部件位移之和。 （1）机械位移方程式
f (t )
x1 (t ) x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) x3 (t ) x3 (t )
1 1 s 1 s2 1 sn 1 sa 1 (s a) 2
(t )
1(t )
s2 2
sin t
t
t n 1 ( n 1)!
e at
te
at
s s2 2
cost
e at sin t e at cost
( s a) 2 2 sa ( s a) 2 2
s0
f (0) lim s
s
s 1 lim 1 2 s 4 4 (s 2) 1 2 s s
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
（三）常用函数的拉氏变换表
象函数 F ( s) 原函数 f (t ) 象函数 F ( s) 原函数 f (t )
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的RLC无源网络的运动微分方程。 解： 根据基尔霍夫电压定律有： di 1 ur Ri L idt dt C 1 uc idt C
消去中间变量i 即可得运动微分方程
L
R C
ur
i
uc
2 d uc duc 令 T LC R C /(2 L ) 有 T 2T uc u r 2 dt dt 2 d u du 2 2 c c 令 T 1 / n 有 T 2 u n n c n ur 2 dt dt 2
自动控制原理
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
系统的数学模型是描述系统的输入、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表达式。 自动控制系统中描述系统内在规律的数学模型的形 式很多，单输入单输出系统主要采用微分方程、传递 函数、结构框图和信号流图来描述，最优控制或多变 量系统主要采用传递矩阵、状态方程来描述。 列写元件或系统微分方程的一般步骤： （1）确定元件或系统的输入、输出变量。 （2）按信号传递的顺序依次列写个元件的微分方程。 （3）消去中间变量求得系统的微分方程，并标准化。
其中： f s (t ) Kx(t )
弹簧力
f (t )
m
dx (t ) dt
K B
f d (t ) B
阻尼力
d 2 x(t ) dx(t ) 所以有： m B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt 特点： f (t ) 为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化 了相同的位移 x(t ) 。
K1x1 (t ) x2 (t ) f (t )
dx3 (t ) f (t ) dt
（2）各部件的位移与作用力 f (t ) 的关系为
K1
x1
K2 x2 (t ) x3 (t ) f (t )
B
K2
B
x2
x3
1 1 1 ) f (t ) f (t )dt （3）所以系统运动微分方程为 x1 (t ) ( K1 K 2 B
0
复变量
原变量
拉氏反变换
1 c j st f (t ) L F ( s) F ( s ) e ds c j 2j
1
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
（二）有关拉氏变换的几个常用定理
1.线性性质 Laf1 (t ) bf2 (t ) aF 1 ( s) bF 2 ( s)
标准化：将与输入有关各项移至等式右侧，将与输出有关各项移至 等式右侧，并按降幂排列。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的质量、弹簧、阻尼器机械位移系 统的运动微分方程。 解： 由牛顿力学第二定律有：
d 2 x(t ) f (t ) f s (t ) f d (t ) m dt 2
d 2.微分定理 L f (t ) sF ( s) f (0) dt
d2 2 L 2 f (t ) s F ( s) sf (0) f (0) dt
3.积分定理
L
1 f (t )dt F ( s ) f ( 1) (0) s
2 s 2 2s 2
1 2
et sin( 1 2 t )
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
d 2uc duc LC 2 RC uc u r dt dt
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
一、拉氏变换与拉式反变换
拉氏变换时一种函数变换，它能把一个实数域（时间域）的实 变函数变换为一个在复数域与它等价的复变函数。
（一）定义
拉氏变换
象函数
原函数
F (s) L f (t ) f (t )e st dt
f (t )在 t 0 时 刻的积分值
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
4.初值定理 f (0 ) lwenku.baidu.comm sF (s)
s
5.终值定理 f () lim sF ( s)
1 例：求 F ( s) ( s 2) 2 的原函数 f (t ) 的初始值 f (0) 和f (0) 解：1）由初值定理有 f (0) lim s lim 1 0 s (s 2) 2 s s 4 4 s s s f (0) 可得 L f (t ) 2）因 L f (t ) sF ( s) f (0) 2 ( s 2) ( s 2) 2
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的机械位移系统的运动微分方程。 解： 根据力平衡原理，作用于各部件的为同一外
力 f (t ) ，而系统的总位移x1 (t ) 为各部件位移之和。 （1）机械位移方程式
f (t )
x1 (t ) x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) x3 (t ) x3 (t )
1 1 s 1 s2 1 sn 1 sa 1 (s a) 2
(t )
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sin t
t
t n 1 ( n 1)!
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te
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s s2 2
cost
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( s a) 2 2 sa ( s a) 2 2