自动控制原理 第二章剖析
合集下载
1自动控制原理—第二章
即
d 2 x(t ) dx(t ) m +f + kx(t ) = F (t ) 2 dt dt k和 f 分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的 方向和速度的方向相反。
比较例2-1和例2-3可见，虽然它们为两种不同的物 理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我 们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系 统，例如例2-1的RLC串联网络系统和例2-3的弹簧质量-阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中， 占据相应位置的物理量称为相似量。 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似性，可以 进行仿真研究。
du o (t ) i (t ) = C dt
消去中间变量i (t )，可得
d 2 u o (t ) du o (t ) LC + RC + u o (t ) = u i (t ) 2 dt dt
例2-2
图中 所示为由两个RC电路串联而成的滤波网络。试建立 输入电压ui和输出电压uo 之间动态关系的微分方程。
举例
电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运 算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。象电阻、电 感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，象运 算放大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无 源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包 含有源器件或电源，就称为有源网络。
二、 传递函数的性质
1. 传递函数是由Laplace变换导出的，因此，它只适用于线性定常系统， 且只能反映零初始条件下的全部运动规律。 2. 传递函数是s的复变函数，其M（s）、N（s）的各项系数均由系统或 元件的结构参数决定，并与微分方程式中的各项系数一一对应。 3. 传递函数表征系统或元件本身的特性，而与输入信号无关，但它不能 反映系统或元件的物理结构。也就是说，对于许多物理性质截然不同的 系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数。 4. 由于能源的限制和实际系统或元件总是具有惯性的缘故，其输出量不 可能无限制上升，因而有：N≥M。 5. 传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系，因此对于同一系统， 选取不同的输入、输出变量，传递函数将不同。 6. 传递函数还可以用下式表达： m
d 2 x(t ) dx(t ) m +f + kx(t ) = F (t ) 2 dt dt k和 f 分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的 方向和速度的方向相反。
比较例2-1和例2-3可见，虽然它们为两种不同的物 理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我 们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系 统，例如例2-1的RLC串联网络系统和例2-3的弹簧质量-阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中， 占据相应位置的物理量称为相似量。 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似性，可以 进行仿真研究。
du o (t ) i (t ) = C dt
消去中间变量i (t )，可得
d 2 u o (t ) du o (t ) LC + RC + u o (t ) = u i (t ) 2 dt dt
例2-2
图中 所示为由两个RC电路串联而成的滤波网络。试建立 输入电压ui和输出电压uo 之间动态关系的微分方程。
举例
电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运 算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。象电阻、电 感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，象运 算放大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无 源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包 含有源器件或电源，就称为有源网络。
二、 传递函数的性质
1. 传递函数是由Laplace变换导出的，因此，它只适用于线性定常系统， 且只能反映零初始条件下的全部运动规律。 2. 传递函数是s的复变函数，其M（s）、N（s）的各项系数均由系统或 元件的结构参数决定，并与微分方程式中的各项系数一一对应。 3. 传递函数表征系统或元件本身的特性，而与输入信号无关，但它不能 反映系统或元件的物理结构。也就是说，对于许多物理性质截然不同的 系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数。 4. 由于能源的限制和实际系统或元件总是具有惯性的缘故，其输出量不 可能无限制上升，因而有：N≥M。 5. 传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系，因此对于同一系统， 选取不同的输入、输出变量，传递函数将不同。 6. 传递函数还可以用下式表达： m
【精编】自动控制原理第2章PPT课件
隙磁通的乘积成正比，又因磁通恒定，有Md Kmia，
联立求解，整理后得
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
6
（续上页）
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
15
2.3.1 传递函数的性质
(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即m≤n ，且所有系数均为 实数。
(2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
(3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因
此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
的中间变量无法反映出来。
(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。
自动控制原理
16
2.3.1 典型环节及其传递函数
（1）比例环节 G(s)= K
（2）惯性环节 G(s) 1 Ts 1
T ——惯性环节时间常 数
（3）积分环节 G(s) 1 Ts
当积分环节的输入信号为单位阶跃 函数时，则输出为t/T，它随着时间直线 增长。
或
w ww T a T m d d 2 t2 T m d d t K 1 eu a T J m M L T a J T m d M d tL
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)
Ta
联立求解，整理后得
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
6
（续上页）
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
15
2.3.1 传递函数的性质
(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即m≤n ，且所有系数均为 实数。
(2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
(3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因
此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
的中间变量无法反映出来。
(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。
自动控制原理
16
2.3.1 典型环节及其传递函数
（1）比例环节 G(s)= K
（2）惯性环节 G(s) 1 Ts 1
T ——惯性环节时间常 数
（3）积分环节 G(s) 1 Ts
当积分环节的输入信号为单位阶跃 函数时，则输出为t/T，它随着时间直线 增长。
或
w ww T a T m d d 2 t2 T m d d t K 1 eu a T J m M L T a J T m d M d tL
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)
Ta
自动控制原理第二章.黄坚第二版
设控制系统 有输入信号时 求出输出响应
输入
控制系统
输出 c(t)
r(t) 型
第一节 引言 第二节 微分方程的建立 第三节 传递函数 第四节 控制系统的结构图及其等效变换 第五节 反馈控制系统的传递函数
第二章 自动控制系统的数学模型
第一节 引言
问题：
何为数学模型? 数学模型的种类? 描述系统输入、输出变量以及内部各变量 之间关系的数学表达式就称为数学模型
第二节 微分方程建立
(3) 重极点 A(s) 有r个重 F(s)=(s –p )r(s –p )· · (s –pn ) 极点 1 r+1 · 分解为 A1 A2 Ar+1 An Ar = + · · + s-p + s-p +· · · + s-p r (s-p1 ) (s-p1 )r-1 +· 1 r+1 n
自动控制理论
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型
内容提要：
建立系统输入输出模式数学模型： a、微分方程 b、传递函数 c、方块图 d、信号流图
典型环节传递函数、传递函数的函数 方块图等效变换、信号流图的化简
本章重点:
第二章 自动控制系统的数学模型
通过前面的学习我们知道，自动控制理论是 研究自动控制系统三方面性能的基本理论。
r-1[F(s)(s-p )r] d 1 1 ) Ar= (r-1)!( r-1 s=p1 ds
下面举例说明
第二节 微分方程建立
(s+2) 例 求拉氏变换． F(s)= s(s+1)2(s+3) A1 解： A2 A3 A4 F(s)= 2 + s+1 + s + s+3 (s+1) 分解为 按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得： 1 -1 -3 2 A1= 2 A = A = A3= 3 4 12 2 4 2-1[F(s)(s-p )2] d 1 1 ( ) 将各待定系数代入上式得： A2=(2-1)! 2-1 s=p1 ds -t(s+2) -t 2 -tde -3t 3 1 e e + ] + f(t)= 2 [ s(s+3) -3 12 3 4 = = ds s=-1 4
自动控制原理B2讲解
s0
t
有存在的条件f(t)及其导数是可拉氏变换的，且要sF(s)在虚轴（除原点） 和右半平面上没有极点。
初值定理： lim sF (s) lim f (t)
s
t 0
卷积定理：
已知函数f(t)和g(t)，其卷积定义为
f (t) g(t) 0 f (t )g( )d 0 f ( )g(t )d
0
f
(t )e st
dt
------F (s)为f (t)的拉氏变换,也称F (s)为f (t)像函数
f (t) 1
2 j
j j
F
(s)est
ds----f
(t )为F
(s)的拉氏反变换,也称f
(t )为F
(s)的原函数
自动控制原理
第二章 线性系统的数学模型
其中，
a1,..., an1, an , b0, b1,..., bm1, bm是实常数，m, n是正整数，通常m n
实行分母因式分解
F(s) B(s) b0sm b1sm1 ...... bm1s bm A(s) (s s1)(s s2)....(s sn )
2.出现r个重根及n个非重根时，象函数因式分解结果的表达式为：
F (s) B(s) b0sm b1sm1 ...... bm1s bm
A(s)
(s s1)(s s2 )....(s sn )
=
cr (s s1)r
+
(s
cr 1 s1)r1
+...+
s1
1) 2
s(s
s2 1)2 (s
孙炳达 自动控制原理第2章
3.传递函数的时间常数表示形式
m
G(s) b0 a0
fmsm en s n
fm1sm1 f1s 1 en1sn1 e1s 1
K
(is 1)
i 1 n
(Tis 1)
j 1
32
例 己知系统的传递函数
G
s
4s 1 12s2 10s
2
对应的零极点表达式和时间常数表达式。
解 零极点的形式为
系统特征方程式的根，为系统特征根，亦称为系统极点。
31
三、传递函数三种表达式
1、传递函数的多项式比的表达形式
2.传递函数的零极点表示形式
m
G(s)
bm an
sm dm1sm1 d1s d0 sn cn1sn1 c1s c0
Kg
(s zi )
i 1 n
(s pj )
j 1
22
或可表达为 y y0 k(r r0 )
y kr
简写为
y kr
式中
k
(
df (r dr
)
)
r0
这就是非线性化方程，这种线性化方法叫做小偏差方法。
注意：
1.非线性方程必为连续。
原因：断续的方程不能用台劳级数展开，因此不能采用此方 法。这类非
线性称为本质非线性。
2.K值与工作点的位置有关。 23
压，欲求以电容两端电压 uR
uo
C
15
分析：方法一：视为两环节串联
从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo1 dt
uo1
ui
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo dt
uo
uo1
《自动控制原理》课件第二章
Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f
自动控制原理第二章 控制系统的数学模型1
控制系统的数学模型的方法。
教学重点与教学学时
1、复域模型－－传递函数(Transfer function) 2、传递函数的零、极点对系统性能的影响 3、三种数学模型的相互转换 5、教学学时：三次课共6个学时。
教学内容
1、时域模型：本节分别通过从简单的电学电路和力学系统讲解 如何建立数学模型。 由于有关电机拖动的课还未讲到电机模型内容，故本章中有关 电动机模型只介绍结论，不详细推导。 2、时域模型－－微分方程求解，简单讲解复习微分方程求解方 法 3、非线性系统的线性化，重点讲清楚线性化的条件，以及如何 线性化（泰勒展开式）
如何建立数学模型
建立数学模型用二种方法：1.分析法 2.实验法
分析法：根据系统运动本身的物理、化学规律，列出相应的运
动方程。 如：电工学中的克希霍夫定律；力学中的牛顿定律等。 实验法：对于运动规律很复杂的系统或一个未知的系统无法用 一个准确的数学关系式来描述时，可用实验法。
数学模型有多种形式
1.以时间为变量所建立的模型称为时域模型——微分方程。 2.在复平面内建立的模型称为复域模型——传递函数。 3.以频率为变量所建立的模型称为频域模型——频率特性。
第二章第五次课内容
一、闭环系统传递函数三种形式(a)输入信号作用下的闭环传递函 数、(b)扰动作用下的闭环传递函数、(c)闭环系统的误差传递函数。
要求：能熟练地写出闭环系统的传递函数和传递函数的特征式。
注意：在各种信号作用下，输出量c(s)或误差量e(s)可以应用叠加 原理，但闭环传递函数不适用叠加原理。 二、 三、有关本章习题中出现的问题讨论
ur ( s) 0.1s 0.2 uc ( s ) 2 2 s s 1 s s 1
自动控制原理第2章ppt课件
1 2 f 2! r12
(r1 r10)2
2 f r22
(r2
r20)2
yK1r1K2r2
函数变化与自变量变化成线性比例关系。
EXIT
第2章第21页
2.2.3 系统线性化的条件及步骤 1.条件 ① 系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作 点; ② 在运行过程中偏离且满足小偏差条件; ③ 在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函 数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。
EXIT
第2章第14页
2.1.3 机电系统
图示为一他激直流电动机。 +
图中，ω为电动机角速度
〔rad/s ） ，Mc 为折 算到电
ua _
动机轴上的总负载力矩 +
〔N·m ） ， ua 为 电 枢 电 压 〔V）。设激磁电流恒定， _
并忽略电枢反应。
ia La
ea Ra
Mc
负载
取ua为给定输入量， ω为输出量，Mc为扰动量，忽略电枢电感， 得:
因而，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工 作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数 在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函 数。
EXIT
第2章第19页
2.2.2 举例
y
① 一个自变量 y=f(r)
y0+△y
y0
r—元件的输入信号，y—元件的输出
AB
设信原号运行于某平衡点〔静态工作点）
频率特性
同一个系统，可以选用不同的数学模型， 如研究时域响应时可以用传递函数， 研究频域响应时则要用频率特性。
EXIT
第2章第5页
4.建立方法
a.分析计算法
分析计算法是根据支配系统的内在运动规律以 及系统的结构和参数，推导出输入量和输出量之间 的数学表达式，从而建立数学模型——适用于简单 的系统。
自动控制原理第六版课件-第二章【可编辑全文】
⑶ 传递函数的局限性： 只适用于描述线性定常SISO系统，也只直接反应系统在零初始
条件下的动态特性。
2021/3/10
讲解：XX
12
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
2．5 典型环节及其传递函数
1. 典型环节的传递函数及其单位阶跃响应
序号 典型环节
传递函数
1
比例环节
[s2Y（s）-s y (0-)- y′(0-)]+2[sy（s）- y (0-)]+2Y（s）= X（s）
代入已知条件，注意X（s）=L[x（t）]=L[δ(t)]=1
整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）
故 y（t）= L-1[Y（s）]= L-1[1/（s2+2s+2）]
=(1/2j) L-1 [1/（s+1-j）-1/（s+1+j）] =(1/2j)[ e-（1-j）t- e-（1+j）t] = e-tsint
⑶ 特点及建模原则：（略）
2021/3/10
讲解：XX
2
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
2． 建模方法及步骤
⑴ 方法：分析法（主）和实验法；
⑵ 主要步骤：
※ 确定系统的输入、输出变量； ※ 从输入端开始，依次列写各元件/环节的运动方程式（如微分 方程）； ※ 消去中间变量，并将其化为标准注形式。
8
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
由于 u c′（0）= u c′（t）t=0 =i（0）/C 将已知各条件代入后有：
（s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(s+2)
条件下的动态特性。
2021/3/10
讲解：XX
12
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
2．5 典型环节及其传递函数
1. 典型环节的传递函数及其单位阶跃响应
序号 典型环节
传递函数
1
比例环节
[s2Y（s）-s y (0-)- y′(0-)]+2[sy（s）- y (0-)]+2Y（s）= X（s）
代入已知条件，注意X（s）=L[x（t）]=L[δ(t)]=1
整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）
故 y（t）= L-1[Y（s）]= L-1[1/（s2+2s+2）]
=(1/2j) L-1 [1/（s+1-j）-1/（s+1+j）] =(1/2j)[ e-（1-j）t- e-（1+j）t] = e-tsint
⑶ 特点及建模原则：（略）
2021/3/10
讲解：XX
2
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
2． 建模方法及步骤
⑴ 方法：分析法（主）和实验法；
⑵ 主要步骤：
※ 确定系统的输入、输出变量； ※ 从输入端开始，依次列写各元件/环节的运动方程式（如微分 方程）； ※ 消去中间变量，并将其化为标准注形式。
8
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
由于 u c′（0）= u c′（t）t=0 =i（0）/C 将已知各条件代入后有：
（s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(s+2)
自动控制原理第二章复习总结(第二版)
第二章 过程装备控制基础本章内容：简单过程控制系统的设计复杂控制系统的结构、特点及应用。
第一节 被控对象的特性一、被控对象的数学描述（一） 单容液位对象1．有自衡特性的单容对象2．无自衡特性的单容对象（二） 双容液位对象1．典型结构：双容水槽如图2-5所示。
图2-5 双容液位对象 图2-6 二阶对象特性曲线2．平衡关系：水槽1的动态平衡关系为：3．二阶被控对象：1222122221)(Q K h dt dh T T dth d T T ⨯=+++式（2-18）就是描述图2-5所示双容水槽被控对象的二阶微分方程式。
称二阶被控对象。
二、被控对象的特性参数（一）放大系数K（又称静态增益）（二）时间常数T（三）滞后时间τ（1）．传递滞后τ0（或纯滞后）：（2）．容量滞后τc可知τ=τ0+τc。
三、对象特性的实验测定对象特性的求取方法通常有两种：1．数学方法2．实验测定法（一）响应曲线法：（二）脉冲响应法第二节单回路控制系统定义：（又称简单控制系统），是指由一个被控对象、一个检测元件及变送器、一个调节器和一个执行器所构成的闭合系统。
一、单回路控制系统的设计设计步骤：1．了解被控对象2．了解被控对象的动静态特性及工艺过程、设备等3．确定控制方案4．整定调节器的参数（一）被控变量的选择（二）操纵变量的选择（三）检测变送环节的影响（四）执行器的影响二、调节器的调节规律1．概念调节器的输出信号随输入信号变化的规律。
2．类型位式、比例、积分、微分。
（一）位式调节规律1．双位调节2．具有中间区的双位调节3．其他 三位或更多位的调节。
（二）比例调节规律（P ）1．比例放大倍数（K ）2．比例度δ3．比例度对过渡过程的影响（如图2-24所示）4．调节作用比例调节能较为迅速地克服干扰的影响，使系统很快地稳定下来。
通常适用于干扰少扰动幅度小、符合变化不大、滞后较小或者控制精度要求不高的场合。
（三）比例积分调节规律（PI ）1．积分调节规律（I ）（1）概念：调节器输出信号的变化量与输入偏差的积分成正比⎰⎰==∆t I t I dt t e T dt t e K t u 00)(1)()(式中：K I 为积分速度，T I 为积分时间。
精品课件-自动控制原理-第2章
1 sn
F(s)
n
(2.15)
第二章 线性系统的数学描述
4) 初值定理 函数f(t)在t=0时的函数值可以通过f(t)的拉氏变换F(s)乘 以s取s→∞时的极限而得到, 即
lim f (t) f (0) lim sF(s)
t 0
s
(2.16)
第二章 线性系统的数学描述
5) 终值定理 函数f(t)在t→+∞时的函数值(即稳定值)可以通过F(s)的 拉氏变换F(s)乘以s取s→0 时的极限而得到, 即
c(0) c(0) c(0) c(n1) (0) 0 r(0) r(0) r(0) r(m1) (0) 0
则根据拉氏变换的定义和性质,对式(2.18)进行拉氏变换, 并令 C(s)=L［c(t)］, R(s)=L［r(t)］,可得
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s bm ]R(s)
第二章 线性系统的数学描述
2.1.1 电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电容、运算放大器等元 件组成的电路, 又称电气网络。我们将电阻、电感和电容等本身 不含有电源的器件称为无源器件,而将运算放大器这样本身包含 电源的器件称为有源器件。仅由无源器件构成的电气网络称为无 源网络；如果电气网络中含有有源器件或电源, 就称之为有源网 络。
第二章 线性系统的数学描述
2.1.2 机械系统
【例 2-3】 图2-3表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器 的机械位移装置。其中k是弹簧系数，m是运动部件质量，μ是阻 尼器的阻尼系数；外力f(t)是系统的输入量，位移y(t)是系统的 输出量。试确定系统的微分方程。
解 根据牛顿运动定律, 运动部件在外力作用下克服弹簧拉
自动控制原理-第二章全
其中： fs (t) Kx(t)
弹簧力
fd (t)
阻尼力
B
dx(t dt
)
m
K
B
所以有：
m
d 2 x(t) dt 2
B
dx(t) dt
Kx(t)
f
(t)
特点：f (t) 为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化
了相同的位移x(t) 。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
A1(0.5 j0.866) A2 (0.5 j0.866)
使等号两端的实部和虚部分别相等有 解之得 A1 1, A2 0
0.5.866
所以
F (s)
1 s
s2
s s 1
1 s
(s
s 0.5 0.5)2 (0.866 )2
（4）对部分分式进行拉式反变换，即得微分方程 的解。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
d 2 xc dt 2
5 dxc dt
6xc
6u(t)
u(t) 1(t)
设初始条件为 xc (0) 2, xc (0) 2 求输出量 xc (t)
解： 将微分方程取拉氏变换
(s
0.5 0.5)2 (0.866 )2
所以 f (t) 1 e0.5t cos 0.866 t 0.57e0.5t sin 0.866 t
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
例：已知
F (s)
s2 s2
9s 33 6s 34
求 f (t) L1 F (s)
F (s) M (s) A1 A2 An
自动控制原理_详解
(2 3)
• 例2. 设有一弹簧质 量 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将 产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
F(t)
M
k y(t)
f
解：分析质量块m受力，有 外力F, 弹簧恢复力 Ky（t） 阻尼力 fdy(t ) / dt 惯性力 md 2 y / dt 2 由于m受力平衡，所以
以上分析的稳、快、准三方面的性能指标往往由于 被控对象的具体情况不同，各系统要求也有所侧重， 而且同一个系统的稳、快、准的要求是相互制约的。
第二章 自动控制系统的数学模型
基本要求 2-1 控制系统微分方程的建立
2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 传递函数 (transfer function) 2-4 动态结构图
下面根据不同的信号源来分析自动控制的几种基本控制方式
• 开环控制 – 按给定值操纵的开环控制 – 按干扰补偿的开环控制 • 按偏差调节的闭环控制 • 复合控制
一、按给定值操纵的开环控制
•开环控制——系统的输出端与输入端之间不存在反馈 回路，输出量对系统的控制作用没有影响。
干扰 给定值
计算
执行
受控对象
北京航空航天大学
返回子目录
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或 间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响， 也近似为放大特性，如图中虚线所示。
返回子目录
• 例2. 设有一弹簧质 量 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将 产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
F(t)
M
k y(t)
f
解：分析质量块m受力，有 外力F, 弹簧恢复力 Ky（t） 阻尼力 fdy(t ) / dt 惯性力 md 2 y / dt 2 由于m受力平衡，所以
以上分析的稳、快、准三方面的性能指标往往由于 被控对象的具体情况不同，各系统要求也有所侧重， 而且同一个系统的稳、快、准的要求是相互制约的。
第二章 自动控制系统的数学模型
基本要求 2-1 控制系统微分方程的建立
2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 传递函数 (transfer function) 2-4 动态结构图
下面根据不同的信号源来分析自动控制的几种基本控制方式
• 开环控制 – 按给定值操纵的开环控制 – 按干扰补偿的开环控制 • 按偏差调节的闭环控制 • 复合控制
一、按给定值操纵的开环控制
•开环控制——系统的输出端与输入端之间不存在反馈 回路，输出量对系统的控制作用没有影响。
干扰 给定值
计算
执行
受控对象
北京航空航天大学
返回子目录
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或 间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响， 也近似为放大特性，如图中虚线所示。
返回子目录
自动控制原理---第二章可编辑全文
解：
sa
x(0) lim sX (s) lim
s
1
s
s s a
s
x() lim sX (s) lim 0
s0
s0 s a
二.复习拉氏反变换
1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t)
x(t ) L1 X (s) 1 j X (s)e st dt
2j j
2.求拉氏反变换的方法
（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微 分方程式的正确与否。
相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形
式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。
上面两个例题介m绍dd2t的2y 系f统ddy，t 就ky是相F (似t)系统。模拟技术：当分析一个
例2-1
机械系统或不易进行试
在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生 电枢电流ia ，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD ， 从而使电枢旋转，拖动负载运动。
Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过 程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与
激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。 下面推导其微分方程式。
方程数与变量数相等！ 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入 输出的方程式。 6) 将方程式化成标准形。
与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按 降阶排列，系数化为有物理意义的形式。
2.2.2 机械平移系统举例
三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f 对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv
第二章 控制系统的数学模型
主要内容: 1.数学模型的概念,建模的原则
自动控制原理第2章 习题及解析
第二章 习题解析2-4 当系统处于零初始条件下时，给系统输入单位阶跃响应信号，其输出响应为2()1t t y t e e --=-+试求该系统的传递函数。
参考解答：2111421()()21(2)(1)s s Y s R s s s s s s s s++=-+==++++ 22()42()()32Y s s s G s R s s s ++==++2-5 某可控硅整流器的输出电压d 2cos U KU αΦ=式中，K 为常数；2U Φ为整流变压器副边相电压有效值；α为可控硅的控制角。
设α在0α附近作微小变化，试将d U 与α的关系式线性化。
参考解答：将非线性微分方程d 2cos U KU αΦ=进行线性化，即在平衡点α0 附近将其展为泰勒级数取一次近似，线性化后用变量增量的线性方程ΔU d = C Δα 代替原来的非线性方程，式中常数2020sin sin dd dU C KU U KU d ααααααΦΦ===-→∆=-∆略去增加量符号“Δ”，上式可简写为20sin d U KU ααΦ=- 2-6 试求图2-70所示电路的传递函数()/()y r U s U s 。
参考解答：图 a)可作出该无源电路的动态结构图（图a-1）亦可作成图（图a-2）所示由结构图等效变换可求得传递函数212()11()()11c r U s R Cs bTs U s R R Cs Ts ++==+++式中21212(),1R T R R C b R R =+=<+ ，该网络称为滞后网络。
图 b)由图（b ）网络可作出其动态结构图（b-1），简化为（b-2）即可得传递函数：112221122112212()(1)(1)()()1y r U s R C s R C s U s R C R C s R C R C R C s ++=++++该网络称为滞后-超前网络（滞后-超前电路）。
2-7 试求图2-71所示有源电路的传递函数y r ()/()U s U s 。
《自动控制原理 》课件第2章
为
L
d i(t) dt
R i(t )
uc (t)
ur (t)
uc
(t)
1 C
i(t)dt
消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入与输出之间关 系的微分方程为
LC
d2 uc (t) dt2
RC
d uc (t) dt
uc (t)
ur (t)
(2-1)
令T1＝L/R，T2＝RC均为时间常数，则有
T1T2
d
dt
K 1 K0
(
dug dt
u
g
)
1
K
m
K
0
(Ta
dM c dt
Mc)
(2-19) 式(2-19)表明：电机转速控制中，电机的转速ω既与给定作 用ug有关，又和扰动作用Mc有关。
当ug为变量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统， Mc一般不变。此时微分方程为
TaTm 1 K0
d2
dt2
Tm K0
速ω之间的关系为
TaTm
d2
dt2
Tm
d
dt
Ku K3K2K1(
d ug dt
ug )
(2-16)
(5)测速发电机：测速发电机的输出电压uf与其转速ω
成正比，即
uf＝Kf·ω
式中：Kf是测速发电机的比例系数。
(2-17)
合并方程式(2-13)～(2-17)，消去中间变量u1、u2、ua和 uf，经整理后得
1 K0
d
dt
K
1 K0
(
d ug dt
ug )
(2-20)
当ug为常值，Mc为变化量时，系统为恒值调速系统。此时 的微分方程为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
自动控制原理
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
系统的数学模型是描述系统的输入、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表达式。 自动控制系统中描述系统内在规律的数学模型的形 式很多，单输入单输出系统主要采用微分方程、传递 函数、结构框图和信号流图来描述，最优控制或多变 量系统主要采用传递矩阵、状态方程来描述。 列写元件或系统微分方程的一般步骤： （1）确定元件或系统的输入、输出变量。 （2）按信号传递的顺序依次列写个元件的微分方程。 （3）消去中间变量求得系统的微分方程，并标准化。
标准化：将与输入有关各项移至等式右侧，将与输出有关各项移至 等式右侧，并按降幂排列。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的质量、弹簧、阻尼器机械位移系 统的运动微分方程。 解： 由牛顿力学第二定律有：
d 2 x(t ) f (t ) f s (t ) f d (t ) m dt 2
K1x1 (t ) x2 (t ) f (t )
dx3 (t ) f (t ) dt
（2）各部件的位移与作用力 f (t ) 的关系为
K1
x1
K2 x2 (t ) x3 (t ) f (t )
B
K2
B
x2
x3
1 1 1 ) f (t ) f (t )dt （3）所以系统运动微分方程为 x1 (t ) ( K1 K 2 B
d 2uc duc LC 2 RC uc u r dt dt
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
一、拉氏变换与拉式反变换
拉氏变换时一种函数变换，它能把一个实数域（时间域）的实 变函数变换为一个在复数域与它等价的复变函数。
（一）定义
拉氏变换
象函数
原函数
F (s) L f (t ) f (t )e st dt
其中： f s (t ) Kx(t )
弹簧力
f (t )
m
dx (t ) dt
K B
f d (t ) B
阻尼力
d 2 x(t ) dx(t ) 所以有： m B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt 特点： f (t ) 为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化 了相同的位移 x(t ) 。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的机械位移系统的运动微分方程。 解： 根据力平衡原理，作用于各部件的为同一外
力 f (t ) ，而系统的总位移x1 (t ) 为各部件位移之和。 （1）机械位移方程式
f (t )
x1 (t ) x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) x3 (t ) x3 (t )
f (t )在 t 0 时 刻的积分值
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
4.初值定理 f (0 ) lim sF (s)
s
5.终值定理 f () lim sF ( s)
1 例：求 F ( s) ( s 2) 2 的原函数 f (t ) 的初始值 f (0) 和f (0) 解：1）由初值定理有 f (0) lim s lim 1 0 s (s 2) 2 s s 4 4 s s s f (0) 可得 L f (t ) 2）因 L f (t ) sF ( s) f (0) 2 ( s 2) ( s 2) 2
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的RLC无源网络的运动微分方程。 解： 根据基尔霍夫电压定律有： di 1 ur Ri L idt dt C 1 uc idt C
消去中间变量Leabharlann 即可得运动微分方程LR C
ur
i
uc
2 d uc duc 令 T LC R C /(2 L ) 有 T 2T uc u r 2 dt dt 2 d u du 2 2 c c 令 T 1 / n 有 T 2 u n n c n ur 2 dt dt 2
1 1 s 1 s2 1 sn 1 sa 1 (s a) 2
(t )
1(t )
s2 2
sin t
t
t n 1 ( n 1)!
e at
te
at
s s2 2
cost
e at sin t e at cost
( s a) 2 2 sa ( s a) 2 2
d 2.微分定理 L f (t ) sF ( s) f (0) dt
d2 2 L 2 f (t ) s F ( s) sf (0) f (0) dt
3.积分定理
L
1 f (t )dt F ( s ) f ( 1) (0) s
2 s 2 2s 2
1 2
et sin( 1 2 t )
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
所以由初值定理有
s0
f (0) lim s
s
s 1 lim 1 2 s 4 4 (s 2) 1 2 s s
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
（三）常用函数的拉氏变换表
象函数 F ( s) 原函数 f (t ) 象函数 F ( s) 原函数 f (t )
0
复变量
原变量
拉氏反变换
1 c j st f (t ) L F ( s) F ( s ) e ds c j 2j
1
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
（二）有关拉氏变换的几个常用定理
1.线性性质 Laf1 (t ) bf2 (t ) aF 1 ( s) bF 2 ( s)
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
系统的数学模型是描述系统的输入、输出变量以及 内部各变量之间关系的数学表达式。 自动控制系统中描述系统内在规律的数学模型的形 式很多，单输入单输出系统主要采用微分方程、传递 函数、结构框图和信号流图来描述，最优控制或多变 量系统主要采用传递矩阵、状态方程来描述。 列写元件或系统微分方程的一般步骤： （1）确定元件或系统的输入、输出变量。 （2）按信号传递的顺序依次列写个元件的微分方程。 （3）消去中间变量求得系统的微分方程，并标准化。
标准化：将与输入有关各项移至等式右侧，将与输出有关各项移至 等式右侧，并按降幂排列。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的质量、弹簧、阻尼器机械位移系 统的运动微分方程。 解： 由牛顿力学第二定律有：
d 2 x(t ) f (t ) f s (t ) f d (t ) m dt 2
K1x1 (t ) x2 (t ) f (t )
dx3 (t ) f (t ) dt
（2）各部件的位移与作用力 f (t ) 的关系为
K1
x1
K2 x2 (t ) x3 (t ) f (t )
B
K2
B
x2
x3
1 1 1 ) f (t ) f (t )dt （3）所以系统运动微分方程为 x1 (t ) ( K1 K 2 B
d 2uc duc LC 2 RC uc u r dt dt
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
一、拉氏变换与拉式反变换
拉氏变换时一种函数变换，它能把一个实数域（时间域）的实 变函数变换为一个在复数域与它等价的复变函数。
（一）定义
拉氏变换
象函数
原函数
F (s) L f (t ) f (t )e st dt
其中： f s (t ) Kx(t )
弹簧力
f (t )
m
dx (t ) dt
K B
f d (t ) B
阻尼力
d 2 x(t ) dx(t ) 所以有： m B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt 特点： f (t ) 为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化 了相同的位移 x(t ) 。
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的机械位移系统的运动微分方程。 解： 根据力平衡原理，作用于各部件的为同一外
力 f (t ) ，而系统的总位移x1 (t ) 为各部件位移之和。 （1）机械位移方程式
f (t )
x1 (t ) x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) x3 (t ) x3 (t )
f (t )在 t 0 时 刻的积分值
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
4.初值定理 f (0 ) lim sF (s)
s
5.终值定理 f () lim sF ( s)
1 例：求 F ( s) ( s 2) 2 的原函数 f (t ) 的初始值 f (0) 和f (0) 解：1）由初值定理有 f (0) lim s lim 1 0 s (s 2) 2 s s 4 4 s s s f (0) 可得 L f (t ) 2）因 L f (t ) sF ( s) f (0) 2 ( s 2) ( s 2) 2
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 元件和系统微分方程的建立
例：列写如图所示的RLC无源网络的运动微分方程。 解： 根据基尔霍夫电压定律有： di 1 ur Ri L idt dt C 1 uc idt C
消去中间变量Leabharlann 即可得运动微分方程LR C
ur
i
uc
2 d uc duc 令 T LC R C /(2 L ) 有 T 2T uc u r 2 dt dt 2 d u du 2 2 c c 令 T 1 / n 有 T 2 u n n c n ur 2 dt dt 2
1 1 s 1 s2 1 sn 1 sa 1 (s a) 2
(t )
1(t )
s2 2
sin t
t
t n 1 ( n 1)!
e at
te
at
s s2 2
cost
e at sin t e at cost
( s a) 2 2 sa ( s a) 2 2
d 2.微分定理 L f (t ) sF ( s) f (0) dt
d2 2 L 2 f (t ) s F ( s) sf (0) f (0) dt
3.积分定理
L
1 f (t )dt F ( s ) f ( 1) (0) s
2 s 2 2s 2
1 2
et sin( 1 2 t )
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
所以由初值定理有
s0
f (0) lim s
s
s 1 lim 1 2 s 4 4 (s 2) 1 2 s s
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
（三）常用函数的拉氏变换表
象函数 F ( s) 原函数 f (t ) 象函数 F ( s) 原函数 f (t )
0
复变量
原变量
拉氏反变换
1 c j st f (t ) L F ( s) F ( s ) e ds c j 2j
1
第二章 自动控制系统的数学模型
2.2 用拉普拉斯变换方法解微分方程
（二）有关拉氏变换的几个常用定理
1.线性性质 Laf1 (t ) bf2 (t ) aF 1 ( s) bF 2 ( s)