第6章 第34讲-不等式、推理与证明

课时达标 第34讲-不等式、推理与证明
一、选择题
1．已知f (x )＝x ＋1
x －2(x <0)，则f (x )有( )
A ．最大值为0
B ．最小值为0
C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
C 解析 因为x ＜0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1
－x
，即x ＝－1时，等号成立．
2．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.a ＋b 2≥ab (a ＞0，b ＞0)
B ．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0) C.2ab a ＋b ≤ab (a ＞0，b ＞0) D.a ＋b 2
≤
a 2＋
b 2
2
(a ＞0，b ＞0) D 解析 由AC ＝a ，BC ＝b 可得圆O 的半径r ＝a ＋b 2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b
2－b ＝
a －
b 2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b
2≤
a 2＋
b 2
2
.故选D. 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( ) A. 2 B ．4 C ．2
D ．2 2
C 解析 因为a ≥0，b ≥0，所以a ＋2b ≥0，又因为a (a ＋2b )＝4，所以4＝a (a ＋
2b )≤(a ＋a ＋2b )2
4
，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时，等号成立．所以(a ＋b )2≥4，所以a ＋b ≥2.
4．函数y ＝^x 2＋2
x －1(x >1)的最小值是( )
A ．23＋2
B ．23－2
C ．2 3
D ．2
A 解析 因为x ＞1，所以x －1＞0.
所以y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3
x －1
＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3
x －1＋2
≥2
(x －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3x －1＋2＝23＋2.
当且仅当x －1＝3
x －1
，即x ＝1＋3时，等号成立．
5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4
b ＋1的最小值是( )
A ．1 B.94 C ．9
D ．16
B 解析 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14×⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝9
4，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1
，即b ＋1＝2(a ＋1)时，等号成立．故选B.
6．(2019·南昌模拟)不等式x 2＋2x ＜a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的
取值范围是( )
A ．(－2,0)
B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C ．(－4,2)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
C 解析 不等式x 2＋2x ＜a b ＋16b
a
对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x ＜
⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min ，因为a b ＋16b a
≥2
a b ·16b
a
＝8(当且仅当a ＝4b 时，等号成立)，所以x 2＋2x ＜8，解得－4＜x ＜2.
二、填空题
7．设P (x ，y )是函数y ＝2
x
(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．
解析 因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时，等号成立．
答案 2 2
8．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，则3x ＋2y 的最大值为________． 解析 由a ＋b
2
≤
a 2＋
b 2
2
得3x ＋2y ≤2·(3x )2＋(2y )2＝2·3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝5
2
时，等号成立．
答案 2 5
9．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为________．
解析 由题意设BC ＝x (x ＞1)，AC ＝t (t ＞0)，依题设AB ＝AC －0.5＝t －0.5，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，化简并整理得t ＝x 2－0.25x －1(x ＞1)，即t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝1＋32时，等号成立，此时t 取
最小值2＋ 3.
答案 2＋ 3 三、解答题
10．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
的最小值．
解析 因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ＋(a ＋
b ＋
c )≥2(a ＋b ＋c )，
即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．
解析 (1)因为x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0，所以xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，所以xy (xy
－8)≥0，又xy ≥0，所以xy ≥8，即xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即8y ＋8y －4y 2＝0，即y ＝4，x ＝16时，等号成立，所以xy 的最小值为64.
(2)因为2x ＋8y ＝xy >0，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y
x ≥10＋2
2x y ·8y x ＝18，当且仅当2x y ＝8y
x
，即x ＝2y ，即4y ＋8y －2y 2＝0，即y ＝6，x ＝12时，等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.
12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．
(1)试将y 表示成x 的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？
解析 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240
x －1，所以y ＝400k ＋(k ＋
1)(x 2＋x )＝400⎝⎛⎭⎫240x －1＋240x (x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240.故y 与x 的函数关系为y ＝96 000
x
＋240x －160(0＜x ＜240)．
(2)y ＝
96 000
x
＋240x －160≥296 000
x
·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x ＝240x ，即x ＝20时，等号成立，此时k ＝240x －1＝240
20－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．
13．[选做题]若正实数x ，y 满足(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)，则x ＋1
2y 的最大值为( )
A ．－1＋32
2
B ．－1＋33
2
C ．1＋33
2
D ．－1－32
2
A 解析 由(2xy －1)2＝(5y ＋2)(y －2)可得(2xy －1)2＝9y 2－(2y ＋2)2，即(2xy －1)2＋(2y ＋2)2＝9y 2，所以⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＋⎝⎛⎭⎫2＋2y 2＝9.因为⎝⎛⎭⎫2x －1y 2＋⎝⎛⎭
⎫2＋2
y 2≥⎝
⎛⎭⎫2x －1y ＋2＋2y 2
2
＝
⎝⎛⎭
⎫2x ＋1y ＋22
2
，当且仅当2x －1y ＝2＋2y 时，等号成立．所以⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＋22≤18，所以2x ＋1
y
≤32
32－2
2.所以x＋1
2y
的最大值为32
2
－1.
－2，即x＋1
2y≤。