第6章 第34讲-不等式、推理与证明

课时达标 第34讲-不等式、推理与证明

一、选择题

1．已知f (x )＝x ＋1

x －2(x <0)，则f (x )有( )

A ．最大值为0

B ．最小值为0

C ．最大值为－4

D ．最小值为－4

C 解析 因为x ＜0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1

－x

，即x ＝－1时，等号成立．

2．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )

A.a ＋b 2≥ab (a ＞0，b ＞0)

B ．a 2＋b 2≥2ab (a ＞0，b ＞0) C.2ab a ＋b ≤ab (a ＞0，b ＞0) D.a ＋b 2

≤

a 2＋

b 2

2

(a ＞0，b ＞0) D 解析 由AC ＝a ，BC ＝b 可得圆O 的半径r ＝a ＋b 2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b

2－b ＝

a －

b 2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b

2≤

a 2＋

b 2

2

.故选D. 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( ) A. 2 B ．4 C ．2

D ．2 2

C 解析 因为a ≥0，b ≥0，所以a ＋2b ≥0，又因为a (a ＋2b )＝4，所以4＝a (a ＋

2b )≤(a ＋a ＋2b )2

4

，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时，等号成立．所以(a ＋b )2≥4，所以a ＋b ≥2.

4．函数y ＝^x 2＋2

x －1(x >1)的最小值是( )

A ．23＋2

B ．23－2

C ．2 3

D ．2

A 解析 因为x ＞1，所以x －1＞0.

所以y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3

x －1

＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3

x －1＋2

≥2

(x －1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫

3x －1＋2＝23＋2.

当且仅当x －1＝3

x －1

，即x ＝1＋3时，等号成立．

5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4

b ＋1的最小值是( )

A ．1 B.94 C ．9

D ．16

B 解析 1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14×⎣⎢⎡

⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝9

4，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1

，即b ＋1＝2(a ＋1)时，等号成立．故选B.

6．(2019·南昌模拟)不等式x 2＋2x ＜a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的

取值范围是( )

A ．(－2,0)

B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

C ．(－4,2)

D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)

C 解析 不等式x 2＋2x ＜a b ＋16b

a

对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x ＜

⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min ，因为a b ＋16b a

≥2

a b ·16b

a

＝8(当且仅当a ＝4b 时，等号成立)，所以x 2＋2x ＜8，解得－4＜x ＜2.

二、填空题

7．设P (x ，y )是函数y ＝2

x

(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．

解析 因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时，等号成立．

答案 2 2

8．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，则3x ＋2y 的最大值为________． 解析 由a ＋b

2

≤

a 2＋

b 2

2

得3x ＋2y ≤2·(3x )2＋(2y )2＝2·3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝5

2

时，等号成立．

答案 2 5

9．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为________．

解析 由题意设BC ＝x (x ＞1)，AC ＝t (t ＞0)，依题设AB ＝AC －0.5＝t －0.5，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 60°，即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，化简并整理得t ＝x 2－0.25x －1(x ＞1)，即t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝1＋32时，等号成立，此时t 取

最小值2＋ 3.

答案 2＋ 3 三、解答题

10．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求a 2b ＋b 2c ＋c 2

a

的最小值．

解析 因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2

a ＋(a ＋

b ＋

c )≥2(a ＋b ＋c )，

即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2

a

≥1. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．

解析 (1)因为x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0，所以xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，所以xy (xy