2.2.1 椭圆及其标准方程 优秀课件

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椭圆方程的理解
x y 1.方程 1表示焦点在x轴上的椭圆， a 3 则a的范围为( a>3 )。 x 2 y2 2.方程 1表示焦点在y轴上的椭圆， b 9 则b的范围为( 0<b<9 )。
3.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的
范围是(0,4) .
2
2
类型一 求椭圆的标准方程
1 9 sin 1 1 故 S ||PF |||1|PF ||sin 3 3 故 | PF | | PF | 9 F1S PF 1 2 F PF 2 2 故 S PF PF sin 60 F1PF21 22 2 1 2 1 cos 2 9 tan
设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆
的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的
y
和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2
的坐标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 O
M
F2 x
由椭圆的定义得
| MF1 | | MF2 | 2a .
因为 | MF1 | ( x c )2 y 2 ,| MF2 | ( x c )2 y 2 ,
x2 y 2 1 . 所以，所求椭圆的标准方程为 6 10
【变式练习2】
求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过经过点 P(－2,0)和Q(0,－3)的椭圆的标准方程.
类型二
椭圆的定义及其应用
x2 y2 例3. 已知椭圆的方程为： 1 ，请填空： 25 16 (1)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，
两边再平方，得
a 2a cx c x a x 2a cx a c a y ,
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
整理得
(a c ) x a y a (a c ),
2 2 2 2 2 2 2 2
两 边 同 除 以 a 2 ( a 2 c 2 )， 得 ：
类似的也可以得到椭圆的方程 y2 x2 为 2 2 1(a b 0). a b
椭圆的标准方程
x y 2 1a b 0 2 a b
2 2
y
F1
M F2
o
x
焦点在x轴：
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
y
F2
2 2 y x 焦点在y轴： 1(a b 0) a2 b2
⑵若∠F1PF2=60°，求△ F1PF2的面积 ⑶若∠F1PF2=θ，求△ F1PF2的面积
P
d
解 ⑵ ⑴ ⑶ 由椭圆定义得: |PF1|+|PF2|=10① 又a=5 b=3,∴c=4,2c=8
F1
F2
22 22 2+|PF 2 |· 由余弦定理得 ::|PF ||PF | -2|PF |PF |cos60 °=64 由勾股定理得 : | ② 22 由余弦定理得 |PF | +|PF +|PF |PF |cosθ=64 ②② 11 2 11|· 1 2| -2|PF 2| =64 22 ① ②得 2 |PF |· |PF |=36 ① ②得 3 |PF |· |PF |=36 ① -2 ②得 2(1+cosθ) |PF |PF2|=36 11 22 1|·
练习1
已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
2 2
(2,0), 并且经过点 ( 5 , 3 ) .求它的标准方程.
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设
x2 y2 它的标准方程为 2 2 1 ( a b 0). a b
由椭圆的定义知
5 3 2 5 3 2 2 2 2 a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10 2 2 2 2
d F1 F2
P

2
x2 y2 练习1.已知F1、F2是椭圆 25 9 1 的焦点，P为椭圆上
一点，且 PF1 PF2，则 F1 PF2 的面积为_____.
圆锥曲线
2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
椭圆形的实物
每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在 椭圆的一个焦点上。
探究点1：椭圆的画法及图像
数学实验



(1)取一条细绳， (2)把它的两端固定在板上 的两点F1、F2 (3)用铅笔尖（M）把细绳 拉紧，在板上慢慢移动看 看画出的 图形
∴ ( ) ( ) 1
联立①②可求得：a 2 10, b 2 6 y 2 x2 1 ∴椭圆的标准方程为 10 6
a
5 2 2 2
b
3 2 2 2
2 2
F2
……②
F1
x
(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的 2 x2 标准方程为 y 2 1 (a b 0) 2 a b 由椭圆的定义知，
思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
第一步： 如何建立适当的坐标系呢？
想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相 互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似 的方法呢？
y
y M
M F2 x
O
F1
O
F2
x F1
方案一
方案二
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直 平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
【变式练习1】
已知椭圆经过两点 ( 3 , 5 ) 和 ( 3 , 5 ) ，求椭圆的
2 2
标准方程. 解：设椭圆的标准方程为 mx ny 1(m 0, n 0, m n),
2 2
5 2 32 1 1 ( ) m ( ) n 1， . 则有 2 解得 m , n 2 6 10 ( 3) 2 m ( 5) 2 n 1，
例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 x2 2 y2 x 12 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上； y 2 2 16 1 y 1或 x (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上； 16 16 (3) 两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经 过点P（ -1.5 ，2.5）. (法一) 因为椭圆的焦点在y轴上， 解： y2 x2 设它的标准方程为 2 2 1 (a b 0) a b y ∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① P 3 5 又∵椭圆经过点 ，
答：在 y 轴（0，-5）和（0，5）
x y + 2 =1 2 m m +1
2
2
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
练习：
下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a 2 , b 2 ，写出焦点坐标.
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 (5) 3x 2 2 y 2 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 2 1 (6) 24 k 16 k m m 1
M
o
F1
x
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
两类标准方程的对照表
定 义 MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
y
图 形
F 1
y
M F 2
M
o
F2 x
o
F 1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
所以 ( x c ) y ( x c ) y 2a .
2 2 2 2
移项，再平方
( x c ) y 4a 4a ( x c ) y ( x c ) y ,
2 2 2 2 2 2 2
a 2 cx a ( x c )2 y 2 ,
观察做图过程
(1)绳长应当大于F1、F2之间的距离。 (2)由于绳长固定，所以 M 到两个 定点的距离和也固定。
椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
F1
M
F2
【提升总结】
练习：一动圆过点B（-3，0）， 而且与圆 C : ( x 3) y 64
2 2
内切，求该动圆圆心M源自文库
的轨迹方程。
y A
x y 1 16 7
2
2
M B -3 3C x
2 2 x y 例5.已知点P 是椭圆 1 25 9
一点 ， F1和F2 是椭圆的焦点，
⑴若∠F1PF2=90°，求△ F1PF2的面积
解：设｜PB｜＝r． ∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10． ∴两圆的圆心距｜PA｜＝10－r， 即｜PA｜＋｜PB｜＝10(大于｜AB｜)． ∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆． ∴2a＝10， 2c＝｜AB｜＝6， ∴a＝5，c＝3． ∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
x2 y 2 ＝1． 即点P的轨迹方程为 25 16
x y 2 1. 2 2 a a c
2
2
请看图片：你能从图中找出表示a , c , a 2 - c 2的线段吗？
解 ： 令 b 2 a 2 - c 2 ( a b 0 ),
2
P
a c
F 1
2
y
a
O c F2
x
x2 y2 所以椭圆的方程为 2 2 1(a b 0). a b
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之 和等于定值的点的轨迹是否一定为椭圆？
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2|
|MF1|+ |MF2|=|F1F2| |MF1|+ |MF2|＜|F1F2|
椭圆
线段 不存在
探究点2
椭圆的标准方程
设M是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别 为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距 离的和等于2a(2a>2c>0) ，求椭圆的轨迹方程.
3 2 5 ) ( 2) 2 2 2 3 1 10 10 2 2 2a ( 2 10 , a 10 . 又c 2, b 2 a 2 c 2 10 4 6. ( 3 2 5 ) ( 2) 2 2 2
y2 x2 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注:由标准方程判断焦点位置——“大定轴”
例1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并写出焦点坐标
x y + = 1 25 16
x y + =1 144 169
2 2
2
2
答：在 X 轴（-3，0）和（3，0）
8 并且CF1=2,则CF2=___.
（2）若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为
２0 ________
练习1.在△ABC中，已知A（-3，0）、B（3，0），动点
C满足|CA|、|AB|、|CB|成等差数列，则点C的轨迹方程
x2 y2 1( y 0) 为 36 27 。
2
例4. 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3， 0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．