函数的凹凸性与洛比达法则在高考导数压轴题中的应用_俞松

方程为 x + 2 y － 3 = 0 ．
数学学习与研究 2015. 5
（ 4）
（ Ⅱ） 因为当 x ＞ 0 ， f （ x） ＞ 且 x ≠ 1 时， k ＜1 － 2 xlnx x≠1 恒成立． 对 x ＞ 0， x2 － 1
令 φ（ x ） = 1 －
2 xlnx lnx（ x2 + 1 ） + 1 － x2 ， ．令 φ' （ x ） = 2 2 x －1 （ x2 － 1 ） 2 1 －x+ x
ZHUANTI YANJIU
专 题 研 究
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函数的凹凸性与洛比达法则在高考导数压轴题中的应用
◎俞 松 （ 湖北省襄阳市第五中学 441000 ） （ Ⅰ ） 求 a， b 的值； （ Ⅱ） 如果当 x ＞ 0 ， f（ x） ＞ 且 x≠1 时， 取值范围． 解 （ Ⅰ） a = 1 ， b = 1， f（ x） = lnx 1 + ． （ 过程略） x +1 x lnx k + ， 所以 x －1 x lnx k + ， 求k的 x －1 x 导数题是高考数学压轴题中最赏见的形式 ， 其涉及函 数的构造、 不等式的解法、 导数的运算、 应用 （ 极值与单调 性） 以及恒成立等诸多方面的内容 ， 综合考查学生的抽象思 逻辑推理与判断能力、 运算能力、 化归能力， 以及函 维能力、 数与方程、 分类与整合、 转化与化归等数学思想 ， 对学生有 给出的答案往 极高的要求． 而命题人由于教材内容的限制 ， 往出人意料， 显得太巧妙， 太艰涩难懂， 所以在高考有限的 答题时间内， 并不具有现实可操作性 ． 如果利用函数的凹凸 性与洛比达法则， 则可以起化巧为拙， 以拙胜巧之奇效！ 先了解以下内容（ 限于篇幅， 不作阐述与证明） ： 定义 1 函数 f（ x） 的导数的导数 （ 如果可导 ） 叫作函数 f（ x） 的二阶导数"记作 y″、 f″ （ x ） ． 类似地 "二阶导数的导数叫 （ n #1 ） 作三阶导数"三阶导数的导数叫作四阶导数 ． 一般地， ， y 阶导数的导数叫作 n 阶导数， 分别记作 y 定义 2
h（ x） = lnx（ x2 + 1 ） + 1 － x2 ， x∈（ 0， +∞） ， h' （ x ） = 2 xlnx， h″ （ x ） = 1 －
， …， y
（ n）
．
1 2 2 + 2lnx， h （ x） = 3 + ＞ 0， 所以 x x2 x
x2 定义在区间 I 的函数 f（ x） ， 对 I 中任意的 x1 ，
f（ x） f' （ x） = lim = A． 是 ±∞） ， 则 lim x→ x0 g （ x ） x→x0 g' （ x ） 这种以导数为工具研究不定式 （ 方法， 称为洛比达法则． 再用以上定理解下列高考压轴题 ： 例 数 f（ x） = （ 2011 年高考全国数学新课标卷 （ 理 ） 21 ） 已知函 alnx b + ， f （ 1 ） ） 处的切线 曲线 y = f （ x ） 在点 （ 1 ， x +1 x 0 ∞ 或 型 ） 的极限的 0 ∞
x→1 x→1 2
（ x1 ≠x2 ） 和任意的 λ ∈ （ 0 ， 1） ， 若都有 f［x1 + （ 1 － λ ） x2］ ＜ f （ x1 ） + （ 1 － λ ） f （ x2 ） ， 则称 f （ x ） 是 I 上的凹函数； 若都有 f［ x1 + （ 1 － λ） x2］＞ f（ x1 ） + （ 1 － λ） f （ x2 ） ， 则称 f （ x ） 是 I 上 y = log2 x 是凸函数． 的凸函数． 如 y = 2 是凹函数， 定理 1 如果函数 f（ x） 在区间 I 上二阶可导， 则 f（ x） 在 f （ x ） 在区间 I 上 区间 I 上是凹函数的充要条件是 f″（ x） ≥0 ， 是凸函数的充要条件是 f″（ x） ≤0 ． 定理 2
x→x0 x
Hale Waihona Puke Baidu
2 xlnx x2 － 1 － 2 xlnx ） = lim = 2 x→1 x －1 x2 － 1
） lim f （ x ） = 若 函 数 f （ x ） 和 g （ x ） 满 足： （ⅰ
x→x0
lim
x→1
（ x － 1 － 2 xlnx） ' 2 x － 2lnx － 2 = lim = 0， 从而 x→1 2x （ x2 － 1 ） ' φ（ x） ＞ 0 ， 从而所求 k≤0 ． 最后需要指出， 函数的凹凸性与洛比达法则的运用 ， 虽
lim g（ x） = 0（ 或∞ ） ； （ⅱ ） 在点 x0 的空心邻域 u0 （ x0 ） 内两者可 f' （ x） = A （ A 可以是实数， 也可以 g' （ x）
导， 且 g' （ x） ≠0 ； （ ⅲ ） lim
x→ x0
有超越高中教材之嫌， 但历来高考题的命制， 就是本着立足 于教材， 但不拘泥于教材， 更高于教材的原则， 更何况肩负 着为重点大学挑选优质生源重任的压轴题呢 ？ 同样， 对高 考压轴题的解法的研究 ， 也要放开思路， 挣脱现成解题方法 的约束． 而且对部分优秀学生来说 ， 在高三二轮或二轮复习 以后， 补充这部分内容， 既不会打乱高三数学复习计划 ， 也 不会增加他们的学习负担 ， 只会起到锦上添花的效果 ， 为他 们升入重点大学打下一定的基础 ．
h″（ x） 在（ 0 ， + ∞ ） 内单调递增． 因为 h″（ 1 ） = 0 ， 所以 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时， h″（ x） ＜ 0 ， h' （ x ） 单调递减， x ∈ （ 1 ，+ ∞ ） 时， h″ （ x ） ＞ 0， h' （ x） 单调递增， 所以 h' （ x） ≥h' （ 1 ） = 0 ， 从而 h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 内 单 调 递 增． 因 为 h （ 1 ） = 0 ， 1 ） 时， 所 以 x ∈ （ 0， h（ x） ＜ 0， x∈（ 1， + ∞ ） 时， h（ x） ＞ 0， φ'（ x） ＜ 0， φ（ x） 单调递减， φ'（ x） ＞ 0， φ（ x） 单调递增． 因为lim φ （ x ） = lim （ 1 －