【精品课件】弹性地基梁原理
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3弹性地基梁理论华科地下工程
x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为：
yq
x xa
aq bk
4 ( x-u)
du
分布荷载作用于地基梁
a. 均布荷载
荷载均布与ab段
xa x xb （积分限 [xa , x]）
yq
q bk
1 1 ( x xa )
q
q
bk
4 ( x xa )
M
q
q
2
2
3 ( x
xa )
q
2
弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
Y 0 化简得：
dQ ky q( x) dx
MA 0 省略二阶微量化简得：
Q dM dx
合并二式得：
d2M dx2
ky q( x)
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy
dx
d
d2y
M EI dx EI dx2
dM
d3y
Q dx EI dx3
d4y 代入化简得到挠曲微分方程： EI dx4 ky q( x)
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q( x) 0 ，得到对应齐次微分方程：
通解为：
EI
d4y dx4
ky
0
y eax A1 cos x A2 sinx eax A3 cos x A4 sinx
半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹 性的半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从 几何上、物理上对地基进行了简化。
缺点
• 没有反映地基的非弹性性质； • 没有反映地基的不均匀性； • 没有反映地基的分层特点； • 数学处理上比较复杂。
第3章弹性地基梁理论
2
(
x
-
x
a
)
q
q 1 x b - x a bk
1 1 ( x - xa )
M q
q xb - xa
1 4
3
2
( x- xa
)
Q q
q xb - xa
1 2 2
3 ( x - xa )
当 x xb 时，积分限是 [xa , xb] ，
yq
q k(xb
xa
)
(xb
xa) 1(xxb)
普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
温克尔假设： y
p k
把地基模拟为刚性 支座上一系列独立
的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层， 下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。
8 e ax sin ax
对于梁的左半部分，只需将式中 Q 和 改变负号即可。
无限长梁在集中力偶mi作用下的计算
反对称条件：
y 0 x0
M mi
x0
2
代入齐次微分方程通解得：
q kbl
x
1
2
2
yq
q bk
1- 1
q
q kbl
1 1
M
q
-
q
4 3l
4
q
2
bk
4
M
q
-
q
2
2
3
-
q
2 2l
3
弹性地基梁
ik ik bik ip ip bip
底板按弹性地基梁在外荷载 q 作用下，切口处 X i 方向的位移。
框架基本结构在外荷载作用下， X i 方向产生的位移（不包括底板）
求矩形框架 的内力
上部结构
N M M N
根据冗余力可X1、X2和X3计算出上 部框架的内力； （叠加法） 底板的内力根据弹性地基梁方法求出。
13 11 A A 10 9
2 u1 bK
2
13 11 A A 10 9
单位水平力时，墙顶转角及水平位移
2 2 2 u1 bK
2 10 13 A u2 bK 9 10 A
M i M 1i X 1 M 2i X 2 M ip Ni N1i X 1 N 2i X 2 N ip
底板的内力计算
按弹性半无限体计算地基梁的内力，在梁上受集
中力和受力矩荷载进行叠加。
主动侧压力e＝1时，墙顶的转角及水平位移
4 3 A e A bK 9 10
1 ue bK
14 15 A A 10 9
式中 A，n及φ1～φ4，φ9～φ15见教材310～ 312
AM 在单位力X1＝1作用下，A点产生弯矩：
MA＝1kN· m（顺时针）
＝表中系数
Ml EI
根据 MA＝1 kN· m，按照弹性地基梁计 算，在α＝1，ξ＝1处，产生的转角
A1 0.952
(1) 2.0 1.904 EI EI
A2
(3) 2.0 5.712 0.952 EI EI
地下建筑结构课件 第04章 弹性地基梁理论
xa ) − xa
)
)
(
xa
≤
x
≤
xb )
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O
=
−
q 2α
ϕHale Waihona Puke (x−xa )中国大学MOOC
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= ∆yq
q bk
(φ1( x−xb )
φ − ) 1( x−xa )
∆θq
=− qα
bk
= ∆M q
q
2α 2
(φ4( x−xb ) (φ3( x−xb )
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中国大学M
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S
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S0
O
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Po
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Pu
P
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§4.1 弹性地基梁及挠曲线方程
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斤 顶
千
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K为土弹簧的刚度系数（kN·m-1） k为抗力系数（kN·m-1） A为土弹簧的控制面积（m2）
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承压板
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ϕ2
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M0
1 4α 3EI
+
弹性地基梁计算理论及算例讲义
（一）集中荷载作用的特解项
1、集中力作用的特解项。
y 为OA如段的图挠3.度5为表一达弹式，性yd 地d 24 为xy41 基AB4 梁段4，y的1O挠o端度作表用达有式初，参由数梁上、无分、布3.1荷6 o a载、作o用，，AM点故o 有OAQ集和o中A力Bp段。的设挠y1
曲微分方程分别为
d d4 xy 4244y2o
上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非齐次微分
方程，令式中
EId4y ky0 dx4
qx o ，即得对应齐次微分方程：
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为寻找
四个线性无关的特解，令
y e rx 并代入上式有：
4 K
EI
或 4Kcosisin
3.16b
当前第20页\共有45页\编于星期五\19点
4. 弹性地基梁挠曲微分方程的特解
其中 x xxp
式（3.16a）的解可用梁端初参数来表示，即
y 1y o 1 o2 1 2 M o2 b 2 k3 Q ob k 4
（3.17）
式（3.16b）的解可用初参数作用下的解y1与集中力pi单独作用下引起的附加项叠
当前第6页\共有45页\编于星期五\19点
2. 半无限体弹性地基模型
✓优点：
✓缺点：
本章所讨论的弹性地基梁计算理论采用局部弹性地基模型。
当前第7页\共有45页\编于星期五\19点
3.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 及其初参数解
基本假设：
当前第8页\共有45页\编于星期五\19点
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
1. 局部弹性地基模型
✓优点：
3 弹性地基梁理论-第三讲
. 计算模型分类：
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设：
地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即
y p k
（3.1）
式中,y 为地基的沉陷，m ；k 为地基系数， kpa / m，其物理意义为：
图3.2 弹性地基梁的受力和变形
2. 半无限体弹性地基模型
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（半无限体是指占据整 个空间下半部的物体，即上表面是一个平面，并向四周和向下方无限 延伸的物体）。
✓优点：
一方面反映了地基的连续整体性，另一方面又从几何上、物理上对地基进行了 简化，可以把弹性力学中有关半无限弹性体这个古典问题的已知结论作为计算 的基础。
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
概述
弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初 参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁
算例
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与 地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础 梁，等等。
通过这种梁，将作用在它上面的荷载，分布到较大面积 的地基上，既使承载能力较低的地基，能承受较大的荷 载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力。 地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放 的，地基介质可以是岩石、粘土等固体材料，也可以是 水、油之类的液体介质。弹性地基梁是超静定梁，其计 算有专门的一套计算理论。
集中力p。设y1为OA段的挠度表达式，y2为AB段的挠度表达式，由梁上无 分布荷载作用，故OA和AB段的挠曲微分方程分别为
d 4 y1 dx4
1. 局部弹性地基模型
2. 半无限体弹性地基模型
1. 局部弹性地基模型
1867年前后，温克尔（E.Winkler）对地基提出如下假设：
地基表面任一点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比。即
y p k
（3.1）
式中,y 为地基的沉陷，m ；k 为地基系数， kpa / m，其物理意义为：
图3.2 弹性地基梁的受力和变形
2. 半无限体弹性地基模型
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（半无限体是指占据整 个空间下半部的物体，即上表面是一个平面，并向四周和向下方无限 延伸的物体）。
✓优点：
一方面反映了地基的连续整体性，另一方面又从几何上、物理上对地基进行了 简化，可以把弹性力学中有关半无限弹性体这个古典问题的已知结论作为计算 的基础。
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
概述
弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初 参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁
算例
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上，各点与 地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋混凝土条形基础 梁，等等。
通过这种梁，将作用在它上面的荷载，分布到较大面积 的地基上，既使承载能力较低的地基，能承受较大的荷 载，又能使梁的变形减小，提高刚度降低内力。 地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放 的，地基介质可以是岩石、粘土等固体材料，也可以是 水、油之类的液体介质。弹性地基梁是超静定梁，其计 算有专门的一套计算理论。
集中力p。设y1为OA段的挠度表达式，y2为AB段的挠度表达式，由梁上无 分布荷载作用，故OA和AB段的挠曲微分方程分别为
d 4 y1 dx4
《弹性地基梁理论》PPT课件
3. 初参数解
（一）初参数法
由式（3.11），再据式（3.5）有
y B1chx cosx B2chx sinx B3shx cosx B4shx sinx
2 B1chxsinx shx cosx B2 chx cosx shxsinx
B3 shxsinx chx cosx B4 shx cosx chxsinx
地下建筑结构弹性地基梁可以是平放的，也可以是竖放的，地基介质可以 是岩石、粘土等固体材料，也可以是水、油之类的液体介质。弹性地基梁 是超静定梁，其计算有专门的一套计算理论。
1. 荷载种类和组合
弹性地基梁与普通梁的区别：
普通梁只在有限个支座处与基础相连，梁所受的支座反力是有 限个未知力，因此，普通梁是静定的或有限次超静定的结构。 弹性地基梁与地基连续接触，梁所受的反力是连续分布的，弹 性地基梁具有无穷多个支点和无穷多个未知反力。
M 2EI 2 B1shx sinx B2shx cosx B3chx sinx B4chx cosx
Q 2EI 3B1chxsinx shx cosx B2 chx cosx shxsinx
B3 chx cosx shxsinx B4 chxsinx shx cosx
（3.12）
地基的变形是考虑还是略去，这是它们的另一个主要区别。
2. 弹性地基梁的计算模型
由于地基梁搁置在地基上，梁上作用有荷载，地基梁在荷 载作用下与地基一起产生沉陷，因而梁底与地基表面存在相互作用 反力 ，的大小与地基沉降y 有密切关系，很显然，沉降越大，反 力 也越大，因此在弹性地基梁的计算理论中关键问题是如何确定 地基反力与地基沉降之间的关系，或者说如何选取弹性地基的计算
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
地下建筑结构-第03章-弹性地基梁
d4y
qx o
，即得对应齐次微分方程：
EI ky 0
dx 4
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。 K
EI
或 4 K cos i sin
EI
由复数开方根公式得：
优点： 可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直 线分布假设中的缺点。
缺点：
没有反映地基的变形连续性，故温克尔假设 不能全面反映地基梁的实际情况。
2. 半无限体弹性地基模型 假设：
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（所谓 半无限体是指占据整个空间下半部的物体，即上表面 是一个平面，并向四周和向下方无限延伸的物体）。
（二）用初参数表示积分常数
如图3.4所示，梁左端的四个边界 条件（初参数）为
图3.4 弹性地基梁作用的初参数
y x o yo
x o o
M x o Mo
Q x o Qo
（3.13）
将上式代入式（3.12），解出 积分常数得：
3. 初参数解
B1 yo
2. 对应齐次微分方程的通解
由上式（3.8），分别令时k=1,2,3时，即可得四个线性无关的特解，将其进行 组合并引入四个积分常数，即得齐次微分方程式（3.7）的通解；
y ex A1 cosx A2 sin x ex A3 cosx A4 sin x （3.10）
Y1 = e( + i)x, 由叠加原理, 知
Y2 = e( – i)x
y1
Y1
2
Y2
ex cos x
y2
Y1
Y2 2i
qx o
，即得对应齐次微分方程：
EI ky 0
dx 4
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。 K
EI
或 4 K cos i sin
EI
由复数开方根公式得：
优点： 可以考虑梁本身的实际弹性变形，消除了反力直 线分布假设中的缺点。
缺点：
没有反映地基的变形连续性，故温克尔假设 不能全面反映地基梁的实际情况。
2. 半无限体弹性地基模型 假设：
把地基看作一个均质、连续、弹性的半无限体（所谓 半无限体是指占据整个空间下半部的物体，即上表面 是一个平面，并向四周和向下方无限延伸的物体）。
（二）用初参数表示积分常数
如图3.4所示，梁左端的四个边界 条件（初参数）为
图3.4 弹性地基梁作用的初参数
y x o yo
x o o
M x o Mo
Q x o Qo
（3.13）
将上式代入式（3.12），解出 积分常数得：
3. 初参数解
B1 yo
2. 对应齐次微分方程的通解
由上式（3.8），分别令时k=1,2,3时，即可得四个线性无关的特解，将其进行 组合并引入四个积分常数，即得齐次微分方程式（3.7）的通解；
y ex A1 cosx A2 sin x ex A3 cosx A4 sin x （3.10）
Y1 = e( + i)x, 由叠加原理, 知
Y2 = e( – i)x
y1
Y1
2
Y2
ex cos x
y2
Y1
Y2 2i
弹性地基梁计算理论和算例讲义46页PPT
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
弹性地基梁计算理论ຫໍສະໝຸດ 算例 讲义41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
弹性地基梁计算理论ຫໍສະໝຸດ 算例 讲义41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
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j i
n
地基 柔度系数求解的网格划分
s i i1 • p 1 • A 1 i2 • p 2 • A 2 in • p n • A 1 (i 1,2 n , j 1,2 n)
对于整个基础用矩阵表 示为：
s1 11 12 1n P1
s
2
s n
21
s P
K 1 Pks
半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点， 但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土 的弹性模量和伯松比值较为准确。
3. 分层地基模型
分层地基模型即是我国 地基基础规范中用以计 算基础最终沉降的分层 总和法(图)。按照分层 总和法，地基最终沉降 量等于压缩层范围内各 计算分层在完全侧限条 件下的压缩量之和。
2. 弹性半空间地基模型 适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性
基础。
原理： 弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向 同性的弹性半空间体。当Q作用在弹性半空间体表面上 时,根据布氏的解：
Q(1 2 )
S
Er
矩形均布荷载作用下矩形面积中点 的竖向位移计算
Fii
2
a b
ln
b a
b a
∑F=0
∑M=0
2. 变形协调条件：ωi=si 表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无
脱开现象。依据这来那个个条件求解基础梁的内力和 变形。
文克勒地基上梁的计算
一、文克勒地基上梁的解析式：
下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到 集中力或集中力矩作用时的解答。
短粱(即刚性梁)。对于λ≤π/4的条形基础，可按一般的独立 基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力 按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。
整个地基的压力和变形可 以写成下式：
S P0
P0 基 底 附 加 压 力 列 向 量 ；
i
地基柔度矩阵，系ij数 按下式计算：
m
ij k1 Eisjkkhk
σijk
j n
hk
压缩层下限
分层地基模型
S P0 P0 基 底 附 加 压 力 列 向 量 ； 地基柔度矩阵，系ij数 按下式计算：
lna b
a
2
1
b
ln1
a b
2
1
一般矩形受荷面积上各点变形和压力的关系的确定方 法：
首先把受荷面积划分成n个矩形网格，各网格的合力为 Pi=piAi作用于网格的形心。柔度系数δij为j网格中点作 用单位力（即Pj=1）作用下引起i网格中点的沉降。此 刻j网格上均布荷载Pj=1/Aj，按叠加原理，n个网格的 基底压力引起i网格中点的总沉降为：
弹性地基梁计算原理（补充内容一） 概述 柱下条形基础、筏板基础的简化计算方法都假定基础 是无限刚性，且不考虑上部结构刚性的影响。
如条形基础简化计算方法的适用条件：地基均匀、上 部结构刚度好、基础梁h≥l/6可以假定地基反力按直线分 布。若不满足上述条件应考虑地基梁和地基变形协调条 件，以确定地基梁的实际反力分布，使之尽量符合实际 情况。
1)长梁解 梁的挠度随加荷点的距离增加而减小．当梁端离加荷点距离
为无限远时，梁端挠度为零。在实际应用时，只要λL＞π，可将 其当作长梁处理，视梁端挠度为零。 (1)无限长梁受集中力P0的作用(向下为正)
设集中力作用点为坐标原点0，当x→∞时ω→0，从通解式可得： C1＝C2＝0。于是梁的挠度方程为
下面介绍常用的弹性地基模型和常用的分析方法。
注意：本节介绍的方法，仅考虑基础本身刚度作用，而 忽略上部结构刚度的影响。
一、弹性地基模型 地基模型：用以描述地基σ~ε的数学模型。 下面介绍的地基模型应注意其适用条件。
1. 文克尔地基模型 适用条件：抗剪强度很低的半液态土(如淤泥、软粘土等)
地基或塑性区相对较大土层上的柔性基础，采用该方 法比较合适。厚度度不超过梁或板的短边宽度之半的 薄压缩层地基(如薄的破碎岩层)上的柔性基础也适于该 方法。
地基基床系数表
这个假定是文克勒于1867年捉出的．故称文克勒地基模型。 该模型计算简便，只要k值选择得当，可获得较为满意的结 果。地基土越软弱，上的抗的强度越低，该模型就越接近 实际情况。
缺点：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按这一模 型．地基变形只发生在基底范围内，而基底范围外没有地 基金形，这与实际情况是不符的，使用不当会造成不良后 果。
地基计算的模型选用是地基上梁板分析的关键问题。 分析前应根据何在的大小和地基的实际情况选用合适 的地基模型。
二、静力平衡和变形协调条件
在地基梁板分析中，首先要选择合适的地基计算模型， 同时基础还应满足两个基本条件：静力平衡和变形协 调条件。
1.静力平衡条件： 作用在基础上的荷载和地基反力向平衡：
22
n1 n2
2n nn
P P
2 n
i
j n
简写成： s P
或写成： P k s K1
K 1
柔
度
系
数
可
ij
用
布
氏
公
式
得
到
。
ij
1 E
2
1 ai
Fii
1
rij
ij
r i j ( x i x j ) 2 ( y i y j ) 2i j
m
ij k1 Eisjkkhk
式中：m—压缩层厚度内的分层数；
hk—i网格中点下第k土层的厚度，m； Esk—i网格中点下第k土层的压缩模量，Kpa； σijk—j网格中点作用单位集中附加压力引起i网格中点下第k 土层中点的附加应力，Kpa。
该模型的计算结果比较符合实际情况，缺点：没有考虑低级 图的塑性变形。
由此可得：
QEIdd3x3 x0
P0 2
得 到 ： C P0
2kb
公式归纳如下：
p 0 2kb
Ax
p 0 2 2kb
Bx
Q
M
-P0 4
C
x
-P0 2
D
x
p
k
P 0 2b
Ax
式中：
AX CX
基本假定：地基上任一点所受的压力强度与该点的地基 沉陷s成正比，关系式如下:
P=ks
P=ks
k—地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度 (kN／m3)；
p—地基上任—点所受的压力强度(kPa)；
s— p作用位置上的地基变形(m)。
基床系数k可根据不同地基分别采用现场荷载试验、室 内三轴试验或室内固结试验成果获得。见下表。
n
地基 柔度系数求解的网格划分
s i i1 • p 1 • A 1 i2 • p 2 • A 2 in • p n • A 1 (i 1,2 n , j 1,2 n)
对于整个基础用矩阵表 示为：
s1 11 12 1n P1
s
2
s n
21
s P
K 1 Pks
半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点， 但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土 的弹性模量和伯松比值较为准确。
3. 分层地基模型
分层地基模型即是我国 地基基础规范中用以计 算基础最终沉降的分层 总和法(图)。按照分层 总和法，地基最终沉降 量等于压缩层范围内各 计算分层在完全侧限条 件下的压缩量之和。
2. 弹性半空间地基模型 适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性
基础。
原理： 弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向 同性的弹性半空间体。当Q作用在弹性半空间体表面上 时,根据布氏的解：
Q(1 2 )
S
Er
矩形均布荷载作用下矩形面积中点 的竖向位移计算
Fii
2
a b
ln
b a
b a
∑F=0
∑M=0
2. 变形协调条件：ωi=si 表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无
脱开现象。依据这来那个个条件求解基础梁的内力和 变形。
文克勒地基上梁的计算
一、文克勒地基上梁的解析式：
下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到 集中力或集中力矩作用时的解答。
短粱(即刚性梁)。对于λ≤π/4的条形基础，可按一般的独立 基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力 按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。
整个地基的压力和变形可 以写成下式：
S P0
P0 基 底 附 加 压 力 列 向 量 ；
i
地基柔度矩阵，系ij数 按下式计算：
m
ij k1 Eisjkkhk
σijk
j n
hk
压缩层下限
分层地基模型
S P0 P0 基 底 附 加 压 力 列 向 量 ； 地基柔度矩阵，系ij数 按下式计算：
lna b
a
2
1
b
ln1
a b
2
1
一般矩形受荷面积上各点变形和压力的关系的确定方 法：
首先把受荷面积划分成n个矩形网格，各网格的合力为 Pi=piAi作用于网格的形心。柔度系数δij为j网格中点作 用单位力（即Pj=1）作用下引起i网格中点的沉降。此 刻j网格上均布荷载Pj=1/Aj，按叠加原理，n个网格的 基底压力引起i网格中点的总沉降为：
弹性地基梁计算原理（补充内容一） 概述 柱下条形基础、筏板基础的简化计算方法都假定基础 是无限刚性，且不考虑上部结构刚性的影响。
如条形基础简化计算方法的适用条件：地基均匀、上 部结构刚度好、基础梁h≥l/6可以假定地基反力按直线分 布。若不满足上述条件应考虑地基梁和地基变形协调条 件，以确定地基梁的实际反力分布，使之尽量符合实际 情况。
1)长梁解 梁的挠度随加荷点的距离增加而减小．当梁端离加荷点距离
为无限远时，梁端挠度为零。在实际应用时，只要λL＞π，可将 其当作长梁处理，视梁端挠度为零。 (1)无限长梁受集中力P0的作用(向下为正)
设集中力作用点为坐标原点0，当x→∞时ω→0，从通解式可得： C1＝C2＝0。于是梁的挠度方程为
下面介绍常用的弹性地基模型和常用的分析方法。
注意：本节介绍的方法，仅考虑基础本身刚度作用，而 忽略上部结构刚度的影响。
一、弹性地基模型 地基模型：用以描述地基σ~ε的数学模型。 下面介绍的地基模型应注意其适用条件。
1. 文克尔地基模型 适用条件：抗剪强度很低的半液态土(如淤泥、软粘土等)
地基或塑性区相对较大土层上的柔性基础，采用该方 法比较合适。厚度度不超过梁或板的短边宽度之半的 薄压缩层地基(如薄的破碎岩层)上的柔性基础也适于该 方法。
地基基床系数表
这个假定是文克勒于1867年捉出的．故称文克勒地基模型。 该模型计算简便，只要k值选择得当，可获得较为满意的结 果。地基土越软弱，上的抗的强度越低，该模型就越接近 实际情况。
缺点：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按这一模 型．地基变形只发生在基底范围内，而基底范围外没有地 基金形，这与实际情况是不符的，使用不当会造成不良后 果。
地基计算的模型选用是地基上梁板分析的关键问题。 分析前应根据何在的大小和地基的实际情况选用合适 的地基模型。
二、静力平衡和变形协调条件
在地基梁板分析中，首先要选择合适的地基计算模型， 同时基础还应满足两个基本条件：静力平衡和变形协 调条件。
1.静力平衡条件： 作用在基础上的荷载和地基反力向平衡：
22
n1 n2
2n nn
P P
2 n
i
j n
简写成： s P
或写成： P k s K1
K 1
柔
度
系
数
可
ij
用
布
氏
公
式
得
到
。
ij
1 E
2
1 ai
Fii
1
rij
ij
r i j ( x i x j ) 2 ( y i y j ) 2i j
m
ij k1 Eisjkkhk
式中：m—压缩层厚度内的分层数；
hk—i网格中点下第k土层的厚度，m； Esk—i网格中点下第k土层的压缩模量，Kpa； σijk—j网格中点作用单位集中附加压力引起i网格中点下第k 土层中点的附加应力，Kpa。
该模型的计算结果比较符合实际情况，缺点：没有考虑低级 图的塑性变形。
由此可得：
QEIdd3x3 x0
P0 2
得 到 ： C P0
2kb
公式归纳如下：
p 0 2kb
Ax
p 0 2 2kb
Bx
Q
M
-P0 4
C
x
-P0 2
D
x
p
k
P 0 2b
Ax
式中：
AX CX
基本假定：地基上任一点所受的压力强度与该点的地基 沉陷s成正比，关系式如下:
P=ks
P=ks
k—地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度 (kN／m3)；
p—地基上任—点所受的压力强度(kPa)；
s— p作用位置上的地基变形(m)。
基床系数k可根据不同地基分别采用现场荷载试验、室 内三轴试验或室内固结试验成果获得。见下表。