2021届福建省福州第一中学高三上学期期中考试数学试卷

福州一中2020—2021学年第一学期

高三数学半期考试卷

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知命题2 :

1,2log 1x p x x ∀-≥≥，则p ⌝为 A ．21,2log 1x x x ∀<-< B ．21,2log 1x x x ∀-<≥ C ．21,2log 1x x x ∃<-< D ．21,2log 1x x x ∃-<≥

2．设复数z 满足

1

13i 2

z z +=--，则||z = A ．5B

C ．2D

3．已知集合{}2log (3)1P x x =-≤，322x Q x x ⎧-⎫

=⎨⎬⎩⎭

≤，则()R P Q =

A ．()0,1

B ．(]0,1

C ．[]1,2

D ．(]1,2

4．已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且125,,a a a 成等比数列，则6S =

A ．80

B ．85

C ．90

D ．95

5．设函数31

3

log , 0,

()log (), 0,x x f x x x >⎧⎪

=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是

A ．(1,0)(0,1)-

B ．(,1)

(1,)-∞-+∞

C ．(1,0)

(1,)-+∞ D ．(,1)(0,1)-∞-

6．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．问它的体积是多少?”这个问题的答案

是

A ．5立方丈

B ．6立方丈

C ．7立方丈

D ．9立方丈

7．设ln x a x =，ln y b y =，ln y c x =，其中x y >，则下列说

法正确的

是

A ．a c b ≤≤

B ．b c a ≤≤

C ．2ab c ≤

D ．2c ab ≤

12

3

4

8．已知函数()e e 2x x f x a -=++（a R ∈，e 为自然对数的底数），若()y f x =与))((x f f y =的值域相同，则a 的取值范围是

A ．0a <

B ．1a -≤

C ．04a <≤

D ．0a <或04a <≤ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9．已知2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-，下列说法正确的有

A ．()f x 的最小正周期是2π

B ．()f x 最大值为2

C ．()f x 的图象关于3

x π

=

对称

D ．()f x 的图象关于2,03π⎛⎫

- ⎪⎝⎭

对称

10．已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+（,x y R ∈），则x y +的可能取值为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．2

11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确

的有

A ．AC BE ⊥

B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值

C ．点A 到BEF 平面的距离为定值

D ．三棱锥A BEF -的体积是定值

12．在n n n A B C △（1,2,3,

n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C △的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222

1

24n n n a c b

++=

，222

124

n n n a b c ++=，则 A ．n n n A B C △一定是直角三角形B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 上的投影为3，则m =______．

14．设变量x ，y 满足约束条件142x y x y y --⎧⎪

+⎨⎪⎩

≥≤≥，则目标函数2z x y =+的最大值为______．

15．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6

x π

=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的

一个极小值点，则12x x +的最小值为______．

16．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD 的面积为11，则此三棱锥外接球的表面积为______．

F

O

C

B

A

D

E

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）

在①23ABC S =△，②1a b -=，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形

的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为

,,a b c ，且7c =，sin cos 6c A a C π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭， ？

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 18．（12分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ABC ⊥平面，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．

（1）若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：1CN AB M ∥平面； （2）若13

2

C M =，求二面角1A B M C --的大小． 19．（12分）

已知等比数列{}n a 的公比1q >，满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若12

log n n n b a a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使

121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．

20．（12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，0,90AD BC ABC ∠=∥，2AD =，23AB =，6BC =．

（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；

（2）PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值． 21．（12分）

一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以

8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=，

（1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ；