2021届福建省福州第一中学高三上学期期中考试数学试卷

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2021届福建省福州市八县(市)一中高三上学期期中联考数学试卷及答案

（1）求的通项公式；
（2）设 ,求数列的前项和 .
18．（本小题满分12分）
在① ,② ,
③ 这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答．
已知的角 , , 对边分别为 , ,而且______．
（1）求；
（2）求周长的范围．
19．（本小题满分12分）
已知如图①,在菱形中, 且 , 为的中点,将沿折起使 ,得到如图②所示的四棱锥 .
C．关于直线对称D．关于直线对称
8．已知可导函数的定义域为 ,其导函数满足 ,则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
二、选择题（每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的5分,有选错的得0分,部分选对得3分）
9．已知复数满足为虚数单位 ,复数的共轭复数为 ,则（）
A． B．
C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限
10．已知 ,如下四个结论正确的是（）
A．；B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为；D．
11．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 , ,则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．的面积为6
12．已知直三棱柱中, , , 是的中点, 为的中点.点是上的动点,则下列说法正确的是（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数是定义在上的偶函数,且函数在上是减函数,如果 ,则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
4．右图是一个正方体的展开图,则在该正方体中（）
A．直线与直线平行B．直线与直线相交
C．直线与直线异面且垂直D．直线与直线异面且所成的角为60°

2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案

2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2B ．4C ．6D ．84．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（） A ．a c b >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞10．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____14．已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.16．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为．18．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.23．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 24．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}．（1）若p=12，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围． 25．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.26．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-.考点：集合的运算3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =得2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.6．C解析：C 【解析】【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.7．C解析：C 【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．8．C解析：C 【解析】【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.10．C解析：C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．B解析：B 【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>，解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ，故答案为()(),40,-∞-+∞U ；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．14．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内15．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 16．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(0,6⎤⎦ 【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：06x ≤<，故函数()f x 的定义域为：(0,6⎤⎦．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）1439t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π= 要使()12t f x -=有两个根，则12342t -≤<，得1439t +≤< 即实数t 的取值范围是1439t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤），则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+，函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.23．当底面的长宽分别为3m ，4m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元【解析】设房屋地面的长为米，房屋总造价为元.24．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ；当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当时，应满足解得；即综上，实数p 的取值范围．【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．25．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。

2020-2021学年福州一中高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年福州一中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题()A. 若m∉M，则n∉MB. 若n∉M，则m∈MC. 若m∉M，则n∈MD. 若n∈M，则m∉M2.设复数z满足z(2−3i)=6+4i(i为虚数单位)，则|z|=()A. 4B. 2C. √2D. 13.设集合A={y|y=lnx,x>1}，集合B={x|y=√4−x2}，则A∩∁R B=()A. ⌀B. (0,2]C. (2,+∞)D. (−∞,−2)∪(2,+∞)4.实数a、b满足a<b<0，按顺序a、a+b、b、√ab可以构成的数列()2A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列5.给出四个函数，分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y)，②g(x+y)=g(x)·g(y)，③ℎ(x·y)=ℎ(x)+ℎ(y)，④m(x·y)=m(x)·m(y).又给出四个函数的图像，那么正确的匹配方案可以是()甲乙丙丁A. ①甲，②乙，③丙，④丁B. ①乙，②丙，③甲，④丁C. ①丙，②甲，③乙，④丁D. ①丁，②甲，③乙，④丙6.如图是一个简单几何体的三视图，其正视图和左视图是边长为2的正三角形，其俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为()A.B. C. D. 7. 下列函数中，满足f(xy)=f(x)+f(y)的单调递增函数是( )A. f(x)=log 2xB. f(x)=x 2C. f(x)=2xD. f(x)=log 12x 8. 若函数y =2 x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件则实数m 的最大值为( )A. B. 1 C. D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，f(5π12)=0，f(2π3)=−1，且f(x)在(−π3,π12)上单调，则下列结论正确的是( ) A. (−7π12,0)是f(x)的一个对称中心B. 函数f(x)的图象关于直线x =π6对称C. 函数f(x)在区间[π24,π4]的值域是[√22,√32]D. 将y =sinx 的图象的横坐标缩短为原来是12，然后向左平移π12个单位得到f(x)的图象10. 对任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，下列关系式中恒成立的是( ) A. |a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |B. (a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ =a ⃗ (b ⃗ ⋅c ⃗ )C. (a ⃗ +b ⃗ )2=|a ⃗ +b ⃗ |2D. (a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=|a ⃗ |2−|b ⃗ |211. 下列有关向量命题，不正确的是( )A. 若{a ⃗ ,b ⃗ }是平面向量的一组基底，则{a ⃗ −2b ⃗ ,−a ⃗ +2b ⃗ }也是平面向量的一组基底B. 已知点A(6,2)，B(1,14)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量为(−513,1213)C. 若a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一的实数λ，使得a ⃗ =λb ⃗D. 若|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=6，则|a ⃗ +b ⃗ |的取值范围[5,7]12. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可循的.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC =DB =14AB ，以CD 为边在线段AB 的上方作一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，到图3中的图形；……依此类推，得到第n 个图形．记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个结论，其中正确的有( )A. 数列{S n }是等比数列B. 数列{S n }是递增数列C. 存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2020D. 存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2020三、单空题（本大题共1小题，共5.0分）13. 在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为．四、解答题（本大题共9小题，共85.0分）14. 已知平面向量OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足条件OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1．(1)求证：△P 1P 2P 3是正三角形；(2)试判断直线OP 1与直线P 2P 3的位置关系，并证明你的判断．15.某人上午7：00乘汽车以v1千米/小时(30≤v1≤100)匀速从A地出发到距300公里的B地，在B地不作停留，然后骑摩托车以v2千米/小时(4≤v2≤20)匀速从B地出发到距50公里的C地，计划在当天16：00至21：00到达C地．设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x，y小时，如果已知所需的经费p=100+3(5−x)+2(8−y)元，那么v1，v2分别是多少时走的最经济，此时花费多少元？16.设函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，其中向量m⃗⃗⃗ =(2cosx,1)，n⃗=(cosx,√3sin2x)，x∈R．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f(A)=2，b=1，△ABC的面积为√3，求2 c的值．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinA=√3acosC(1)求角C的值；(2)若a=8，c=7，求△ABC的面积．18.如图，P为菱形ABCD所在平面外一点，且△PAD为正三角形，∠BAD=60°，E为PC的中点．(1)求证：AP//平面BDE；(2)求证：AD⊥PB．19.已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1−a n=2，n∈N∗，数列{a n}的前n项和为S n(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n公式；}的前n项和T n．(2)求数列{1a n⋅a n+120.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面相互垂直，AB//CD，AB⊥AB=1，点M在线段EC上．BC，DC=BC=12(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF；(2)若AE//平面MDB，求三棱锥E−MDB的体积．21.已知函数f(x)=xe x+1．(1)求函数f(x)的极值；(2)若直线y=m与函数f(x)的图象有两个不同交点A(x1,y1)，B(x2,y2)，求证：x1+x2<−2．22.已知f(x)=2ax+blnx−1，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=0．(Ⅰ)求实数a，b的值；(Ⅱ)设函数g(x)=mf(x)+x2−mx．2(i)若m∈R，求函数g(x)的单调区间；(ii)若1<m<3，求证：当x∈[1,e]时，g(x)<e2−2．2。

福建福州一中2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题及答案

福州一中2021—2022学年第一学期第一学段模块考试高三数学期中考试卷（完卷时间：120分钟满分150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设43i z i ⋅=-(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（）A. 4-B. 4C. 4i -D. 4i 2.已知全集{}15,U x x x Z =-≤≤∈，集合{}0,1,2,3,4A =，{}1,0,1,2B =-，则()UAB =（）A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}3,4D. {}3,4,53.已知21log 4a =，3log 2b =，322c =，则,,a b c 的大小关系为（） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a << 4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n a 是等比数列”为“存在R λ∈，使得11n n S a S λ+=+”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知2sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．19B ．19- C ．19± D ．89-6.已知数列{}n a 满足：()*12211,n n n a a a a a n N ++===+∈.若35759611k a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=，则k =（） A. B.C. D.7.设a 、b 、c为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈，则（）A.()()c a b a -⊥+B. ()()c b b a+⊥+C. ()()c a b a -⊥-D.()()cb c a+⊥- 8.若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 2x x x x x x -<-，则m 的最小值是（）A.1e B. e C. 1 D. 3e二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知0ab <，则（）A ．222a b ab +≥ B．a b +< C ．()0a a b -> D ．||2b aa b+≥10.设函数()f x 的定义域为D ，x D ∀∈，y D ∃∈，使得()()f y f x =-成立，则称()f x 为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（） A ．()2f x x =B ．()11f x x =- C ．()()ln 23f x x =+D ．()2cos f x x =11.若正三棱锥V ABC -和正四棱锥11111V A B C D -的所有棱长均为a ，将其中两个正三角形侧面VAB ∆与111V A B ∆按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是（） A.五面体 B.七面体 C.斜三棱柱 D.正三棱柱12.数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：ABC ∆的外心O ，重心G ，垂心H ，依次位于同一条直线上，GH 与GO 的比值为定值，该直线被称为欧拉线. 若4AB =，2AC =，则下列各式正确的是（） A. 20GO GH += B. 4AG BC ⋅= C. 6AO BC ⋅=- D. OH OA OB OC =++三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等比数列{}n a ，若1317a S ==，，则6S =______. 14.在ABC ∆中，已知3,5AB AC ==，23BAC π∠=，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，则BC =__________，sin DAC ∠=__________.15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点,M N 间隔3分钟先后从点P 出发，绕原点按逆时针方向作角速度为6π弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第5次达到最大值时，N 运动的时间为_________分钟.16.函数()int x 是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过x 的最大整数，例如()int 3.94-=-，()int 2.42=.已知函数()()()int ,0,log ,0ax x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩（0a >，且1a ≠），若()f x 的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）首先将函数()f x 的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移按8π个单位，最后再向上平移1个单位得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的值域.18．（12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AC AA ==，E 、F 分别是BC 、11A B 的中点．（1）求证：//EF 平面11ACC A ；（2）求直线AF 与直线1B C 所成角的余弦值．19.（12分）在①三边长成等差数列，②三边长为连续奇数，③22244c a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ∆，它的内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且a b c <<，2C A =，_____？注：选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，1=1a ，点()*,n S n n N n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在斜率为12的直线上.数列{}n a 、{}n b 满足()111222+12n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅=-⋅. （1）求数列{}{}n n a b 、的通项n n a b 、；（2）若数列{}n a 中去掉数列{}n b 的项后，余下的项按原来的顺序组成数列{}n c ，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T .21. （12分）如图所示，在底半径为R 、高为H （,H R 为定值，且H R ≤）的圆锥内部内接一个底半径E FC 1B 1A BA 1为r 、高为h 的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决. 甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式（图甲），乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式（图乙）. （1）设1V 、2V 分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径r 为自变量分别表示1V 、2V ；（2）试分别求1V 、2V 的最大值()1max V 、()2max V ，并比较()1max V 、()2max V 的大小.22．（12分）形如()()k x y h x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()k x y h x k x h x ==，两边对x 求导数，得()()()ln ()()h x y k x h x k x y h x '''=+，于是()()()()()ln ()()k x h x y h x k x h x k x h x ⎡⎤⎢⎥⎣''=+⎦'. 已知()()()0,xf x xx =∈+∞，()21()22ag x x a R =+∈ （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()()0,,()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立，求a 的取值范围.高三数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACAABCDA二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中.有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 答案ACDBCDACACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ____63____; 14.（1）___7 ____（2）___437___; 15.___49.5____; 16.__11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭__ 四、解答题：本题共6小题，共70分.17【解析】（1）由图象得2A =，13332,212344T πππωω-==⋅=，........................2分.由()13522,21223k k k Z πππϕπϕπ⨯+=+=-+∈........................3分.0,3πϕπϕ≤≤∴=.......................4分 ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.......................5分（2）()2sin 412sin 41836g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.......................8分当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，114,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]sin 41,16x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，......9分()[]1,3g x ∴∈-....10分18.【解析】（Ⅰ）证明：如图，取11B C 的中点G ，连接EG ，FG ，...................1分因为E ，F 分别是BC ，11A B 的中点，所以1//EG CC ，11//FG AC ，...................2分又1111111,,//EG ACC A CC ACC A EG ACC A ⊄⊂∴平面平面平面，同理11//FG ACAC 平面...................4分又EGFG G =，1111CC A C C =，所以平面//EFG 平面11ACC A ，...................5分又EF ⊂平面EFG ，所以//EF 平面11ACC A ．...................6分（Ⅱ）法一：（几何法）取AB 中点M ，因连结1B M ，因为F 为11A B 中点，所以1//AF B M ，1CB M ∴∠（或其补角）为直线AF 与直线1B C 所成角....................8分124AC AA ==，E ，F 分别是BC ，11A B 的中点∴在1MB C ∆中，1MB1B CMC设直线AF 与直线1B C 所成角θ根据余弦定理得222+cosθ-==...................10分所以直线AF 与直线1B C ．...................12分法二：（向量法）如图所示，在平面ABC 内过A 作直线AX AE ⊥.以A 为原点，分别以1AX AE AA ，，的方向为x 轴，y 轴，，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系....................7分则(0A ，0，0)，(1F2)，()1B ，(2C -，，0)，...................9分所以(1AF =2)，()14,0,2B C =--，设直线AF 与直线1B C 所成角θ...................10分所以1110cos =5AF B C AF BCθ⋅=⋅...................11分所以直线AF 与直线1B C ．...................12分 19【解析】选①，不妨设()(),,0,,,0+a b d b b c b d d a b c =-==+>∈∞，..................1分由正弦定理得sin 2sin b d b d A A +-=，得2sin cos sin b d b dA A A +-=，()cos 2b d A b d +=-，..................4分由余弦定理得()()()()()222244cos 222b b d b d b bd b dA b b d b b d b d ++--++===+++..................7分所以()()422b d b db d b d ++=-+，整理的25bd d =，因为0d >，所以5b d =..................9分而三边长为()45,60d d d d >，能构成三角形，所以()()()2224561cos 2458d d d C d d+-==⋅⋅..................11分即1cos 8C =...................12分 (用正弦定理将三边关系转化为角的关系、结合三倍角公式也可解决此问题) 另解：由2b a c =+得，2sin sin sin B A C =+，..................1分即()323sin 4sin sin 2sin cos A A A A A -=+，..................5分sin 0A >，化简得28cos 2cos 30A A --=，()()2cos 14cos 30A A +-=，..................9分2cos 10,A +>解得3cos 4A =，..................11分 1cos cos 28C A ==...................12分选②，不妨设()2,,23a n b n c n n =-==+≥，且n 为奇数..................1分由正弦定理得22sin 2sin n n A A +-=，222sin cos sin n n A A A+-=，得()2cos 22n A n +=-..................5分由余弦定理得()()()222228cos 2224n n n n A n n n ++--+==++..................9分所以()()82=2222n n n n +++-，整理的()()()2822n n n +-=+，所以10n =..................11分因为10n =不为奇数，不合题意，故不存在奇数满足要求..................12分选③，2C A =，222sin sin 2=2sin cos =2sin 2b c a C A A A A bc+-∴=⋅，..................3分由正弦定理得()2222222=22b c a ac a c b c a bc b+-⋅⇒=⋅+-..................6分 222222222114544,,4456a abc a b b a c c c c b b c ⎛⎫+=∴-=∴=⋅+∴== ⎪⎝⎭，，..................11分1cos 8C ∴=.................12分20【解析】（1）数列{}n a 的前n 项和是n S ，1=1a ，点()*,n S n n N n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭均在斜率为12直线上，()*112,12n n S S n n N n n -∴-=≥∈-，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是1以首项，12为公差的等差数列..................1分()2*1+,=22n n S n n n S n N n +∴=∴∈..................1分当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，1=1a 满足上式，故()*n a n n N =∈.................4分数列{}n a 、{}n b 满足()111222+12n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅=-⋅2n ≥时，()1122-1-12+22n n n a b a b a b n ++⋅⋅⋅=-⋅，两式相减得，2nn n a b n =⋅，1n =满足上式，故()*2n n n a b n n N =⋅∈..................6分()*2n n b n N ∴=∈ n a n ∴=，()*2n n n a b n n N =⋅∈.................8分（2）设数列{}n a 中前p 项中有数列{}n b 的q 项，则100p q -=，2qp ≤，即求满足2100q q ≤+的最大正整数q ，易得6q =，所以数列{}n a 中前106项有数列{}n b 的6项，..................10分所以()()()6261001062121106106=2225545212T S ⨯-+⨯-++⋅⋅⋅+=-=- (11)分1005545T ∴=.................12分21.【解析】（1）如图，设,,,AC H CB R DE x EF y ====，................1分根据三角形相似得，1,1,1x H y y y x x R y H R H H H R -⎛⎫⎛⎫==-∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭................2分 ①若圆柱“竖放”，则(),10r x r h y h H r R R ⎛⎫==∴=-<< ⎪⎝⎭，()3222110r r V r h r H H r r R R R πππ⎛⎫⎛⎫∴==-=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭................4分②若圆柱“横放”，则22,21022h r H x y r h R r H ⎛⎫⎛⎫==∴=-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，322222221202r r H V r h r R R r r H H πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-=-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (6)分（2）①()221320r V H r r R R π⎛⎫'∴=-<< ⎪⎝⎭，由2132=0r V H r R π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，解得23r R = 当203r R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，10V '>；当23r R R ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时，10V '<； ()221max 243327HV R R H ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.................8分②()226220r V R r r R H π⎛⎫'∴=-<< ⎪⎝⎭由22622=0r V R r H π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭解得13r H =当103r H ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，20V '>；当132H r H ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，20V '<；()222max223327H V R RH ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭.................10分()()()2212max max 4222272727V V R H RH RH R H πππ-=-=-.......11分 ()()12maxmax ,H R V V ≤∴>.................12分22【解析】（1）由()xy f x x ==，不妨设()h x x =，()k x x =..............1分由幂指函数导数公式得()(ln 1)x f x x x '=+，..............2分所以(1)1f '=，又(1)1f =，所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x =..................3分（2）先寻找必要条件：若()()0,,()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立，则()(1)1f g ≥，解得1a ≤.................4分证明充分性：当1a ≤时，若()()0,,()x f x g x ∀∈+∞≥恒成立，构造()()()F x f x g x =-，(0,)x ∈+∞，则()()()(ln 1)x F x f x g x x x ax '''=-=+-，..............5分令()()(ln 1),(0,)x M x F x x x a x '==+-∈+∞，所以()21ln 2(1)ln ()ln 11(ln 1)x x x x x x M x x x x e x e a --'=++-=++-，因为1x -与ln x 同号，所以(1)ln 0x x -，所以(1)ln 1x x e a -≥≥，..............7分（也可以对()0,1x ∈[)1+x ∈∞，分类讨论） ln 2(ln 1)0x x e x +≥所以()0M x '，所以()M x 即()F x '为(0,)+∞上增函数，.................8分又因为(1)0F '=，所以，当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F ''<=；当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>=. 所以，()F x 为(0,1)上减函数，为(1,)+∞上增函数，.................10分所以，min ()(1)0F x F ==，无最大值.又因为(1)0F '=，所以，当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F ''<=；当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>=.()()0,,()x f x g x ∴∀∈+∞≥恒成立，.................12分。

福建省福州市八县(市)一中2021届高三上学期期中联考数学试题

12020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷高中三年数学科试卷命题学校：永泰一中命题教师：审核教师：考试日期：11月12日完卷时间：120分钟满分：150 分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A ={x ∈Z |x 2−5x −6≤0}， B ={x |2<2x <128}，则A ∩B =（） A ．{x |1<x ≤6}B ．{2,3,4,5,6}C ．{x |1≤x ≤6}D ．{−1,0,1,2,3,4,5,6}2．已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“a >−2”，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果f (3)=−1，则不等式f (x −1)+1≥0的解集为（） A ． (−∞，2]B ．[2，+∞)C ．[−2，4]D ．[1，4]4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面且垂直D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°5．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若S 2=1，S 4=5，则S 7=（）． A ．S 7=10 B ．S 7=23 C ．S 7=623D ．S 7=12736．已知m >0，n >0，m +4n =2，则4m+1n的最小值为（）A ．36B ．16C ．8D ．417．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象（） A ．关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线x =π4对称D ．关于直线x =−π4对称8．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（）A ．(,2021)-∞-B ．(2021,2020)--C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限10．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（）A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； B ．四边形ABCD 为平行四边形；C ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗夹角的余弦值为145； D ． |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√85 11．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）1A ．tan 2C =B ．4A π=C ．2b =D ．∆ABC 的面积为612．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111ABC 所成的角的正切值为5 B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若10cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2−3n −1，则n a =__________．15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，PA =PB =AB =AC =2√3，120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________ .16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln xf x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

福建省福州市八县(市)一中2021届高三上学期期中联考数学试题

福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、未知1．已知集合{}{}2|560|22128xA x Z x xB x =∈--≤=<<，，则A B ⋂=（） A ．{}|16x x <≤ B ．{}23456，，，， C ．{}|16x x ≤≤D ．{}10123456-，，，，，，， 2．已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“2a >-”，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（）A ．](2-∞，B ．[)2，+∞ C ．[]24-，D ．[]14， 4．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（）. A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =5．已知0042m n m n >>+=，，，则41m n+的最小值为（） A ．36B ．16C ．8D ．46．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，||2ϕπ<)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象（） A ．关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线4x π=对称D ．关于直线4πx =-对称7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A ．tan 2C =B ．4A π=C．b =D ．ABC 的面积为68．已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =--，则n a =__________.9．在三棱锥P ABC -中，PAB 平面垂直平面ABC，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.10．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且233n n S a += （1）求{}n a 的通项公式；（2）设3311log log nn n b a a ，求数列{}n b 的前n项和n T .11()cos cos sin C a B b A c C +=，②sinsin 2A Ba c A +=，③()()2sin 2sin 2sin ab A b a Bc C -+-=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，c =___________.（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的范围.12．已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使AD =A BCDE -.（1）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（2）若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.13．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.（1）若6πθ=，求观光通道l 的长度；（2）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 14．已知函数()axf x x e =的极值为1e-.（1）求a 的值并求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）已知函数()()0mxlnxg x em m=->，存在()0x ∞∈+，，使得()0g x ≤成立，求m 得最大值.15．已知函数()()()21002x f x ln ax a x x -=+->≥+，. （1）当12a =时，讨论函数()y f x =的单调性；（2）若不等式()1f x ≥在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()()*11111ln 1357212n n N n ++++<+∈+.二、单选题16．下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面垂直 D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°17．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（） A ．(,2021)-∞- B ．(2021,2020)-- C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-三、多选题18．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限19．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（） A ．AB AC ⊥；B ．四边形ABCD 为平行四边形；C ．AC 与BD夹角的余弦值为145； D ．85AB AC +=20．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111A BC B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30°四、填空题21．若cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 22．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln xf x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.。

2020-2021学年福州市八县(市)一中高三上学期期中数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年福州市八县(市)一中高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x||x|<2}，则A ∩B 等于( )A. (−1,2)B. (−2,−1)C. (−2,3)D. (−1,3)2.已知i 是虚数单位，则(1+i)2的共轭复数是( )A. −2iB. −2+iC. 2iD. 1+2i3.函数是( )A. 偶函数B. 既是奇函数又是偶函数C. 奇函数D. 非奇非偶函数函数4.已知函数f(x)是函数y =log a x(a >0且a ≠1)的反函数，则函数y =f(x)+2图象恒过点的坐标为( )A. (1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (0,3)5.“a >2”是“一元二次方程x 2+ax +1=0有实根”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)在R 上为奇函数，对任意的x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，总有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)x<0的解集为( )A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(0,1)C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(1,+∞)7.已知，且对任意，都有则的值是( )A.B.C.D.8.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若B =2A ，a =1，b =，则c = ( )．A. 2B. 2C.D. 19.已知三角形ABD 的边BD 上一点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +4y的最小值为( )A. 9B. 8C. 4D. 310. 函数y =Acos(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则函数y =Acos(ωx +φ)的递减区间是( )A. [2kπ+π4,2kπ+5π4],k ∈Z B. [2kπ−π4,2kπ+3π4],k ∈Z C. [kπ+π8,kπ+5π8],k ∈Z D. [kπ−π4,kπ+3π4],k ∈Z11. 下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是( )①已知ab ≠0，求ab +ba 的最小值；解答过程：a b+b a≥2√a b⋅ba=2；②求函数y =x 2+5√x 2+4的最小值；解答过程：可化得y =√x 2+4+1√x 2+4≥2；③设x >1，求y =x +2x−1的最小值；解答过程：y =x +2x−1≥2√2xx−1，当且仅当x =2x−1即x =2时等号成立，把x =2代入2√2x x−1得最小值为4．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12. 已知函数f(x)=sinx ，f(x)的导数是( )A. 偶函数B. 奇函数C. 增函数D. 减函数二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)的定义域[−1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y =f′(x)的图象如图所示 x−1 0245 F(x) 1 21.5 21下列关于函数f(x)的命题； ①函数f(x)的值域为[1,2]； ②函数f(x)在[0,2]上是减函数③如果当x ∈[−1,t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y =f(x)−a 最多有4个零点．其中正确命题的序号是______ ．14. 等差数列{a n }中，a n 的前项和为S n ；若有a 1=−2014，S 20152015−S20132013=2，则S 2014= ______ ． 15. 已知变量x ，y 满足{x +3≥0x −y +4≥02x +y −4≤0，则z =x +3y 的最大值为______．16. 若方程2 ax 2−1=0在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在数列{a n }和{b n }中，已知a 1=2，a 2=6，a n+2a n =3a n+12(n ∈N ∗)，b n =a n+1a n，(1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若P n =1log 3a n+12，S n 为数列{p n }的前n 项和，求S n ．18. 已知函数f(x)=sinxcosx −sin 2x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)设△ABC 为锐角三角形，角A 的对边长√2，角B 的对边长√3，若f(A)=0，求△ABC 的面积．19. 已知函数f(x)=lnx +ax ．(1)当a >0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为1，求实数a 的取值范围；(其中e 为自然对数的底数)； (3)若f(x)<12x 在(1,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．20. 各项为整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =14a n2+12a n +14(n ∈N +). (1)求a n ；(2)设数列{a n +b n }的首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n ．21. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.向量m ⃗⃗⃗ =(a,√3b)，n ⃗ =(cosA,sinB)且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ． (I)求A ；(II)若a =3，求△ABC 周长的最大值．22. 已知函数f(x)=alnx+12x2−(1+a)x(x>0)，其中a为实数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对任意的正整数m，n，不等式1ln(m+1)+1ln(m+2)+⋯+1ln(m+n)>nm(m+n)恒成立．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}=(−1,3)，B={x||x|<2}=(−2,2)，∴A∩B=(−1,3)∩(−2,2)=(−1,2)故选：A．先分别求出集合A和集合B，然后再求出集合A∩B．本题考查集合的性质和运算，解题时要根据实际情况，注意公式的灵活运用．2.答案：A解析：解：复数(1+i)2=2i的共轭复数为−2i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查共轭复数的定义、复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：试题分析：因为f(−x)=−f(x)，所以选C。