【压轴卷】高中必修二数学下期中一模试题带答案(1)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（）
A． 9 2
B． 9 2
C．18
D． 40
9．点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，AB=BC= 2 ，AC=2，若四面体 ABCD 体积的最大
值为 2 ，则这个球的表面积为（ ） 3
A． 125 6
B． 8
C． 25 16
D． 25 4
10．已知点
1,
2
和
3 3
,
0
在直线
l
:
ax
y
1
0a
【压轴卷】高中必修二数学下期中一模试题带答案(1)
一、选择题 1．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为
30 ，则该长方体的体积为（ ）
A． 8
B． 6 2
C．8 2
D．8 3
2．已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
（1）求证： A1D1 / / 平面 AB1D （2）若平面 ABC 平面 BCC1B1,B1BC 60 ，求三棱锥 B1 ABC 的体积. 22．如图四棱锥 C ABDE 的侧面 ABC 是正三角形， BD 面 ABC ， BD / / AE 且 BD 2 AE ， F 为 CD 的中点.
PA 7 ，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 2
A． 81 2
B． 81 4
C． 65
D． 65 2
8．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，BAC 120，AP 2, AB 2 ，M 是线
段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积是
M 是线段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ， 则：当 AM BC 时，线段 PM 达到最小值， 由于： PA 平面 ABC ， 所以： PA2 AM 2 PM 2 ， 解得： AM 1 ， 所以： BM 3 ， 则： BAM 60 ， 由于： BAC 120 ， 所以： MAC 60 则： ABC 为等腰三角形． 所以： BC 2 3 ，
在斜边 AC 的中点上，设小圆的圆心为 Q ，若四面体 ABCD 的体积的最大值，由于底面
积 S ABC 不变，高最大时体积最大，所以， DQ 与面 ABC 垂直时体积最大，最大值为
1S 3
ABC ·DQ
2 3
，即 1 1 DQ 3
2 ，∴ DQ 3
2 ，设球心为 O
，半径为 R
，则在直角
AQO 中， OA2 AQ2 OQ2 ，即 R2 12 2 R2 ，∴ R 5 ，则这个球的表面积
在 ABC 中，设外接圆的直径为 2r 2 3 4 ， sin120
则： r 2 ，
所以：外接球的半径 R
22
2 2 2
9， 2
则： S 4 9 18 ， 2
故选：C． 【点睛】
本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意知， ABC 是一个直角三角形，其面积为1 ．其所在球的小圆的圆心
2．B
解析：B 【解析】 试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故 B 正确. 考点：空间点线面位置关系．
3．D
解析：D 【解析】
设直线 l0
的倾斜角为
，则斜率
k0
tan
1 2
，所以直线 l
的倾斜角为 2
，斜率
k
tan 2
1
2
tan tan2
4 3
，又经过点（1,0），所以直线方程为 y
分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.
详解：在斜二测直观图中 OB=2,OA=2, 所以在平面图形中 OB=2,OA=4， OA⊥OB， 所以
面积为 S 1 2 4 4 . 2
选 C.
点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观 图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的 形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
（1）求证： EF / / 面 ABC
（2）若 BD AB 6 ，求 BF 与平面 BCE 所成角的正弦值
23．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形， AB / /CD ， AB 3CD 3 ，
AB AD ， AB PA， 且 AD PA 2 ， PD 2
2
，
AM 3 ， BN 4 ， PC 5 ，则多面体 ABC MNP 体积为________
18．正三棱柱的底面边长为 ，高为 2，则它的外接球的表面积为
．
19．在各棱长均为1 的正四棱锥 P ABCD 中， M 为线段 PB 上的一动点，则当
AM MC 最小时， cos AMC _________
AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为
________．
15．已知三棱锥 D ABC 的体积为 2， ABC 是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥 D ABC 的外接球的球心 O 恰好是 CD 的中点，则球 O 的表面积为_______. 16．若圆 C1 ： x2 y2 ax by c 0 与圆 C2 ： x2 y2 4 关于直线 y 2x 1对称，则 c ______. 17．底面边长为 2 的正三棱柱 ABC A1B1C1 被不平行于底面的平面 MNP 所截，其中
A．
1 3
,
3 4
二、填空题
B．
1 3
,
3 4
C．
5 12
,
3 4
D． 5 , 3 12 4
13．已知平面 α 与正方体的 12 条棱所成角相等，设所成角为 θ，则 sin ______.
14．在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l : y 2x 上在第一象限内的点， B5,0 ，以
2
9，
2
4
故该球的表面积为 S 4 R2 81 . 4
故选：B.
【点睛】
本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先确定三角形 ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定
球的表面积．
【详解】
解：如图所示：
三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，AP 2, AB 2 ，
4
为： S
4
5 4
2
25 4
；故选Ｄ．
考点：球内接多面体，球的表面积．
10．D
解析：D
【解析】
设直线 l 的倾斜角为 θ∈[0,π).点 A(1,−2),B( 3 ,0). 3
直线 l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点 P(0,−1).
kPA
1 2
0 1
1, kPB
知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点
确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项 D,空间
四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选 C.
【点睛】
本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.
5．B
解析：B 【解析】
【分析】
【详解】
①a∥α，a⊥b⇒b 与 α 平行，相交或 b⊂α，故①错误； ②若 a∥b，a⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得 b⊥α，故②正确； ③a⊥α，a⊥b⇒b 与 α 平行，相交或 b⊂α，故③错误； ④若 a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得 a∥b，故④正确．
故选 B．
6．C
解析：C 【解析】
A．若 m / /, n / /, 则 m // n
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m n ，则 n / /
D．若 m / / ， m n ，则 n
3．已知直线 l 过点 (1, 0) ，且倾斜角为直线 l0 ： x 2 y 2 0 的倾斜角的 2 倍，则直线 l
0
的两侧，则直线
l
的倾斜角的
取值范围是 ( )
A．
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
,
3
B．
3
,
2 3
C．
2 3
,
5 6
D．
0, 3
3 4
,
11．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )
A．
B．
C．
D．
12．若方程1 4 x2 kx 2k 4 有两个相异的实根，则实数 k 的取值范围是（ ）
的方程为（ ）
A． 4x 3y 3 0
B． 3x 4y 3 0
C． 3x 4y 4 0
D． 4x 3y 4 0
4．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D．四边形确定一个平面
5．设 表示平面， a ， b 表示直线，给出下列四个命题：① a ， a b b ；
20．小明在解题中发现函数 f x x 3 ， x 0,1 的几何意义是：点 x, x x 0,1
x2
与点
2,
3
连线的斜率，因此其值域为
3 2
,
2
，类似地，他研究了函数
g
x
x 3 ， x2
x 0,1 ，则函数 g x 的值域为_____
三、解答题
21．如图，在棱长均为 4 的三棱柱 ABC A1B1C1 中， D, D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得. 【详解】 根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：
由图可知在长方体中的四棱锥 P ABCD 完全满足题意，
故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，
故外接球半径
R
22
22
7 2
【详解】
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，连接 BC1 ，
根据线面角的定义可知 AC1B 30 ， 因为 AB 2 ，所以 BC1 2 3 ，从而求得 CC1 2 2 ， 所以该长方体的体积为V 2 2 2 2 8 2 ，故选 C.
【点睛】 该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为 长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得 尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
PE
1 3
PB
（1）证明： CE / / 平面 PAD ；
（2）求点 B 到平面 ECD 的距离；
24．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD//BC ， ADC 90 ， BC 1 AD ， PA PD ， M ， N 分别为 AD 和 PC 的中点．
2
（1）求证： PA// 平面 MNB ； （2）求证：平面 PAD 平面 PMB ．
25．已知过点 P0, 2 的圆 M 的圆心 a, 0在 x 轴的非负半轴上，且圆 M 截直线
x y 2 0 所得弦长为 2 2 ． （1）求 M 的标准方程；
（2）若过点 Q0,1 且斜率为 k 的直线 l 交圆 M 于 A 、 B 两点，若△PAB 的面积为
3 3 ，求直线 l 的方程． 26．如图,四边形 ABCD 为矩形,且 AD 2, AB 1, PA 平面 ABCD , PA 1, E 为 BC
4 (x 1) ，即 3
4x 3y 4 0 ，选 D.
4．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】
A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基
本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可
② ab ， a b ；③ a ， a b b ；④ a ， b ab ，其中
正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．②④
C．③④
D．①③
6．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）
A． 2 2
B． 4 2
C．4
D．8
7．四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为正方形， PA 底面 ABCD ， AB 2 ，
的中点.
（1）求证: PE DE ； （2）求三棱锥 C PDE 的体积；
（3）探究在 PA 上是否存在点 G ,使得 EG 平面 PCD ，并说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 【分析】
首先画出长方体 ABCD A1B1C1D1 ，利用题中条件，得到 AC1B 30 ，根据 AB 2 ， 求得 BC1 2 3 ，可以确定 CC1 2 2 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
A． 9 2
B． 9 2
C．18
D． 40
9．点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，AB=BC= 2 ，AC=2，若四面体 ABCD 体积的最大
值为 2 ，则这个球的表面积为（ ） 3
A． 125 6
B． 8
C． 25 16
D． 25 4
10．已知点
1,
2
和
3 3
,
0
在直线
l
:
ax
y
1
0a
【压轴卷】高中必修二数学下期中一模试题带答案(1)
一、选择题 1．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为
30 ，则该长方体的体积为（ ）
A． 8
B． 6 2
C．8 2
D．8 3
2．已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
（1）求证： A1D1 / / 平面 AB1D （2）若平面 ABC 平面 BCC1B1,B1BC 60 ，求三棱锥 B1 ABC 的体积. 22．如图四棱锥 C ABDE 的侧面 ABC 是正三角形， BD 面 ABC ， BD / / AE 且 BD 2 AE ， F 为 CD 的中点.
PA 7 ，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） 2
A． 81 2
B． 81 4
C． 65
D． 65 2
8．在三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，BAC 120，AP 2, AB 2 ，M 是线
段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ，则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积是
M 是线段 BC 上一动点，线段 PM 长度最小值为 3 ， 则：当 AM BC 时，线段 PM 达到最小值， 由于： PA 平面 ABC ， 所以： PA2 AM 2 PM 2 ， 解得： AM 1 ， 所以： BM 3 ， 则： BAM 60 ， 由于： BAC 120 ， 所以： MAC 60 则： ABC 为等腰三角形． 所以： BC 2 3 ，
在斜边 AC 的中点上，设小圆的圆心为 Q ，若四面体 ABCD 的体积的最大值，由于底面
积 S ABC 不变，高最大时体积最大，所以， DQ 与面 ABC 垂直时体积最大，最大值为
1S 3
ABC ·DQ
2 3
，即 1 1 DQ 3
2 ，∴ DQ 3
2 ，设球心为 O
，半径为 R
，则在直角
AQO 中， OA2 AQ2 OQ2 ，即 R2 12 2 R2 ，∴ R 5 ，则这个球的表面积
在 ABC 中，设外接圆的直径为 2r 2 3 4 ， sin120
则： r 2 ，
所以：外接球的半径 R
22
2 2 2
9， 2
则： S 4 9 18 ， 2
故选：C． 【点睛】
本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意知， ABC 是一个直角三角形，其面积为1 ．其所在球的小圆的圆心
2．B
解析：B 【解析】 试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故 B 正确. 考点：空间点线面位置关系．
3．D
解析：D 【解析】
设直线 l0
的倾斜角为
，则斜率
k0
tan
1 2
，所以直线 l
的倾斜角为 2
，斜率
k
tan 2
1
2
tan tan2
4 3
，又经过点（1,0），所以直线方程为 y
分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.
详解：在斜二测直观图中 OB=2,OA=2, 所以在平面图形中 OB=2,OA=4， OA⊥OB， 所以
面积为 S 1 2 4 4 . 2
选 C.
点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观 图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的 形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
（1）求证： EF / / 面 ABC
（2）若 BD AB 6 ，求 BF 与平面 BCE 所成角的正弦值
23．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形， AB / /CD ， AB 3CD 3 ，
AB AD ， AB PA， 且 AD PA 2 ， PD 2
2
，
AM 3 ， BN 4 ， PC 5 ，则多面体 ABC MNP 体积为________
18．正三棱柱的底面边长为 ，高为 2，则它的外接球的表面积为
．
19．在各棱长均为1 的正四棱锥 P ABCD 中， M 为线段 PB 上的一动点，则当
AM MC 最小时， cos AMC _________
AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为
________．
15．已知三棱锥 D ABC 的体积为 2， ABC 是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥 D ABC 的外接球的球心 O 恰好是 CD 的中点，则球 O 的表面积为_______. 16．若圆 C1 ： x2 y2 ax by c 0 与圆 C2 ： x2 y2 4 关于直线 y 2x 1对称，则 c ______. 17．底面边长为 2 的正三棱柱 ABC A1B1C1 被不平行于底面的平面 MNP 所截，其中
A．
1 3
,
3 4
二、填空题
B．
1 3
,
3 4
C．
5 12
,
3 4
D． 5 , 3 12 4
13．已知平面 α 与正方体的 12 条棱所成角相等，设所成角为 θ，则 sin ______.
14．在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线 l : y 2x 上在第一象限内的点， B5,0 ，以
2
9，
2
4
故该球的表面积为 S 4 R2 81 . 4
故选：B.
【点睛】
本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先确定三角形 ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定
球的表面积．
【详解】
解：如图所示：
三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC，AP 2, AB 2 ，
4
为： S
4
5 4
2
25 4
；故选Ｄ．
考点：球内接多面体，球的表面积．
10．D
解析：D
【解析】
设直线 l 的倾斜角为 θ∈[0,π).点 A(1,−2),B( 3 ,0). 3
直线 l:ax−y−1=0(a≠0)经过定点 P(0,−1).
kPA
1 2
0 1
1, kPB
知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点
确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项 D,空间
四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选 C.
【点睛】
本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.
5．B
解析：B 【解析】
【分析】
【详解】
①a∥α，a⊥b⇒b 与 α 平行，相交或 b⊂α，故①错误； ②若 a∥b，a⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得 b⊥α，故②正确； ③a⊥α，a⊥b⇒b 与 α 平行，相交或 b⊂α，故③错误； ④若 a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得 a∥b，故④正确．
故选 B．
6．C
解析：C 【解析】
A．若 m / /, n / /, 则 m // n
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m n ，则 n / /
D．若 m / / ， m n ，则 n
3．已知直线 l 过点 (1, 0) ，且倾斜角为直线 l0 ： x 2 y 2 0 的倾斜角的 2 倍，则直线 l
0
的两侧，则直线
l
的倾斜角的
取值范围是 ( )
A．
ຫໍສະໝຸດ Baidu
4
,
3
B．
3
,
2 3
C．
2 3
,
5 6
D．
0, 3
3 4
,
11．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )
A．
B．
C．
D．
12．若方程1 4 x2 kx 2k 4 有两个相异的实根，则实数 k 的取值范围是（ ）
的方程为（ ）
A． 4x 3y 3 0
B． 3x 4y 3 0
C． 3x 4y 4 0
D． 4x 3y 4 0
4．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D．四边形确定一个平面
5．设 表示平面， a ， b 表示直线，给出下列四个命题：① a ， a b b ；
20．小明在解题中发现函数 f x x 3 ， x 0,1 的几何意义是：点 x, x x 0,1
x2
与点
2,
3
连线的斜率，因此其值域为
3 2
,
2
，类似地，他研究了函数
g
x
x 3 ， x2
x 0,1 ，则函数 g x 的值域为_____
三、解答题
21．如图，在棱长均为 4 的三棱柱 ABC A1B1C1 中， D, D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得. 【详解】 根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：
由图可知在长方体中的四棱锥 P ABCD 完全满足题意，
故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，
故外接球半径
R
22
22
7 2
【详解】
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，连接 BC1 ，
根据线面角的定义可知 AC1B 30 ， 因为 AB 2 ，所以 BC1 2 3 ，从而求得 CC1 2 2 ， 所以该长方体的体积为V 2 2 2 2 8 2 ，故选 C.
【点睛】 该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为 长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得 尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
PE
1 3
PB
（1）证明： CE / / 平面 PAD ；
（2）求点 B 到平面 ECD 的距离；
24．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD//BC ， ADC 90 ， BC 1 AD ， PA PD ， M ， N 分别为 AD 和 PC 的中点．
2
（1）求证： PA// 平面 MNB ； （2）求证：平面 PAD 平面 PMB ．
25．已知过点 P0, 2 的圆 M 的圆心 a, 0在 x 轴的非负半轴上，且圆 M 截直线
x y 2 0 所得弦长为 2 2 ． （1）求 M 的标准方程；
（2）若过点 Q0,1 且斜率为 k 的直线 l 交圆 M 于 A 、 B 两点，若△PAB 的面积为
3 3 ，求直线 l 的方程． 26．如图,四边形 ABCD 为矩形,且 AD 2, AB 1, PA 平面 ABCD , PA 1, E 为 BC
4 (x 1) ，即 3
4x 3y 4 0 ，选 D.
4．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】
A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基
本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可
② ab ， a b ；③ a ， a b b ；④ a ， b ab ，其中
正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．②④
C．③④
D．①③
6．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）
A． 2 2
B． 4 2
C．4
D．8
7．四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为正方形， PA 底面 ABCD ， AB 2 ，
的中点.
（1）求证: PE DE ； （2）求三棱锥 C PDE 的体积；
（3）探究在 PA 上是否存在点 G ,使得 EG 平面 PCD ，并说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】 【分析】
首先画出长方体 ABCD A1B1C1D1 ，利用题中条件，得到 AC1B 30 ，根据 AB 2 ， 求得 BC1 2 3 ，可以确定 CC1 2 2 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.