幻方求解新法

完全幻方是幻方的稀世珍品,具有最优化组合性质.在浩如烟海的幻方世界中,完全幻方只占其一小部份,而且三阶及（2k+1）阶（k>0）领域内还不存在幻方最优化解,但是完全幻方却代表着高难度的组合技术水平.迄今所知,完全幻方最早的历史遗存：一幅见之于古中国伊斯兰教的传世“玉挂”；另一幅则见之于古印度公元十一世纪刻在神庙前的“石碑”.中印“玉、石”奇方都为四阶完全幻方.完全幻方是幻方王国中的一顶皇冠,关于幻方起源还有一个神奇的传说[注释1].
对于6阶平方幻方,Pfeffermann早在1894年就获得了结果,这个幻方只有6列各数的平方和都等于2701.
2001年,法国人Christian Boyer找到了第一个这样的幻方；2002年,德国人Walter Trump找到了13个接近的七阶二次幻方,其中一个与Christian的相同；2004年4月,另一个德国人Bogdan Golunski找到了第14个接近的七阶二次幻方.
关键词：三阶幻方问题；非齐次线性方程组；三阶幻方
ABSTRACT
Mathematics is beautiful, more beautiful, the illusion of illusion fang fang is a mathematical law according to layout of a kind of system. Each party is not only an illusion of intellectual accomplishments, but also an art market, with neat and tidy, balanced symmetrical, harmonious and unified, the characteristics of yewchung burst, mathematical beauty high aesthetic value. Illusion in mathematics teaching, improving students' learning interest and beautify the textbooks, enlightenment function of thinking, the illusion of rich change, the number of mathematics curriculum content of each link. If equation, radical unreal illusion, scores, black holes for unreal illusion, accumulate illusion, poor illusion, square illusion, such as used in mathematics teaching, make mathematics contents have charm, today's "Olympic mathematics, is an important content of illusion. In this paper, it introduced the origin, the illusion of the current development, the illusion and application prospect, mainly in the illusion of third-order method were discussed, try to use the homogeneous linear equations to find the solution, the illusion of the third-order solving more organized, thinking more clearer.
1891年1月法国人G. Pfeffermann发表了他在1890年构造的第一个平方幻方.这是一个8阶方阵,给出了64个数字,法国的一个半月刊《Les Tablettes du Chercheur》发表社论,称赞这是世界上第一个平方幻方.当时法国出名的作家Edouard卢卡斯(1842-1891)写文章大加赞赏.这之后,G.Pfeffermann有了一定的名声,在1890和1896之间,他发表了很多幻方文章.
值得提到的是我国李文有许多研究平方幻方的公式,在中国幻方网站中,就发表了他的25阶平方幻方和35阶平方幻方.但他仍然有许多较高阶的平方幻方未发表.
1.3 现代幻方应用前景
一、幻方应用于哲理思想的研究：
在数学中,幻方蕴涵的哲理思想是最为丰富的,《易经>》是一本哲学书,它几乎影响了国内外的各种哲学思想,而易学家们通过多方面研究发现,易学来源于河图洛书,而洛书就是三阶幻方,幻方的布局规律,构造原理蕴涵着一种概括天地万物的生存结构,是说明宇宙产生和发展的数学模型.
幻方求解新法
摘要
数学是美的,幻方更美,幻方是数学按着一种规律布局成的一种体系.每个幻方不仅是一个智力成就,而且还是一个艺术佳品,都以整齐划一,均衡对称,和谐统一的特性,迸发出耀人的数学美的光辉,具有很高的美学价值.幻方在数学教学中,具有提高学生学习兴趣,美化教材,启迪思维的功能,幻方中数字的丰富变化,把数学教材中的各个内容联系起来.如方程幻方,根式幻方,分数幻方,黑洞数幻方,积幻方,差幻方,平方幻方等,它们都可用在数学教学当中,使数学内容产生魅力,当今的《奥林匹克数学》书中,幻方是一个重要内容.本文正是在此之上,详细介绍了幻方的起源,幻方的发展,现状以及应用前景,主要针对三阶幻方的解法作了探讨,尝试用非齐次线性方程组去寻找它的解,使三阶幻方的求解更加条理,思路更加清淅.
Key words: third-order unreal square problem；Nonhomogeneous linear equations；
Threபைடு நூலகம் order
引言
幻方充满了传奇色彩,它蕴含了丰富的思想、漂亮的图形、巧妙的构思,涉及问题多且运用也很广泛,幻方由于形式比较简单,容易入门,很快能引起青少年的探讨兴趣,可以说幻方在智力开发方面已产生十分重要的作用.在现代社会的程序编程中,很多时候都运用了幻方的模型,如：辽宁刘志雄设计出一种“集图双面幻方器”获铜牌奖,安徽王忠汉设计出一种有趣的“幻方棋”,湖南江亚晶设计了“幻方系列数字游戏机”等等.解决幻方问题的方法也千变万化,三阶幻方作为幻方中最为简单的幻方,有必要对它进行一些研究,本文正是在此基础上对三阶幻方进行了研究,并对另一种特殊的幻方填写问题作了证明.
幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝.自汉唐以来统一的中国繁荣富强,在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中,幻方古算题飘洋过海,东传日本,西播欧美.日本人如获至宝,竟把九宫算更名为“大和算”,也填出了不少幻方杰作.西方人则更为之着迷,轰动了整个学界,并称之为有魔力的魔方,名冠“幻方大王”者有之.尔今,炎黄子孙在易学、幻学研究方面理当领先于世界.
8阶平方幻方、9阶平方幻方我们可以说有大量的作品了,其构造方法也是多种多样的.可是,10阶、11阶、12阶平方幻方……存在吗？多少年来,幻方专家们甚至不敢踏入它们的大门.电脑的发展给人们的发明创造插上了翅膀,汕头大学的陈沐天利用计算机,构造了一个11阶平方幻方,这个幻方具有一种很美的对称性.其实,12阶三次幻方早在2002年由德国的Walter Trump先生构造成功,他的方法是有开创性的,因而给Fredrik Jansson有许多启发.由于12阶三次幻方本身是平方幻方,所以我们不再那样迫切探索12阶平方幻方了.
《易》九宫学博大精深.汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫,南北朝甄鸾注：“九宫者,即二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义,法以灵龟------此不易之道也”等等.但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉,他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀,而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形.同时,宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人,也对幻方组合技术做出过重要贡献.
二、幻方应用于美术设计：
幻方可大量应用于美术设计.西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富,它采用幻方组成许多美丽的图案.幻方中数学布局十分对称均衡,又有丰富的变化,因而将其数字按序联起来,可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”,经彩色处理可获得十分漂亮的美术图案,这种图案在表现出多样的对称美的同时,又有幻方原理的理性规律,因此耐人寻味,堪称天斧之工.
1.2 幻方的发展
世界上第一个幻方来自于中国,中国的洛书就是一个三阶幻方.我国的幻方后来传到了国外,幻方多彩的变幻特征吸引了许多国外的数学家们.1890年左右一个叫G. Pfeffermann的法国人,首先发明了第一个八阶和九阶“平方幻方”,在1901年,法国数学家里利的专著中创作了200余幅平方幻方,从而展开了高次幻方研究的新开端,因为平方幻方的各行各列及两条对角线诸数的和、平方和均相等,表现出更高级的美妙,立即引起幻方迷们的重视.
第一章幻方的起源与基本情况介绍
1.1 幻方的起源
幻方（magic square）起源于《易》,古称九宫（龟文）,乃是我国最先发现的一个著名组合算题.《易》算之于九宫,识之以天象,在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值.易十数为体,八九为用,八九不离十.《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型.
一个令人惊奇的结果发生在我们中国,2006年1月,汕头大学计算机系陈钦梧、陈沐天两人构造了15阶平方幻方.三天当中,汕头大学陈钦梧成功解决两个长达一百年的难题.
幻方爱好者梦寐以求的规则的16阶三次幻方终于问世了,2005年5月8号我们刚刚庆祝了中国幻方研究者协会成立七周年,在我国广东汕头大学有两位幻方研究工作者,他们的努力奋斗与合作,为我国幻方的发展创造了一项奇迹,这一天16阶三次幻方在汕头大学的一台电脑中诞生了,陈钦梧、陈沐天的16阶三次幻方,高源和吴硕辛的256阶四次幻方,李文、郭先强的729阶五次幻方,潘凤雏的243阶四次幻方、4096阶六次幻方和65536阶七次幻方都居于国际领先水平.
在我国,8阶、9阶平方幻方有大量的构造方法,刘志雄、施学良、丁宗智、孙友、高治源、李抗强、曹陵在他们自己出版的书中都有独特的构造方法,吴硕辛创造的mi（q）语言,可以演算出许多个8、9阶平方幻方,具有一种特别的秩序.孙友用二次函数幻方,可得大量的8、9、16阶平方幻方,他还研究了多元二次幻方的问题,有一些成果,高治源用正交拉丁法构造8、9阶平方幻方,给人们揭示了数组的一种奇妙的排列关系,十分有趣.施学良用差动易位法可构造8、9、16、32阶平方幻方.
1891年7月15日,G. Pfeffermann在8阶平方幻方发,表后的6个月,在同样的这家半月刊中,他又发表了9阶平方幻方,这以后,人们开始探讨最小的平方幻方问题了.已知的最小的平方幻方是8阶平方幻方（二次幻方）.它是平方幻方中最小的吗？Pfeffermann在1890年发现第一个8阶平方幻方后,他就想探讨神秘的7阶或更小的平方幻方.
幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏,它的重重大门似乎由一串串非常复杂、精密而又变化多端的连环锁“参伍错综”地锁着的,人们走进去也许并不难,但是要走出来就没那么容易.现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度,但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底.
幻方是一个丰蕴的知识宝库.幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变.正可谓“横看成岭侧成峰”.《系辞》曰：“神无方而《易》无体”,这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法,其几何形体亦无常于一制一式,因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法.发现新方法是很重要的,但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等,有时比方法本身更为重要.不同方法以及方法的不同用法,各种方法合理的交互应用等,必然会产生幻方新的结构与造型.n阶幻方的全部解各有一个幻方群,1至n2自然数列的n2个数在整个幻方群中的变位关系,阶次越大变化就越复杂,它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则.