江苏省南通市2014届高三第三次调研测试数学试卷

江苏省南通市2014届高三第三次调研测试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}|12A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =，则AB = ▲ ．【答案】{}1,22． 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（是虚数单位），则z = ▲ ． 【答案】1i -3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ． 【答案】154． 平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 ▲ ．5． 如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ▲ ．【答案】16． 一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．【答案】7． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C,且过点,则曲线C 的标准方程为 ▲ ． 【答案】221y x -=8． 已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()2,+∞9. 已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．【答案】8（第5题）10． 在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ．【答案】1011．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．【答案】12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．【答案】⎡-⎣13．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ▲ ．【答案】3+14．在△ABC 中，BC，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ． 【答案】3二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．15．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．【证】（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ， 因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ．……………………… 4分 因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE平面CDEF EF =，所以AB ∥EF ． …………………………… 7分 （2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BC ． …………………………… 9分 因为BC ⊥CD ，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDEF ，CE ABDF（第15题）所以BC ⊥平面CDEF ． …………………………… 12分 因为B C ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ． …………………………… 14分16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=．（1）求22a c +的值；（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．【解】（1）因为8BA BC ⋅=，所以cos 8ac B =． …………………………… 3分 由余弦定理得222222cos 16b a c ac B a c =+-=+-，因为4b =，所以2232a c +=． …………………………… 6分 （2）因为222a c ac +≥，所以16ac ≤， …………………………… 8分 所以81cos 2B ac =≥．因为()0,πB ∈，所以π03B <≤． …………………………… 10分因为21π1()cos cos 2(1cos 2)sin(2)262f B B B B B B B =+=++=++，…… 12分由于ππ5π2666B <+≤，所以π1sin(2),162B ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f B 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………………………… 14分17．某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧 BC 的弧形小路，在路的一．侧．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ； （2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大． 【解】（1）如图，连接BC ，设圆心为O ，连接CO ． 在直角三角形ABC 中，100AB =，BAC θ∠=， 所以100cos AC θ=．由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=． ……………………3分 所以()2100cos 100s θθθ=⨯+，即()200cos 100s θθθ=+，π(0,)2θ∈． ……………………………7分O（第17题）ABC θ（2）()100(2sin 1)s θθ'=-+， ……………………………9分 令 ¢s (q )=0，则π6θ=， ……………………………11分列表如下：所以，当π6θ=时，()s θ取极大值，即为最大值． ……………………………13分答：当π6θ=时，绿化带总长度最大． ……………………………14分18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程； （2）求AB CD +的取值范围．【解】（1）由题意知，12c e a ==，72CD a =-，所以22224,3a c b c ==． ……………………………2分 因为点74(,)2c c -在椭圆上，即222274()2143c c c c -+=，所以1c =．所以椭圆的方程为22143y x +=． ……………………………6分（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=；……………………………7分 ② 当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 且设直线AB 的方程为(1)y k x =-， 则直线CD 的方程为1(1)y x k=--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，（第18题）所以1x =，2x =所以212212(1)||34k AB x x k+=-=+． ……………………………10分同理，2222112(1)12(1)4343k k CD k k++==++． 所以2222222212(1)12(1)84(1)3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++， ………………………12分 令21t k =+，则1t >，23441k t +=-，23431k t +=+， 设222(41)(31)111149()12()24t t f t t t t t-+==-++=--+， 因为1t >，所以1(0,1)t ∈，所以49()(12,]4f t ∈，所以8448[,7)()7AB CD f t +=∈．综合①与②可知，AB CD +的取值范围是48[,7]7． ……………………………16分19．已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．【解】（1）()e ()(2)x f x x a x a '=--+，由题意知(2)0f '=，解得2a =或4a =． …………………………… 2分 当2a =时，()e (2)x f x x x '=-，易知()f x 在(0,2)上为减函数，在(2,)+∞上为增函数，符合题意； 当4a =时，()e (2)(4)x f x x x '=--，易知()f x 在(0,2)上为增函数，在(2,4)，(4,)+∞上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的2a =． …………………………… 5分 （2）因为()0f x ≥，所以0m ≥． …………………………… 7分 ① 若0m =，则2n ≥，因为4(0)4e f n =<，所以24(2)e e n n n -=． …………… 9分设2(2)()e (2)xx g x x x -=≥，则2224(2)()e 0x x x g x x x ⎡⎤--'=+⎢⎥⎣⎦≥， 所以()g x 在[2,)+∞上为增函数．由于4(4)e g =，即方程24(2)e e n n n -=有唯一解为4n =．…………………………… 11分 ② 若0m >，则[]2,m n ∉，即2n m >>或02m n <<<． （Ⅰ）2n m >>时，2424()(2)e e ()(2)e e m n f m m mf n n n ⎧=-=⎨=-=⎩， 由①可知不存在满足条件的,m n ． …………………………… 13分 （Ⅱ）02m n <<<时，2424(2)e e (2)e e m n m nn m⎧-=⎨-=⎩，两式相除得22(2)e (2)e m n m m n n -=-． 设2()(2)e (02)x h x x x x =-<<，则32()(44)e (2)(1)(2)e x x h x x x x x x x '=--+=+--，()h x 在(0,1)递增，在(1,2)递减，由()()h m h n =得01m <<，12n <<，此时24(2)e 4e e m m n -<<，矛盾．综上所述，满足条件的,m n 值只有一组，且0,4m n ==．……………………………16分 20．各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++， 且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．【解】（1）当1n =时，11(2)(1)2S T -+=，即111(2)(1)2a a -+=，解得11a =． ……………………………2分由(2)(1)2n n S T -+=，所以212n nT S =-- ① 当2n ≥时，11212n n T S --=-- ②①-②，得11212222(2)(2)n n n n n n a a S S S S --=-=----（2n ≥），……………………………4分即211(2)(2)2[(2)(2)]n n n n S S S S ----=---， 即2112()n n n n b b b b --=-，所以1152n n n n b b b b --+=， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{}2n S -单调递减，所以11nn b b -<． 所以112nn b b -=（2n ≥）． 因为11a =，所以110b =≠，所以数列{b n }是等比数列． ……………………………6分 （2）由（1）知112()2n n S --=，所以112n n a -=，即2n n nc =．由2m r k c c c +=，得2m r k kc cc c +=（*）又2n ≥时，1112n n c n c n++=<，所以数列{}n c 从第2项开始依次递减． …………8分 （Ⅰ）当2m ≥时，若2k m -≥，则22422222m m m k m m mc cm m c c m ++==++≥≥， （*）式不成立，所以1k m -=，即1k m =+． ……………………………10分 令*1()r m i i =++∈N ，则()111112122222222i r k m m im m m m i m r m c c c ++++++++==-=-==， 所以12i r +=，即存在满足题设的数组(){}11121,2,2i i i i i +++---（*i ∈N ）．……… 13分 （Ⅱ）当1m =时，若2k =，则r 不存在；若3k =，则4r =； 若4k ≥时，1142k c cc c =≥，（*）式不成立． 综上所述，所求集合为{}111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）． ………………16分 （注：列举出一组给2分，多于一组给3分）南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）延长线于点F ．求证：△DEF ∽△EAF ．【解】因为//EF CB ，所以BCE FED ∠=∠， ………………3分 又BAD BCD ∠=∠，所以BAD FED ∠=∠， ………………6分 又EFD EFD ∠=∠，所以△DEF ∽△EAF ． ………………10分 21B ．选修4—2：矩阵与变换若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值． 【解】设直线上任意一点(,)P x y 在矩阵M 作用下的点P '的坐标为(,)x y ''， 则'012'x a x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,2.x ax y x y '=⎧⎨'=-+⎩……………………………4分 将点(,)P x y '''代入直线:40l x y '+-=， 得(1)240a x y -+-=．即直线的方程为1202a x y -+-=．所以3a =． ……………………………10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线经过点P （0，1），曲线C 的方程为2220x y x +-=，若直线 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．【解】设直线的参数方程为cos ,1sin .x t y t αα=⎧⎨=+⎩（为参数，α为倾斜角）设A ，B 两点对应的参数值分别为1t ，2t ． 将cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入2220x y x +-=， 整理可得22(sin cos )10t t αα+-+=．………5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以） 所以121PA PB t t ⋅==． ……………………………10分 21D ．选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b yx y x y++++≤．【证明】因为0x >，0y >，所以0x y +>，所以要证()222ax by a x b yx y x y++++≤，即证222()()()ax by x y a x b y +++≤．即证22(2)0xy a ab b -+≥， ……………………………5分 即证2()0a b -≥， 而2()0a b -≥显然成立，故()222ax by a x b yx y x y++++≤． ……………………………10分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是直线：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证： 1202k k k +=．【解】（1）设点(),N x y ，(,0)M a ，(0,)P b ． 由PM PN +=0可知，点P 是MN 的中点，所以0,20,2a xy b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即,,2a x y b =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以点(),0M x -，0,2y P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以,2y PM x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,2y PF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． …………3分由0PM PF ⋅=，可得204y x -+=，即24y x =．所以动点N 的轨迹C 的方程为24y x =．……………5分 （2）设点()1,Q t -，由于过点Q 的直线()1y t k x -=+与轨迹C ：24y x =相切，联立方程()241y xy t k x ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，整理得()()2222220k x k kt x k t ++-++=．…………7分则()()22224240k kt k k t ∆=+--+=，化简得210k tk +-=．显然，1k ，2k 是关于k 的方程210k tk +-=的两个根，所以12k k t +=-． 又02t k =-，故1202k k k +=．所以命题得证． ……………………………10分 23．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<； （2）111n x n-<<．【证明】（1）因为0n x >，112n n x x ++<，所以1102n n x x +<<-，所以112n nx x +>-，且20nx ->．因为2221(1)1222n n n n n n nx x x x x x x -+--==---≥0．所以12nnx x -≥，所以12n n nx x x +<-≤1，即1n n x x +<． ……………………………4分 （注：用反证法证明参照给分）（2）下面用数学归纳法证明：11n x n >-．① 当1n =时，由题设10x >可知结论成立； ② 假设n k =时，11k x k >-，当1n k =+时，由（1）得，()11111211121k k k x x k k k+>>==--++--． 由①，②可得，11n x n >-． ……………………………7分下面先证明1n x ≤．假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得11k x m>+．因为112k k x x ++<，()11121121k k m x x m m +>>=---+， ()21111221211k k m x x m m ++->>=---+-，…，()()1221k m m m x m m +--->=--， 与题设112k k x x ++<矛盾，所以，1n x ≤． 若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾． 所以1n x <成立． ……………………………10分。