东南大学高数重修试卷.ppt
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S
，其中 S 为曲面 z 1 x2 y2 被 z 2 所截部分的下侧。
2 z i
内展成罗朗级数。
2． 求函数 u ln x y2 z2 在点 A(1,5, 4)
处沿着从点 A 指向点 B(4,1, 4)
的方向的方向导数。
3．求曲线
C
:
x2 x2
2y2 3y2
3z2 z
51
在点
(1,1, 4)
处的法平面方程。
4.计算二重积分 sin y2dxdy ，其中 D
D
是由 x 0, y 1 与 y x 所围成的区域。
5.计算积分 x2 y zdv ，其中 为曲面 z 4 x2 y2 与曲面 z x2 y2
所围成的区域。
四．将
1 f (x) x2 6x 8
展成 x 1
的幂级数，并指明收敛域。
五．计算曲面积分 x2dy dz y2dz dx z 1dx dy ，其中 为曲面 z x2 y2 (0 z 1)
1
ÑC (z i)(z 2) dz
.
二．单项选择题
1.设 ez 1 3i 0 ,则 z [ ]
(A) (C)
ln
2
i
4
2k
ln
2
i
3
2k
(B) ln
2
i
4
2k
(D) ln 2
2．下列级数中条件收敛的是
[]
（A）
n 1
1
n
1 n2
(B)
(C)
1
1n (en2 1)
(D)
Ñ ５．
z
2
ez ez i
dz
四．（７分）将函数
f (x)
x2
x 5x 6
展成 x 1 的幂级数。
五．（７分）将函数 f (x) 2 3x 在
[0, ] 上展成正弦级数。
六．（８分）求级数
1
n1 (2n 1) 2n 的和。
七．（７分）计算第二型曲面积分：
x2 yzdy dz y2 zxdz dx 2zdx dy
，取下侧。
x2 y2 z 六．求原点到曲线
x y z 2
的最长距离和最短距离.
七．(本题满分6分) 判断级数
1 n
x
dx
n1 0 1 sin x
的敛散性,并证明你的结论.
06.5高数重修(下，电）
一．填空题( 每题４分，共２０分)
1．设
u ex cos y x
，则
2u
____。
D
D : x2 y2 1, x2 y2 2x
其中
。
Ñ ３．计算第二型曲线积分： (x y)dy (x y)dx
C
x2 y2
，其中 C : x2 y2 1 ，沿逆时针方向。
４．计算第一型曲面积分： (2z xy)dS ，其中 为由曲面 z x2 y 2 与
z 2 x2 y2 所围成的立体的表面。
xy
2．交换积分次序：1dx
x2
f (x, y)dy
2
dx
4x2
f (x, y)dy
0
0
1
0
3．幂级数
(1)n 2n xn
n0 n 1
的收敛域是
。
4．函数 u exy2z3 在点 M (1, 2, 1)
处的梯度 gradu M
。
1
5．函数 f (z) ze z 在奇点 z 0
（B）f x, y 在点 x, y 的某邻域内有界； （C） f x, y 在点 x, y 处两个偏导数
fx x, y, fy x, y 都存在；
（D） f x, y 在点 x, y 处两个偏导数
fx x, y, fy x, y 都连续.
三．计算下列各题
1.将函数
1 f (z)
z2 1
在圆环域
06暑期高数重修(下，电A）
一。填空题
1.
Res
1
z cos
z
,
0
_______.
2．改变积分次序：
1
dx
1 1x2
f (x, y)dy ____.
0
x
3．
y2 x2 sin y dxdy _______.
x y 1
4．幂级数
n1
1 3n n
(x
1)n
的收敛域为
。
5．设 C 为 z 3 ,取逆时针方向,则
处的留数是 。
二．单项选择题( 每题４分，共１６分)
1．下列级数中绝对收敛的是
[]
(A) 1n 1
n 1
n
(B)
1
n1 n
(C)
1
1n (e n2 1)
(D)
1n n
n1
n 1
2．已知
(x ay)dx ydy x2 y2
为某函数的全微分，则
a 等于
［］
1 （A） 1 （B）0 （C） （D） 2
ÑC 1coszz2 dz
[]
(A) 2i cos1 (B) 2i sin1
(C) 1 cos1
2 i
(D) 1 sin1 2 i
三．（每题７分，共３５分）
１．求曲线
x2 y2 z2 14
z
x2
1 2
y2
在点 (1, 2, 3)
处的切线方程和法平面方程。
２．计算二重积分： x(2y 3)dxdy,
3．球面 x2 y2 z2 1 与柱面 x2 y2 y
所围立体内部的体积 V
［］
(A)
4 2 d
sin
1 r2dr (B)
8 2 d
sin
1 r2 rdr
0
0
0
0
(C)
sin
4 2 d
1 r2 r d r (Ｄ)
d
sin
1 r2 rdr
0
0
0
0
4.设 C 是正向圆周 z 2 ，则积分
n1
1n ln1
n1
1 n
1n (1-cos )
n1
n
3．设
S
为平面
x y z 1 34
在第一卦限部分，
则
S
2
x
2 3
y
z 2
dS
[]
4 （A）
13 2
（B）13 （C）
（D）8
4．设二元函数 z f (x, y) 在点 x, y 处可微，
Βιβλιοθήκη Baidu
下列结论不正确的是
[]
（A）f x, y 在点 x, y 连续；
，其中 S 为曲面 z 1 x2 y2 被 z 2 所截部分的下侧。
2 z i
内展成罗朗级数。
2． 求函数 u ln x y2 z2 在点 A(1,5, 4)
处沿着从点 A 指向点 B(4,1, 4)
的方向的方向导数。
3．求曲线
C
:
x2 x2
2y2 3y2
3z2 z
51
在点
(1,1, 4)
处的法平面方程。
4.计算二重积分 sin y2dxdy ，其中 D
D
是由 x 0, y 1 与 y x 所围成的区域。
5.计算积分 x2 y zdv ，其中 为曲面 z 4 x2 y2 与曲面 z x2 y2
所围成的区域。
四．将
1 f (x) x2 6x 8
展成 x 1
的幂级数，并指明收敛域。
五．计算曲面积分 x2dy dz y2dz dx z 1dx dy ，其中 为曲面 z x2 y2 (0 z 1)
1
ÑC (z i)(z 2) dz
.
二．单项选择题
1.设 ez 1 3i 0 ,则 z [ ]
(A) (C)
ln
2
i
4
2k
ln
2
i
3
2k
(B) ln
2
i
4
2k
(D) ln 2
2．下列级数中条件收敛的是
[]
（A）
n 1
1
n
1 n2
(B)
(C)
1
1n (en2 1)
(D)
Ñ ５．
z
2
ez ez i
dz
四．（７分）将函数
f (x)
x2
x 5x 6
展成 x 1 的幂级数。
五．（７分）将函数 f (x) 2 3x 在
[0, ] 上展成正弦级数。
六．（８分）求级数
1
n1 (2n 1) 2n 的和。
七．（７分）计算第二型曲面积分：
x2 yzdy dz y2 zxdz dx 2zdx dy
，取下侧。
x2 y2 z 六．求原点到曲线
x y z 2
的最长距离和最短距离.
七．(本题满分6分) 判断级数
1 n
x
dx
n1 0 1 sin x
的敛散性,并证明你的结论.
06.5高数重修(下，电）
一．填空题( 每题４分，共２０分)
1．设
u ex cos y x
，则
2u
____。
D
D : x2 y2 1, x2 y2 2x
其中
。
Ñ ３．计算第二型曲线积分： (x y)dy (x y)dx
C
x2 y2
，其中 C : x2 y2 1 ，沿逆时针方向。
４．计算第一型曲面积分： (2z xy)dS ，其中 为由曲面 z x2 y 2 与
z 2 x2 y2 所围成的立体的表面。
xy
2．交换积分次序：1dx
x2
f (x, y)dy
2
dx
4x2
f (x, y)dy
0
0
1
0
3．幂级数
(1)n 2n xn
n0 n 1
的收敛域是
。
4．函数 u exy2z3 在点 M (1, 2, 1)
处的梯度 gradu M
。
1
5．函数 f (z) ze z 在奇点 z 0
（B）f x, y 在点 x, y 的某邻域内有界； （C） f x, y 在点 x, y 处两个偏导数
fx x, y, fy x, y 都存在；
（D） f x, y 在点 x, y 处两个偏导数
fx x, y, fy x, y 都连续.
三．计算下列各题
1.将函数
1 f (z)
z2 1
在圆环域
06暑期高数重修(下，电A）
一。填空题
1.
Res
1
z cos
z
,
0
_______.
2．改变积分次序：
1
dx
1 1x2
f (x, y)dy ____.
0
x
3．
y2 x2 sin y dxdy _______.
x y 1
4．幂级数
n1
1 3n n
(x
1)n
的收敛域为
。
5．设 C 为 z 3 ,取逆时针方向,则
处的留数是 。
二．单项选择题( 每题４分，共１６分)
1．下列级数中绝对收敛的是
[]
(A) 1n 1
n 1
n
(B)
1
n1 n
(C)
1
1n (e n2 1)
(D)
1n n
n1
n 1
2．已知
(x ay)dx ydy x2 y2
为某函数的全微分，则
a 等于
［］
1 （A） 1 （B）0 （C） （D） 2
ÑC 1coszz2 dz
[]
(A) 2i cos1 (B) 2i sin1
(C) 1 cos1
2 i
(D) 1 sin1 2 i
三．（每题７分，共３５分）
１．求曲线
x2 y2 z2 14
z
x2
1 2
y2
在点 (1, 2, 3)
处的切线方程和法平面方程。
２．计算二重积分： x(2y 3)dxdy,
3．球面 x2 y2 z2 1 与柱面 x2 y2 y
所围立体内部的体积 V
［］
(A)
4 2 d
sin
1 r2dr (B)
8 2 d
sin
1 r2 rdr
0
0
0
0
(C)
sin
4 2 d
1 r2 r d r (Ｄ)
d
sin
1 r2 rdr
0
0
0
0
4.设 C 是正向圆周 z 2 ，则积分
n1
1n ln1
n1
1 n
1n (1-cos )
n1
n
3．设
S
为平面
x y z 1 34
在第一卦限部分，
则
S
2
x
2 3
y
z 2
dS
[]
4 （A）
13 2
（B）13 （C）
（D）8
4．设二元函数 z f (x, y) 在点 x, y 处可微，
Βιβλιοθήκη Baidu
下列结论不正确的是
[]
（A）f x, y 在点 x, y 连续；