对顶角及其性质练习题
对顶角及其性质练习题
对顶角练习题一、判断题，1.极点相对的角是对顶角（）2.由公共极点而且相等的两个教师对顶角。
（）3.两条直线订交，有公共极点的角是对顶角。
（）4. 两条直线订交，有公共极点，没有公共边的两个角是对顶角。
（）5.判断以下图中，∠ 1，∠ 2 是不是对顶角：二、填空题：6.一个角的两边分别是另一个角的两边的，这两个角叫做对顶角.7. 如图，直线 AB ，CD，EF 订交，则图中共有对对顶角。
8. 如图，图中共有对对顶角。
9.对顶角性质是：10.如图，直线 a, b 订交于 O 点，∠ 1+∠3=100°，则∠ 2=，∠3=.∠4=.11.如图，已知 B 点是∠ DAE 的 AD 边上随意一点，过点 B 作直线 MN 交 AE 于 C，交 AD于 B，且∠ 1=∠2，则图中对顶角有对，与∠ 1（不包含∠ 1）相等的角有个。
分别是：。
12.如图，直线 AB ，CD 订交于 O 点，∠ AOC=2 ∠COB，OE 均分∠ DOB ，则∠ DOE=度。
三、解答题：13.如图， AB ，CD 订交于 O，且∠1=∠ 2，问∠ 3=∠4 吗？为何？14、已知： AB⊥ CD 于 O 点，直线 EF 过 O 点，∠ EOC=15°，求∠ BOF 的度数 .15.如图，直线 AB ， CD 订交于 O 点， OE⊥ CD，OF⊥ AB ，图中有哪些相等的角？请说明原因。
16.如图，直线 AB ，CD，EF 订交于 O 点，已知∠ AOE=20°，∠DOB=52°， OG 均分∠ COF，求∠ EOG 的度数。
试卷答案1.答案：（×）分析：本题考察对顶角观点，需要依据语言表达自己绘图进行判断，中等难度。
依据语句画出与对顶角不一样的角，如，图中的∠ 1，∠ 2 固然极点相对，但不切合对顶角的要求。
2.答案：（×）分析：依据语句画出图形，如图中的∠ 1，∠ 2 固然有公共的极点且相等，但不切合对顶角的要求。
初中数学复习几何模型专题讲解14---对顶角三角形
初中数学复习几何模型专题讲解专题14 对顶角三角形一、解答题1．阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）连接BH、DE，∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH 的内角和＝540°＋180°＝720°；（4）连接ND、NE，∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．2．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．【详解】解：（1）如图①，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如图②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键4．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．【答案】360°【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．如图，在直角ABC ∆中，BD 是ABC ∠的平分线，3BAO OAD ∠=∠,AO 的延长线与BDC ∠的平分线交于点F ，求F ∠的度数.【答案】22.5F ∠=︒【解析】【分析】设OAD x ∠=︒，则3BAO x ∠=︒，452ABO x ∠=︒-︒，22.5ODF x ∠=︒+︒，根据三角形ABO 与三角形DFO 的内角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案.【详解】解：设OAD x ∠=︒，则3BAO x ∠=︒，在直角ABC ∆中，904ABC x ∠=︒-︒，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴452ABO x ∠=︒-︒，在直角DBC ∆中，22.5ODF x ∠=︒+︒.∵180OAB OBA AOB ODF F FOD ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒,又∵AOB FOD ∠=∠，∴OAB OBA ODF F ∠+∠=∠+∠，即345222.5x x x F ︒+︒-︒=︒+︒+∠，∴22.5F ∠=︒.【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键.6．如图所示，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.【答案】360︒.【解析】【分析】首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解．【详解】解：∵∠1=∠A+∠B ，∠2=∠C+∠D ，∠3=∠E+∠F ，又∵∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解定理是关键． 7．如图，求A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.【答案】360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒.【解析】【分析】连接CD ，将A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠转化为四边形CDEF 的内角和即可求出答案.【详解】解：如图所示，连接CD .由对顶三角形得，A B ACD BDC ∠+∠=∠+∠，∴A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠360CDE DCF E F =∠+∠+∠+∠=︒.【点睛】本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是解题的关键.8．如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数.【答案】180︒.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理即可求解【详解】解：连结BE，BC与DE相交成对顶三角形，∴∠+∠=∠+∠，C D CBE DEBA ABC C D AED A ABC CBE DEB AED ∴∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒A ABE AEB180【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键9．如图，30∠+∠+∠+∠+∠的度数.F∠=︒，求A B C D E【答案】330︒.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理即可求解【详解】解： 在ABM 中，31?80A B ∠+∠+∠=︒ 在CDP 中，11?80C D ∠+∠+∠=︒ 在EFN 中，21?80E F ∠+∠+∠=︒ 在PNM 中，1231?80∠+∠+∠=︒ ∴312?540A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒ ∵30F ∠=︒∴330A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒ 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键二、填空题10．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I ＝__．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图，∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．【答案】1080°【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．【详解】解：连KF，GI，如图，∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．故答案为：1080°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．。
第12讲 角及余角、补角、对顶角(9大考点)(原卷版)
第12讲角及余角、补角、对顶角（9大考点）考点考向一、角的相关概念1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）．1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的160为1分，记作“1′”，即l°＝60′.1′的160为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．二、角的比较1）角的比较方法(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF 等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF 大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF 小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.2）角的和、差由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．3）角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图4-4-9所示，射线OC 是∠BOA 的平分线，则∠BOC ＝∠COA ＝21∠BOA ,∠BOA ＝2∠BOC ＝2∠COA . 4）方向的表示○1方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。
5.1 对顶角、邻补角 考点训练(含答案解析)
【考点训练】对顶角、邻补角－1一、选择题（共6小题）1．（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）38°B．104°C．142°D．144°A．(第1题) (第2题) (第3题)2．如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（）36°B．72°C．108°D．120°A．3．（2011•台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠6 C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°A．4．（2012•梧州）如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC=125°，则∠AOD=（）50°B．55°C．60°D．65°A．(第4题) (第6题)(第7题)5．（2013•贺州）下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（）.AB．C．D．．6．（2012•柳州）如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的度数是（）A60°B．50°C．40°D．30°．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）7．（2012•泉州）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1=_________°．8．（2013•湘西州）如图，直线a和直线b相交于点O ，∠1=50°，则∠2_________．(第8题) (第9题)9．（2013•曲靖）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE=_________．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）10．（2011•泉州）如图，直线a、b相交于点O，若∠1=30°，则∠2=_________．(第10题) (第11题)11．（2012•泉州）（2）如图，点A、O、B在同一直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC=_________°．参考答案与试题解析一、选择题（共6小题）1．（2012•北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．专题：常规题型．分析：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵∠BOD=76°，∴∠AOC=∠BOD=76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=×76°=38°，∴∠BOM=180°﹣∠AOM=180°﹣38°=142°．故选C．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．2．如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（）A．36°B．72°C．108°D．120°考点：角平分线的定义；对顶角、邻补角．专题：计算题．分析：设∠DOE=x，根据题意得到∠BOE=2x，∠AOC=∠COD=72°﹣x，再根据平角为180度，得到2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，即可得到∠BOE的度数．解答：解：如图，设∠DOE=x，∵∠DOE=∠BOD，∴∠BOE=2x，又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE=72°，∴∠AOC=∠COD=72°﹣x；∴2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，∴∠BOE=2x=2×36°=72°．故选B．点评：本题考查了角的有关计算以及角平分线的性质和平角的定义，是基础知识比较简单．3．（2011•台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）A．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠6 C．∠1+∠4+∠6=180°D．∠2+∠3+∠5=360°考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质．分析：根据对顶角的性质得出∠1=∠AOB，再用三角形内角和定理得出∠AOB+∠4+∠6=180°，即可得出答案．解答：解：∵四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，∵∠1=∠AOB，∵∠AOB+∠4+∠6=180°，∴∠1+∠4+∠6=180°．故选C．点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．4．（2012•梧州）如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC=125°，则∠AOD=（）A．50°B．55°C．60°D．65°考点：对顶角、邻补角．分析：根据邻补角的和等于180°列式进行计算即可得解．解答：解：∵∠AOC=125°，∴∠AOD=180°﹣125°=55°．故选B．点评：本题考查了邻补角的两个角的和等于180°的性质，是基础题．5．（2013•贺州）下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、∠1和∠2不是对顶角，故本选项错误；B、∠1和∠2是对顶角，故本选项正确；C、∠1和∠2不是对顶角，故本选项错误；D、∠1和∠2不是对顶角，是邻补角，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并准确识图是解题的关键．6．（2012•柳州）如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°考点：对顶角、邻补角．分析：根据邻补角的和等于180°列式计算即可得解．解答：解：∠1=180°﹣150°=30°．故选D．点评：本题主要考查了邻补角的和等于180°，是基础题，比较简单．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）7．（2012•泉州）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1=80°．考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角．专题：探究型．分析：先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据对顶角相等求出∠1的度数即可．解答：解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣40°=80°，∴∠1=∠ACB=80°．故答案为：80．点评：本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是180°．8．（2013•湘西州）如图，直线a和直线b相交于点O，∠1=50°，则∠2=50°．考点：对顶角、邻补角．分析：根据对顶角相等即可求解．解答：解：∵∠2与∠1是对顶角，∴∠2=∠1=50°．故答案为=50°．点评：本题考查了对顶角的识别与对顶角的性质，牢固掌握对顶角相等的性质是解题的关键．9．（2013•曲靖）如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE=40°．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：根据对顶角相等求出∠AOC，再根据角平分线的定义解答．解答：解：∵∠BOD=40°，∴∠AOC=∠BOD=40°，∵OA平分∠COE，∴∠AOE=∠AOC=40°．故答案为：40°．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）10．（2011•泉州）如图，直线a、b相交于点O，若∠1=30°，则∠2=30°．考点：对顶角、邻补角．专题：计算题；压轴题．分析：直接根据对顶角相等得到∠2的度数．解答：解：∵直线a、b相交于点O，∴∠1=∠2，而∠1=30°，∴∠2=30°．故答案为：30°．点评：本题考查了对顶角的性质：对顶角相等．11．（2012•泉州）（1）方程x﹣5=0的解是5．（2）如图，点A、O、B在同一直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC=130°．考点：对顶角、邻补角；解一元一次方程．专题：计算题；压轴题．分析：（1）观察或直接移项可得方程的解；（2）根据邻补角互补直接求出∠AOC的值．解答：解：（1）移项得，x=5；（2）∵∠BOC=50°，∴∠A0C=180°﹣50°=130°．点评：（1）本题考查了一元一次方程的解法，熟悉等式的性质是解题的关键；（2）本题考查了对顶角、邻补角，知道邻补角的和为180°是解题的关键．。
7年级春季班05-对顶角邻补角和垂直-马秋燕
邻补角、对顶角及垂线知识结构模块一：邻补角的意义和性质知识精讲1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．【例1】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOD =35°，则∠AOC =___________； ∠BOD =_________；∠BOC =______________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 经过两点可以画_______________条直线，两条直线相交，有且只有_________个交点． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，∠BOF 的邻补角是（）．A ．∠AOEB ．∠AOF 和∠BOEC ．∠AOBD ．∠BOE 和∠DOF 【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 把下图中邻补角分别写出来． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDOAB CE FDOEFABCD O【例5】已知∠1=∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互补，则∠3___________∠4．【难度】★【答案】【解析】【例6】已知，AB与CD相交于O点，若∠AOD比∠AOC大40°，则∠BOD=________，若∠AOD=2∠AOC，则∠BOD=________，若∠AOD=∠AOC，则∠BOD=________．【难度】★【答案】【解析】【例7】如图所示，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．【难度】★★【答案】【解析】【例8】如图，射线OA、OB、OC、OD有公共端点O，且∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=54∠BOC ，求∠BOC的度数．【难度】★★【答案】【解析】A BCDEOB ADCO【例9】 （1）已知∠1和∠2互为邻补角，且∠1比∠2的3倍大20°，求∠1和∠2的度 数；（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍大15°，求这个角的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例10】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC =54°，∠1比∠2小10°，求∠1、∠2的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且∠AOF =3∠BOF ，∠AOC =90°，（1） 求∠COE 的度数；（2） 说明OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线的理由．【难度】★★ 【答案】 【解析】AC B DOEFACBDO211、对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质 对顶角相等．【例12】 下列说法中，正确的是()A ． 有公共顶点的两个角是对顶角B ． 对顶角一定相等C ． 有一条公共边的两个角是邻补角D ． 互补的两个角一定是邻补角 【难度】★ 【答案】 【解析】【例13】 把下图中对顶角分别写出来． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析知识精讲模块二：对顶角的意义和性质ABC DO【例14】 （1）如果以点O 为端点画四条射线OA 、OB 、OC 、OD ，且OA 、OC ， OB 、OD 互为反向延长线，那么∠AOB 和∠COD 互为_________；（2）如果以点O 为端点画三条射线OA 、OB 、OC ，且射线OA 、OC 互为反向延长线，那么∠AOB 和∠COB 互为_________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例15】 如图，共有对顶角（ ） A ．4对B ．5对C ．6对D ．8对【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】 下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；④如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等．其中正确的说法是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④【难度】★★ 【答案】 【解析】【例17】 a 、b 、c 两两相交，∠1=60°，∠2：∠4=3:2，求∠3和∠5的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCDEFG HJI K43521abc【例18】 如图，直线AB 、CD 交于点O ，则（1）若∠2=3∠1，则∠1=__________； （2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________； （3）若∠2-∠1=100°，则∠3=__________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 a 、b 、c 交于点O ，两条直线相交，∠2=∠1，∠3：∠1=8:1，求∠4的度数 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】 已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2：∠1=4:1，求∠AOF 的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例21】 （1）两条直线相交，有几对对顶角?有几对邻补角?（2）三条直线相交，有几对对顶角?有几对邻补角?（3）n 条直线两两相交，最多会形成多少对对顶角?几对邻补角?（不含平角） 【难度】★★★ 【答案】 【解析】4321ab cO12ABC DE FO321A BCD O模块三：垂线(段)的意义和性质知识精讲1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零．例题解析【例22】“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中这一点的位置（）A．在直线的上方B．在直线的下方C．在直线上D．可以任意位置【难度】★【答案】【解析】【例23】 如图，OA ⊥OB 于O ，直线CD 经过点O ，∠AOD =35°，则∠BOC =_______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例24】 下列说法中正确的是（）A ．有且只有一条直线垂直于已知直线B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离C ．互相垂直的两条线段一定相交D ．直线c 外一点A 与直线c 上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm ，则点A 到直线c 的距离是3cm 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 列说法正确的个数是 （）①过直线上或直线外一点，都能且只能画这条直线的一条垂线；②过直线l 上一点A 和直线l 外一点B 的直线，使它与直线l 垂直；③从直线外一点作这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；④过直线外一点画这条直线的垂线段，垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离.A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 如图，点A 到直线BC 的距离是线段_______的长；线段CH 的长表示点C 到直线________的距离； 点A 到点C 的距离是线段_________长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDOABC DEFHba P【例27】 如图,AC ⊥BC ，C 为垂足，CD ⊥AB ，D 为垂足，BC =8，CD =4.8,BD =6.4，AD =3.6，AC = 6，那么点C 到AB 的距离是_______，点A 到BC 的距离是________，点B 到CD 的距离是_____，A 、B 两点的距离是_________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 作图题：过点P 分别画直线a 、b 的垂线，垂足分别为M 、N ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例29】 按下列要求画图并填空：（1）过点B 画出直线AC 的垂线，交直线AC 于点D ，那么点B 到直线AC 的距离是线段_________的长．（2）用直尺和圆规作出△ABC 的边AB 的垂直平分线EF ，交边AB 、AC 于点M 、N ，联结CM ．那么线段CM 是△ABC 的___________．（保留作图痕迹） 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例30】 一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的两个学校；（1）汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来．（2）当汽车由A 向B 行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大? 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABMNABCDABCABC【习题1】 到一条直线的距离等于2的点有（ ）A ．1个B ．0个C ．无数个D ．无法确定【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 下列说法错误的是（） A ．两点之间，线段最短B ．和已知直线垂直的直线有且只有一条C ．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线D ．在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 如图，过△ABC 三个顶点A 、B 、C ，分别作BC 、AC 、AB 的垂线，并用“⊥”符号表示出来． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 下列说法正确的个数有（）（1） 直线外一点与直线上各点的所有连接线中垂线段最短； （2） 画一条直线的垂线可以画无数条；（3） 在同一平面内，经过一个已知点能画出一条直线和已知直线垂直； （4） 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABC【习题5】 若∠α=54°，∠β的两边与∠α两边互相垂直，则∠β=____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 平面上三条直线两两相交，最多有m 个交点，最少有n 个交点，则m n +=____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，OA 平分∠COE ，当∠COE =70°，求∠BOD的度数，当∠DOE =110°时，求∠BOD 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 已知AB ⊥l ，BC ⊥l ，B 为垂足，问：A 、B 、C 三点共线吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 如图已知O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC内，∠BOE =12∠EOC ，∠DOE =70°，求∠EOC 的度数．【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB CDEFOA C BlD AEB CO【习题10】 如图，已知∠AOB ，画射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ，你能画出几种符合要求的图形?并猜想∠COD 与∠AOB 的数量关系，并说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 下列语句中正确的是（）A ．有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角B ．互为邻补角的两个角不等C ．两边互为反向延长线的两个角是对顶角D ．交于一点的三条直线行成3对对顶角 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 直线AB 上有一点P 和此直线外的一点Q 的距离为3cm ，则Q 到直线AB 的距离（ ） A ．等于3cmB ．大于或等于3cmC ．小于或等于3cmD ．都不对【难度】★ 【答案】 【解析】课后作业ABO【作业3】 直线AB 与直线CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，则图中∠1和∠2的关系是__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 从钝角∠AOB 的顶点O 在∠AOB 内引射线OC 使OC ⊥OA ，若∠AOC =∠COB =3：1，求∠AOB 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 如图：AO ⊥BC 于点O ，OA 平分∠DOE ，∠COE =64°，求∠AOD 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 作图：已知线段AB 上一点Q 及线段外一点P ．（1） 过点Q 作线段AB 的垂线； （2） 过点P 作线段AB 的垂线． 【难度】★★ 【答案】 【解析】21ABC D EOABCDEOABPQ．【作业7】 （1）用三角尺画一个30°的∠AOB ，在边OA 上任取一点P ，过P 作PQ ⊥OB ，垂足为Q ，量一量OP 的长，你发现点P 到OB 的距离与OP 长的关系吗? （2）若所画的∠AOB 为60°，重复上面的测量，你会发现什么? 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，OG 平分∠BOF ，且CD ⊥EF ，∠AOE =70°，求∠DOG 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 如图所示，O 为直线AB 上一点，∠AOC =13∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线（1） 求∠DOC 的度数；（2） 判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEFG OBACDOAB OAOB【作业10】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥EF ，OG 平分∠FOC ，OH 平分∠DOG ，（1）若∠AOC ：∠COG=4:7，求∠DOF 的度数； （2）若∠AOC ：∠DOH=8:29，求∠COH 的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业11】 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC DEF GOA BCDOEHGF。
7年级寒假班05-邻补角、对顶角及垂直-学生版
邻补角、对顶角及垂线知识结构模块一：邻补角的意义和性质知识精讲1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．【例1】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．【例2】 判断：（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行； （ ） （2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交； （ ） （3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角．（） （4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（ ）【例3】 如图，∠AOD 的邻补角是__________．【例4】 如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD =2∠BOD ，∠COD =28°，求∠AOC 的大小．【例5】 如图，直线a 、b 相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．例题解析Aab12 34ABC DEFOAB C D OOE DCBA 【例6】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【例7】 同一平面上的任意三条直线，可以有__________个交点．1、对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质 对顶角相等．【例8】 下列说法中，正确的是()A ． 有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角B ． 有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角C ． 由两条直线相交所成的角是对顶角D ． 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角【例9】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对对顶角，并 把他们写出来．例题解析知识精讲模块二：对顶角的意义和性质ABC DEFO【例10】 判断：（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（ ） （2）相等的两个角是对顶角．（）【例11】 若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________． 【例12】 如图，直线AB 、CD 交于点O ，则（1）若∠1+∠3=68度，则∠1=__________． （2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________． （3）若∠2-∠1=100度，则∠3=__________．【例13】 如图（1）所示，两条直线AB 与CD 相交成几对对顶角？（2）如图（2）所示，三条直线AB 、CD 、EF 相交呢？ （3）试猜想n 条直线相交会成多少对对顶角？1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：CD AB ，读作“AB 垂直于CD ”．注：垂直是特殊的相交．知识精讲模块三：垂线(段)的意义和性质321ODBCA3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直 4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l 上，那么就说这个点到直线l 的距离为零．【例14】 判断：（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．（ ） （2）两条直线的交点叫垂足． （ ） （3）线段和射线没有垂线．（） （4）两条直线不是平行就是互相垂直．（）（5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离．（【例15】 如图，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，那么点B 到线段CD 的距离是线段__________的长度；线段CD 的长度是点C 到线段__________的距离；线段AC 是点___________到线段__________的距离．【例16】 下列选项中，哪个是直线l 的垂线（ ）【例17】 如图，AC BC ，垂足为C ，AC =4，BC =3，那么点A 与BC 的距离为______．例题解析ABCDllllABN【例18】 如图，直线AB ，CD 交于点O ，OE ⊥AB ，:1:2AOC COE ∠∠=，则 COE ∠=_________．【例19】 作图题：1、已知直线AB 和点C ，过点C 做AB 的垂线；2、作线段MN 的中垂线．【例20】 B 两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C ，若由B 厂独家兴建，并考虑B 厂的利益，则要求货物离B 厂最近，请在图10中作出此时货场C 的位置，并说出这样做的道理．【例21】 如图，已知OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，BOC ∠比AOC ∠大20︒，则BOD ∠的 度数为_______．【例22】 如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度?AB C DEOAB公路ABCDO【例23】 如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OB 平分∠DOF ，∠COF =47∠BOD ．求∠AOC 、∠EOD 、∠COE 的度数．【例24】 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．【例25】 下列结论不正确的是()A ．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°B ．相等的两个角是对顶角是对顶角C ．两直线相交，若有一个交角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角D ．同角的余角相等例题解析模块四：综合运用A【例26】 如图，AB 与CD 为直线，图中共有对顶角()．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【例27】 如图，运动会上，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为DA =4.5米，DB =4.15米，则小明的跳远成绩应该为______米．【例28】 如图所示，已知AB 、CD 相交于O 点，OE ⊥AB ，∠EOC =28°，则∠AOD =_______．【例29】 如图，直线AD 和BE 相交于O 点，OC ⊥AD ，∠COE =70°，求∠AOB 的度数．【例30】 如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ， ∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．【例31】 已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE 的度数．【例32】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且∠AOC =∠AOD －80°，A BCD EFABCDE O28 AA B CD E F12 O3F E ODCB AEOD CB求∠AOE 的度数．【习题1】 下列语句中正确的是（）A ．过直线AB 的中点且和AB 垂直的直线叫做中垂线 B ．过线段CD 的中点且和CD 垂直的直线叫做CD 的中垂线C ．和直线AB 相交且过A 点的直线是AB 的中垂线D ．和线段AB 相交且成90度的直线是AB 的中垂线 【习题2】 下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）ABCD【习题3】 如图5，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______，∠3=_______，∠4=_______．【习题4】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE =30°，那么∠BOE =_______，∠BOF =_______【习题5】 如图7，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE =90°，∠12121212随堂检测E a b1 23 4OE DCBA AOC =30°，∠FOB =90°，则∠EOF =________．【习题6】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC =120°，求BOD ，∠AOE 的度数．【习题7】 如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．【习题8】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE =40°，∠BOC =2∠AOC ，求∠DOF ．【习题9】 如图，已知∠2与∠BOD 是邻补角，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2∶∠1=4∶1，求∠AOF 的度数．【习题10】 已知点O 是直线AB 上一点，OC ，OD 是两条射线，且∠AOC =∠BOD ，则∠ABCD EFOb a c2314AOC 与∠BOD 是对顶角吗?为什么?【作业1】 判断：（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（ ）（2）∠A 与∠B 互为邻补角，所以他们相等（）（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（ ）（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（ ）（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（）（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（ ） （7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（）【作业2】 如图所示AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，FO ⊥CD 于O ，∠EOD 与∠FOB 的大小关系是（ ） A ．∠EOD 比∠FOB 大B ．∠EOD 比∠FOB 小C ．∠EOD 与∠FOB 相等D ．∠EOD 与∠FOB 大小关系不确定【作业3】 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，C ，D 是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB 上点M 的位置时，距离加油站C 最近；行驶到点N 的位置时，距离加油站D 最近，请在图中的公路上分别画出点M ，N 的位置并说明理由．【作业4】 如图，AOB 为直线，∠AOD ：∠DOB =3：1，OD 平分∠COB ．（1）求∠AOC 的度数；（2）判断AB 与OC 的位置关系．【作业5】 若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为_________度．【作业6】 作图：已知线段AB 及线段外一点P ．课后作业（1） 过点P 作线段AB 的垂线； （2） 画线段AB 的垂直平分线．【作业7】 如图所示，这是某位同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少?（比例尺为1:100）【作业8】 如图所示，直线、b 、c 相交，∠1=60°，∠2=23∠4，求∠3、∠5的度数．【作业9】 如图，OD ⊥OC ，且2:13:2∠∠=，那么1∠=________，3∠=_______．【作业10】 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数．a bc1 2 34 5 ACD O123 ABP起跳线。
邻补角、对顶角的定义及性质-七年级数学
解:(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和 ∠COB;∠BOE的邻补角是 ∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB; ∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°; ∠COB=180°-∠AOC=130°.
D E
A
O
B
F
C
1.若∠1+∠3= 60º，则∠1,∠2,∠3,∠4的度数分别为3_0_º__、__1_5_0_º_、__3_0_º、__1_5_0_º. 2.若∠2是∠1的 3倍，则∠1,∠2,∠3,∠4的度数分别为_4_5_º_、__1_3_5_º_、__4_5_º_、__1_3. 5º 3 .若 1: 2 = 2: 7 ，则∠1,∠2,∠3,∠4的度数分别为_4_0_º_、__1_4_0_º、__4_0_º_、__1_4_0_º.
图中∠1的对顶角是__∠__3__.
特征：
C
（1）两个角是由两条直线相交而形成的（由两条直
A
12
O
4
3
线相交保证了所形成的角有公共顶点）； B （2）两个角的两边无公共边。
D
下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
1
2
1
1
2
2
1 2
∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？ 猜想：对顶角相等。
C
A
12
解：∵ ∠1= ∠3（对顶角相等）
∠5+∠8=180 °且∠1 +∠5=180°
∴∠8= ∠1
∵ ∠8= ∠6（对顶角相等）
A
∴∠6= ∠1.
C
2 13
4 56
87
F
2.如图，直线AB、CD、EF、MN相交，若∠2=∠5，找出图中与∠2 互补的角.
《对顶角及其性质》同步练习 (精品)2022年 附答案
10.1.1 对顶角及其性质一、选择：∠1与∠2是对顶角的是〔 〕2.以下语句正确的选项是〔 〕 A.相等的角是对顶角. B.不是对顶角的角都不相等. C.不相等的角一定不是对顶角. °的两个角是对顶角.3.如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 、OF 是过点O 的射线，其中构成对顶角的是〔 〕 A.∠AOF 和∠DOE B.∠EOF 和∠BOE C.∠COF 和∠BOD D.∠BOC 和∠AOD二、填空：4.如图10-1-6所示，直线EF 与AB 相较于G ，与CD 相较于H ，那么∠AGH 的对顶角是______；∠AGF 与______是对顶角；∠AGH 与______是邻补角；∠GHC 的邻补角是______．5.如图10-1-7所示，AB 和CD 相交于O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC=70°，那么∠BOD= .6.∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2又互为补角，那么∠1= .三、解答题：1 2 1 21212ABCDEA DCB FO第3题ＦＣＡ Ｈ ＥＤＢＧ 第4题ABCD E O第5题7.如图10-1-11所示，：BC 是从直线AB 上出发的一条射线，BE 平分∠ABC ， ∠EBF=90°.试说明：BF 平分∠CBD.第17章 一元二次方程17.1 一元二次方程◆随堂检测1、判断以下方程，是一元二次方程的有____________. 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕；〔5〕；〔6〕.〔提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.〕2、以下方程中不含一次项的是〔 〕 A ． B ． C ． D ．3、方程的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________.4、1、以下各数是方程解的是〔 〕 A 、6 B 、2 C 、4 D 、05、根据以下问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. 〔1〕4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长. 〔2〕一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.〔3〕一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长.ADEFCB第7题分析：此题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.解：〔1〕由题意得，时，即时，方程是一元一次方程.〔2〕由题意得，时，即时，方程、一次项系数是、常数项是.◆课下作业●拓展提高1、以下方程一定是一元二次方程的是〔〕A、 B、C、 D、2、是关于的一元二次方程，那么的值应为〔〕A、＝2B、C、D、无法确定3.是一元二次方程的一个解，那么的值是〔〕A．-3 B．3 C．0 D．0或34.假设是关于的方程的根，那么的值为〔〕A．1 B．2 C．-1 D．-25.根据以下表格对应值：A、 B、3.24＜C、5＜D、＜6.假设一元二次方程有一个根为1，那么_________；假设有一个根是-1，那么b与、c之间的关系为________；假设有一个根为0，那么c=_________.7.下面哪些数是方程的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、0，求的值是多少？9.关于的方程．〔1〕为何值时，此方程是一元一次方程？〔2〕为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对顶角练习题
一、判断题，
1.顶点相对的角是对顶角（）
2.由公共顶点并且相等的两个教师对顶角。
（）
3.两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角。
（）
4. 两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。
（）
5.判断下列图中，∠1，∠2是否是对顶角：
二、填空题：
6.一个角的两边分别是另一个角的两边的，这两个角叫做对顶角.
7. 如图，直线AB，CD，EF相交，则图中共有对对顶角。
8. 如图，图中共有对对顶角。
9.对顶角性质是：
10.如图，直线a, b相交于O点，∠1+∠3=100°，则∠2= ，
∠3= .∠4= .
11.如图，已知B点是∠DAE的AD边上任意一点，过点B作直线MN交AE于C，交AD 于B，且∠1=∠2，则图中对顶角有对，与∠1（不包括∠1）相等的角有个。
分别是：。
12.如图，直线AB，CD相交于O点，∠AOC=2∠COB，OE平分∠DOB，
则∠DOE= 度。
三、解答题：
13.如图，AB，CD相交于O，且∠1=∠2，问∠3=∠4吗？为什么？
14、已知：A B⊥CD于O点，直线EF过O点，∠EOC=15°，
求∠BOF的度数.
15. 如图，直线AB，CD相交于O点，O E⊥CD，O F⊥AB，图中有哪些相等的角？
请说明理由。
16. 如图，直线AB，CD，EF相交于O点，已知∠AOE=20°，
∠DOB=52°，OG平分∠COF，求∠EOG的度数。
试卷答案
1.答案：（×）
解析：此题考查对顶角概念，需要根据语言叙述自己画图进行判断，中等难度。
根据语句画出与对顶角不同的角，如
，
图中的∠1，∠2虽然顶点相对，但不符合对顶角的要求。
2. 答案：（×）
解析：根据语句画出图形，如
图中的∠1，∠2虽然有公共的顶点且相等，但不符合对顶角的要求。
3. 答案：（×）
解析：根据语句画出与对顶角不同的角，如
图中的直线AB，CD相交于O点，∠1，∠2虽然有公共的顶点，但是不能保证相等，所以错误。
4. 答案：（×）
解析：根据语句画出图形，如
图中∠1，∠2时对顶角，他们有公共点O，没有公共边，且∠1=∠2，
5. 答案：C
解析：变换图形，从不同角度认识对顶角，有了具体图形，辨认较为容易。
6. 答案：反向延长线
解析：此题较为容易，根据教材中的对顶角的概念就可以解答。
7. 答案：6对
解析：此题考查对顶角性质，中等难度。
由对顶角定义可知，对顶角有：∠AOC与∠BOD，∠AOE与∠BOF，∠DOE与∠COF，∠AOD与∠BOC，∠EOB与∠AOF，∠DOF与∠COE
8. 答案：4对
解析：此题考查对顶角性质，中等难度。
有∠AED与∠FEC，∠AEF与∠DEC，∠BCG 与∠ACH，∠ACB与∠HCG。
9. 答案：相等
解析：此题根据教材中的对顶角性质解答，较为容易，就是对顶角相等。
10. 答案：∠2=130°，∠3=50°，∠4=130°
解析：此题结合图形运用对顶角性质与平角定义进行计算，中等难度。
解：∵直线a, b相交于O点，∴∠1=∠3
∵∠1+∠3=100°，∴2∠1= 100°，
∴∠1= 50°，∴∠3= 50°。
∵∠1+∠2=180°∴∠2=130°，
∵∠2=∠4，∴∠4=130°
11.答案：对顶角有4对，与∠1相等的角有3 个。
解析：通过图形，辨认相等的角，运用对顶角性质与等量代换。
对顶角有有∠ACB与∠NCE，∠ACN与∠BCE，∠ABM与∠CBD，
∠ABC与∠DBM。
与∠1相等的角有∠DBM，∠NCE，∠ACB.
12. 答案：∠DOE =70°
解析：结合图形利用对顶角性质，平角定义进行计算，中等难度。
解：∵直线AB，CD相交于O点，∴∠AOC=∠BOD
∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=2∠COB
∴2∠BOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC= 60°，∴∠AOC= 120°.
∴∠BOD=∠AOC =120°，
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE=∠BOE=60°
13.答案：∠3=∠4.
解析：此题容易错将∠3，∠4看成对顶角，直接写为∠3=∠4（对顶角相等）
.解：∵AB，CD相交于O（已知）
∴∠AOD=∠BOC（对顶角相等）
∴∠1+∠3=∠2+∠4
∵∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4（等量代换）
14. 答案：∠BOF=75°
解析：结合图形利用对顶角性质，直角定义进行计算，中等难度
解：∵A B⊥CD（已知）
∴∠AOC=∠BOD= 90°（垂直定义）
∵∠COE=∠DOF （对顶角相等）
∠COE= 15°（已知）
∴∠DOF= 15°（等量代换）
∴∠BOF=∠BOD -∠DOF=90°-15°=75°.
15. 答案：∠4=∠6=∠EOC=∠AOF= 90°，∠2=∠5，∠1=∠3，
∠AOD=∠BOC，∠EOB=∠FOD
解析：结合图形综合运用对顶角性质与平角定义、直角定义进行计算，此题偏难.
解：∵直线AB，CD相交于O点( 已知)
∴∠2=∠5 （对顶角相等）
（对顶角相等）
∵OE⊥CD ，A B⊥OF（已知）
∴∠4=∠6=∠EOC=∠AOF= 90°（垂直定义）
∵∠1=∠AOD-∠6
∠3=∠BOC-∠4
∴∠1=∠3
又∵∠EOB=∠5+∠6
∠DOF=∠5+∠4
∴∠EOB=∠FOD
16. 答案：∠EOG= 126°.
解析：结合图形运用对顶角性质与平角定义，角平分线定义进行计算，考查学生的观察能力及综合解题的能力. 此题偏难.
解：∵直线AB，CD，EF相交于O点( 已知)
∠AOE= 20°，∠DOB= 52°( 已知)
∴∠EOA=∠BOF= 20°，∠BOD=∠AOC= 52°（对顶角相等）
∵∠EOA+∠AOC+∠COF=180°（平角定义）
∴20°+52°+∠COF =180°
∴∠COF =108°
∵OG平分∠COF( 已知)
∴∠COG=0.5∠COF=54°（角平分线定义）
∴∠EOG=∠EOA+∠AOC+∠COG
=20°+52°+54°
=126°。