第十讲 级数

第十讲 无穷级数

Ⅰ. 考试要求

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

2．掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件.

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法. 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法.

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系. 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法. 8．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.

10．掌握)1ln(,cos ,sin ,x x x e x

+及α

)1(x +的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它

们将一些简单函数间接展开为幂级数.

11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[l l ,-]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[l ,0]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.

Ⅱ. 考试内容

一． 基本概念

定义：

1

n

n u

∞

==∑12n u u u ++++称为无穷级数, 简称级数, 其中第n 项n u 称为级

数的一般项.∑==

n

k k

n u

S 112n u u u =+++称为级数的部分和.如果lim n n S S →∞

=存在, 则称

级数收敛. 称S 是级数的和. 记作 ∑∞

==

1

n n

u

S 12n u u u =++++

如果数列}{n S 没有极限, 则称级数发散.

二． 性质

1. 如果

S u

n n

=∑∞

=1

, 则kS ku n n =∑∞

=1.

问题 如果∑∞

=1n n

u

发散,

∑∞

=1

n n

ku

如何?

2. 如果

S u

n n

=∑∞

=1

, T v n n =∑∞=1

, 则1

()n n n u v S T ∞

=±=±∑.

问题 如果

∑∞

=1

n n

u

收敛,

∑∞

=1

n n

v

发散, 情况如何? 如果两个都发散呢?

(

sin )n n n

n α2

1

1

-=∞

∑ 3. 在级数前面部分删除或者添加有限项, 不影响级数的收敛性.

4. 给收敛的级数加括号所得的新级数收敛于原级数的和.

注： 逆命题不成立, (即加法结合律不成立. 实际上, 加法交换律也不成立.) 常用的是与之等价的逆否命题: 如果加括号所得的新级数发散, 则原级数发散.

反例*

∑∞

=--1

1

)

1(n n

5*. 级数收敛必要条件 必要条件 设级数

∑∞

=1

n n

u

收敛, 则0lim =∞

→n n u .

注： (1) 逆命题不成立. 即: 如果数列}{n u 是无穷小, 级数

∑∞

=1

n n

u

不一定收敛.

反例 调和级数

∑∞

=11

n n

发散.

(2) 常用的是其逆否命题: 如果一般项不趋向于零, 则级数发散.

(3) 常用于求极限.例lim 0!

n

n a n →∞=

三． 敛散性的判定

1. 正项级数

定义 如果级数

∑∞

=1

n n

u

满足0≥n u , 则称为正项级数.

基本法： 正项级数收敛的充分必要条件为: 它的部分和数列有上界.

注： 对于正项级数, 性质4的逆定理成立. 但是, 必要条件的逆定理仍然不成立.

(1) 比较法: 设级数∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1n n

v

满足00,n n u v n n ≤≤≥, (ⅰ) 如果∑∞

=1n n

v

收敛, 则∑∞=1n n

u 收敛; (ⅱ) 如果

∑∞

=1

n n u

发散, 则

∑∞

=1

n n

v

发散.

注：①大敛小必敛，小散大必散.考虑其他情况.

②比较对象 -p 级数11p n n ∞

=⎧⎨≤⎩∑收，p>1散,p 1,几何级数 1|1(0)||1n n q aq a q ∞

=<⎧≠⎨≥⎩∑收，|散，

.

③ 比较法的极限形式:设正项级数

∑∞=1

n n u 与∑∞

=1

n n v 满足l v u n

n

n =∞→lim

, +∞<

则

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1

n n

v

同时收敛, 或者同时发散.

用法: 找等价无穷小如

1

1

(1cos )n n ∞

=-∑.

问题 如果极限等于零, 或正无穷, 能有什么结论?

(2) 比值法: 设正项级数

∑∞

=1

n n u 有ρ=+∞→n

n n u u 1

lim

, 则当1<ρ时, 级数收敛, 当

1>ρ时, 级数发散; 当1=ρ时, 可能收敛, 也可能发散.

反例3* 级数∑∞

=121n n 收敛, ∑∞

=1

2

n n 发散.

注: 与比较审敛法不同, 这里无须寻找一个已知级数, 因此容易使用. 但是应用范围比较狭窄. 当一般项中有n

a ,!n 阶乘时, 常用比值审敛法.

(3)*. 根值法: 设正项级数

∑∞

=1

n n

u

有ρ=∞

→n

n n u lim

, 则当1<ρ时, 级数收敛; 当

1>ρ时, 级数发散; 当1=ρ时, 可能收敛, 也可能发散.

注: 当一般项中有n 次方时, 可以考虑用根值法.在用根值法时, 下述极限有用:

1lim =∞

→n n a , 1lim =∞

→n n n ,∞=∞

→n n n !lim . 比值审敛法和根值审敛法是参照等比级数制定的,

因此, 只对与等比级数类似的级数适用, 对-p 级数无效.

小结:一般按先易后难的顺序依次考虑: 必要条件, 比值审敛法或根值审敛法, 极限形式, 比较审敛法, 定义.

1

0,!

n n n

n n u u u

a n ∞

=≥→∑比值法(根值法)→比较法(等价无穷小)→性质→定义.

问题 如果级数

∑∞

=1

n n

u

满足0≤n u , 有什么结论?