三角数列知识点梳理

三角函数知识点总结

1. 角的概念的推广

(1) 终边相同的角：所有与α角终边相同的角(连同α角在)可以用式子k ⋅360︒α，k ∈Z 来表示。

与α角终边相同的角的集合可记作：{β|β

k ⋅360︒α，k ∈Z}或{β|β2k πα，k ∈Z}。

※ 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。 (2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限的角。 象限角 集合表示

象限角 集合表示

第一 象限 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<

第二 象限 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ，πππ

π222

第三 象限

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ，2322π

πππ

第四 象限

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ，πππ

π22232 ※ 角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

(3) 轴线角：角的终边在坐标轴上的角称为轴线角。

轴线角

集合表示 轴线角

集合表示 x 轴非负半轴 {x |x

2k π，k ∈Z }

x 轴非正半轴

{x |x

2k ππ，k ∈Z }

x 轴 {x |x k π，k ∈Z } y 轴非负半轴

⎭

⎬

⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ，22π

π

y 轴非正半轴

⎭

⎬

⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ，232π

π

y 轴

⎭

⎬

⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ，2π

π

坐标轴

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k x x ，π21

2. 弧度制

(1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 (2) 度数与弧度数的换算： ①180︒

π弧度； ②180

1π

=

︒弧度； ③1弧度

O

⎪⎭

⎫

⎝⎛π180。 (3) 有关扇形的一些计算公式： ①R

=α； ②R S 2

1

=

； ③221

R S α=；

④C

(α2)R ；

⑤)sin (2

1

2αα-=-=∆R S S S 扇形

弓。

3. 同角三角函数的基本关系

(1) 商数关系：

αα

αtg =cos sin ；(2) 平方关系：sin 2αcos 2

α1， 4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(2

π

的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。

5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； β

αβ

αβαtg tg tg tg tg 1)(±=

± (变形：)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±)。

6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式：

sin2α2sin αc os α，c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α112sin 2α，α

-α

=

α2

tg 1tg 22tg ； 7. 倍角、半角公式的功能

(1) 并项功能：1±sin2α(sin α±c os α)2 (类比：1c os2α2c os 2α，1c os2α2sin 2α)； (2) 升次功能：c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α1

1

2sin 2α；

R

(3) 降次功能：22cos 1cos 2αα+=，2

2cos 1sin 2α

α-=。 8. 辅助角公式：

)sin(cos asin 22ϕααα++=+b a b (其中2

2

sin b

a b +=ϕ、2

2

cos b

a a +=

ϕ)

二、解三角形 1. 正弦定理：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===。 2. 余弦定理：a 2b 2c 22bcc os A ，b 2a 2c 22acc os B ，c 2a 2b 22abc os

C 。

3. 斜三角形的解法

已知条件 定理选用

一般解法

一边和两角

(如a 、B 、C )

正弦定理

由A

B C 180︒，求角A ，由正弦定理求出b 与c 。

B ac S sin 2

1

=

∆。在有解时只有一解。 两边和夹角

(如a 、b 、C )

余弦定理 有余弦定理求出第三边c ，由正弦定理求出小边所

对的角，再由A

B C 180︒求出另一角。

C ab S sin 2

1

=

∆。在有解时只有一解。 三边

(如a 、b 、c )

余弦定理

由余弦定理求出角A 、B ，再利用A ＋B C 180︒，

求出角C 。C ab S sin 2

1

=

∆。在有解时只有一解。 两边和其中一边的对角

(如a 、b 、A )

正弦定理 由正弦定理求出角B ，由A

B C 180︒求出角C 。

再利用正弦定理求出c 边。C ab S sin 2

1

=

∆。可能有两解、一解或无解。

A ≥90︒ A <90︒ a >b

一解

一解