2012年清华保送生自主招生笔试题(a卷)

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2012自主招生考试新题CC 题100

2012自主招生考试 100新题1．（2012•清华保送）如图所示，AB 为一定量理想气体的绝热线，当它以图示A→B→E→A 过程变化时，下列关于气体吸、放热的表述正确的是（）A ．始终吸热B ．始终放热C ．有时吸热，有时放热，但吸热等于放热D ．有时吸热，有时放热，但吸热大于放热E ．有时吸热，有时放热，但吸热小于放热2．（2012•清华保送）无限大带电平板上方的场强E 为定值，它的大小与下列哪一项是成正比的（）A ．σkB ．σ/kC ．2σkD ．k /σ3．（2012•清华保送）一平行板电容器接在电源两端，记断开电源将其拉开一段距离做功为A ，接通电源时拉开相同距离做功为B ，则A 与B 哪个大?答：大，理由：。

4、（2012•清华保送）在离海平面高200 m 的悬崖上有一个雷达，可以发射波长为5m 的无线电波，若在离悬崖20 km 、且离海面125 m 上方处接收到的电磁波信号最强。

今有一架飞机在离悬崖20 km 处从接近海平面处开始竖直向上飞行，则其在另一处离海平面最近处接收到的信号又最强的点距海平面m 。

5．（2012·华约联盟）图中是由两块不平行的导体板组成的电容器，若使两板分别带有电量为+q 和—q 的电荷，正确反映两板间电场线分布的图是（）6．（2012•华约联盟）已知波长m μλ45.0=的紫光垂直照在一块铜板上，有电子逸出，并且电子在场强为E =10 V/m 的电场下最远可以运动到15 cm 处，已知hc =1.24×106e V/m ，求该铜板的极限波长（）A ．0.80μmB ．0.90μmC ．1.0μm D. 1.1μm7．（2012•华约联盟）若实心玻璃管长40 cm ，宽4 cm ，玻璃的折射率为3/2，光从管的左端正中心射入，则光最多可以在管中反射几次（）A ．5B ．6C ．7D ．88．（2012·华约联盟）电池甲和乙的电动势分别为E 1和E 2，内电阻分别为r 1和r 2，已知21E E >．若用甲、乙电池分别向某个电阻R 供电，在这个电阻上所消耗的电功率相同．若用甲、乙电池分别向另一个电阻'R 供电，在'R 上消耗的电功率分别为P 1和P 2，已知R R >'，则（）A ．2121,P P r r >>B ．2121,P P r r <<C ．2121,P P r r <>D ．2121,P P r r ><9．（2012•华约联盟）如图，绝热容器的气体被绝热光滑密封活塞分为两部分A 、B ，已知初始状态下A 、B 两部分体积、压强、温度均相等，A 中有一电热丝对A 部分气体加热一段时间，稳定后（）A ．A 气体压强增加，体积增大，温度不变B ．B 气体的温度升高，B 中分子运动加剧C ．B 气体的体积减小，压强增大D ．A 气体的内能变化量等于B 气体的内能变化量10．（2012•华约联盟）已知一列正弦波向x 轴正方向传播，t =0时波形图为图中实线，t =1.3s 时第一次出现图中虚线所示的波形，则该正弦波的振动周期及波长分别是（）A ．周期T =2.4s ，波长m 4=λB ．周期T =（156/35）s ，波长m 4=λC ．周期T =2.4s ，波长m 55.1=λD ．周期T =（156/35）s ，波长m 55.1=λ11．（2012•华约联盟）铁路上使用一种电磁装置向控制中心传输信号以确定火车的位置，能产生匀强磁场的磁铁被安装在火车首节车厢下面，如图所示（俯视图）。

2012北大自主招生数学试题

2012北大自主招生数学试题(理科)1.求x 的取值范围,使得()21f x x x x =+++-是增函数.2.1的实数根的个数.3.已知22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的4个根组成首项为14的等差数列,求m n -.4.已知锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ,求O 到三角形三边的距离之比.5.已知点(2,0),(0,2)A B -,若点C 是圆2220x x y -+=上的动点,求ABC ∆面积的最小值.6.在1,2,,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数？7.设点A 、B 、C 分别在边长为1的正三角形的三边上,求222AB BC CA ++的最小值.8.若关于x 的方程sin 4sin 2sin sin 3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的a ,求实数a 的范围.9.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.10.求证:对于任意的正整数n ,(1n 的形式,其中s N +∈.2012年清华等五校自主招生试题−−通用基础测试数学一、选择题1.若P 为ABC ∆内部任一点(不包括边界),且()(2)0PB PA PB PA PC -+-=,则ABC ∆必为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形2.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若MA MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为( )C.3D.32 3.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,1n -中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( ) A.4110 B.5110 C.6110 D.7110 4.已知,R αβ∈,直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上,则cos sin c in s s o ααββ+++=( )A.0B.1C.1-D.25.若正整数集合A k 的最小元素为1,最元素为2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列,则并集1759A A 中的元素个数为A.119B.120C.151D.1546.三角式111cos 0cos1cos1cos 2cos88cos89+++化简为 A.cot1csc1 B.tan1csc1 C.cot1sec1 D.tan1sec17．设k<3,k≠0，则二次曲线2213x y k k -=-与22152x y +=必有 (A)不同的顶点；(B)不同的准线；(C)相同的焦点；(D)相同的离心率．8.若P 为椭圆221169x y +=l 在第一象限上的动点，过点P 引圆x 2＋y 2=9的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则S MON ∆的最小值为( )(A)92;(B)(C)274;(D) 9. 设x 1、x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根，若x 1是虚数，212x x 是实数,则 248200711111222221x x x x x S x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A.0B.−1003C.1004D.−100410.函数f:R →R ，对任意的实数x 、y ，只要x+y≠0，就有f(xy)=()()f x f y x y++成立,则函数f(x)(x ∈R)的奇偶性为(A)一定是奇函数； (B)一定是偶函数; (C)既是奇函数，又是偶函数； (D)既不是奇函数，又不是偶函数．二、解答题11. 系统内有2k−1(k ∈N+)个元件，每个元件正常工作的概率为p(0<p<1)，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．求系统正常工作的概率p 并讨论p k 的单调性．12.已知2()12!!n n x x f x x n =++++(*n N ∈),求证:当n 为偶数时,方程()0n f x =无解;当n 为奇数时,方程()0n f x =有唯一解n x ,且2n n x x +<.13．已知锐角三角形ABC中，BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D，且BC=25，CE＝7,BD=15，若BE、CD交于点H，联结DE，以DE为直径作圆，该圆与AC交于另一点F，求AF的长度．14.已知有n(n≥2)位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求n的所有可能值·15．已知动点P在y轴上投影为H,A(−2,0),B(2,O)，满足2AP BP PH.2||(1)求点P的轨迹方程C;(2)已知一条直线过点B，且与曲线C交于x轴下方两点C、D，M为CD中点，求M与点Q(0，−2)连线的斜率取值范围．2012年名牌大学自主招生考试试题(3)适用高校：北京理工大学、同济大学等十三校一、选择题1．正四面体的4个而上分别写若l,2,3,4,将4个这样的均匀正四面体投掷于桌而上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是( )(A)18 (B)964(C)116 (D)1316 2．设a>0,b ＞0，c ＞0，且a+b+c=1，则22a b c 的最大值为( )(A)613 (B)43123 (C)34123 (D)6123．已知F 1、F 2分别为双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 为双曲线左支上的任意一点, 若221||||PF PF 的最小值为8a, 则双曲线的离心率的取值范围为( ) (A)(l ，+∞); (B)(0,3]； (C)(1,2]； (D)(1,3]4．如果关于x 的方程2x 2+3ax+a 2−a ＝0至少有一个根等于l 的根，那么实数a 的值( )(A)不存在；(B)有一个；(C)有三个；(D)有四个．5.5个顶点不共面的五边形叫空间五边形,空间五边形的5条边所在直线中,互相垂直的直线对至多有( )(A)5对; (B)6对; (C)7对; (D)8对.6．已知定义在实数集R 上的函数f(x),其值域也是R,井且时任意x 、y ∈R ．都有f[xf(y)]=xy,则|f(2007)等于( )(A)0; (B)1; (C)20072; (D)20077．若k 是正位数,且0242401020054010401040104010333C C C C +⨯+⨯++⨯能被2k 整除,则k 的最大值为( )(A)2004; (B)2005; (C)2006; (D)2008.8.已知非零向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且12||||AB AC AB AC =则ABC ∆为( ) (A)三边均为不相等的三角形; (B)直角三角形; (C)等腰非等边三角形; (D)等边三角形.9.关于x 、y 、z 的方程组333(6),(6),(6),y x z y x z -=-=-=的实数解的组数有( )(A)有一组解； (B)有两组解; (C)有无穷多组解； (D)无法确定10．在欧非杯排球赛中，欧洲的参赛队伍比非洲的参赛队伍多9支,每两支球队赛一场，胜者得1分，败者得0分,若欧洲球队所得总分为非洲球队所得总分的9倍，则非洲球队的各支球队中得分的最大可能值是( )(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.二、解答题11.在m(m≥2)个不同数的排列P 1 P 2 ⋯P m 中, 若1≤i<j≤m 时P i ＞P j (即前面某数大于后面某数)，则称P i 与P j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n−1)⋯321的逆序数为a n ,如排列21的逆序数a 1=l ，排列4321的逆序数a 3=6.(1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n =11n n n n a a a a +++,求证：2n<12n b b b +++ <2n+3,n=1,2，…12.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 已知sinA ＋sinC=msinB(m ∈R)，且4(A−C)+4cosB+cos2B=1.(1)求证：b 2=4ac;(2)当m=54， b=1时,求a 、c 的值； (3)若角B 为最大内角(即B≥A 且B≥C)．求实数m 的取值范围.13．已知a、b为实数，i为虚数单位．且关于z的二次方程4z2+(2a+i)z−8b(9a+4)−2(a+2b)i=0至少有一个实根．求这个实根的最大值．14.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,点A(5,0)到双曲线C上动点P(1)求双曲线方程；(2)若过点B(1,0)的直线l交双曲线C上支一点M，下支一点N，且4MB=5BN,求直线l的方程．15．由抛物线x=y2＋2与点(3,1)处的法线及x轴、y轴所围成一个平面图形．(1)求此平面图形的面积；(2)求该平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．2013年“北约”自主招生试题一、以二、在6×6的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行、每一列都只有一辆车，每辆车占一格，共有多少种停放方法？三、已知x2=2y+5,y2=2x+5，求x3−2x2y2+y2的值。

2012年清华七校联考(华约)自主招生模拟题-数学(word版附答案)

2012年高水平大学自主选拔学业能力测试全真模拟Advanced Assessment for Admission （AAA ）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知P为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，则△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形2．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。

若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为______A.7 B.72 C. 3 D.323.设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为______ A.1 B. 2 C. 3 D. 44. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是A .B.C.D.5．已知,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则cos sin c in s s o ααββ+++= 。

A.0B.1. C-1 D.26．设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++，则1()()_________f x f x+=。

A 1 B 2 C 3 D 4 7．已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．A 4/5B 3/5 C1 D -4/58．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，12AB AA '==，，则A C ，两点间的球面距离为（） A ．π4B ．π2C ．24π D ．22π 9. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为。

2012年清华等五校自主招生试题通用测试数学试题

2012年清华等五校自主招生试题数学一、选择题1.若P 为ABC ∆内部任一点(不包括边界),且()(2)0PB PA PB PA PC -+-= ,则ABC ∆必为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形2.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若MA MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为( )C.3D.323.若以体积为54的正四面体的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面体的体积为( )A.1B.2C.3D.44.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,1n - 中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( ) A.4110 B.5110 C.6110 D.7110 5.已知,R αβ∈,直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上,则cos sin c in s s o ααββ+++=( )A.0B.1C.1-D.26.设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++,则1()()f x f x +=( ) A.1B.2C.3D.4 7.已知1cos 45θ=,则44sin cos θθ+=( ) A.45 B.35C.1D.45-8.若正四棱柱ABCD AB C D ''''-内接于一球,且1,'AB AA =,则点,A C 间的球面距离为( ) A.π4 B.π29.若将满足,||3,||3x y x y <<<,且使得关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y -+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为M ,则由点集M 所确定的区域的面积为( ) A.814 B.834 C.815 D.835 10.已知椭圆22143x y +=的左,右焦点分别为12,F F ,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点,P Q ,则1F PQ ∆的内切圆面积的最大值是( ) A.2516π B.925π C.1625π D.916π 二、解答题11.设2()(,)f x x bx c b c =++∈R .若||2x ≥时,()0f x ≥,且()f x 在区间(2,3]上的最大值为1,求22b c +的最大值和最小值.12.已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>),其离心率为45,两准线之间的距离为252. (1)求,a b 之值；(2)设点A 坐标为(6,0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角ABP ∆(字母,,A B P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程.13.已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k x k x k -++⋅=的两个根.(1)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .(2)记1|sin |()(3)2sin n f n n =+,(2)(3)(4)()123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a -----=++++ ,求证:15624n T ≤≤. 14.已知椭圆22221x y a b+=过定点(1,0)A ,且焦点在x 轴上,椭圆与曲线y x =的交点为,B C .现有以A 为焦点,过,B C 且开口向左的抛物线,其顶点坐标为(,0)M m ,当椭圆离心率满足2213e <<时,求实数m 的取值范围. 15.已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立.假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值(1)求随机变量ξ的数学期望E ξ；(2)记“关于x 的不等式210x x ξξ-+>的解集是实数集R ”为事件A ,求事件A 发生的概率()P A .。

清华自主招生语文笔试题及答案

清华自主招生语文笔试题及答案清华自主招生笔试题及答案科目：语文本试卷满分100分。

请将答案和必要的解答过程写在答题纸上。

另有5分奖励分,如个别题目表现特别出众，可酌情在满分基础上额外加分。

一、语言基础知识(10分)1、“筚路蓝缕，以山林，抚有蛮夷，以属华夏。

不鸣则已，一鸣惊人。

”这是古楚先民的创业过程。

( )A.起B.乞 C．启2、夕阳西下，暮色沉沉，的林海，发生了阵阵的松涛声。

A.苍茫B.苍莽C．沧茫3、工厂抓生产，既要注意，也要讲究质量，二者不可偏废。

A.功效B.工率 C．工效4、她的心术，你们难道不知?自古道：“吉人自有天。

”任她怎么做去，我只是不论。

( )A.相B.像 C．象5、退居二线，摆脱了繁忙的事务，可没过几天日子，她又闲不住了。

( )A.安静B.清静 C．清净6、这次抢购风潮来得迅猛，波及面广，其原因固然很多，比如媒体真相滞后，少数商家乘机利用等，但归根结底，是群众性的盲目跟从。

A.披露B.曝露 C．透露7、诸葛亮舌战群儒，引古论今，。

A.侃侃而谈B.夸夸其谈C.滔滔不绝8、各级领导干部一定要时刻把人民群众的安危冷暖放在心上，勤政为民，扎实工作，为人民群众实实在在的利益。

( )A.牟取B.谋取 C．缪取9、 12月29日，温家宝总理吟诵了自己创作的俳句“常忆融冰旅，梅花瑞雪兆新岁，明年春更好”送给到访的福田康夫首相，表示了中日领导人和中日人民对中日关系的美好期盼。

下列名句与该俳句蕴涵相同哲理的是( )A.千淘万漉虽辛苦，吹尽黄沙始到金B.两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天C.竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知10、“徜徉于山林泉石之间，而尘心渐息：夷犹予诗书图画之内，而俗气潜消。

”这告诉我们 ( )A.要积极参加各种文化活动B.文化对人的影响是潜移默化的C.文化能够促进人的全面发展二、语言文字运用(10分)11、“微博”已经逐渐成为当今一种重要的文化现象，不少名人都纷纷选择经过“微博”这一方式和自己的粉丝互动，或者发表自己对于社会文化现象的看法或意见。

2012自主招生试题及答案

2012自主招生试题及答案第一部分：英语（满分50分，时间45分钟）一、单项填空（共15小题，每小题1分，满分15分）在下列各题的四个选项中，只有一个最符合题目要求。

请你将答案填在答题卡上。

1. —I can’t find my wallet anywhere.— Are you sure you _______ it at home?A. don’t leaveB. didn’t leaveC. haven’t leftD. hadn’t left答案：C2. The new movie _______ by millions of people since it came out.A. had watchedB. have been watchedC. has been watchedD. was watched答案：C3. Your car keys _______ on the table. You should have put them in your pocket.A. had lainB. have lainC. layD. were lain答案：A4. I can’t understand _______ you are trying to say. Could you please explain it again?A. whatB. whichC. whyD. how答案：A5. —Let’s go hiking this weekend, shall we?— _______ Sounds like a great idea!A. No problemB. I’d love toC. Don’t worryD. Take it easy答案：B二、完形填空（共20小题，每小题1分，满分20分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从短文后各题所给的四个选项中，选出最佳选项，并将答案填在答题卡上。

第二十三讲2012年名牌大学自主招生考试试题

2012年名牌大学自主招生考试试题1．正四面体的4个面上分别写有l,2,3,4,将4个这样的均匀正四面体投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是( )(A)18 (B)964(C)116 (D)1316 2．设a>0,b ＞0，c ＞0，且a+b+c=1，则2ab c 的最大值为( )(A)613 (B)43123 (C)34123 (D)612 3．已知F 1、F 2分别为双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,P 为双曲线左支上的任意一点, 若221||||PF PF 的最小值为8a, 则双曲线中c a 的取值范围为( ) (A)(l ，+∞); (B)(0,3]； (C)(1,2]； (D)(1,3]4．如果关于x 的方程2x 2+3ax+a 2−a ＝0至少有一个模等于l 的根，那么实数a 的值( )(A)不存在；(B)有一个；(C)有三个；(D)有四个．5. 5个顶点不共面的五边形叫空间五边形,空间五边形的5条边所在直线中,互相垂直的直线对至多有( )(A)5对; (B)6对; (C)7对; (D)8对.6．已知定义在实数集R 上的函数f(x),其值域也是R,并且对任意x 、y ∈R ．都有f[xf(y)]=xy,则f (2007)等于( )(A)0; (B)1; (C)20072; (D)20077．若k 是正整数,且0242401020054010401040104010333C C C C +⨯+⨯++⨯能被2k 整除,则k 的最大值为( )(A)2004; (B)2005; (C)2006; (D)2008.8.已知向量AB 与AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且12||||AB AC AB AC =则ABC ∆为( ) (A)三边均不相等的三角形; (B)直角三角形; (C)等腰非等边三角形; (D)等边三角形.9.在m(m≥2)个不同数的排列P 1 P 2 ⋯P m 中, 若1≤i<j≤m 时P i ＞P j (即前面某数大于后面某数)，则称P i 与P j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n−1)⋯321的逆序数为a n ,如排列21的逆序数a 1=l ，排列4321的逆序数a 3=6.(1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n =11n n n n a a a a +++,求证：2n<12n b b b +++ <2n+3,n=1,2，…10.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 已知sinA＋sinC=msinB(m∈R)，且4cos(A−C)+4cosB+cos2B=1.(1)求证：b2=4ac;(2)当m=54，b=1时,求a、c的值；(3)若角B为最大内角(即B≥A且B≥C)．求实数m的取值范围.11．已知a、b为实数，i为虚数单位．且关于z的二次方程4z2+(2a+i)z−8b(9a+4)−2(a+2b)i=0至少有一个实根．求这个实根的最大值．12.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,点A(5,0)到双曲线C上动点P.(1)求双曲线方程；(2)若过点B(1,0)的直线l交双曲线C上支一点M，下支一点N，且4MB=5BN,求直线l 的方程．。

2012年清华大学保送生测试数学试题

2012年清华年清华大学大学大学保送保送保送生测试生测试生测试数学试题数学试题一.填空题1.复数z 为虚数且1=z ,)21(i z −的实部为1，求z =.2.21+=+n n a a ,11=a ,⎩⎨⎧⎭⎬⎫+11n n a a 的前n 项的和为3718，求=n .3.现有6人会英语，4人会日语，2人都会（共12人），从其中选出3人做翻译，要求两种语言都有人翻译，则符合条件的选法共种.4.有一人进行投篮训练，投篮5次，进一次得1分，失误一次扣1分，连进2次得3分，连进3次得5分，且投篮命中率为52，则投3次恰好得2分的概率是.5.求方程1111=++zy x 所有正整数解（z y x ,,）为.6.某一几何体，右图为其三视图，γβα、、分别为三视图中主视图、左视图、俯视图，设αS 、βS 、γS 在实际图形中所看的面积，试比较αS 、βS 、γS 的大小关系.二.解答题1.221x y =与4+=x y 围成区域中有矩形ABCD ，且A 、B 在抛物线上，D 在直线上，其中B 在y 轴右侧，且AB 长为2t （t>0）（1）当AB 与x 轴平行时，求矩形ABCD 面积S(t )的函数表达式；（2）当边CD 与4+=x y 重合时，求矩形ABCD 面积的最大值。

2.函数()x x x x f 3sin cos 232sin 2−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，且]2,0[π∈x （1）求函数的最大值和最小值；（2）求方程()3=x f 的解3．()x e x f x1ln −=，11=a ，()n n a f a =+1（1）求证：01≥+−x x e x e 恒成立.（2）试求()x f 的单调区间；（3）求证：{}n a 为递减数列，且0>n a 恒成立.4．在AOB∆内（含边界），其中O为坐标原点，A在y轴正向，B在x轴正向，OA且有2=OB=(1)用方程表示AOB∆的区域(2)求证：在AOB∆内的任意的11个点，总可以分成两组，使一组的横坐标之和不大于6，使另一组的纵坐标之和不大于6。

清华自主招生试题整理(舒展)

清华自主招生试题整理(2006--2012)2012年清华等五校自主招生试题--通用基础测试一、选择题1.若P 为ABC ∆内部任一点(不包括边界),且()(2)0PB PA PB PA PC -+-=,则ABC ∆必为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形 2.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若MA MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为( ) A.7 B.72C.3D.323.若以体积为54的正四面体的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面体的体积为( ) A.1B.2C.3D.44.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,1n - 中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( ) A.4110 B.5110 C.6110 D.71105.已知,R αβ∈,直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上,则cos sin c in s s o ααββ+++=( )A.0B.1C.1-D.2 6.设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++,则1()()f x f x +=( ) A.1 B.2 C.3 D.47.已知1cos 45θ=,则44sin cos θθ+=( )A.45B.35C.1D.45-8.若正四棱柱ABCD A B C D ''''-内接于一球,且1,'2AB AA ==,则点,A C 间的球面距离为( ) A.π4B.π2C.24π D.22π 9.若将满足,||3,||3x y x y <<<,且使得关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为M ,则由点集M 所确定的区域的面积为( ) A.814 B.834 C.815D.83510.已知椭圆22143x y +=的左,右焦点分别为12,F F ,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点,P Q ,则1F PQ∆的内切圆面积的最大值是( ) A.2516π B.925π C.1625π D.916π 二、解答题11.设2()(,)f x x bx c b c =++∈R .若||2x ≥时,()0f x ≥,且()f x 在区间(2,3]上的最大值为1,求22b c +的最大值和最小值.12.已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),其离心率为45,两准线之间的距离为252.(1)求,a b 之值；(2)设点A 坐标为(6,0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角ABP ∆(字母,,A B P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程.13.已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k x k x k -++⋅=的两个根. (1)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .(2)记1|sin |()(3)2sin n f n n =+,(2)(3)(4)()123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a -----=++++ ,求证:15624n T ≤≤. 14.已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,0)A ,且焦点在x 轴上,椭圆与曲线y x =的交点为,B C .现有以A 为焦点,过,B C 且开口向左的抛物线,其顶点坐标为(,0)M m ,当椭圆离心率满足2213e <<时,求实数m 的取值范围.15.已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立.假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值 (1)求随机变量ξ的数学期望E ξ；(2)记“关于x 的不等式210x x ξξ-+>的解集是实数集R ”为事件A ,求事件A 发生的概率()P A .2012年清华大学保送生考试试题一、填空题1.若复数z 为虚数,且||1z =,Re ((12))1z i ⋅-=,则z =____________.2.在数列{}n a 中,11a =,12n n a a +=+.若数列11{}n n a a +的前n 项和为1837,则n =____________.3.现有6人会英语,4人会日语,2人都会(共12人),从其中选出3人做翻译,要求两种语言都有人做翻译,则符合条件的选法种数为____________.4.有一人进行投篮训练,投篮5次,失误一次扣1分,进一次得1分,连进2次得3分,连进3次得5分.若投篮的命中率为25,则投篮3次恰好得2分的概率为____________. 5.不定方程1111x y z++=()x y z ≤≤的解(,,)x y z 的组数为____________. 6.某几何体的三视图如右图所示,用,,αβγ分别表示主视图、左视图、俯视图,设,,S S S αβγ是实际几何体中能看到的面积,则,,S S S αβγ从小到大的顺序为____________.二、解答题 7.抛物线212y x =与直线l :4y x =+所围成区域中有一个矩形ABCD ,且点,A B 在抛物线上,点D 在直线l 上,其中点B 在y 轴右侧,且||2AB t =(0)t >.(1)当AB 与x 轴平行时,求矩形ABCD 面积()S t 的函数关系式； (2)当边CD 在直线l 上时,求矩形ABCD 面积的最大值. 8.已知函数3()2cos (sin 2)sin 32f x x x x =⋅+-,且[0,2]x π∈. (1)求函数()f x 的最大值和最小值； (2)求方程()3f x =的解.9.已知函数1()ln x e f x x-=,且数列{}n a 满足:11a =,1()n n a f a +=.(1)求证:10xxx e e ⋅-+≥恒成立； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)求证:数列{}n a 单调递减,且0n a >恒成立.10.在OAB ∆内(含边界),其中O 为坐标原点,点A ,B 分别在在x 轴,y 轴的正半轴上,且2OA OB ==. (1)用方程或不等式表示OAB ∆围成的区域；(2)求证:在OAB ∆内的任意11个点,总可以分成两组,一组中各点的横坐标之和不大于6,另一组中各点的纵坐标之和不大于6.443俯视图左视图主视图γβα2011年清华等五校自主招生试题1.设*n N ∈,15n ≥.集合A ,B 都是{1,2,,}I n =⋅⋅⋅的真子集,A B =∅ ,A B I = .证明：集合A 或B 中,必有两个不同的数,它们的和为完全平方数.2.设函数2()(0)f x ax bx x a =++>,且方程()f x x =的两实数根是1x 和2x ,且10x >,211x x a->,又10t x <<.试比较()f t 与1x 的大小.3.求函数2(){|1|,|5|}f x max x x =+-的最小值,并求出相应的x 的值.4.已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数,且对于任意的,a b R ∈,有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅. (1)求(0),(1)f f 的值；(2)判定函数()f x 的奇偶性,并证明你的结论； (3)若(2)2f =,(2)n n f u n-=,求数列{}n u 的前n 项和n S .5.已知关于x 的方程222(1)(1)ax a x +=-,1a >.证明方程的正跟比1小,负根比1-大.6.设a ,b 是两个正数,且a b <.当[,]x a b ∈时,246y x x =-+的最小值为a ,最大值为b ,求a ,b 值.7.某生产队想筑一面积为1442m 的长方形围栏,围栏一边靠墙.现有铁丝网50m ,筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？8.在正方形ABCD 中,过顶点D 作对角线CA 的平行线DE ,若CE CA =,且直线CE 交边DA 于点F .求证:AE AF =.9.设边长为,,a b c 的ABC ∆的重心为G ,外心为O ,外接圆半径为r ,||OG d =,求证:222229a b c r d ++=-. 10.设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧,其弧长比为3:1,在满足上述条件的圆中,求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程.11.以A 为圆心,以2cos (0)2πθθ<<为半径的圆外有一点B . 已知2sin AB θ=,设过B 且与圆A 外切于点C 的圆的圆心为M .(1)当θ取某个值时,说明点M 的轨迹P 是什么曲线？(2)点M 是轨迹P 上的动点,点N 是圆A 上的动点,记MN 的最小值为()f θ.求()f θ的取值范围. 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点*(,)()nS n n N n∈均在函数32y x =-的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=⋅,n T 数列{}n b 的前n 项和,求最小正整数m ,使得20n mT <对所有*n N ∈都成立.13.已知函数()24f x x =-+,12()()()n nS f f f n n n=++⋅⋅⋅+.若不等式11n n n n a a S S ++<恒成立,求实数a 的取值范围.2010年清华等五校自主招生试题--通用基础测试一、选择题 1.设复数2()1a i w i+=+,其中a 为实数,若w 的实部为2,则w 的虚部为( ) (A)32- (B)12- (C)12 (D)322.设向量,a b 满足||||1a b == ,a b m ⋅= ,则||a tb + ()t R ∈的最小值为( )(A)2 (B)21m + (C)1 (D)21m - 3.无试题 4.无试题5.在ABC ∆中,若三边长,,a b c 满足3a c b +=,则tantan 22A C=( ) (A)15 (B)14 (C)12 (D)236.如图,ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ,其外接圆圆心为O ,过O 作OF 垂直BC 于F ,OH 与AF 相交于点G ,则OFG ∆与GAH ∆面积之比为( )（A ）1:4 (B)1:3 (C)2:5 (D)1:27.设()e (0)ax f x a =>.过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ,曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ,则PQR ∆的面积的最小值是( )(A)1 (B)2e2(C)e 2 (D)2e 48.设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>,椭圆2222:14x y C a+=.若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率,则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )(A)22k + (B)2 (C)44k + (D)49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一,使得以正六边形的任何三个顶点作为顶点的三角形有三种不同颜色的边,并且不同的三角形使用不同的三色组合,则n 的最小值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)910.设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点,用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转,用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射,设l 为过AB 中点与CD 中点的直线,用ω表示空间以l 为轴的180°旋转.设στ 表示变换的复合,先作τ,再作σ.则ω可以表示为( )(A)στστσ (B)στστστ (C)τστστ (D)στσστσ 二、解答题11.在ABC ∆中,已知22sin cos212A BC ++=,外接圆半径2R =. (1)求角C 的大小； (2)求ABC ∆面积的最大值.12.设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点,,A D 关于该抛物线的对称轴对称,BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设D 到直线AB ,直线AC 的距离分别为12,d d ,已知122d d AD +=.(1)判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由； (2)若ABC ∆的面积为240,求点A 的坐标及直线BC 的方程. 13.(1)正四棱锥的体积23V =,求正四棱锥的表面积的最小值； (2)一般地,设正n 棱锥的体积V 为定值,试给出不依赖于n 的一个充分必要条件,使得正n 棱锥的表面积取得最小值.14.假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个. (1)求子一代中,三种基因型式的比例；(2)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由. 15.设函数()1x m f x x +=+,且存在函数()s t at b ϕ==+1(,0)2t a >≠满足2121()t s f t s-+=. (1)证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t+-=； (2)设113,(),1,2,.n n x x f x n +=== 证明:1123n n x --≤. 2009年清华大学保送生暨自主招生北京冬令营1.有限条抛物线(线和线的内部)能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.2.请找出一个含有323+的整系数多项式.3.求0.4 1.2|22|i i e e ++的模.4.现有一数字游戏:有1到100的数,两个人轮流写.设已经写下的数为123,,,,n a a a a .若一个数x 能表示成112233n n x x a x a x a x a =++++ (123,,,,n x x x x 为非负整数),则这个数不能够再被写.(如若3,5已被写,则83151=⨯+⨯不能再写,133152=⨯+⨯,93350=⨯+⨯也不能再被写).现在甲和乙玩这个游戏,已知5,6已经被写,现在轮到甲写,问:谁有必胜策略？5.一条跑马比赛最多只能有八匹马参加,假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的.问：可以有不多于50场比赛,完全将64匹马的实力顺序排序吗？6.现有100个集装箱,每个集装箱装2个物品.现在将集装箱的物品全部拆卸,并且所有物品被打乱顺序.问:最坏情况下,需要多少个集装箱再次把所有物品装好？7.现有一游戏：图上有若干个点和若干条线,甲提供若干个硬币,乙可以任意将这些硬币全部摆放在点上, 并且指定一个目标定点P .现定义操作:从一个至少有两个硬币的点取走2个硬币,在它一个相邻的点上放回一个硬币.在指定的图下,甲最少提供多少个硬币,可以保证经过若干次操作,一定能使目标顶点P 至少有一枚硬币？(1)图是一个包含5个点的线段；(2)图是一个包含7个点的圈.2009年清华大学自主招生数学试题(理科)1.设5151+-的整数部分为a ,小数部分为b .(1)求,a b ； (2)求222ab a b ++； (3)求2lim()n n b b b →∞+++ .2.(1)已知,x y 为实数,且1x y +=,求证:对于任意正整数n 都有222112n n n x y -+≥.(2)已知,,a b c 为正实数,求证:3a b cxy z++≥,其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列. 3.请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论.4.已知椭圆22221x y a b+=,过椭圆左顶点(,0)A a -的直线L 与椭圆交于Q ,与y 轴交于R ,过原点与L 平行的直线与椭圆交于P ,求证:AQ ,2OP ,AR 成等比数列.5.已知sin cos 1t t +=,设cos sin s t i t =+,求2()1n f s s s s =+++ .6.随机挑选一个三位数m , (1)求m 含有因子5的概率； (2)求m 中恰有两个数码相等的概率.7.四面体ABCD 中,AB CD =,AC BD =,AD BC =, (1)求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形；(2)设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ,求证:cos cos cos 1αβγ++=. 8.证明:当,p q 均为奇数时,曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数.9.设1221,,,n a a a + 均为整数,性质P 为:对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数,存在一种分法可将其分为两组,每组n 个数,使得两组所有元素的和相等,求证:1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P .2009年清华大学自主招生数学试题(文科)1.已知数列{}n a 满足(1)n S na n n =+-, (1)求证:{}n a 是等差数列； (2)求(,)nn S a n所在的直线方程. 2.把12名职员(其中三名为男性)被平均分配到三个部门, (1)求此三名男性被分别分到不同部门的概率； (2)求此三名男性被分到同一部门的概率；(3)若有一男性被分到指定部门,求其他两人被分到其他不同部门的概率. 3.一元三次函数()f x 的三次项数为3a,()90f x x +<的解集为(1,2). (1)若()70f x a +=,求()f x 的解析式； (2)若()f x 在R 上单调增,求a 的范围. 4.已知22PM PN -=,(2,0)M -,(2,0)N ,(1)求点P 的轨迹W ； (2)直线(2)y k x =-与W 交于点A ,B ,求OAB S ∆. 5.设12nx x x a n++=, 12231()()()()()()n n n S x a x a x a x a x a x a -=--+--++-- .(1)求证:30S ≤. (2)求4S 的最值,并给出此时1x ,2x ,3x ,4x 满足的条件. (3)若50S <,求1x ,2x ,3x ,4x ,5x 不符合时的条件.2008年清华大学自主招生试题1.已知,,a b c 都是有理数,a b c ++也是有理数,证明:,,a b c 都是有理数.2.(1)一个四面体,证明:至少存在一个顶点,从其出发的三条棱组成一个三角形； (2)四面体一个顶点处的三个角分别是,,arctan 223ππ,求3π的面和arctan2的面所成的二面角.3.求正整数区间[],()m n m n <中,不能被3整除的整数之和.4.已知sin cos 1sin 2ααα+=+,求α的取值范围.5.若20lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=,求()f x .6.证明:以原点为中心的面积大于4的矩形中,至少还有两个格点.2007年清华大学自主招生试题1.求函数()xe f x x=的单调区间及极值.2.设正三角形1T 的边长为a ,1n T +是n T 的中点三角形,n A 为n T 除去1n T +后剩下的三个三角形内切圆面积之和.求1lim nk n k A →∞=∑.3.已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路,D 左声道和E 右声道,其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音,当且仅当A 与B 中有一工作,C 工作,D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.求:(1)能听到立体声效果的概率； (2)听不到声音的概率. 4.(1)求三直线60x y +=,12y x =,0y =所围成三角形内的整点个数； (2)求满足21260y x y x x y <⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩的整数解个数.5.已知正三角形ABC ∆的顶点,B C 在双曲线1(0)xy x =>的一支上,且点A 的坐标为(1,1)A --. (1)求证:点,B C 关于直线y x =对称； (2)求ABC ∆的周长.6.对于集合2M R ⊆,称M 为开集,当且仅当0P M ∀∈,0r ∃>,使得20{}P R PP r M ∈<⊆.判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集,并证明你的结论. 2006年清华大学自主招生试题1.求最小正整数n ,使得11()223nI i =+为纯虚数,并求出I .2.已知a b 、为非负数,44,1M a b a b =++=,求M 的最值.3.已知sin sin cos θαθ、、为等差数列,sin sin cos θβθ、、为等比数列,求1cos2cos22αβ-的值. 4.求由正整数组成的集合S ,使S 中的元素之和等于元素之积.5.随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数.6.抛物线2y x =上点P (非原点)的切线分别交,x y 轴于,Q R ,求PQ PR.7.已知函数()f x 满足:对任意的实数,a b 都有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅,且|()|1f x ≤,求证:()f x 恒为零.(可用以下结论:若lim ()0,()x g x f x M →∞=≤,M 为一常数,那么lim(()())0x f x g x →∞⋅=.)。

06-12年清华自主招生数学试题

A 0.90B 0.95C 0.95D 0.94E 0.94 2006清华大学自主招生数学试题考试时间：2005.11.281．求最小正整数n ，使得n i I )32121(+=为纯虚数，并求出I ．2．已知b a 、为非负数，44,1M a b a b =++=，求M 的最值．3．已知sin sin cos θαθ、、为等差数列，sin sin cos θβθ、、为等比数列，求1cos 2cos 22αβ-的值． 4．求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积．5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．2x y =上一点P (非原点)，在P 处引切线交x y 、轴于Q R 、，求PQ PR．7．已知)(x f 满足：对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=⋅，且1)(≤x f ，求证:)(x f 恒为零． (可用以下结论：若M x f x g x ≤=∞→)(,0)(lim ，M 为一常数，那么0))()((lim =⋅∞→x g x f x )8. 在所有定周长的空间四边形ABCD 中，求对角线AC 和BD 的最大值，并证明。

2007届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题（2006年12月30日）1.求()xe f x x=的单调区间及极值.2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求1lim nk n k A →∞=∑.3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不到声音的概率. 4.(1)求三直线60x y +=，12y x =，0y =所围成三角形上的整点个数；(2)求方程组21260y x y x x y <⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩的整数解个数.5.已知(1,1)A --，△ABC 是正三角形，且B 、C 在双曲线1(0)xy x =>一支上. (1)求证B 、C 关于直线y x =对称； (2)求△ABC 的周长.6.对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{}P RPP r M ∈<⊆.判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论.2008届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题1. 已知,,a b c 都是有理数，a b c ++也是有理数，证明：,,a b c 都是有理数；2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形；（2）四面体一个顶点处的三个角分别是,,arctan 223ππ，求3π的面和arctan 2的面所成的二面角； 3. 求正整数区间[],()m n m n <中，不能被3整除的整数之和； 4. 已知sin cos 1sin 2ααα+=+，求α的取值范围； 5. 若2lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=，求()f x ；6. 证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。

2012年保送生考试专项练习参考答案

2012年保送生考试专项练习参考答案专练一21.B 22.A 23.A 24.C 25.D26.C 27.D 28.C 29.B 30.C31.A 32.B 33.C 34.B 35.B专练二36.C 37.A 38.D 39.B 40.D 41.A 42.B 43.C 44.C 45.A76. How about/What about youWhat are you going to doWhat do you want to doWhat’s your plan…77. Because there is/there will be ...Because I want to go to .. …78. Would you like to go with me…79. Can/May/Could I take a camera with me…80. where shall we meet…76 To my hometown／Australia／Shanghai／I'm going to my hometown／Australia／Shanghai/…77 Where are you going(for your summer holidays)What are you going to do this summerWhat’s your plan (for summer holidays)／What are your plans (for Summer holidays)／What plans do you have (for summer holidays)／…What about you／How about you／…78 1 help my grandparents do farm workI feed chickens，water plants and ride horsesl go swimming and boating/I play basketball or tennis／…79 I'm going with my cousin／my brother/…With my cousin／my brother／…My cousin／brother／…is going with meMy parents／…are going with me…76. Yes, please/ thanks/ sir Thank you …77. Can/Could you tell me where the nearest hotel is/how I can get to the nearest hotel/where I can find the nearest hotel/which is the way to the nearest hotelCan/Could you tell me where to find the nearest hotel/how to get to the nearest hotelCan/Could you tell me the way to the nearest hotelWhere is the nearest hotelWhich is the way to the nearest hotelHow can I get to the nearest hotel …78. There’s a post office nearby/over there/down the street/…You can get/buy one in a/the post office (nearby/over there/down the street/…)You can find a post office (nearby/over ther/down the street/…)…79. Is it open nowIs it closed in the eveningDoes it close in the evening…80. (The)Euro (Hotel)It’s called (the) Euro(Hotel)The name of the hotel is (the)Euro(Hotel)Its name is (the) Euro (Hotel)36~40 CADCB 41~45 BCDAC76.Where did you go(just now)/Where were you(just now)/…77.When is it/When shall we go there/When are we going to help them/…78.What’s wrong(with you)/What’s the matter (with you) /What happened(to you) /What’s yourtrouble/…79.Much better/I am feeling much better/I am getting better and better/Not so good/Not very well …80.Many thanks/Thank you(very much)/Thanks a lot/Thanks for you r help/It’s very kind of you…专练三46.B 47.B 48.C 49.D 50.D 56.D 57.A 58.B 59.C 60.A专练四66.helpful 67.from 68.wasting 69.earlier 70.if 71.received 72.my 73.but 74.years 5.third66 speaking 67 their 68 first 69 wants 70 dropped 71 dirty 72 lesson 73 times 74 has 75 always66. meeting 67. earlier 68. wonderful 69. through 70. stopped 71. our 72. but 73. rooms 74. was 75. soon66．Have 67.building 68.look 69.more 70.enough 71.but 72.first 73.finished 74.in 75.them61 62 63 64 65 DBEAG。

【独家】2012北大保送生考试试题倾情整理

【本文系B某原创整理，转载请注明出处】虽说以后也不知道保送生考试进行到什么时候，大家感兴趣就看看，当自招参考亦无妨【考试时间安排】上午8：30到12：00 语数英一起发卷一起收下午14：00到16：00 物化（政史）一起发卷一起收【语文】*题型设置：单选10道每道2分，翻译20分，阅读20分，写作40分。

共100分*题目回忆：一、单选（顺序是乱的）1、给了罗马拼音的“吃饭”和“吃鱼”和“不吃”三个词，给了三个选项问哪个表示“吃”（那个单词实在没记住）2、已知“鸭”、“恤”在古代为入声字，请问以下哪个字在古代最不可能读入声。

A 甲B 鸟C 血3、柳宗元《江雪》“千山鸟飞绝，万径人踪灭。

孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪”，请问以下哪项是对的：A 此诗为五言绝句，故在唐代时不押韵B 自唐代以来此诗一直都押韵，并且韵脚最后一个音节为“e”C 随着时代的变迁，汉语语音始终处于变迁之中4、挖深了”有两种理解，“挖浅了”只有一种。

下面哪个可能有两种解释？A.吹大了B.吃饱了C.洗干净了5、如果词典收录“老鼠”“老虎”，但没有收录“老张”。

这本词典可能没有收录下列哪个词？A.鸭子B.鸭梨C.鸭蛋6、去年暑假，小明与家人去旅行，回来之后冲洗照片，发现一张照片上的景象很不真实，这张照片是：A.四面荷花三面柳B.明月别枝惊鹊C.古道西风瘦马D.三更画舫穿藕花7、苏轼与好友张怀民夜游承天寺，请问他们不可能看到什么景象？A.小斋幽敞明朱曦B.提灯的萤火虫C.在松针稀疏处闪烁的小镇灯火D.慈乌夜啼8、还有一道成语题（细节不记得了）9、一道词语辨析题（同样不记得）10、下面三句话中哪一句和其他两句修辞不同：A、莫道不消魂，帘卷西风、人比黄花瘦B、北大是泉水，清华是熔岩C、北平之大，竟容不下一张小小的书桌二、翻译宋华阅卒华臣弱皋比之室使贼杀其宰华吴贼六人以铍杀诸卢门合左师之后左师惧曰老夫无罪贼曰皋比私有讨于吴遂幽其妻曰畀余而大璧宋公闻之曰臣也不唯其宗室是暴大乱宋国之政必逐之左师曰臣也亦卿也大臣不顺国之耻也不如盖之乃舍之左师为己短策苟过华臣之门必聘十一月甲午国人逐狗狗入于华臣氏国人従之华臣惧遂奔陈选自《左传·襄公十七年》（B某自注：“狗”字有误，应系古字，卷子上不是这个“狗”。

【百强校】2012清华系7校自主招生笔试试题(部分)(无答案)

2012清华系7校自主招生笔试试题（部分）阅读与写作·古诗词阅读《蝶恋花》(晏殊)槛菊愁烟兰泣露，罗幕轻寒，燕子双飞去。

明月不谙离恨苦，斜光到晓穿朱户。

昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。

欲寄彩笺兼尺素，山长水远知何处?问：这是王国维在《人间词话》中关于人生三重境界的描述之一，另外两重是什么?·作文：给出一段材料，要求写一篇不少于800字的论述文(材料大意如下)：富兰克林下楼梯时看到前边一位女同事滑倒，他打消了与自己同行的同事打算上前帮忙的念头，并解释称，有谁希望别人看到自己的尴尬相呢?我们躲起来是让那位女士确信，没人看到她难看的一面，这是一种理解，也是一种极大的尊重。

请联系社会生活实际，选择一个角度进行探讨，发表你的见解。

·翻译题：每个人都有很多潜能，但是总得不到发挥。

迫于环境的逼迫、自身的懒惰等，每个人往往过早地给自己定了模式，让我们把偶然出现的夹缝当做我们的人生之路，从而让潜能只有很小一部分得到释放，极大部分被抛弃了。

1.请将这段中文翻译成英文。

2.请结合这段文字，谈一谈你的见解。

·阅读与总结：给出一篇1000个单词左右的时事类说明文。

大体内容是英国出台了新政策，要求不让孩子到学校学习的家长们，每年要到政府相关部门注册，说明给孩子安排的课程，以保证这些青少年的学习效果。

要求用200字左右中文总结文章内容。

数学·有N个学生在一个班级，他们要参加乒乓球双打比赛，班里先举行了热身赛。

这N个学生，两两互为搭档，恰好都参加了一次热身赛。

请你写出N的所有可能的值并写出其中一个比赛安排方案。

人文与社会(文综)·给了一幅巢湖周围的农业生产模式图。

图中间是农田，农田四周是水渠，它们的北边是村庄，农田中间有一条公路贯穿南北，连接至村庄。

这个地方目前实施生产承包制，问每个家庭为什么分到的田是小块的分散的田地?·引用胡适1916年一段话，讲述的是，戊戌变法失败之后，国家实行共和制。

2012年清华大学保送生部分考题

部分面试题：
为了治理交通拥堵，北京和上海采取了限制机动车数量的政策，但却采用了不同的制度设计，北京采取的是摇号购车，上海则是对车牌号进行拍卖。请考生对两种政策欢哪部名著及理由。
用英语说出“科学发展观”及“发展是硬道理”，并说出两者的区别。
部分笔试题：
笔试科目分别为上午进行的阅读与写作(含中、英文，所有考生内容相同)，下午举行的数学(文理科试题不同)、自然科学(理科考生，包括物理、化学，比例约为7：3)、人文与社会(文科考生，内容涉及文学、历史、哲学、政治、经济、法律、社会地理等)。
中文写作：声音，并不都是音乐。题材不限。
人文与社会科目：CPI、碳交易、鸳鸯蝴蝶派等15个名词解释。
论文写作：给出社会学家李强的一本著作中《社会分层与社会流动》的一个章节写论文，主题是当代中国的社会流动。
面试题的考察更灵活、宽泛。面试题，多取材于当前的热点事件。
面试形式：清华文科保送生采取6个一组的群面形式，理科保送生3个考官对1个考生的个面形式。
2012年清华大学保送生考
2011年清华大学进行了保送生考试，约1000名考生参加了清华保送生选拔，其中文理比例为1：9。
清华所有参加笔试的文科生都将参加面试，内容包括英语口语测试和综合面试两部分，其中英语口语测试是今年首增的项目。清华大学的保送生考试结果会在元旦前后公布。
保送生考试分为两部分：笔试和面试。

清华大学保送生笔试语文真题答案

清华大学保送生笔试语文真题答案
清华大学保送生笔试语文真题答案
2012年清华保送生自主招生笔试题参考答案：
一、CBCAB BABAB
【参考范例】以前，人民币上起先有五十六个民族，再后来，是四大领袖，再后来，就只有毛爷爷屹立不倒了。

同样的一张纸币，从能供56人花销到只能支撑一个人的生活，毛爷爷只能念天地之悠悠，独怅然而泪下啊！(要求或幽默，或深刻，引用得到，意义表达清晰。

) 翻译大义：古代的正统大义是，东西南北只要是舟车能够到达、人迹所至的地方，没有不臣服的，然后才能称天子；德行深厚，恩泽广泛，然后可以称帝；有美德更好的`时候，可以称皇。

现在主上的称号十分美好，然而(恩泽威严等)实际上不出长城。

他们(指匈奴)不仅仅是不服从您的统治，而且大不敬。

边境和中原之地常不安宁，(匈奴)就像伏虎，见机而动，到什么时候才能停止？以前高帝起于平民百姓而震服九州，现在陛下执掌九州却不能震服匈奴，私下里认为陛下不足，而且形势有十分逆反的现象。

天子，天下的首脑，是什么？是上位之人。

蛮夷，是天下的足，是什么？是下位之人。

征令蛮夷，是主上的行为；供贡天子，是臣下的礼仪。

足现在反而位居上位，首只能居于下位，是颠倒的形势。

天下的形势颠倒。

却不能治理，称得上国家有人吗？德行可阻向远方施行，威严可以向远方施展，舟车能够到的地方，意图可以实现，而现在只能管制数百里的地方切威严命令不能使人信服，真是使人流涕啊。

2012年清华北大保送生自主招生笔试题 (A卷word完整版)

2012年清华北大保送生自主招生笔试题（A卷）科目：语文考试时间：2012年12月17日命题人：学而思自主招生研究中心刘纯本试卷满分100分。

请将答案和必要的解答过程写在答题纸上。

另有5分奖励分，如个别题目表现特别出色，可酌情在满分基础上额外加分。

一、语言基础知识（10分）1、“筚路蓝缕，以___山林。

抚有蛮夷，以属华夏。

不鸣则已，一鸣惊人。

”这是古楚先民的创业过程。

（）A. 起B. 乞C. 启2、夕阳西下，暮色沉沉，______的林海，发生了阵阵的松涛声。

A．苍茫 B. 苍莽 C. 沧茫3、工厂抓生产，既要注意______，也要讲究质量，二者不可偏废。

A. 功效B. 工率C. 工效4、他的心术，你们难道不知？自古道：“吉人自有天__。

”任他怎么做去，我只是不管。

（）A. 相B. 像C. 象5、退居二线，摆脱了繁忙的事务，可没过几天＿＿日子，他又闲不住了。

（）A. 安静B. 清静C. 清净6、这次抢购风潮来得迅猛，波及面广，其原因固然很多，比如媒体真相滞后，少数商家乘机利用等，但归根结底，是群众性的盲目跟从。

A. 披露B. 曝露C. 透露7、诸葛亮舌战群儒，引古论今，＿＿________。

A. 侃侃而谈B. 夸夸其谈C. 滔滔不绝8、各级领导干部一定要时刻把人民群众的安危冷暖放在心上，勤政为民，扎实工作，为人民群众实实在在的利益。

（）A．牟取 B. 谋取 C. 缪取9、2007年12月29 日，温家宝总理吟诵了自己创作的俳句“常忆融冰旅，梅花瑞雪兆新岁，明年春更好”送给到访的福田康夫首相，表达了中日领导人和中日人民对中日关系的美好期盼。

下列名句与该俳句蕴涵相同哲理的是( )A．千淘万漉虽辛苦，吹尽黄沙始到金B．两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天C．竹外桃花三两枝，春江水暖鸭先知10、“徜徉于山林泉石之间，而尘心渐息；夷犹予诗书图画之内，而俗气潜消。

”这告诉我们（）A．要积极参加各种文化活动B．文化对人的影响是潜移默化的C．文化能够促进人的全面发展二、语言文字运用（10分）11、“微博”已经逐渐成为当今一种重要的文化现象，不少名人都纷纷选择通过“微博”这一方式和自己的粉丝互动，或者发表自己对于社会文化现象的看法或意见。

清华自主招生试题

清华自主招生试题一、数学题1. 某校有3000名学生，其中男生占总人数的60%，女生占总人数的40%。

男女生中，有20%的人精通数学。

问：该校男女生中，精通数学的人数分别是多少？解析：根据题意得知男生占总人数的60%，女生占总人数的40%。

所以男生总数为3000 * 60% = 1800，女生总数为3000 * 40% = 1200。

由于精通数学的人占男女生总数的20%，所以男生中精通数学的人数为1800 * 20% = 360，女生中精通数学的人数为1200 * 20% = 240。

答案：男生中精通数学的人数为360人，女生中精通数学的人数为240人。

2. 已知正方形ABCD的边长为2，点E是AD的中点，F是BC的中点。

连接AE、BF，交于点G。

问：三角形AEG的面积为多少？解析：根据题意，AE的长度为1，EG的长度为√2（正方形相邻两边长的一半），所以三角形AEG的面积为1/2 * 1 * √2 = √2/2。

答案：三角形AEG的面积为√2/2。

二、物理题1. 一辆汽车在匀速行驶时，刹车后停下需要的时间是20秒。

若汽车的质量为1000kg，刹车时产生的加速度为5m/s²，求：汽车刹车时作用在车体上的力大小为多少？解析：根据牛顿第二定律，力的大小等于质量乘以产生的加速度。

所以汽车刹车时作用在车体上的力大小为1000kg * 5m/s² = 5000N（牛顿）。

答案：汽车刹车时作用在车体上的力大小为5000N。

2. 物体A和物体B质量相同，在水平面上相互作用力F = 20N。

已知物体A的重力为30N，物体B的摩擦力为8N。

问：物体A和物体B 的加速度分别是多少？解析：根据牛顿第二定律，力的大小等于质量乘以产生的加速度。

所以物体A的加速度为(20N - 8N)/30kg = 12/30 = 0.4m/s²，物体B的加速度同样为0.4m/s²。

答案：物体A和物体B的加速度分别是0.4m/s²。

近几年保送生考试题集锦

2012年北京大学保送生面试题考试时间：12月17日和12月18日考试形式：笔试和面试笔试科目：有5科，理科考语文、数学、英语、物理、化学；文科考语文、数学、英语、历史、政治；面试目的：考查考生的综合素质北大政策：学校自主选拔与保送生考试分别举行。

在本次保送生测试中获得笔试资格的考生，同时报名参加自主选拔的，可自动获得北大2012年自主选拔的笔试资格。

最终被认定为保送生的，不必参加北大2012年的自主选拔测试；未被认定的，可参加北大自主选拔测试。

学校将择优给予保送或者自主选拔认定。

考试题目：要求根据所给的一段关于火车晚点不予退款和在退票、改签问题上对普通列车与动车的旅客差别对待的材料，写一封“一个普通乘客致铁道部长的公开信”。

2012北京大学保送生面试形式面试时间：10到12分钟30分钟左右；面试类型：一人一组，文理分开五人一组，文理混合；面试方式理科生中文面试，文科生英文加中文面试。

理科生由3位老师做考官，老师拿着学生事先交上的个人陈述分别提问，主要是个人问题，一般3到4道题。

文科生面试有10多道题，每道题限制回答时间，大多针对学生本身。

中文面试。

每个考场有3个老师，5个考生。

考生有5个题目可以选择。

考生先抽取题目，有一次更换题的机会。

依次进行自我介绍、回答自己所抽到的问题，最后，由整组的同学对共同的5道题目进行讨论，时间为20分钟。

因为一贯具有“兼容并蓄”的包容精神，北大的面试考题同样包罗万象，在面试题目中，考查学生对社会热点问题看法的题目占了一半。

2012年北京大学保送生部分面试题：社会热点1.对天宫一号的发射与对接有什么看法？2.中国经济发展的同时物价也在上涨，你怎么理解？3.怎么看梵蒂冈教皇在建设天文台时请科学家来进行研究？4.谈谈你对中国土地政策、土地资源配置的认识。

5.你觉得什么样的食品是“绿色食品”？6.很多学“临床医学”的人毕业以后宁可在大城市里卖药，也不愿去乡村行医，对此怎么看待？7.怎么看待经济增长与国民幸福指数的关系？8.有人认为，高考选拔制度必须统一标准，这样有利于人才选拔和社会公平，但也有人认为，应该在高考选拔的基础上进行多元选拔，请谈谈你的看法。

2012年北大自主招生试题

2012年综全性大学自主选拔录取联合考试语文、数学（文科）试卷（注意：所有答案，都必须写在答题卡上，答在试卷上者不得分！）语文部分一、选择最好的表达形式（10分）1．公安部的专家来了以后，投入到查案状态，但令人震惊的是，专家的箱子竟在住所______，于是公安人员又得去找重要的箱子。

A．遭遇失窃B．遭窃C．遭遇被窃D．遭盗2．当孙杨游到1400米的时候，______的数据显示当时他只比世界纪录同步成绩慢了2.03秒。

A．即时B．立即C．及时D．及至3．黑犀的前角长而______，后角短而直。

A．弯曲B．曲折C．扭曲D．曲4．天很高，没有云，没有雾，连一丝浮尘也没有。

无遮无掩的太阳，笨重地，迟缓地从东天__西天。

A．滚向B．移向C．爬向D．滑向5．我省热带作物生产的规模很小，管理水平和技术水平不高，______。

A．因此发展潜力还很大B．发展潜力还很大C．因此，还有很大的发展潜力D．所以还有很大发展潜力6．对于一些经济领域的问题，也______。

A．从理论上和政策上作了详细的规定和深刻的说明B．作了理论上和政策上的详细的规定和深刻的说明C．从政策上和理论上作了详细的规定和深刻的说明D．从理论上和政策上进行了详细的规定和深刻的说明7．几年来，他们______，为科学种田提供了依据。

A．对全村的土壤酸碱度作了测量和氮磷钾试验B．对全村的土壤作了酸碱度测量和氮磷钾试验C．对全村的土壤酸碱度进行了测量和氮磷钾试验D．对全村土壤的酸碱度作了测量和氮磷钾试验8．该书补收了过去漏收的一些简文，删去了过去误收的一些简文，______。

A．对一些简文的位置作了调整B．改变了一些简文的位置C．调整了一些简文的位置D．对一些简文的位置进行了改变9．由于树木茂密，______。

直到听见了马蹄声，山头上的敌军才鸣枪报警。

A．我骑兵队伍起初没有被敌军发现B．敌军起初没有把我骑兵队伍发现C．我骑兵队伍起初没有被发现D．敌军起初没有发现我骑兵队伍10．有了这次教训，张老师对同学们的学习比过去抓得紧，对同学们的体育锻炼______。