高等数学同济版下册期末考试题和答案解析四套

高等数学（下册）期末考试试卷（一）

一、填空题（每小题3分，共计24分）

1、z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。

2、二重积分

⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨

⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z

及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（。 6、微分方程

x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04)4(=-y y 的通解为。

8、级数∑∞

=+1)1(1n n n 的和为。 二、选择题（每小题2分，共计16分）

1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）

（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；

（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；

（C ）y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当

0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2200000

=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x y

y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2

222y u y x u x ∂∂+∂∂等于（） （A ）y x +；（B ）x ；(C)y ；(D)0。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I

等于（） （A ）4⎰⎰⎰2020103cos sin ππ

ϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2001

02sin ππϕϕθdr r d d ；

（C ）⎰⎰⎰π

πϕϕϕθ202010

3cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ200103cos sin dr r d d 。 4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（）

（A ）⎰⎰

-20cos 202244πθ

θa dr r a d ；（B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ； （C ）⎰⎰-2

0cos 202248π

θθa dr r a r d ；（D ）⎰⎰--22cos 20224ππ

θθa dr r a r d 。

5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+L Qdy Pdx )(

（A ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x Q y P )(

；（B ）⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy x P y Q )(； （C ）⎰⎰∂∂-∂∂D

dxdy y Q x P )(；（D ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy y P x Q )(。 6、下列说法中错误的是（）

（A ）

方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dx dy x dx dy y sin =+是一阶微分方程； （C ）

方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程x

y x dx dy 221=+是伯努利方程。 7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （）

（A ）x e

x 2sin -；（B ）)2cos 2(sin x x e x -； （C ）)2sin 2(cos x x e x -；（D ）x e x 2sin 。

8、设0lim =∞→n n nu ,则∑∞

=1n n u （）

（A ）收敛；（B ）发散；（C ）不一定；（D ）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）

1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。)(),,(xy x g v xy x f u +==， 求y

u x u ∂∂∂∂,。 2、（8分）设⎰

+-=t x t x dz z f t x u )(),(，求t u x u ∂∂∂∂,。 四、求解下列问题（共计15分）。 1、计算=I

⎰⎰-2022x y dy e dx 。（7分） 2、计算⎰⎰⎰Ω

+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）

五、（13分）计算⎰++-=L y x ydx xdy I 2

2，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)

()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f 。 七、（8分）求级数∑∞=++--11

212)2()1(n n n

n x 的收敛区间。 高等数学（下册）期末考试试卷（二）

1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则=∂∂+∂∂y

z x z 。 2、=+-→→xy xy y x 93lim 0

0。 3、设⎰⎰=202),(x x dy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

4、设)(u f 为可微函数，且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1

lim 2230t y x t d y x f t σπ。

5、设L 为取正向的圆周42

2=+y x ，则曲线积分 ⎰=-++L x x dy x ye dx ye y )2()1(。

6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x A )()()(222，则=div 。

7、通解为x x e c e c y 221-+=的微分方程是。