冲激偶函数

三、单位冲激偶信号

冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。

t t t d )

(d )(δδ=

' （1.3-16）

式（1.3-16）可从极限的角度理解，)(ˆlim )(0t t δδτ'='→，由图1.3-6，)(ˆ

t δ的导数)(ˆt δ'如图1.3-11(a)所示，用公式表示为

)2(1)2(1)(ˆτδττδτδ--+='t t t

当0→τ时，)(ˆ

t δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。故称它为冲激偶函数，用图1.3-11(b)表示。

（a ） （b ）

图1.3-11 冲激偶函数

设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分

()

()t t t t x t t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'-

-=-=-'⎰⎰⎰⎰∞

∞-∞∞-∞∞-∞

∞-∞

∞-δδδδδ

利用冲激函数的抽样性质，从上式得

)(d )()(00t x t t t t x '-=-'⎰∞

∞-δ

（1.3-17）

该式称为)(t δ'的抽样性质。

采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得

)()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （1.3-18）

注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。再来考虑)(t δ'的对称性。

t ττt -==-'τδδd )

(d )(

由于)(t δ为偶对称函数，则有

)(d )(d )(t t t t δδδ'-=-=-' （1.3-19）

可见，)(t δ'为奇对称函数。故

⎰∞

∞-='0d )(t t δ

当然，令式（1.3-17）中的1)(=t x ，也可得上式结果 。

函数)(t δ的各阶导数统称为高阶冲激。特别指出，在同一时刻出现的单

位冲激函数、高阶冲激函数间的乘积，如)(2t δ，)()(t t δδ'等没有意义。