数学建模航空的预定票策略
航空预订票数学建模.doc
航空预订票数学建模航空预订票数学建模篇1试谈机票订票模型与求解一、概述１．问题背景描述在激烈的市场竞争中，航空为争取更多的客而开展的一个优质服务项目是预订票业务,本模型针对预订票业务，建立二元规划订票方案，既考虑航空的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得美誉。
航空的经济利润可以用机票收入除飞行费用和赔偿金后的利润衡量,声誉可以用持票按时前登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前登机是随机的，所以经济利益和声誉两个指标都应该在平均意义下衡量。
针对此种现象，航空一般都采用超量订票的运营模式，即每班售出票数大于飞机客数。
按民用航空管理有关规定旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票.航空为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机客数.但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况,在这种情况下,航空让超员旅客改乘其它航班,并给旅客机票价的20%作为补偿。
为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况,航空需要对乘客数量进行统计，从而对机票预售量做出一定估算,从而获得最大的利润。
2。
问题的提出某航空执行两地的飞行任务。
已知飞机的有效客量为１50人。
按民用航空管理有关规定旅客因有事或误机,机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法,即每班售出票数大于飞机客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况,在这种情况下，航空让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的２０％作为补偿。
要求（１）假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空多售出多少张票，使该的预期损失达到最小?（2）上述参数不变的情况下，问航空多售出多少张票，使该的预期利润达到最大，最大利润为多少？3。
分析与建立模型(1)假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空多售出多少张票,使该的预期损失达到最小?（2）上述参数不变的情况下，问航空多售出多少张票，使该的预期利润达到最大,最大利润为多少?设飞机的有效客数为N，超订票数为S（即售出票数为NS），k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值。
航空公司的预订票策略
数理信息学院课程设计报告书题目航空公司的预订票策略数学系专业？？？？？学生指导教师日期航空公司的预订票策略摘要本文针对在综合考虑经济利润和社会声誉情况下对最优预售票数的决策进行了讨论。
针对问题一，只考虑经济效益，航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，建立单目标规划模型。
针对问题二，从航空公司的长远利益出发，。
以公司经济利益最大化和社会声誉尽量不受影响为原则。
社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，由于预订票的乘客是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量。
于是航空公司预订票模型简化为一个双目标的规划问题，即求航空公司的平均利润()S m和被挤掉的乘客数超过j人的概率()P m之间的平衡关系，决策变量是预订j票数量的限额m。
乘客是否前来登机是随机的，所以文章运用概率的思想使其服从二项分布。
最后，我们对模型进行了推广与评价。
考虑不同的客源的实际需要，对补偿金模型进行改进优化，比较详细的给出了航空公司的预订票策略，具有很强的实际指导意义。
关键字：双目标规划模型、单目标规划模型、线性权值法、概率分布、利润最大一、问题重述1.1 基本情况：随着社会经济水平的不断提高，越来越多的人们选择乘坐飞机出行。
航空行业发生了巨大的变化，在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。
它的特点是：旅客可以在飞机起飞前一百多天里向购票处或航空公司订票，由于离飞机起飞时间较长，以及旅客行为的不确定性，往往航空公司会售出超过实际座位数的票数，即超售。
在订座决策中，航空公司面临2种风险：空座风险和超售风险，以航班客座容量为临界点，如果超售的结果（即实际到达机场的已预定座位的旅客人数）少于航班容量，会造成座位剩余，这就是空座风险；如果决策结果多于航班容量，造成有些旅客被拒绝登机，从而带来超售风险，合理的超售可以减少空位损失，所以确定合理的超售数额是十分必要的。
数学建模 航空公司的预订票策略说课材料
数学建模航空公司的预订票策略书上作业：P317“取β=0.75，t=50,100,150，其他参数同上，计算结果表明，当t 增加时)(m J 和)(m P j 均有所减少”写出程序及结果。
模型求解求解()J m 的程序如下：n=300;lambda=0.6; p=0.05; bg=0.2; beta=0.75; t=50; nn=50;for m=n:n+nnj(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t); end j'其中函数程序为:function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t) q=1-p;bb=0:m-n-1;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk);y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1; 求解)(m P j 的程序如下：n=300; nn=50; p=0.1; j=10;for m=n:n+nnpp(m-n+1)=pj(m,n,j,p); end pp'其中函数程序为:function y=pj(m,n,j,p) bb=0:m-n-j-1; t=50;pk=pdf('bino',bb,m-t,p);y=sum(pk);取p=0.05，0.1；t=50,100,150；bg=0.2，0.4；j=5，10，得到计算结果。
（对照书本上可将计算结果制定成表格）实验结果：结果分析：参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出：()5P m ＜0.2，()10Pm ＜0.05， 则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=0.05,取m=311;若估计p=0.1,取m=318.。
数学建模(航空公司的预定票策略).
数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B我们的队号为：11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
1019-数学建模-AMCM2002B
AMCM2002问题-B航空公司超员订票
你备好行装准备去旅行，访问New York城的一位挚友。
在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。
乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。
航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。
因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。
而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。
航空公司安排延误乘客的方式各有不同。
有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。
根据当前情况，考虑超员订票问题：
航空公司安排较少的从A地到B地航班
机场及其外围加强安全性
乘客的恐惧
航空公司的收入迄今损失达数千万美元
建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，使得公司的收入达到最高。
确保你的模型反映上述问题，而且考虑处理“延误”乘客的其他办法。
此外，书写一份简短的备忘录给航空公司的CEO（首席执行官），概述你的发现和分析。
概率论在数模竞赛中的应用-3
三、（2002年国际数模竞赛B 题）飞机票超额预订问题航空公司通常可以让乘客免费预订机票。
预订了机票的乘客，有可能会因为种种原因，不来乘飞机，这样，当飞机起飞时，就会有一些空位子白白浪费掉。
为了减少损失，航空公司往往采取超额预订飞机票的办法，即：允许乘客预订的机票数超过飞机上的座位数。
但是，这样做，又会发生预订了机票的乘客乘不上飞机，被“挤掉”的情况。
对于被“挤掉”的乘客，航空公司必须给予一定的赔偿。
现在的问题是：航空公司应该采取怎样的超额预订策略，才能使自己损失最小，利润最大？一次飞行的费用，包括飞到目的地的燃料费，机组人员、地勤人员的工资，机场的管理费，飞机的保养费等等，这些几乎都与乘客数无关，因此，作为近似，我们可以假定，每次飞行的费用是一个常数。
由于航空公司的利润等于（扣除赔偿金后）机票费的收入减去飞行费用，当飞行费用为常数时，航空公司的利润要达到最大，可以不必考虑飞行费用，只要（扣除赔偿金后）机票费的收入达到最大就可以了。
设g ——每张机票的价格（作为近似，我们不考虑座位的等级，认为g 是一个常数）。
b ——给每个被“挤掉”的乘客的赔偿金。
M ——飞机上的座位总数。
N ——让乘客预订的机票数（由于是超额预订，所以必有M N ≥）。
ξ——实际来乘飞机的乘客数（ξ是一个随机变量，N ≤≤ξ0）。
η——（扣除赔偿金后）机票费的收入（η与ξ有关，是ξ的函数，也是一个随机变量）。
⎩⎨⎧≤<--≤≤==时当时当N M M b gM M g f ξξξξξη)(0)( 。
设ξ的概率分布为}{k P =ξ，N k ,,2,1,0 =。
这时，可以求出η的数学期望，即航空公司（扣除赔偿金后）机票费的平均收入为)(ξηEf E =∑===Nk k P k f 0}{)(ξ∑∑+===--+==NM k M k k P M k b gMk gkP 1}{)]([}{ξξ。
以每张机票的价格g 为单位计算的（扣除赔偿金后）机票费平均收入为gE η∑∑+===--+==NM k Mk k P M k gb M k kP 10}{)]([}{ξξ。
机票预售价格和策略的数学模型
图 14 图中星号为实际值；曲线为拟合值。 从上图中可以看出，拟合曲线和每个点结合的也很不错
45
4. 预测 利用前十周的数据拟合后的模型对第十一，十二周进行预测，结果如下表： 表六 模型三对十一十二周价格的预测 Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits 71 500.0000 60.4830 381.4556 618.5444 72 500.0000 73.4987 355.9452 644.0548 73 500.0000 87.5420 328.4208 671.5792 74 590.0000 98.7812 396.3925 783.6075 75 590.0000 109.1008 376.1664 803.8336 76 490.0000 118.4582 257.8263 722.1737 77 490.0000 127.1480 240.7945 739.2055 78 490.0000 165.9637 164.7170 815.2830 79 490.0000 187.8259 121.8681 858.1319 80 490.0000 209.9188 78.5666 901.4334 81 580.0000 229.1729 130.8294 1029.1706 82 580.0000 247.1375 95.6195 1064.3805 83 480.0000 263.8217 -37.0810 997.0810 84 480.0000 279.5293 -67.8674 1027.8674 把预测后的曲线和实际值画成联合曲线如下图：
2. 用 SAS 软件对模型进行求解： 考虑到机票的价格的波动以 7 天为周期， 所以对原序列作 7 步差分， 差分后的时序图如图 8。
数学建模---最佳预定票策略(案例分析) 20页PPT文档
k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数， 即迟到的乘客数，它是一个随机变量；
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更 多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票 业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未 能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票， 无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座， 登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论是
等价的。
设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预 定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的 乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而 利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢
m n 1
m
m n 1
(m g f )(1 pk ) g ( kpk kpk )
k 0
k 0
k 0
m n 1
m n 1
(mg f ) (mg f ) pk gE(k ) g kpk
k 0
k 0
所以
mn1
2000 2000
1 y 4 x y dx 1 4000 3 ydx
2000 2000
2000 y
1 y2 7000 y 4000000
1000
此式当y 350是0 达到最大，因此组织3500吨 此种商品为最好的策略。
2、最佳预订票策略 一、 问题的提出
（显然可以只考虑 2000y4000的情况），则收
益（单位万元）为
航空公司定票策略(数学建模相关习题)
m n 1
(4 )
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
(4)和(5)是两个目标,双目标最优问题 模型求解 化为单目标求解.先将(4)式除以r,变为J(m) g=r/nλ
1 b mn 1 J (m ) = S (m ) / r = qm 1 + ∑ (m k n ) pk 1 λn g k =0
模型建立经济效益平均经济效益sm每次航班的效益s不能按时登机的乘客数k随机变量社会效益考虑到社会声誉最多只能挤掉j个顾客超过j人会给公司带来损m表示
航空公司的预订票策略
问题的提出 略 问题的分析 经济收益：机票收入-飞行费用和赔偿金
社会声誉：订票而来但不能登机的乘客数。需要限制 预订票而能登机的乘客数——随机变量 目标应当是数学期望—双目标优化问题 决策变量——预定票数
模型假设 H1：飞机容量是n，机票价格是g。飞行费用r。均为常数 机票价格按g=r/nλ制定， λ <1表示利润调节因子， λ =0.6意义? H2: 预定票数量限制为m(m>n). 每位乘客不能按时前来乘机的概率为p,且相互独立 H3: 每位被挤掉的乘客的赔偿金为常数b.
模型建立 经济效益
不能按时登机的乘客数k 平均经济效益S(m),每次航班的效益s
社会效益
(4 )
考虑到社会声誉,最多只能挤掉j个顾客, 超过j人会给公司带来损 失. 目标用超过j人的概率Pj(m)表示.等价于不能前来登机的乘客 数不能超过m-n-j-1人
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
m Pj(m)
S (m ) = qmg r (g + b ) ∑ (m k n ) pk
数学建模案例分析-“航空公司的预订票策略”
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座
案例分析—机票预定策略
主讲：薛震
2012年4月6日星期五
案例分析—机票预定策略
主讲：薛震
m
2012年4月6日星期五
NORTH UNIVERSITY OF CHINA 大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座
∑
m
Pk [(m − k ) g − f − ( Ng − f )]
= ( Ng − f )∑ Pk +
k =0
m
k = m− N
∑
Pk ( m − N − k ) g
大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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案例分析—机票预定策略
主讲：薛震
2012年4月6日星期五
案例分析—机票预定策略
主讲：薛震
2012年4月6日星期五
二、问题的分析和解决
3.符号约定 m —预定航班的乘客数量 S —航班的收支差额(利润) b —安置一名剩余乘客的费用 p —订票乘客登机的概率 q —订票乘客误机的概率(q=1-p)
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案例分析—机票预定策略
主讲：薛震
m − N −1 k =0 k
机票预售价格和策略的数学模型
t = 9,10...
3. 模型检验 我们用前九周的价格数据作拟合，并预测第十周的价格，列表如下： 模型三对第十周价格的预测结果 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 预测值 500 500 500 560 590 520 520 实际值 510 510 510 600 600 500 500 误差(%) 1.96 1.96 1.96 6.67 1.67 4.00 4.00 从上表中可以看出，用 ARIMA 模型所得到的结果和实际值误差很小，基本在 5%以内。因此，本 模型是很优秀的，用来预测也是十分可信的。 将前十周的序列拟合值和实际值联合作图如下： 表五
40
(四) 问题一模型的建立、求解与检验
我们作出价格的时序图如下:
图一 观察可知价格随着时间的变化以 7 天为周期有明显的周期性波动趋势，同时每周的平均价 格也有一个波动趋势，对这种比较复杂的变化规律，我们尝试用三种模型来分析和预测。
模型一：(略) 模型二：非平稳时间序列确定性分析模型(略) 模型三：非平稳序列的随机分析模型。 1. 模型的建立：我们考虑求和自回归移动平均模 型[1] ，简记为 ARIMA(p,d,q)模型：
A. 一个基本的模型的求解 本问题中可以抽象出一个基本的问题，即：给定座位个数 n ，票价均为 g ，买票的人不能 登机的概率为 p ，如果造成超员赔偿给每位乘客的钱是 b ，预售出多少张票 m ，可以使利润最 大？我们把这种模型称为 P( p, bg , n) 模型（其中 bg = b / g ，在后面的分析中我们可以看到，模 型只和 b ， g 的比值有关） 问题的解： 设 r 为飞行中的固定损耗， 当 m 位乘客中有 k 位 公司的经济利益可以用总的收益 s 来衡量， 不按时前来时：
数学建模候选题(五)
《数学建模》航空公司的预订票策略摘要1、研究目的：本文研究针对预订票业务，既考虑航空公司的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得社会美誉的问题。
2、建立模型思路：首先，本文通过对航空公司预订票问题，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等）和社会声誉（被挤掉者不要太多、被挤掉的概率不要太大等）确定最佳的预订票数量的问题，进行了充分的分析和思考后，得出如下建模思路：针对第一问对上述飞机容量、费用、迟到概率等参数给出一些具体数据，按你的模型计算，对结果进行分析的问题，本文建立模型：已知当n很大（>500），p很小（<0.05）时，以n，p作为参数的二项分布可以用泊松分布来逼近。
在第一个条件的模型中，本文对飞机容量、费用、迟到概率等问题进行简化，利用非线性规划知识建立了非线性规划模型在第二个条件的模型中，本文对增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，迟到则机票作废的问题进行简化，利用非线性规划知识建立了非线性规划模型3、求解思路，使用的方法、程序针对模型的求解，本文使用非线性规划方法，计算航空公司的平均利润S（m）和被挤掉的乘客数超过j人的概率Pj(m)之间的平衡关系结果，并用LINGO软件工具求解出最优计划问题，进一步求解出最优结果。
4、建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验等）模型优点：有统一的算法，为最优设计提供了有力的工具。
建模思想：规划问题就是最优解问题，基本思路是尽可能的通过各种方式构建最优化目标，分析这些模型中有没有好解的。
算法特点：运用二次规划5、在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性6、最后，本文通过改变，得出非线性规划模型。
关键词：二项分布、约束条件、泊松分布、最大利润一、问题重述1、问题背景：在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。
公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。
数学模型：航空机票超订票问题
程序结果如下
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？
matlab程序设计如下:
seats=1:150;
extra=1:15;
EPROFIT=linspace(0,0,15);
k = 1500;
h = 300;
p = 0.04;
N=15;
（1）假设两地的机票价为1500元，每位旅客 有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期损失达到最小？
（2）上述参数不变的情况下，问航空公司多售出多少票，使该公司的预期利润达到最大，最大利润为多少？
关键词：航空机票；数学建模；MATLAB软件；最大利润
1 问题背景描述
6 参考文献
[1]理学院应用数学系.数学建模简介及其MATLAB的实现[M].：工程技术大学理学院应用数学系，2008
[2]金星, 薛毅.51单片机C语言程序设计快速入门[M].:清华大学，2005
[3]
[4]尚志等，《数学实验》，高等教育，1999
7附录MATLAB的用途
MATLAB 的名称源自 Matrix Laboratory ，它是一种科学计算软件，专门以矩阵的形式处理数据。 MATLAB 将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的置函数，从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作，而且利用 MATLAB 产品的开放式结构，可以非常容易地对 MATLAB 的功能进行扩充，从而在不断深化对问题认识的同时，不断完善 MATLAB 产品以提高产品自身的竞争能力。
设飞机的有效载客数为N，超订票数为S(即售出票数为N＋S)，k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值．设x是购票末登机的人数，是一随机变量，其概率密度为f(x). 当时，有S-x个人购后，不能登机，航空公司要为这部分旅客进行补偿。当x＞S时，有x - S个座位没有人坐，航空公司损失的是座位应得的利润，因此，航空公司的损失函数为
航空公司的预订票策略新
六、 模型评价与推广
评价：模型没有分别考虑头等舱与经济舱的 两种情况，幸而，在基本假设下MATLAB拟合 的结果以满足我们对问题进行分析的要求。在 模型的改进中，最好对这两种情况单独分析。 推广：与航空公司的预定票策略相似的事件 在日常商务活动中并不少见，旅馆、汽车出租 公司等为争夺顾客也可以如此处理。 P m
二、 符号的约定
符号 n m b g 飞机容量 预订票数量的限额（>n） 每位因满员不能飞走的乘客获得的赔 偿金 机票价格 表示
r λ
飞行费用 利润调节因子（例如，λ=60%，表示飞 机60%的满员率就不亏本）
机票的价格按照 g=r/(λn) 来制定
三、 模型的假设
1、每位预订票的乘客前来登记是随机的，行为是独 立的，不按时来登机的概率记为 p； 2、公司的经济利润由平均利润 f=S/r 体现，其中 S 表示一次飞行费用为 r 的航班利润。
m—k—n位乘客因满员不能飞走，要付给赔偿金（ m—k—m）b，因此，乘客中有 k 位不按时前来登 机时，航班利润为：
s
k
(m k ) g r , mk n ng r (m k n)b, mk n
因为 k 是随机变量，所以航班利润也是随机 变量，它的期望值才是我们要求的航班利润。由 于一位乘客不按时前来登机的概率为 p，由假设1 ，m位订票乘客中有 k 位不按时前来登机的概率服 从二项分布，为
1 p m g r g b m k n p
其中在简化过程中，我们用到了二项分布变量期望 m 值的公式 k mp
k 0
p
k
最后得到平均利润
m n 1 1 f m 1 p m 1 b / g ( m k n ) 1 p k n k 0
航空公司的预订票策略数学建模
航空公司的预订票策略一、模型假设：1、飞行容量为常数n ，机票价格为常数g ，飞行费用为常数r ，r 与乘客数量无关，机票价格按照/g r n λ=来制定，其中(1)λ<是利润调节因子。
2、预订票数量的限额为常数m （>n ）,每位乘客不按时来登机的概率为p ，各位乘客是否按时前来登机是相互独立的。
3、每位乘客被挤掉者获得的赔偿金为常数b 。
二、模型建立：当m 位乘客中有k 位不按时前来登机时，每次航班的利润s 为： ()(),,m k g r m k n s ng r m k n b m k n ---≤⎧⎪=⎨----->⎪⎩（1） 不按时前来登机的乘客数k 服从二项分布，其概率为： (),1k k m k k m p p K k C p q q p -====- （2） 平均利润S(即s 的期望)为：[][][]()110()()()m n m k k k k m n m n k k S ng r m k n b pm k g r p qmg r g b m k n p --==---=----+--=--+--∑∑∑（m)= （3）被挤掉的乘客数超过j 人的概率为：10()m n j j k k p m p ---==∑ （4）三、模型求解：为了减少S（m)中的参数，取S （m)除以飞行费用r 为新的目标函数J（m)，其含义是单位费用获得的平均利润： 101(1)()1m n k k S b J qm m k n p r n g λ--=⎡⎤=-+---⎢⎥⎣⎦∑（m)（m)= （5） 约束条件为：10()m n j j k k p m p α---==≤∑ （6）四、程序及结果：程序：lambda=0.6;n=300;p=0.05;bg=0.2;M=300:2:330;J=zeros(length(M),1);p5=zeros(length(M),1);p10=zeros(length(M),1);for i=1:length(M)m=M(i);k=0:m-n-1;J(i)=1/lambda/n*((1-p)*m-(1+bg)*(sum((m-k-n).*binopdf(k,m,p))))-1;k=0:m-n-5-1;p5=sum(binopdf(k,m,p));k=0:m-n-10-1;p10=sum(binopdf(k,m,p)); end运行结果：。
数学建模---最佳预定票策略(案例分析)
k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数， 即迟到的乘客数，它是一个随机变量； pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按 时前来登机的概率； p：每位乘客迟到的概率； Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤 掉j人的概率，即社会声誉指标； S：公司的利润； ES：公司的平均利润。
三、 问题的分析及数学模型 （1）问题的分析 通过上面引进的符号易知，赔偿费b=0.1g， 飞行费用f=0.6ng，每位乘客迟到的概率 p=0.03，已预订票的m个乘客中，恰有k个 乘客不能按时前来登机，即迟到的乘客数k 服从二项分布B（m，p），此时，
从计算结果易见，当m=309时，社会声誉 指标 P5 ( 309 ) 0 . 0442 0 . 05 ，当 m=310时，社会声誉指 标 P5 ( 310 ) 0 . 0952 0 . 05 ，所以为了使 ES/f尽量大，且要满足社会声誉指 标 P5 ( m ) 0 . 05 ，则最佳订票数可取 m=309。
p=p+pp; sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k); end Es=(1/180)*[0.97*m-1.1*sm]-1; m Es p end
执行后可输出以下结果：
m 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 ES 0.6436 0.6490 0.6543 0.6596 0.6649 0.6703 0.6756 0.6810 0.6864 0.6917 0.6971 p 9.2338e-005 9.3723e-004 0.0048 0.0167 0.0442 0.0952 0.1742 0.2796 0.4028 0.5314 0.6525于是平源自利润m n 1ES
数学建模航空公司的预订票策略
书上作业：P317“取β=，t=50,100,150，其他参数同上，计算结果表明，当t 增加时)(m J 和)(m P j 均有所减少”写出程序及结果。
模型求解求解()J m 的程序如下： n=300; lambda=; p=; bg=; beta=; t=50; nn=50; for m=n:n+nnj(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t); end j'其中函数程序为:function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t) q=1-p; bb=0:m-n-1;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk);y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1; 求解)(m P j 的程序如下： n=300; nn=50;p=;j=10;for m=n:n+nnpp(m-n+1)=pj(m,n,j,p);endpp'其中函数程序为:function y=pj(m,n,j,p)bb=0:m-n-j-1;t=50;pk=pdf('bino',bb,m-t,p);y=sum(pk);取p=，；t=50,100,150；bg=，；j=5，10，得到计算结果。
（对照书本上可将计算结果制定成表格）实验结果：表1 p=0,05时的计算结果表2 p=时的计算结果结果分析：参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出： ()5P m ＜，()10P m ＜， 则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=,取m=311;若估计p=,取m=318.。
数学建模作业
大作业《二》航空公司的预订票策略摘要针对航空公司预订票问题，本文研究航空公司不能完全预料乘客在订票后能否登机，问题，为了追求最大利润，往往预订给乘客某次航班的票数要适当多余该航班所能容纳的乘客数，这样就导致一些乘客可能被挤掉而无法搭乘这个预订航班，另一方面，为了争取更多的客源、提高客乘率，航空公司在提高服务质量的同时，对被挤掉的乘客进行经济补偿以减少由此造成的不利影响。
影响航空公司受益的主要因素有航班的客座率、飞机飞行费用、公司对被挤掉订票乘客的赔偿费用、公司信誉、飞机场安全管理费用等。
关键字：预订票收益管理公司信誉一、问题重述1.1 基本情况：如今的航空公司都面临着订座决策，我们总结了其面临的风险：超售风险，以航班客座容量为临界点，如果决策结果多于航班容量，造成有些旅客被拒绝登机，从而带来超售风险，合理的超售可以减少空位损失。
对于被挤掉的乘客航空公司应给与合理的经济补偿减少不利影响提高公司信誉。
所以确定合理的数额是十分必要的。
1.2需要解决的问题：问题：考虑经济利益，又考虑社会声誉问题，去确定该航班的预订票数量以及被挤掉的乘客的经济补偿。
二、问题分析2.2 问题二的分析从长远利益来看，由于航空公司订票业务的开展，需要在二者辨证关系中，找到一个最佳订票数额点。
公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，声誉可以用按时前来登记但被挤下飞机的乘客限制在一定数量为标准。
由于我们假定预订票的乘客是否前来登机是随机的，因此我们要讨论利润和声誉的平均期望值。
三、模型假设1、预订机票的乘客出现与否是相互独立的。
2、预定票数量都大于实际座位数。
3、飞行费用不变。
4、以低价得到机票的乘客若错过本次航班则机票作废。
5、每位被挤掉者获得的赔偿金为常数。
四、符号说明m ：预订票数量的限额n ：飞机容量g ：机票价格r ：飞行费用λ：利润调节因子s ：每次航班的利润S ：平均利润b ：被挤掉者获得的赔偿金（为常数）p ：每位乘客不按时前来登机的概率q ： 每位乘客出现的概率五、名词解释二项分布：未到乘客人数X 服从参数为m 、p 二项分布，即 p k =P （X=k ）=C m k p k q m-k，k=1,2,3…m 六、模型的建立与求解由于超定额情况的存在，到达机场的已订票的乘客存在被挤掉的可能性。
航空公司机票预订策略
数学建模论文题目：航空公司机票预订策略组员1：姓名周跃班级车辆094学号200903641组员2：姓名王晶东班级车辆094学号200903926组员3：姓名武锡俊班级车辆094学号200904216组员4：姓名缪伟班级车辆094学号200904217组员5：姓名周晓琳班级车辆094学号200904801组别：第三十二组承诺书我们仔细阅读了兰州交通大学大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日航空公司机票预订策略摘要本文研究的是机票预定价格和数量的预测及优化设计问题。
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务,本模型针对预订票业务，根据实际情况，制定合理的预定策略需从经济利益最大化和社会声誉最好两方面来考虑。
社会声誉可以用定了票来登机因飞机满员而不能起飞的乘客不超过某一给定值来衡量。
这个问题可化为经济利益最大化为单目标来求解。
假设公司的经济利益用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量；社会声誉用持票按时前来登机、但因满员不能飞走的乘客限制在一定数量为标准，转化成经济利益、社会声誉这两个目标的优化问题，再建立合理的模型，通过 MATLAB 软件对问题进行分析求解。
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数学建模航空的预定票策略TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的队号为： 11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
这与人民经济生活水平提高分不开的。
最后，我们搜集了一些数据来佐证我们模型的价值。
根据实际情况，制定合理的预定策略需从经济利益最大化和社会声誉最好两方面来考虑。
社会声誉可以用定了票来登机因飞机满员而不能起飞的乘客不超过某一给定值来衡量。
则这个问题可化为经济利益最大化为单目标来求解。
我们假设每位乘客不按时前来登机的概率为p ，是否前来登机是相互独立的，则不按时前来登机的乘客数服从二项分布。
又因为订票需付一定量的定金，且在飞机起飞前48小时内取消预订会没收全部订金。
对此，我们分情况讨论。
由概率分布知识可得利润S关于预定量限额M的函数为由利润最大化，利用Matlab软件求出M的最优解，通过检验和灵敏度分析，由模型得出的机票预订限额置信度较高。
查阅资料得，此限额较符合实际情况。
最后，我们根据我们建立的模型对其进行优化。
由实际可能出现的情况增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，规定迟到则机票作废。
在此基础上再建立一个模型。
分别求此时飞机的参考价格和预定限额。
关键字：曲线拟合、趋势外推、周期波动、概率分布、利润最大一、问题重述航空公司对机票一般采取预定策略。
客户可以通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。
航空公司为了争取最大利润，一方面要争取客户，另一方面要降低因客户取消预定遭受的损失。
为此，航空公司采用一些措施。
首先，要求客户提供信用卡号，预付一定数量的定金。
如果客户在飞机起飞前48小时内取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。
其次，航空公司采用变动价格，根据市场需求情况调整机票价格，一般来说旺季机票价格比较高，淡季价格略低。
（1）建立机票预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。
表1给出了某某航空公司某条航线2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)，用模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的经济舱机票的参考价格。
收集更多的数据来佐证模型的价值（要求注明出处）。
（2）在旺季，航空公司往往可以预定出超过实际座位数的机票数, 以减低客户取消预定时航空公司的损失。
但这样做可能会带来新的风险, 万一届时有超出座位数的客户出现, 航空公司要通过升级机票档次或赔款来解决纠纷, 为此航空公司还会承担信誉风险. 某条航线就一中机型，有头等舱20座，经济舱300座，每天一班航班。
为该航线制定合理的预定策略, 并论证理由。
表１某航空公司某条航线2005年10月～2010年3月经济舱月平均价格(单位:元)二、背景航空公司订座的特点是：旅客可以在飞机起飞前一百多天里向购票处或航空公司订票，由于离飞机起飞时间较长，以及旅客行为的不确定性，往往航空公司会售出超过实际座位数的票数，即超售。
在订座决策中，航空公司面临2种风险：空座风险和超售风险，以航班客座容量为临界点，如果超售的结果（即实际到达机场的已预定座位的旅客人数）少于航班容量，会造成座位剩余，这就是空座风险；如果决策结果多于航班容量，造成有些旅客被拒绝登机，从而带来超售风险，合理的超售可以减少空位损失，但要确定合理的超售数额，却是十分困难的。
超售是航空公司收益管理的一项重要内容，这是解决所谓的No Show问题，提高航空公司效益的重要技术手段，同时也有许多理论问题甚至法律问题需要研究。
在实际航运中，航空公司发现经常发生已购票的乘客没有乘机（叫做No Show），使得一些座位空着虚飞，而一些想旅行的和一些有急事临时到达机场（叫做Co Show）的旅客却因购不到票而不能成行，这不仅浪费了航空公司的生产资源，同时也浪费了社会资源。
根据对历史销售和离港数据进行分析，可以预测旅客的No Show率和Co Show 率，然后确定超售率进行机票销售。
这样做不但可以充分利用热线航班的座位，提高航空公司的收益，同时也使得其他想乘机旅行人员能够成行，可以说是各方都受益的好事。
德国汉莎航空公司在超售方面所做的工作非常出色，每年能为公司多创造5%的收益。
因此对超售的研究一直为航空公司所重视。
但超售预测不可能十分准确，因此可能发生所谓的DB（Denied Boarding）问题，即实No Show率低于Co Show率时，便发生了已购票并来乘机的旅客上不了飞机的问题。
这常常引起旅客的不满甚至航空公司与旅客的冲突，航空公司采取补偿DB旅客以化解矛盾的做法，但这样的补偿常常是机票价格的两倍以上。
发生DB，航空公司的成本迅速上升，这也是航空公司不愿意看到的。
因此超售是一把双刃剑，如何解决好No Show率和DB这一对矛盾，一直是航空公司和学术界都十分关心的问题。
目前研究的较多的是机票超售模型是静态的。
对于一个航班从开始销售之日到飞机起飞时，超售的数量保持不变。
这样将完全忽略机票实际销售情况。
超售实际上完全溶于机票销售过程中。
在机票销售过程中，航空公司的订座系统一面接受旅客的订票，一面接受旅客的取消订票或是改签其他航班。
显然机票的预定速度应大大超过取消速率，在飞机起飞前某时刻将达到或接近飞机的容量，此时航空公司就将面临超售问题。
一般来说，航空公司可以控制订票的流量，当已定机票超过理想的数量时，就不再接受订票的请求。
但是由于订票需求的不确定性，目前被拒绝的需求未来不再出现，而未来的取消还继续发生，则到飞机起飞时将产生空座，造成航班收益下降。
因此机票的超售是一个动态的决策过程。
这一过程依赖于当前的销售状态，未来的需求分布，机票取消分布和起飞时的NO-SHOW率、三、符号说明四、模型假设1、各位乘客是否按时前来登机是相互独立的（这适用于单独行动的商人、游客）。
2、每趟飞机预定票数量都大于飞机的实际座位数。
3、飞行费用与乘客人数无关，为一个固定的常数。
4、头等舱与经济舱顾客未按时取消订票的概率相等五、问题分析与建立模型（1）方法一：分析：由所给数据，用Matlab软件来拟合函数，再根据函数来预测经济舱机票的参考价格。
记2005年10月份为x=1，则05年11月份为x=2，以此类推。
即：2005年10月为第一个月份，如：x=10，则表示06年7月拟合结果如下：由求解报告得知：数学模型为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2)+a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)a1=258.1 (-4931, 5447)b1=11.84 (-21.32, 45)c1=5.754 (-30.07, 41.58)a2=-763.3 (-4.991e+006, 4.989e+006)b2=9.738 (-2804, 2823)c2=35.18 (-6.951e+004, 6.958e+004)a3=1400 (-7.956e+004, 8.236e+004)b3=27.96 (-3.621, 59.55)c3=6.392 (-96.3, 109.1)a4=1255 (-3.937e+005, 3.962e+005)b4=61.28 (-1.531e+010, 1.531e+010)c4=1.48e+004 (-2.162e+012, 2.162e+012)a5=-3.035e+008 (-2.53e+013, 2.53e+013)b5=162 (-7.08e+005, 7.083e+005)c5=29.06 (-1.042e+005, 1.043e+005)a6=-1285 (-9.511e+004, 9.254e+004)b6=28.36 (20.3, 36.43)c6=4.848 (-32.56, 42.25)Goodness of fit:SSE: 2.234e+005R-square: 0.8267Adjusted R-square: 0.7448RMSE: 78.78置信度为：95%。
根据模型,由Matlab软件求得未来一年经济舱机票参考价格如下表所示：预测的机票价格从2010年9月起变成了负数，显然与实际不符合，所以该模型并不能帮助我们解决实际问题。
方法二：分析：我们产用最小二乘法中趋势外推法的周期波动模型来解题。
季节型时间数列以日历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往大于一年，且不稳定。