一般形式的柯西不等式9·27
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教师多媒体展示，
回答，老师
通过复习，巩固前面知识，为本节学习
铺
体会转化和数形结和思想，培养学生的形象思维能力，训练训练了学生的数形结合一，复习引入
提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式、几何意义
(二维形式的柯西不等式)
若d
c
b
a,
,
,都是实数,
则)
(
)
(2
2
2
2d
c
b
a+
⋅
+2
)
(bd
ac+
≥.
当且仅当bc
ad=时,等号成立。
二维形式的柯西不等式的变式:
bd
ac
d
c
b
a+
≥
+
⋅
+2
2
2
2
)
1
(
bd
ac
d
c
b
a+
≥
+
⋅
+2
2
2
2
)
2
(
(柯西不等式的向量形式)
若,
αβ是两个向量,则αβαβ⋅
≥
.当且仅当
β
是零向量或存在实数k，使k
αβ
=时,等号成立。
二维形式的三角不等式：
设1122
,,,,
x y x y R
∈
那么
222222
11221212
()()()()
x y x y x x y y
+++-+-
≥
.当且仅当1221
x y x y
=
时,等号成立.
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
)
(
)
(y
y
x
x
y
x
y
x-
+
-
≥
+
+
+
二维形式的三角不等式
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(z
z
y
y
x
x
z
y
x
z
y
x
-
+
-
+
-
≥
+
+
+
+
+
三维形式的三角不等式
二，讲解新课：
我们知道，平面上向量的坐标（）是二维的形式，空间向量的坐标（）是三维的形式
思考：联系前一节的内容，从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论？
αβαβ
≥,,当且仅当αβαβ
≥,探究：对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一构造二次函数()222222212
12)4()()0n n n n a b a a a b b b +-++⋅+++≤
2222122
1)()
(111)n n a a a a a a +++++⨯+⨯++⨯≥22
212) (n a a a a ++++++≥12)n n a a a a +++++≤
是不全相等的正数，证明：