-琴生不等式、幂平均不等式讲解学习

高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式

一、知识要点：

1．琴生不等式

凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都

有1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≤

，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()

()22

x x f x f x f ++≥

，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。 琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则

1212()()()

(

)n n x x x f x f x f x f n n

++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤

（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明：

1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；

2）假设n k =时命题成立，即1212()()()

(

)k k x x x f x f x f x f k k

++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤

那么当1n k =+时，设121

11

k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，

1211

111(1)(1)(1)()()()22

k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+

++-==

11111()(1)()(1)()11[()()][]22k

i k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k

++=+++-+-≤+≤+∑

所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-

所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且

11,0n i

i

i λλ==>∑，

则11

(()()n n

i i

i

i

i i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数， （1）如果对任意x ∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的； （2）如果对任意x ∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 内是上凸的。

4．幂平均不等式： 若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1

1

1

1()()n

n

i

i

i i x x n n

α

β

βα==≥∑∑．

≥

二、例题精析

例1．设0i x >(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，

1

1n

i

i x

==∑，

⋅⋅⋅+≥

例2．已知,,0a b c >，1a b c ++=

13

≤

例3．应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式：

若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1

1

1

1

(

)(

)n

n

i

i i i x

x n

n

α

β

β

α==≥∑∑

例4．应用琴生(Jensen)不等式证明赫尔德（Holder ）不等式： ,(1)i i a b i n ≤≤是2n 个正实数，,0,1αβαβ>+=，

则11221212()()n n n n a b a b a b a a a b b b αβαβαβαβ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+

三、精选习题

1．在圆内接n 边形中，试证明正n 边形的面积最大。

2．设2m ≥是实数，则在ABC ∆中，有tan tan tan 3tan

3A B C m m m m

π

∠∠∠++≥

3．设0,0a b >>，且1a b +=

≥

4．已知函数()ln g x x x =，0a b <<，证明：()()2()02

a b

g a g b g ++->

5．已知,,0x y z >，且1x y z ++=，求证：3

22211128()()()()3

x y z x y z +++≥

6．若0i x ≥，且12100n x x x ++⋅⋅⋅+=

，求证：10≤≤

7．已知,,0x y z ≥，且12x y z ++=

。求证：414110

x z +≤++

8．已知3x ≥

（1）当01t <<时，有不等式(1)(2)(3)t

t

t

t

x x x x --<---；

（2）当1t >时，有不等式(1)(2)(3)t

t

t

t

x x x x -->---。

9．设P 是ABC ∆内一点，求证：,,PAB PBC PCA ∠∠∠中至少有一个小于或等于30。

10．设0i x π<<(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，且12n x x x x n ++⋅⋅⋅+=，证明：1

sin sin n

n

i i i x x

x x =≤∏

四、拓展提高：

11．已知,,0a b c >，且1ab bc ca ++=

1abc