-琴生不等式、幂平均不等式讲解学习

高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式一、知识要点：1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。

琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤（想象n 边形的重心在图象的上方，n 个点重合时“n 边形”的重心在图象上） 琴生(Jensen)不等式证明：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，得证 2．加权平均琴生(Jensen)不等式： 若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数， 且11,0n iii λλ==>∑，则11(()()n ni iiii i f x f x λλ==≤∑∑ 3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数， （1）如果对任意x ∈I,()0f x ''>，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的； （2）如果对任意x ∈I,()0f x ''<，则y=f(x)在I 内是上凸的。

4．幂平均不等式： 若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1111()()nniii i x x n nαββα==≥∑∑．≥二、例题精析例1．设0i x >(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，11nii x==∑，⋅⋅⋅+≥例2．已知,,0a b c >，1a b c ++=13≤例3．应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式：若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1111()()nnii i i xx nnαββα==≥∑∑例4．应用琴生(Jensen)不等式证明赫尔德（Holder ）不等式： ,(1)i i a b i n ≤≤是2n 个正实数，,0,1αβαβ>+=，则11221212()()n n n n a b a b a b a a a b b b αβαβαβαβ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+三、精选习题1．在圆内接n 边形中，试证明正n 边形的面积最大。

2．设2m ≥是实数，则在ABC ∆中，有tan tan tan 3tan3A B C m m m mπ∠∠∠++≥3．设0,0a b >>，且1a b +=≥4．已知函数()ln g x x x =，0a b <<，证明：()()2()02a bg a g b g ++->5．已知,,0x y z >，且1x y z ++=，求证：322211128()()()()3x y z x y z +++≥6．若0i x ≥，且12100n x x x ++⋅⋅⋅+=，求证：10≤≤7．已知,,0x y z ≥，且12x y z ++=。

求证：414110x z +≤++8．已知3x ≥（1）当01t <<时，有不等式(1)(2)(3)ttttx x x x --<---；（2）当1t >时，有不等式(1)(2)(3)ttttx x x x -->---。

9．设P 是ABC ∆内一点，求证：,,PAB PBC PCA ∠∠∠中至少有一个小于或等于30。

10．设0i x π<<(1,2,,)i n =⋅⋅⋅，且12n x x x x n ++⋅⋅⋅+=，证明：1sin sin nni i i x xx x =≤∏四、拓展提高：11．已知,,0a b c >，且1ab bc ca ++=1abc高二数学竞赛班二试讲义 第一讲 琴生不等式、幂平均不等式例1．【分析】11nii x==∑，适合应用琴生不等式【解答】设函数()f x =，则322()2(1)x f x x -'=-，31312222332(1)(2)3(1)(1)3(1)()04(1)4(1)x x x x x f x x x --+-⋅--+-''==>-- 所以()f x 在(0,1)上下凸，121nx x x n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅≥+≥≤≥+⋅⋅⋅≥【思考】构造函数，用二阶导数判断函数的凸性，求导运算是关键。

例2．【分析】两边取自然对数，把积化为和【解答】111(1)ln (1)ln (1)ln 222a ab bc c =-+-+- 因为()ln f x x =在(0,)+∞上是上凸函数，且111(1)(1)(1)1222a b c -+-+-=由加权平均琴生不等式111111(1)ln (1)ln (1)ln ln[(1)(1)(1)]222222a ab bc c a a b b c c -+-+-≤-+-+- 222111ln[()]ln 223a b c ≤-++≤（2222()133a b c a b c ++++≥=）13≤【思考】“两边取自然对数，把积化为和”是处理乘积问题的常用手段例3．【分析】11111111()()()()()nnnnnniiiiiii i i i i i xxxxxx n nnnnnααβαββββααβββα======≥⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑构造()f x x αβ=解题【解答】证明：0αβ>>时，()f x x αβ=为下凸函数，1212()n n x x x x x x n n ααααββββ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，111212()()n n x x x x x x n nαααββββα++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤ 用i x β代替i x ，得证。

当0αβ>>和0αβ>>时，有同样的结论。

【思考】1111()()nniii i xx nαββα==≥∑∑两边同形，把i x β看成i x 是关键。

例4．【分析】变形：112212121()()n nn n a b a b a b a a a b b b αβαβαβαβ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+，再变形1112121212()()()()1n n n n n na b a b a a a b b b a a a b b b αβαβ⋅+⋅⋅⋅+⋅≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 对第i 项取自然对数，得1212ln ln n nn na b a a a b b b αβ+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+是加权平均琴生(Jensen)不等式的形式。

【解答】证明：令1212,n n A a a a B b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，()ln f x x =上凸，lnln ln()i i i i a b a b A B A B αβαβ+≤⋅+⋅，所以()()i i i i a b a b A B A Bαβαβ≤⋅+⋅ 累加得111[()()]1nni i ni i i i i a b a b A B A B αβαβαβ===≤⋅+⋅=+=∑∑∑，得证。

推广：0ij a >，对10,1n i ii k k =>=∑，有121212121111()()()()n nn n n nk k k k k k jjnjj j nj j j j j a a a a a a ====⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅∑∑∑∑ 证明：12112112111111lnlnlnln()jjnjjnjn n nnnnnjjnjjnjj j j j j a a a a a k k k k k aaaaa=====++⋅⋅⋅+≤⋅+⋅⋅⋅+⋅∑∑∑∑∑【思考】好方法是在有目的的变形之后想到的。

1．设圆半径为r ，内接正n 边形的面积为S ，各边所对圆心角分别为12,,,n θθθ⋅⋅⋅，2121(sin sin sin )2n S r θθθ=++⋅⋅⋅+函数()sin f x x =在区间()0,π上是上凸函数，（因为()sin 0f x x ''=-<） 所以1212sin sin sin sin n nn nθθθθθθ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤故2212112(sin sin sin )sin 22n S r r n nπθθθ=++⋅⋅⋅+≤当122n n πθθθ==⋅⋅⋅==时，正n 边形的面积最大，最大值为212sin 2r n nπ2．当2m ≥时，()tanxf x m=在区间()0,π上是下凸函数， （因为2sin 11()cos cos x m f x x xm m m '⎛⎫ ⎪'== ⎪ ⎪⎝⎭，232sin ()0cos x m f x x m m ''=>） 所以tan tan tan 3tan 3tan 33A B CA B C m m m m m m mπ∠∠∠++∠∠∠++≥= 3．()f x =的图象是等轴双曲线221y x -=的上支，在区间R 上是下凸函数，所以()()1()()222f a f b a b f f ++≥==≥4．1()ln 1,()0g x x g x x '''=+=>，所以()ln g x x x =在(0,)+∞上是下凸函数所以()()2()02a bg a g b g ++->5．令222111()()()g x y z x y z =+++，则222111ln ln()ln()ln()g x y z x y z=+++++设21()ln()f x x x=+，则342()x f x x x -'=+，63334242102[(5(5()0()()x x x x f x x x x x -++---''==>++所以21()ln()f x x x =+在(0,1)上是下凸函数，于是，由琴生不等式得23222111128ln ln()ln()ln()3ln(3)ln()33g x y z x y z =+++++≥+=328()3g ≥6．由y =≤=≤212n x x x =++⋅⋅⋅++12100n x x x ≥++⋅⋅⋅+=10≥故10≤≤7．令()41f x x =+，2()f x '=，2()f x ''=， 其中，102x <<，112a <=<，0b =>故可知()0f x ''<，()f x 是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是上凸函数由琴生不等式1363()414141610y x z f x y z ++≤⨯=+++ 8．设()t f x x =，则12(),()(1)t t f x tx f x t t x --'''==-，（1）当01t <<时，2()(1)0t f x t t x -''=-<，()tf x x =在(0,)+∞上是上凸函数，所以()(2)2()(1)22f x f x x x f f x +-+-<=-（因为2x x ≠-，所以等号不能取）所以()(1)(1)(2)f x f x f x f x --<---递推得(1)(2)(2)(3)f x f x f x f x ---<---，从而有()(1)(2)(3)f x f x f x f x --<---，故(1)(2)(3)t t t tx x x x --<---（2）当1t >时，2()(1)0t f x t t x -''=->，()tf x x =在(0,)+∞上是下凸函数，类似（1）可证(1)(2)(3)t t t tx x x x -->---9．如图，引进,,,,,αβγαβγ'''，,,sin sin sin sin sin sin PB PA PC PB PA PCαββγγα==='''所以sin sin sin sin sin sin αβγαβγ'''=设()ln sin f x x =，则2cos 1(),()0sin sin x f x f x x x-'''==<所以()f x 在(0,)π时上是上凸函数，2ln(sin sin sin )ln(sin sin sin sin sin sin )αβγαβγαβγ'''=ln sin ln sin ln sin 6ln sin6αβγαβγαβγ'''+++++'=++⋅⋅⋅+≤所以1sin sin sin 8αβγ≤,,αβγ中必有一个其正弦值不大于12，设1sin 2α≤，当30α≤时，命题成立，当150α≥时，必有30β'≤，命题也成立。