初中数学规律题总结

初中数学规律题解题基本方法（一）数列的找规律初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。

然后再简化代数式a+(n-1)b。

例：4、10、16、22、28……，求第n位数。

分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。

如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

此种数列第n位的数也有一种通用求法。

基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；<3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。

举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。

分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。

那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。

（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。

此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。

二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

找出的规律，通常包序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。

试按此规律写出的第100个数是。

—解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。

我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号：1，2，3，4，5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。

（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。

例如：1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2（三）看例题：A：2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即：n3+1B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

{例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……，序列号：1、2、3、4、5分析观察可得，新数列的第n项为：n2-1，所以题中数列的第n项为：（n2-1）+2＝n2+1（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例 ： 4，16，36，64，，144，196，… （第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方。

（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。

当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。

（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。

三、基本步骤 ~先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。

如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题 四、【典型例题】例1 观察下列算式：,65613,21873,7293,2433,813,273,93,3387654321======== ……用你所发现的规律写出20043的末位数字是__________。

！观察下列式子：326241⨯==+⨯；4312252⨯==+⨯；5420263⨯==+⨯；6530274⨯==+⨯……请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来__________。

五、图形找规律小时侯我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年趣事，利用手中的火柴棒搭建一些常见的图形，探索规律。

合作交流，探索规律：活动一：探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形⑴填写下表： `⑵照这样的规律搭建下去，搭n 个这样的三角形需要多少根火柴棒 ★注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤： ① 寻找数量关系； ② 用代数式表示规律 ③ 验证规律。

★练习：四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面五棱柱呢十棱柱呢n 棱柱呢 活动二：探索具体情景下事物的规律问题1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法;问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐人。

⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起⑴2张桌子拼在一起可坐多少人3张呢n张呢⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐人。

⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐人。

【活动三：探索图表的规律下面是2000年八月份的日历：⑴日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系⑵这个关系对其它这样的方框成立吗你能用代数式表示这个关系吗⑶这个关系对任何一个月的日历都成立吗为什么⑷你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗用代数式表示。

⑸你还能提出那些问题4 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。

①②》……(1)将下表填写完整（2）在第n 个图形中有____________________个三角形（用含n 的式子表示）。

例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为21的矩形，接着把面积为21的矩形等分成两个面积为41的正方形，再把面积为41的矩形等分成两个面积为81示的规律计算：=+++++++25611281641321161814121*例7．把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是例8.观察下列图形并填表。

六、巩固练习题1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： （1）第4个图案中有白色地面砖 块；11（2）第n 个图案中有白色地面砖 块。

2．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有)2(≥n n 个棋子，每个图案棋子总数为S ，按下图的排列规律推断，S 与n 之间的关系可以用式子来表示。

【……3．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。

①5，9，13，17， ， 。

②4，5，7，11，19， ， 。

^③10，20，21，42，43， ， ，174，175。

④4，9，19，34，54， ， ，144。

⑤45，1，43，3，41，5， ， ，37，9。

⑥6，1，8，3，10，5，12，7， ， 。

⑦0，1，1，2，3，5， ， 。

⑧180，155，131，108， ， 。

⑨5，15，45，135， ， 。

⑩60，63，68，75， ， 。

4．你能很快算出21995吗]为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10•n +5,即求2)510(+n 的值（n 为自然数），你试分析 ,3,2,1===n n n 这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。

通过计算，控索规律：225152=可写成25)11(1100++⨯ 625252=可写成25)12(2100++⨯ 1225352=可写成25)13(3100++⨯ 2025452=可写成25)14(4100++⨯…………5625752=可写成 7225852=可写成<第三个第一个第二个42==s n 83==s n 124==s n 165==s n从第（1）的结果，归纳、推测得：=+2)510(n根据上面的归纳、推测，请算出：=219955．观察下列几个算式，找出规律： 1＋2＋1=41＋2＋3＋2＋1=91＋2＋3＋4＋3＋2＋1=161＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25 ……利用上面规律，请你迅速算出：①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1= …②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋n 的计算公式吗12．给出下列算式：1881322⨯==-，28163522⨯==-，38245722⨯==-，48327922⨯==-，…，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律用代数式表示这个规律是 。

6．研究下列算式，你会发现有什么规律224131==+⨯；239142==+⨯；2416153==+⨯；2525164==+⨯……请将你找出的规律用公式表示出来： 。

7．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写： a 所表示的数： 。

b 所表示的数： 。

:8．因为111113=⨯⨯=，11112=⨯=，9812133=+=+ 93)21(22==+362781321333=++=++ 366)321(22==++10064278143213333=+++=+++ 10010)4321(22==+++那么=++++++333333100994321 。

9．将1，21-，31，41-，51，61-，…按一定规律排成下表：试找出12006-在第 行第 个数155114411331121111b b a 10191817161514131211-----'10．如下图：（1）10252641'（2）>11．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。