初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形

例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．

∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，

∴x=18°，

∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，

∴∠D=180°一36°＝144°．

说明：①巩固性质；②方程思想的应用．

例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．

分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．

证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，

又∠CBD=∠DAC ，

∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．

说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．

例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．

分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．

证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．

△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．

∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．

∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，

又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．

∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．

说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．

典型例题四

例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）

A ．90°

B ．120°

C ．135°

D ．150°

解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HAD

E

︒=∠∴60D ，

由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.

典型例题五

例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延

长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .

求证：CD PM ⊥.

分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.

证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.

∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形.

.,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴

∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE

.

90.

90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM

即CD PM ⊥.

说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.

典型例题六

例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为

BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .

求证：（1）DC DB =；

（2）.2

DN CM DC ⋅=

分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与

圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2

DN CM DC ⋅=，只须证比例式

DC CM DN DC =，也即CN

CM

DN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可.

证明 （1）连结DC.

∵AD 平分EAC ∠，

∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴

（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DN

CM

CN CM DN DC =

=. ∴.2

DN CM DC ⋅=

说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.

典型例题七

例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直

径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DC

BC

FD AB =

. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥.

∴

.∴ DAB ACB ∠=∠.

∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，

∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴

DC

BC

FD AB =

. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.

典型例题八

例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.

解 连结OD ，BD .∵DC AD =，

的度数AOD ∠=.

∴.//BC OD