组合数学期末试题

期末试卷2012—2013学年第二学期课程：组合数学 专业：数学与应用数学 年级：2010本试卷共2页 满分：100分 考试时间：120分钟 考试方式：闭卷一、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1、将5个苹果分给3个小孩，有_______种不同的分法.2、多项式()4012324x x x x +++中项22012x x x ⋅⋅的系数是 . 3、22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为________.4、Fibbonacci 数F(9)= .5、6()x y +所有项的系数和是________.6、含3个变元,,x y z 的一个对称多项式包含9个项，其中4项包含x ，2项包含xyz ，1项包含常数项，求包含xy 的项有 个.7、在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为 .8、把某英语兴趣班分成两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数 .二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9、在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式数（ ）A 、20!5!B 、20!15!C 、2015D 、152010、某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。

这个年级参加课外学科小组人数（ ）。

A 、50B 、57C 、43D 、1111、组合式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50120与下列哪个式子相等？（ ）A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛60120B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50119+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49119C 、512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49120D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4911912、从1至1000的整数中，有多少个整数能被5整除但不能被6整除？（ ）A 、167B 、200C 、166D 、3313、商店有六种饮料供选择，若小明每天至少和一种饮料（喝过的不再选择），5天里把全部饮料都喝过，则有多少种不同的安排？（ ）A 、9B 、16C 、90D 、180014、...0110p q p q p q r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） min{,}r p q ≤。

A 、1p q r +⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B 、p q r +⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、1p q r +⎛⎫ ⎪+⎝⎭ D 、1p q r ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 15、有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ ）只小鸟。

A 、15B 、16C 、17D 、1816、()n a b c d +++的展开式在合并同类项后一共有（ ）项。

A 、nB 、3n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、!n三、解答题（本大题共5小题，分值分别为6、6、8、10、10分，共40分）计算下列各题，并在答题纸上写出解题过程及结果。

若只写出计算结果而无解题过程则该题得分为零。

17、把4个人分成两组，每组至少一人，求不同的分组方法？18、一次宴会，5位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有多少种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子？ 19、1、求由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数个数。

20、10个节目中有6个演唱、4个舞蹈。

今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间至少有1个演唱，问可编写出多少种不同的演出节目单？21、求()6231234x x x +++展开式中5x 的系数。

四、证明题（本大题共2小题，分值分别为10、10分，共20分）证明下列各题，并在答题纸上写出证明过程。

22、()()()(1)(1)F m n F m F n F m F n +=+--23、证明：2220(1)2(54)n n k n k n n k -=⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭∑附：参考答案及评分标准一、填空题1、243 解：每个苹果都有3个选择。

苹果与苹果之间是分步关系。

所以分步属于乘法原则，即3×3×3×3×3＝81×3=243。

2、 96 解：由多项式定理1.18得其系数为24!24446962!2!1!⋅⋅=⨯⨯=⋅⋅3、380 解：N=20221⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=380。

4、55.5、64 解：令x=1,y=1,则6(11)64+=为所求。

6、2 解：设S 为9个项构成的集合，设a 表示含有x 这一性质，设b 表示含有y 这一性质，…，设c 表示含有z 这一性质，所求为：()N ab ，而：0()()()()()()()S N N a N b N c N ab N bc N ac N abc =+++---+，（其中0N 为常数项个数）.再由对称性有： ()()()N a N b N c ==，()()()N ab N bc N ac ==，又9,()4,()2S N a N abc ===，得：()2N ab =。

7、2 解：这是一个错排问题，题意即奇数(3个)不在原来位置上的方式数为D 3=28、850 解：若选中的这名男同学是甲组的：256123400⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅，若选中的这名男同学是乙组的：536312450⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅⋅，所以符合题目条件的总方式数为：400450850+=二、单项选择题9、A 解：考虑将20位女士固定，将15位男士依次分派给20位女士，则方法数为2020!155!⎛⎫= ⎪⎝⎭。

10、C 解：参加数学、语文用集合A 、B 表示。

则所求为2327743A B A B +-=+-=I11、B 解：组合恒等式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k n 1+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11k n =k n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11k n 12、A 解：设所求为N 。

令S={1,2，……，1000}，以A 、B 分别表示S 中能被5和能被6整除的整数所成之集，则：N=∣A-B ∣=∣A ∣-∣A ∩B ∣=[1000/5]-[1000/5×6]=200-33=167。

13、D 解：该问题类同于求将6件相异物分放到5个不同盒中使得无一空的不同方法，即求： 5！×）（5,6S 2。

因此 5！×）（5,6S 2=5！×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2n =1800。

14、B 解：(1)(1)(1)p q p q x x x +++=+，比较r 项系数，左端r x 的系数为p q r +⎛⎫ ⎪⎝⎭，右端r x 的系数为...0110p q p q p q r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以...0110p q p q p q r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭p q r +⎛⎫ ⎪⎝⎭ 15、C 解：由鸽笼原理：1716110011=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n m 16、B三、解答题17、7不同的分组方法。

解：设所求为N 。

以甲乙丙丁表示4个人，则满足太阳题意的N 种分组方法可分成如下两类：（1）有一组仅有1人的分组方法。

因为在一人组中的人可以是甲乙丙丁这四人中的任何一个人，故4种分组方法。

（2分）（2）两个组各有2个人的分组方法。

因为甲所在的组确定之后，另一组也确定了，而与甲同组的人可以是乙丙丁这3个人中任何一人，故3分组方法。

（2分）则N=4+3=7（2分）18、44种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子。

解：属于重排问题，所求为5D 。

（2分）4451413121111!5D 5=-+-+-=）！！！！！（ （4分）19、1、解：设由1,2,3,4,5,6组成的大于35000的5位数共有N 个，则这N 个5位数可分成如下两类：(1) 万位数字为3的5位数。

属于此类的5位数的千位数字必为5或6，所以属于此类的5位数有2 ×63= 432个。

（3分）(2) 万位数字大于3的5位数。

属于此类的5位数的万位数字必为4,5或6，故属于此类的5位数有3 ×64= 3888个。

（3分）由加法法则，得 N=432+3888=4320（2分）20、解：设可编写出N 种不同的演出节目单。

可依如下三个步骤去编写节目单：① 作6个演唱节目的全排列，有6!720=种方法；（3分）② 从作成的排列的左边、右边及6个元素形成的7个空挡中选出4个位置，有7354⎛⎫= ⎪⎝⎭种方法；（3分） ③ 把4个舞蹈节目放在已选出的4个位置上，每个位置放一个舞蹈节目，有4！=24种方法。

（2分）由乘法原则得 N =720×35×24=604800（2分）21、解：236(1234)x x x +++622(1)2(12)x x x ⎡⎤=+++⎣⎦ 12210482663(1)12(1)(12)60(1)(12)160(1)(1)...x x x x x x x x x x =+++++++++++（4分）所以236(1234)x x x +++的展开式中5x 系数为 221210108126025321⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯++⨯+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦（4分） =792+25200+720=26772（2分）四、证明题22、证明：当ｍ＝１时，Ｆ（１）Ｆ（ｎ）＋Ｆ（１）Ｆ（ｎ－１）＝Ｆ（ｎ）＋Ｆ（ｎ－１）＝Ｆ（ｎ＋１）等式成立；（3分）假设当ｍ≤ｋ时，等式成立；当ｍ＝ｋ＋１时，Ｆ（ｋ＋１＋ｎ）＝Ｆ（ｋ＋ｎ）＋Ｆ（ｋ－１＋ｍ）＝Ｆ（ｋ）Ｆ（ｎ）＋Ｆ（ｋ－１）Ｆ（ｎ－１）＋Ｆ（ｋ－１）Ｆ（ｎ）＋Ｆ（ｋ－２）Ｆ（ｎ－１） ＝Ｆ（ｋ＋１）Ｆ（ｎ）＋Ｆ（ｋ）Ｆ（ｎ－１）等式成立；（5分）所以，Ｆ（ｍ＋ｎ）＝Ｆ（ｍ）Ｆ（ｎ）＋Ｆ（ｍ－１）Ｆ（ｎ－１）（2分）23、证明：左边=20002n n n k k k n n n k k k k k ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2分） 而201n n k k n n k k n k k k n ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=011n k n n k k =-⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑1111(1)11n n k k n n n k n k k ==--⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑=122(1)22n n k n n n n k -=-⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭∑ =21(1)22n n n n n ---+（4分） 又因为0022n n k k n n k k n k k n ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑=100112222211n n n n k k n n k n n n n n k k n k -==--⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑（4分）所以左边21(1)2222n n n n n n n n --=-+++ 222(244)n n n n n -=-+++ 222(54)n n n -=-+（2分）。