电磁场与电磁波(必考题)

1.已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为：())]43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπy A/m ，求①该平面波角频率ω、频率f 、波长? ②电场、磁场强度复矢量③瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。

解：① z x z k y k x k z y x ππ43+=++；π3=x k ，0=yk ，π4=z k ；)/(5)4()3(22222m rad k k k k zy x πππ=+=++=；λπ2=k ，)(4.02m k ==πλ c v f ==λ（因是自由空间），)(105.74.010388Hz cf ⨯=⨯==λ；)/(101528s rad f ⨯==ππω②)/(31),()43(m A e e z x H z x j y+-=ππ； )/()243254331120),(),(),()43()43(m V e e e e e e e k k z x H e z x H z x E z x j z x z x z x j y n +-+--=+⨯⨯=⨯=⨯=πππππππηη（③ ()[])/()43(cos 2432),,(m V z x t e e t z x E z x +--=πω())]43(cos[31,,z x t-e t z x H +=πωπy （A/m ） ()[]()[])/()43(cos 322431)]43(cos[31)43(cos 243222m W z x t e e z x t-e z x t e e H E S z x z x +-+=+⨯+--=⨯=πωππωππωy ())43(2432),(z x j z x e e e z x E +--=π，)43(31),(z x j y e e z x H +-=ππ()())/(322461312432Re 21Re 212*)43()43(*m W e e e e e e e H E S z x z x j y z x j z x av+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+-+-ππππ2.横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。

试求此导体槽内的电位分布。

解: 导体槽在z 方向为无限长，槽内电位满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。

由于槽内电位00x φ==和0x a φ==，则其通解形式为00001(,)()()(sin cos )(sinh cosh )(3)nnnn n n n n n x y A x B C y D A k x Bk x C k y D k y φ∞==+++++∑(0,)0(0)y y b φ=≤<代入上式，得00010()(sinh cosh )n n n n n n B C y D B C k y D k y ∞==+++∑为使上式对y 在0b →内成立，则0(0,1,2,)nBn ==则0001(,)()sin (sinh cosh )n n n n n n n x y A x C y D A k x C k y D k y φ∞==+++∑(,)0(0)a y y b φ=≤<代入上式，得00010()sin (sinh cosh )n n n n n n n A a C y D A k a C k y D k y ∞==+++∑为使上式对y在0b→内成立，则00A =sin 0(1,2,)n n A k a n ==其中nA 不能为零，否则0φ≡,故有sin 0n k a =得(1,2,)n n k n aπ==则1(,)sin(sinh cosh )n n n n n x n y n y x y A C D a a aπππφ∞==+∑(,0)0(0)x x a φ=≤≤代入上式，得10sinn n n n x A D aπ∞==∑ 为使上式对x 在0a →内成立，且0nA ≠则0(1,2,)n D n ==则1(,)sin sinh nn n x n yx y A a aππφ∞='=∑其中n n n A A C '=；(,)(0)x b U x a φ=≤≤代入上式，得01sin sinh nn n x n b U A a aππ∞='=∑为确定常数nA '，将 在区间(0,)a 上按sin n x a π⎧⎫⎨⎬⎩⎭展开为傅里叶级数，即01sinn n n x U f aπ∞==∑ 002sin a n n xf U dx a aπ=⎰041,3,5,02,4,6,U n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩sinh n n f A n b a π'=041,3,5,sinh 02,4,6,U n n b n a n ππ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩导体槽内电位函数为1,3,41(,)sinsinh sinhn U n x n yx y n b a an aππφππ∞==∑)0(0),0(b y y <≤=ϕ)0(0),(b y y a <≤=ϕ)0(0)0,(a x x ≤≤=ϕ)0(),(0a x Ub x ≤≤=ϕ02=∇ϕ4．已知空气中均匀平面波电场强度的复数表示为()z j 0e E t ,z β-=x e E，由z<0区域垂直入射于z>=0区域的理想介质中，已知该理想介质εr = 4，μ≈μ0，求①反射波的电场强度、磁场强度；②透射波电场强度、磁场强度。

③z<0区域合成波的电场强度、磁场强度并说明其性质。

解：① z j x ie E β-=0，z j yz j x z i e E e E ββηη--=⨯=00101ηη=，200002ηεηεεμη===rr ，31220001212-=+-=+-=ηηηηηηηηΓ，322222000122=+⨯=+=ηηηηηητ z j xz j x r e E e E ββ0031-==Γ z j y z j x z r z r e E e e E e e E e H ββπηη36031)(1)(10000=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=⨯-=② βεεμωβ2002==rz j xz jk x t e E e E βτ200322--== z j y z j x z t z t e E e E H ββπηη2020229032)(1)(1--=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⨯=③0100133j z j z j z j z x xx E E e E e e e e E e e ββββ--⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦0021122cos 33333j z j z j z j z x x e E e e e e E e z βββββ---⎡⎤⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦000111203601203j z j z j z j z yy yE E E H e e e e e e e ββββπππ--⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦021122sin 12033312033j z j z j z j z yy E E e e e e e e j z βββββππ---⎡⎤⎡⎤=-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦行驻波，驻波系数231131111=-+=-+=ΓΓS 5．已知空气中均匀平面波电场强度的复矢量表示为()z j eE z β-=0x i ，垂直入射于z=0的理想导体板上，求①反射波电场强度、磁场强度复矢量；②导体板上的感应电流密度；③真空中合成电场强度的瞬时值表示式并说明合成波特性。

解：①()z j e E z β-=0x i，z j yz j x z i e E e e E e e H ββηη--=⨯=001z j x z j x r e E e e E e E ββ00)1(-=-=()zj yz j x z r z r e E e E ββπηη120)(1)(1000=-⨯-=⨯-=②zE j e E e E x z j x z j x r i βββsin 20001-=-=+=-z Ee E e E y z j y z j y r i βπππββcos 601201200001=+=+=-()ππ60600001EE x yz z n s =⨯-=⨯==③1100(,)Re 2sin cos 22sin sin j t x x E z t E e e E z t e E z tωπβωβω⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭= 合成电磁波为驻波。

6.电场中有一半径为a 的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≥-=<=aa A aρφρρϕρϕcos )(0221求①圆柱体内、外的电场强度；②柱表面电荷密度。

（提示：柱坐标zue u e u e u z∂∂+∂∂+∂∂=∇ φρρφρ ）解：①圆柱体内的电场强度为011=-∇=ϕ圆柱体外的电场强度为φρφρϕφρϕρϕϕφρφρsin 1cos 1222222222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=-∇=a A a A z e e e z②柱表面电荷密度为()()φερρρρcos 22012A aan S -=⋅=-⋅===7.海水的电导率σ=4S/m ，相对介电常数 81=rε。

设海水中电场大小为t cos E Em ω=，求频率f=1MHz 时，①海水中的传导电流密度J; ②海水中的位移电流密度J D 。

解：①t E E J m ωσcos 4==②tE t E E D m m r ωεωεεεcos 81cos 00===09681sin 181102110sin 1.458sin 36D m m m DJ E t t E t E tεωωπωωπ-∂==-∂=-⨯⨯⨯⨯⨯=-在理想介质 (1,25.2r r ==με)中均匀平面波电场强度瞬时值为：())t-kz cos(40t ,z ωx e E=。

已知该平面波频率为10GHz ，求：①该平面波的传播方向、角频率、波长、波数k ；②电场强度复矢量；③磁场强度瞬时值；④平均能流密度矢量v S a 。

解：① 传播方向：+z ；)/(102101022109s rad f ⨯=⨯⨯==πππω880010225.210311⨯=⨯=====rrcv f εεεμμελ)(02.0101010298m f v =⨯⨯==λ)/(10002.022m rad k ππλπ===。

②)/(40)(m V e z jkz x -=③)(8025.2120000Ωππεηεεμεμη=====r r ，140()()801(/)2jkzz yjkzyH z e E z e e e e A m ηππ--=⨯==)/()cos(21),(m A kz t e t z H y-=ωπ④ **2111Re Re 4022210(/)jkz jkz av x y zS E H e e e e e W m ππ--⎡⎤⎛⎫⎡⎤=⨯=⨯⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦=1．已知矢量2z 2y 2x ze xy e x e A ++=，则A ⋅∇=z xy x 222++， A ⨯∇=2y e z 。