中考数学经典难题

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初三高难度数学题

初三高难度数学题
以下是一些初三数学难题，供您参考：
1. 设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE。

已知△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5。

求
∠APB的度数。

2. 设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA。

求证：∠PAB ＝∠PCB。

3. 设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD。

4. 平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且∠EAP＝∠FCP。

求证：△AEF是等腰三角形。

5. △ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，
∠DCA＝30度，∠EBA＝20度。

求∠BED的度数。

6. 已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4√3。

将线段AB绕点A旋转至AP处，若AP∥BC，求∠ABP的度数。

7. M为边BC下方一点，E为线段BM的中点，Q为线段CM重直平分线上一点，若∠AEQ＝90°，求∠CQM的度数。

8. 取BF的中点M，连接MN，根据三角形中位线定理得到点N在以M为圆心、半径是2的圆上，从而确定过圆心M的AN最大。

9. 若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为多少。

以上题目难度较大，需要学生具备扎实的数学基础和较高的思维能力才能解决。

建议学生从基础知识点入手，逐步提高难度和综合运用能力。

中考难题集锦(答案版)

3．（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠AOB ＝90°，OA ＝2，OB ＝4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边ABD ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA 上的点为B ′，设OB ′＝x ，OC ＝y ，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′′，且使B ′′D ∥OB ，求此时点C3．解：（Ⅰ）如图1，折叠后点B 与点A 重合，则△ACD ≌△BCD ．设点C 的坐标为（0，m ）（m ＞0），则BC ＝OB －OC ＝4－m ．于是AC ＝BC ＝4－m ．在Rt △AOC 中，由勾股定理，得AC 2＝OC 2＋OA2．即(4－m )2＝m2＋22，解得m ＝23． ∴点C 的坐标为（0，23）． ······················································ 4分（Ⅱ）如图2，折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′，则△B ′CD ≌△BCD ．由题设OB ′＝x ，OC ＝y ，则B ′C ＝BC ＝OB －OC ＝4－y ．在Rt △B ′OC 中，由勾股定理，得B ′C2＝OC 2＋OB2．∴(4－y )2＝y 2＋x2，即y ＝－81x2＋2． ··································· 6分图1∵点B ′ 在边OA 上，∴0≤x ≤2．∴解析式y ＝－81x2＋2（0≤x ≤2）为所求．∵当≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小．∴y 的取值范围为23≤y ≤2． ···················································· 7分（Ⅲ）如图3，折叠后点B 落在边OA 上的点为B ′′，且B ′′D ∥OB ，则∠OCB ′′＝∠CB ′′D ．又∵∠CBD ＝∠CB ′′D ，∴∠OCB ′′＝∠CBD ． ∴CB ′′∥BA ，∴Rt △COB ′′∽Rt △BOA ． ∴OA OB ''＝OBOC，∴OC ＝2OB ′′． ··············································· 9分在Rt △B ′′OC 中，设OB ′′＝x 0（x 0＞0），则OC ＝2x 0．由（Ⅱ）知，2x 0＝－81x02＋2，解得x 0＝－8±54．∵x 0＞0，∴x 0＝－8＋54＝54－8．∴点C 的坐标为（0，58－16）． ····················································································· 10分 4．（天津市）已知函数y 1＝x ，y 2＝x2＋bx ＋c ，α，β为方程y 1－y 2＝0的两个根，点M (1，T )在函数y 2的图象上．（Ⅰ）若α＝31，β＝21，求函数y 2的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为3121时，求t 的值；（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜1时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．4．解：（Ⅰ）∵y 1＝x ，y 2＝x2＋bx ＋c ，y 1－y 2＝0．∴x2＋(b －1)x ＋c ＝0． ····················· 1分将α＝31，β＝21分别代入x2＋(b －1)x ＋c ＝0，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯02112103113122＝＋)－(＋)(＝＋)－(＋)(c b c b 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧6165＝＝－c b ∴函数y 2的解析式为y 2＝x2－65x ＋61． ·············································································· 3分（Ⅱ）由已知，得AB ＝62，设△ABM 的高为h ．则S △ABM＝21AB ·h ＝122h ＝3121，即2h ＝1441．根据题意，|t －T |＝2h ．由T ＝t 2＋61t ＋61，得|－t2＋65t －61|＝1441．当－t2＋65t －61＝1144时，解得t 1＝t 2＝125；当t2－65t ＋61＝1144时，解得t 3＝1225－，t 4＝1225＋．∴t 的值为125，1225－，1225＋． ··································································· 6分（Ⅲ）由已知，得α＝α2＋b α＋c ，β＝β2＋b β＋c ，T ＝t 2＋bt ＋c ．∴T －α＝(t －α)(t ＋α＋b )，T －β＝(t －β)(t ＋β＋b )．α－β＝(α2＋b α＋c )－(β2＋b β＋c )，整理得(α－β)(α＋β＋b －1)＝0．∵0＜α＜β＜1，∴α－β≠0，∴α＋β＋b －1＝0．∴α＋b ＝1－β＞0，β＋b ＝1－α＞0．又0＜t ＜1，∴t ＋α＋b ＞0，t ＋β＋b ＞0．∴当0＜t ≤α时，T ≤α＜β；当α＜t ≤β时，α＜T ≤β；当β＜t ＜1时，α＜β＜T ． ···································································································· 10分图3（10年，第25题）（本小题10分）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上两个动点且2EF =当四边形CDEF 周长最小时求点E 、F 坐标. 解：（Ⅰ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE . 若在边OA 上任取点E '（与点E 不重合），连接CE '、DE '、D E ''.由DE CE D E CE CD D E CE DE CE '''''''+=+>=+=+，可知△CDE 的周长最小.∵ 在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点， ∴ 3BC =，2D O DO '==，6D B '=. ∵ OE ∥BC ，∴ Rt △D OE '∽Rt △D BC '，有OE D OBC D B'='. ∴ 2316D O BC OE D B '⋅⨯==='.∴ 点E 的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，在CB 边上截取2CG =，连接D G '与x 轴交于点E ，在EA 上截取2EF =.∵ GC ∥EF ，GC EF =，∴ 四边形GEFC 为平行四边形，有GE CF =. 又 DC 、EF 的长为定值，∴ 此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小. ∵ OE ∥BC ，∴ Rt △D OE '∽Rt △D BG ', 有OE D O BG D B '='.∴ (63D O BG D O BC OE D B D B ''⋅⋅====''.∴ 17233OF OE EF =+=+=.∴ 点E 坐标为（13，0），点F 坐标为（73，0）. ．．10分第（25）题（10年，第26题）（本小题10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E .（Ⅰ）若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式.解：（Ⅰ）当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+. ∴ 抛物线顶点E 的坐标为（1，4）．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =，∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++（0c >）．∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，．∵ 方程220x x c -++=的两个根为11x =，21x = 此时，抛物线与x轴的交点为10( )A，10()B +．如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F∵ S △BCE = S △ABC ，∴ S △BCF = S △ABC ． ∴ BF AB ==设对称轴1x =与x 轴交于点D ，则12DF AB BF =+= 由EF ∥CB ，得EFD CBO ∠=∠．∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有ED CO DF OB =．∴=．结合题意，解得 4c =． ∴ 点54(0 )C ，，52( 0)B ，．设直线BC 的解析式为y mx n =+，则5,450.2n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得 1,25.4m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 直线BC 的解析式为1524y x =-+. ．．．6分（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为( )E h k ，，（0h >，0k >）则抛物线的解析式为2()y x h k =--+，此时，抛物线与y 轴的交点为2(0 )C h k -+，，与x 轴的交点为0()A h -，0()B h +.0h >）过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，x则S△BCE = S△BCF.由S△BCE = 2S△AOC，∴S△BCF = 2S△AOC.得2) BF AO h==.设该抛物线的对称轴与x轴交于点D.则122DF AB BF h =+=.于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有E D C OD F O B=．∴2，即2220h h k-+=．结合题意，解得h=①∵点()E h k，在直线43y x=-+上，有43k h=-+．②∴由①②，结合题意，解得1=．有1k=，12h=．∴抛物线的解析式为234y x x=-++．．．．．．．．．．．．．．10分7．（09重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xO y中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为56，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q7．解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2）．∵∠ADE＝90°－∠∴AE＝AD·tan∠ADE＝2tan∠BCD＝2×21＝1∴点E的坐标为（0，1）． ························1分设过点E、D、C的抛物线的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)将点E的坐标代入，得c＝1．将c＝1和点D、C的坐标分别代入，得⎩⎨⎧1＋3＋921＋2＋4＝＝baba······解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧61365＝＝－ba∴抛物线的解析式为y＝－65x2＋613x＋1． ·····················（2）EF＝2GO成立． ···············································································证明如下：∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为56．∴点M 的纵坐标为－65×(56)2＋613×56＋1＝512． ·························································· 5分设DM 的解析式为y ＝kx ＋b 1(k ≠0)将点D 、M 的坐标分别代入，得⎪⎩⎪⎨⎧512562211＝＋＝＋b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧3211＝＝－b k ∴DM 的解析式为y ＝－21x ＋3． ··································· 6分 ∴点F 的坐标为（0，3），EF ＝2． ······················································································· 7分如图1，过点D 作DK ⊥OC 于点K ，则DA ＝DK ．∵∠ADK ＝∠FDG ＝90°，∴∠FDA ＝∠GDK ．又∵∠F AD ＝∠GKD ＝90°，∴Rt △DAF ≌Rt △DKG ．∴KG ＝AF ＝1，∴GO ＝1．∴EF ＝2GO ． ············································································ 8分（3）存在这样的点Q ，解答如下：∵点P 在AB 上，∴可设点P 的坐标为（x p ，2）．又∵点G 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（3，0）． ∴PG 2＝(x p －1)2＋22，PC 2＝(x p －3)2＋22，GC ＝2．①若PG ＝PC ，则(x p －1)2＋22＝(x p －3)2＋22．解得x p ＝2∴点P 的坐标为(2，2)，此时Q 、P 、D 三点重合，如图2．∴点Q 的坐标为(2，2)． ······································································································ 9分 ②若PG ＝GC ，则(x p －1)2＋22＝22．解得x p ＝1∴点P 的坐标为(1，2)，此时PG ⊥x 轴，如图3． ∴PG 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1． ∴点Q 的纵坐标为－65×12＋613×1＋1＝37∴点Q 的坐标为(1，37)． ························································· 10分 ③若PC ＝GC ，则(x p －3)2＋22＝22．解得x p ＝3∴点P 的坐标为(3，2)，此时PC ＝GC ＝2，△PCG 是等腰直角三角形．如图4，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则QH ＝GH ．设QH ＝h ，则点Q 的坐标为(h ＋1，h )．∴－65(h＋1)2＋613(h ＋1)＋1＝h ．解得h 1＝57，h 2＝－2（不合题意，舍去）．∴点Q 的坐标为(512，57)． ······························································································· 12分综上所述，存在三个满足条件的点Q即Q 1(2，2)、Q 2(1，37)和Q 3(125，75)．图4。

人教版初中数学中考经典好题难题(有答案)

数学难题一•填空题(共2小题)1如图，矩形纸片ABCD中，AB= 7, BC= .第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O i D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D i重合，折痕与BD交于点。

2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点03,….按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点O n,贝y B0i= , BO n= .2.如图，在平面直角坐标系xoy中，A (- 3, 0), B (0, 1),形状相同的抛物线C n ( n=1 , 2 , 3 , 4,…)的顶点在直线AB 上,其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为 2 , 3 , 5 , 8 , 13 ,…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为 ;抛物线C s的顶点坐标为 ______ .二.解答题(共28小题)23 .已知：关于x的一元二次方程kx +2x+2 - k=0 ( k昌).(1)求证：方程总有两个实数根；(2)当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数.24. 已知：关于x的方程kx + (2k - 3) x+k - 3=0.(1)求证：方程总有实数根；2(2)当k取哪些整数时，关于x的方程kx + (2k- 3) x+k - 3=0的两个实数根均为负整数？3 35. 在平面直角坐标系中，将直线I:「一 - 一沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B ,将抛物线C1：*沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F.(1)求直线AB的解析式；(2)若线段DF // x轴，求抛物线C2的解析式；(3)在(2)的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH丄x轴于点G ,与直线I交于点H，—条直线m( m不过△ AFH 的顶点)与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△ AFH的面积，又平分△ AFH的周长，求直线m 的解析式.第一次折叠第二次折叠第三次折叠0^126. 已知：关于x的一元二次方程-x+ (m+4) x - 4m=0，其中0 v m v4.(1)求此方程的两个实数根(用含m的代数式表示)；(2)设抛物线y= - x + ( m+4) x - 4m与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0,- 2),且AD?BD=10，求抛物线的解析式；(3)已知点E (a, y i)、F (2a, y2)、G (3a, y3)都在(2)中的抛物线上，是否存在含有y i、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.2 27. 点P为抛物线y=x - 2mx+m (m为常数，m>0) 上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方)，点Q为点P旋转后的对应点.(1)当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；(2)设点Q (a, b)，用含m、b的代数式表示a；(3)如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分/ AQC , AQ=2QC ,当QD=m 时，求m的值.2&关于x的一元二次方程x1 2 3- 4x+c=0有实数根，且c为正整数.1 求c的值；22 若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x - 4x+c与x轴交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C .点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；3 将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为(m, n),当抛物线与(2)中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.210.如图，AD 是厶ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线. 求证：(1)/ EAD= / EDA .(2) DF // AC . (3) Z EAC= / B .一 211 .已知：关于 x 的一兀二次方程(m - 1) x + (m - 2) x -仁0 ( m 为实数) (1)若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；(2) 在(1)的条件下，求证：无论 m 取何值，抛物线 y= (m - 1) x 2+ (m - 2) x - 1总过x 轴上的一个固定点；一、 2 2 (3)关于x 的一兀二次方程(m - 1) x + (m - 2) x -仁0有两个不相等的整数根，把抛物线 y= (m - 1) x + (m -2)x - 1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式.12. 已知△ ABC ，以AC 为边在△ ABC 外作等腰 △ ACD ，其中AC=AD .(1) ____________________________________________________________________________________ 如图1,若/ DAC=2 / ABC , AC=BC ，四边形 ABCD 是平行四边形，则/ ABC= __________________________________ ; (2) 如图2,若/ ABC=30 ° △ ACD 是等边三角形， AB=3 , BC=4 .求BD 的长；(3) 如图3,若/ ACD 为锐角，作 AH 丄BC 于H .当BD 2=4AH 2+BC 2时，/ DAC=2 / ABC 是否成立？若不成立, 请说明你的理由；若成立，证明你的结论.213. 已知关于 x 的方程 mx + (3- 2m ) x+ ( m - 3) =0，其中m >0. (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；垃 ~ I(2) 设方程的两个实数根分别为 X 1, X 2，其中X 1>X 2,图33 x |(3) 在(2)的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式yw- m成立的m的取值范围.2 214. 已知：关于x的一元二次方程x+ (n-2m) x+m - mn=O①(1)求证：方程① 有两个实数根；(2)若m- n-仁0,求证：方程① 有一个实数根为1;(3)在(2)的条件下，设方程①的另一个根为a.当x=2时，关于m的函数y i=nx+am与y2=x2+a (n - 2m) x+m2 -mn的图象交于点A、B (点A在点B的左侧)，平行于y轴的直线L与y i、y2的图象分别交于点C、D .当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值.y= ( 3- m) x2+2 ( m - 3) x+4m - m2的顶点A在双曲线y==上，直线y=mx+b经过点A ,与y轴交于点B，与x轴交于点C.(1) 确定直线AB的解析式；(2) 将直线AB绕点O顺时针旋转90°与x轴交于点D，与y轴交于点E,求sin/ BDE的值；(3) 过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G,点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N在15.如图，已知抛物线16.如图，AB为O O的直径，AB=4，点C在O O上，CF丄OC,且CF=BF .(1)证明BF是O O的切线；(2) 设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求/ MCF的大小.17 .如图1,已知等边△ ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合)，记厶DEF的周长为p.(1)____________________________________________________________ 若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，贝U p= _______________________________________________________ ;(2)_______________________________________________________________________ 若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，贝U p的取值范围是_____________________________________________ .小亮和小明对第(2)问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ ABC以AC边为轴翻折一次得△ AB1C，再将△ AB1C以B1C为轴翻折一次得△ A1B1C,如图2所示.则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p, 根据两点之间线段最短，可得p£D2.老师听了后说：你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果. ”小明接过老师的话说：那我们继续再翻折3次就可以了”请参考他们的想法，写出你的答案.图1 图2218. 已知关于x的方程x -( m- 3) x+m - 4=0 .(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根大于4且小于8,求m的取值范围；2(3)设抛物线y=x -( m - 3) x+m - 4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y= - x的对称点恰好是点M，求m的值.19. 在Rt△ ABC中，/ ACB=90 ° tan/BAC=2 .点D在边AC上(不与A, C重合)，连接BD , F为BD中点.2(1)若过点D作DE丄AB于E,连接CF、EF、CE,如图1 .设CF=kEF，则k= _ _ ;(2)若将图1中的△ ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示.求证：BE -DE=2CF ;(3)若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最20•我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点•例如：如图1,平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点.(1)如图2,已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE (要求：画出必要的辅助线)；(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合)，请分别探究图3、图4中S1, S2, S3, S4四者之间的等量关系(S1, S2, S3, S4分别表示△ ABP , △ CBP , △ CDP, △ ADP的面积)：①如图3,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是 ____________________ ;②如图4,当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是____________________ .221. 已知：关于x的一元一次方程kx=x+2① 的根为正实数，二次函数y=ax - bx+kc (c旳)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.(1)若方程①的根为正整数，求整数k的值；(2)求代数式一的值；akc(3)求证：关于x的一元二次方程ax2- bx+c=0②必有两个不相等的实数根.22. 已知抛物线经过点A (0, 4)、B (1, 4)、C (3, 2),与x轴正半轴交于点D.(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；(2)在x轴上求一点E,使得△ BCE是以BC为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF// BC,与BE、CE分别交于点F、6,将厶EFG沿FG翻折得到△ E F G .设P ( x, 0), △ E F G与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.223. 已知二次函数y=ax +bx+c的图象分别经过点（0, 3） , （3, 0）, （- 2, - 5）.求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C, D （点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ ACB是等腰三角形，求出点B的坐标.24•根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1, △ ABC中，AB=AC，/ BAC=90 ° AD丄BC于D,把△ ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ ABC 面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；（2）如图2，△ ABC中，AB=AC，/ BAC=90 °请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论.25. 例.如图①，平面直角坐标系xOy中有点B （2，3）和C （5，4），求厶OBC的面积. 解：过点B作BD丄x轴于D，过点C作CE丄x轴于E.依题意，可得S A OBC=S梯形BDEC+S A OBD- S^OCE=- -1 - ；i-.l ■・•・“w £w=',X ( 3+4) X( 5- 2) +[X2>3—[拓>4=3.5 .££w•••△ OBC的面积为3.5.（1）如图②，若B （X1，yd、C （X2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上.仿照例题的解法，求△ OBC的面积（用含X1、X2、y1、y2的代数式表示）；（2）如图③，若三个点的坐标分别为 A （2，5），B （7，7），C （9，1），求四边形OABC的面积.① ② ③26. 阅读:①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像. 如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换•特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换.问题1:我们学习过的平移、________________ 、______________ 变换都是正交变换.② 如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n°（O v nW60）后，像又回到原图形占据的空间（重合）变换为该图形的n度旋转变换.特别地，具有180?旋转变换的图形称为中心对称图形.例如，图A中奔驰车标示意图具有120°, 240°, 360°的旋转变换.图B的几何图形具有180。

人教版初中数学中考经典好题难题(有答案)

数学难题一 •填空题(共2小题)1如图，矩形纸片 ABCD 中，AB= I ., BC=」丨.第一次将纸片折叠，使点 B 与点D 重合，折痕与 BD 交于点 01; O 1D 的中点为D 1，第二次将纸片折叠使点 B 与点D 1重合，折痕与 BD 交于点02；设O 2D 1的中点为D 2，第三次将纸片折叠使点 B 与点D 2重合，折痕与BD 交于点03,….按上述方法折叠，第 n 次折叠后的折痕与 BD 交于点 O n ,贝廿 B01=, BO n = .二.解答题(共28小题)23 .已知：关于 x 的一元二次方程 kx +2x+2 - k=0 ( k 昌). (1) 求证：方程总有两个实数根；(2) 当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数.24. 已知：关于 x 的方程 kx 2+ (2k - 3) x+k - 3=0. (1) 求证：方程总有实数根；(2) 当k 取哪些整数时，关于 x 的方程kx 2+ (2k - 3) x+k - 3=0的两个实数根均为负整数?335.在平面直角坐标系中，将直线 I : 丁--二了-二沿x 轴翻折，得到一条新直线与 x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ,将抛物线C 1：尸沿x 轴平移，得到一条新抛物线 C 2与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F .(1) 求直线AB 的解析式；(2) 若线段DF // x 轴，求抛物线 C 2的解析式；(3) 在(2)的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH 丄x 轴于点G ,与直线I 交于点H ，—条直线 m( m 不过△ AFH 的顶点)与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线 m 既平分△ AFH 的面积，又平分 △ AFH 的周长，求直线 m 的解析式.2.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A (- 3, 0), B (0, 1),形状相同的抛物线C n (n=1 , 2, 3, 4,…)的顶点 x 轴的交点的横坐标依次为 2, 3, 5, 8, 13 ,…，根据上述规律，抛物线 C 2的顶点坐标第一次折萱第二対斤磐第三次折査在直线AB 上，其对称轴与26. 已知：关于x的一元二次方程-x+ (m+4) x - 4m=0，其中0 v m v4.(1)求此方程的两个实数根(用含m的代数式表示)；(2)设抛物线y= - x + ( m+4) x-4m与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0,- 2),且AD?BD=10，求抛物线的解析式；(3)已知点E (a, y i)、F (2a, y2)、G (3a, y3)都在(2)中的抛物线上，是否存在含有y i、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.7. 点P为抛物线y=x2-2mx+m2(m为常数，m>0) 上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方)，点Q为点P旋转后的对应点.(1)当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；(2)设点Q (a, b)，用含m、b的代数式表示a；(3)如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分/ AQC , AQ=2QC ,当QD=m&关于x的一元二次方程x2- 4x+c=0有实数根，且c为正整数.(1)求c的值；(2)若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2- 4x+c与x轴交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C .点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；(3)将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为(m, n),当抛物线与(2)中的直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围.29.如图，已知AD ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD =FB?FC.10 .如图，AD是厶ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线. 求证：(1) Z EAD= / EDA .(2) DF // AC .211 .已知：关于x的一元二次方程(m - 1) x + (m - 2) x -仁0 ( m为实数)(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)在(1)的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y= (m - 1) x2+ (m - 2) x - 1总过x轴上的一个固定点；2 2(3)关于x的一兀二次方程(m- 1) x + (m - 2) x -仁0有两个不相等的整数根，把抛物线y= (m- 1) x + (m -2) x - 1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式.12. 已知△ ABC，以AC为边在△ ABC外作等腰△ ACD，其中AC=AD .(1) ____________________________________________________________________________________ 如图1,若Z DAC=2 Z ABC , AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则Z ABC= _________________________________ ;(2)如图2,若Z ABC=30 ° △ ACD是等边三角形，AB=3 , BC=4 .求BD的长；(3)如图3,若Z ACD为锐角，作AH丄BC于H .当BD2=4AH 2+BC2时，Z DAC=2 Z ABC是否成立？若不成立, 请说明你的理由；若成立，证明你的结论.213. 已知关于x 的方程mx2+ (3- 2m) x+ ( m- 3) =0，其中m>0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2，其中x1> x2, y=-求y与m的函数关系式;(3)在(2)的条件下，请根据函数图象，直接写出使不等式yw- m成立的m的取值范围.14. 已知：关于 x 的一元二次方程 x+ (n -2m ) x+m - mn=O ① (1) 求证：方程 ① 有两个实数根；(2) 若m - n -仁0,求证：方程 ① 有一个实数根为1;(3) 在(2)的条件下，设方程 ①的另一个根为a .当x=2时，关于m 的函数y i =nx+am 与y 2=x 2+a (n -2m ) x+m 2 -mn 的图象交于点 A 、B (点A 在点B 的左侧)，平行于y 轴的直线L 与y i 、y 2的图象分别交于点 C 、D .当L 沿 AB 由点A 平移到点B 时，求线段CD 的最大值.J1 1 1 Ly■y= ( 3- m ) x 2+2 ( m - 3) x+4m - m 2的顶点A 在双曲线yj 上，直线y=mx+b 经过点A , 与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C .(1) 确定直线AB 的解析式；(2) 将直线 AB 绕点O 顺时针旋转90°与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ,求sin / BDE 的值； (3)过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点 G ,点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N 在16.如图，AB 为O O 的直径，AB=4，点C 在O O 上，CF 丄OC ,且CF=BF .15.如图，已知抛物线 N 的坐标. / ANB=45。

中考难题数学试卷及答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，那么第10项an=？A. 29B. 32C. 35D. 38答案：C2. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的根为a和b，则a^2 + b^2的值为？A. 1B. 4C. 9D. 25答案：C3. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，那么∠C的度数为？A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°答案：C4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，那么f(2)的值为？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：D5. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点Q的坐标为？A. (2,3)B. (3,2)C. (3,3)D. (2,2)答案：B6. 若正方体的体积为64立方厘米，那么它的对角线长度为？A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米答案：C7. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,2)，那么a的值为？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B8. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=40°，那么∠C的度数为？A. 40°B. 50°D. 70°答案：B9. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度为？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A10. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，那么第5项an=？A. 18B. 54C. 162D. 486答案：B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

）11. 若等差数列{an}的首项为3，公差为2，那么第n项an=______。

答案：3 + 2(n-1)12. 已知方程x^2 - 4x + 3 = 0的根为a和b，那么ab的值为______。

中考数学经典难题

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F GC EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤l ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。

中考数学难题汇总

C'E D C B AP D C BAGF E DCB A 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处．（1）求'C DE ∠的度数；（2）求△'C DE 的面积．2．已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠A =90°，∠C =45°，BE ⊥DC 于E ，BC =5，AD :BC =2:5. 求ED 的长.3在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，过点C 作射线CP ∥AB ，在射线CP 上截取CD=2，联结AD ，求AD 的长．4．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，(1)求∠CBD 的度数； (2)求下底AB 的长.5．已知：如图，在□ABCD 中，∠ADC 、∠DAB 的平分线DF 、AE 分别与线段BC 相交于点F 、E ，DF 与AE 相交于点G ．（1）求证：AE ⊥DF ；（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．6．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠A=90°,∠C=45°，上底AD = 8，AB=12,CD 边的垂直平分线交BC 边于点G ，且交AB 的延长线于点E ，求AE 的长.A BCD GFEDCBA7．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，求FC 的长．EDA BC8.已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°. （1）利用图1，求证：P A =PB ；（2）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠，请借助图2补全图形，并求OP 的长.9．（本题满分4分）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF 的面积.（2）如图②，正方形ABCD 的边长为3，正方形CEFG 的边长为1, 求三角形DBF 的面积. （3）如图③，正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，求三角形DBF 的面积.从上面计算中你能得到什么结论.图1TNMBPOA 图2TN M B P O AC10．（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系,（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120求证：PA+PD+PC ＞BD11．已知：如图，在四边形ABCD 中， AD =B C ,∠A 、∠B 均为锐角．(1) 当∠A=∠B 时，则C D 与A B 的位置关系是CD AB ，大小关系是CD AB ； (2) 当∠A>∠B 时，（1）中C D 与A B 的大小关系是否还成立，证明你的结论．12．已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM .（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为；（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.CB B D CBA 图①图②C'E D C B AEB CDA 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AD AB ==，7BC =，点E 在BC 边上，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点'C 处．（1）求'C DE ∠的度数；（2）求△'C DE 的面积． .解：(1) 过点D 作DF BC ⊥于F . ∵ AD BC , 90B ∠=︒, AD AB =, ∴ 四边形ABFD 是正方形.∴4DF BF AB === , 3FC = --------1分在Rt DFC ∆中，2222435CD DF FC =+=+= ∴ '5C D =∵ AD FD =,90A DFC ∠=∠=︒, 'C D CD = ∴ 'AC D FCD ∆≅∆∴ 'ADC FDC ∠=∠ , '3AC FC == ----------------------------------2分 ∴ ''''90ADF ADC C DF FDC C DF C DC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∵ 'C DE CDE ∠=∠ ∴ '45C DE ∠=︒-----------------------------3分 (2) 设 EC x = ，则7BE x =- ，'C E x = ∵'3AC = ∴'1BC =在Rt 'BEC ∆中 22(7)1x x -+= 解方程，得 257x = ∴ '11255014722777C DE CDE S S EC DF ∆∆==⋅=⨯⨯== ---------------5分2．已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠A =90°，∠C =45°， BE ⊥DC 于E ，BC =5，AD :BC =2:5. 求ED 的长.解：作DF ⊥BC 于F ,EG ⊥BC 于G. …………………………1分 ∵∠A =90°，AD ∥BC ∴ 四边形ABFD 是矩形. ∵ BC =5,AD :BC =2:5.∴ AD=BF=2. ………………………………………..2分 ∴ FC=3.在Rt △DFC 中， ∵ ∠C =45°， ∴ DC=23.…………………………………………3分在Rt △BEC 中，P D C BA∴ EC =225……………………………………………….……………………………....4分 ∴ DE =2222523=-……………………………………………………………….5分3在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，过点C 作射线CP ∥AB ，在射线CP 上截取CD=2，联结AD ，求AD 的长．解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，过点C 作CF ⊥AB 于F ，则DE ∥CF ∵CP ∥AB ，∴四边形DEFC 是矩形---------------------------------------1分 ∵在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AB=6，CD=2 ∴AF=CF=12AB=3 ---------------------------------------2分 ∴EF=CD=2,DE=CF=3 --------------------------------------3分∴AE=1 --------------------------------------4分在△ADE 中，∠AED=90°,DE =3,AE=1 ∴----------------------------5分4．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，BC =2cm . (1)求∠CBD 的度数； (2)求下底AB 的长.解：∵AD BD ⊥, ∴︒=∠90ADB . ∵︒=∠60A ,∴︒=∠30ABD .………………………………1分 ∵AB ∥CD ,∴︒=∠=∠30CBD ABD .……………………2分 ∵BC=CD,∴︒=∠=∠30CBD CDB . ……………………3分 ∴︒=∠60ABC .ABCD FE P D CBAG F ED CB A∴ABCA∠=∠.∴梯形ABCD是等腰梯形.…………………4分∴AD=BC=2.在中，︒=∠90ADB，︒=∠30ABD，∴AB=2AD=4. ………………………………5分5．已知：如图，在□ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．：（1）在□ABCD中，AB DC∥，∴∠ADC+∠DAB=180°．DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，∴12ADF CDF ADC∠=∠=∠，12DAE BAE DAB∠=∠=∠．∴1()902ADF DAE ADC DAB∠+∠=∠+∠=︒．∴90AGD∠=︒．∴AE⊥DF．…………………………………………………………………2分（2）过点D作DH AE∥，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH．∴DH=AE=4，EH=AD=10.在□ABCD中，AD BC∥，∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．∴DC=FC，AB=EB．在□ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，∴CF=BE=6，BF=BC－CF=10－6=4．∴FE=BE－BF=6－4=2．…………………………………………………3分∴FH= FE+EH= 12．………………………………………………………4分6．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,∠C=45°，上底AD = 8，AB=12,CD边的垂直平分线交BC边于点G，且交AB的延长线于点E，求AE的长.解：联结DG………………………………………1分∵EF是CD的垂直平分线∴DG=CG………………………………………2分GFEDCBAHGF EDCBA∴∠GDC =∠C , 且∠C =45° ∴∠DGC=90°∵AD ∥BC,∠A=90° ∴∠ABC=90°∴四边形ABGD 是矩形………………………………………3分 ∴BG=AD=8∴∠FGC =∠BGE =∠E= 45°∴BE=BG=8 ………………………………………4分 ∴AE=AB+BE=12+8=20………………………………………5分7．如图，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =4，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，求FC 的长．E：由题意，得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. …………………………………… 1分在Rt △ADE 中，由勾股定理，得DE=3. …………………………………… 2分在矩形ABCD 中，DC=AB=5.∴CE=DC-DE=2. ………………………………………………………………… 3分设FC=x ，则EF=4-x.在Rt △CEF 中，()22242x x -=+. .…………………………………………… 4分解得23=x . ………5分即FC=23.8.已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°. （1）利用图1，求证：P A =PB ；（2）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠，请借助图2补全图形，并求OP 的长.N图2B（1）在OB 上截取OD =OA ，连接PD ，∵OP 平分∠MON ， ∴∠MOP =∠NOP ．又∵OA =OD ，OP =OP ，∴△AO P ≌△DO P ． ……………1分 ∴P A =PD ，∠1=∠2．∵∠APB +∠MON =180°， ∴∠1+∠3=180°． ∵∠2+∠4=180°， ∴∠3=∠4． ∴PD =PB ．∴P A =PB ． …………… 2分（2）作BE ⊥OP 交OP 于E ，∵∠AOB =600，且OP 平分∠MON ， ∴∠1=∠2=30°．∵∠AOB +∠APB =180°， ∴∠APB =120°． ∵P A =PB ，∴∠5=∠6=30°． ∵∠3+∠4=∠7，∴∠3+∠4=∠7=(180°-30°)÷2=75°． ∵在Rt △OBE 中，∠3=600，OB =2∴∠4=150，OE =3，BE =1 ∴∠4+∠5=450，∴在Rt △BPE 中，EP =BE =1∴OP =13+ …………… 8分9．（本题满分4分）（1）如图①两个正方形的边长均为3，求三角形DBF 的面积.（2）如图②，正方形ABCD 的边长为3，正方形CEFG 的边长为1, 求三角形DBF 的面积. （3）如图③，正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，求三角形DBF 的面积.7612435ECAOPBM NTD 1234AO PBMNT（1）92 92………………………（2分）（2）22a …………（2分）结论是：三角形DBF 的面积的大小只与a 有关，与b 无关. （没写结论也不扣分）从上面计算中你能得到什么结论.10．（本小题满分7分）已知：等边三角形ABC（2）如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数量关系,（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC ＞BD猜想：AP=BP+PC ------------------------------1分（1）证明：延长BP 至E ，使PE=PC ，联结CE ∵∠BPC=120°∴∠CPE=60°，又PE=PC ∴△CPE 为等边三角形∴CP=PE=CE ，∠PCE=60° ∵△ABC 为等边三角形 ∴AC=BC ，∠BCA=60°CB CB P DB ∴∠ACB=∠PCE ，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP 即：∠ACP=∠BCE∴△ACP ≌△BCE∴AP=BE --------------------------------- ------------------------------------------2分 ∵BE=BP+PE∴AP=BP+PC ------------------------------------ ---------------------------------------- 3分（2）方法一：在AD 外侧作等边△AB ′D ---------------------------------------------------------- 4分则点P 在三角形ADB ′外∵∠APD=120°∴由（1）得PB ′=AP+PD 在△PB ′C 中，有PB ′+PC ＞CB ′，∴PA+PD+PC ＞CB ′ ∵△AB ′D 、△ABC 是等边三角形 ∴AC=AB ，AB ′=AD ，∠BAC=∠DA B ′=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAB ′+∠CAD即：∠BAD=∠CAB ′ ∴△AB ′C ≌△ADB∴C B ′=BD ------------------------------------------------------------------------ 6分 ∴PA+PD+PC ＞BD ------------------------------------------------------------------------- 7分方法二：延长DP 到M 使PM=PA ，联结AM 、BM ∵∠APD=120°，∴△APM 是等边三角形， -----------------------------4分∴AM=AP ，∠PAM=60° ∴DM=PD+PA ------------------------------5分∵△ABC 是等边三角形 ∴AB=AC ，∠BAC=60° ∴△AMB ≌△APC∴BM=PC ---------------------------------------------------------------------------------6分在△BDM 中，有DM + BM ＞BD ，∴PA+PD+PC ＞BD ----------------------------------------------------------------------------7分11．已知：如图，在四边形ABCD 中， AD =B C ,∠A 、∠B 均为锐角．(3) 当∠A=∠B 时，则C D 与A B 的位置关系是CD AB ，大小关系是CD AB ； (4) 当∠A>∠B 时，（1）中C D 与A B 的大小关系是否还成立，证明你的结论．）答：如图1，D CBA M P D CB ACD ∥AB ，C D <A B ． …………2分（2）答：C D <A B 还成立． …………3分证法1：如图2，分别过点D 、B 作BC 、C D 的平行线，两线交于F 点．∴ 四边形DCBF 为平行四边形．∴.,FB DC BC FD ==∵ AD =B C ，∴ AD =FD ． …………4分作∠ADF 的平分线交A B 于G 点，连结GF ． ∴ ∠ADG =∠FDG ．在△ADG 和△FDG 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DG DG FDG ADG FD AD ∴ △ADG ≌△FDG ．∴ AG =FG ． …………5分 ∵在△BFG 中，BF BG FG >+．∴ .DC BG AG >+ …………6分 ∴ DC <A B ． …………7分证法2：如图3，分别过点D 、B 作A B 、AD 的平行线，两线交于F 点．∴ 四边形DABF 为平行四边形．∴ .,BF AD AB DF ==∵ A D =B C ， ∴ B C =BF ．作∠CBF 的平分线交DF 于G 点，连结C G ．以下同证法112．已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°，点M 是CE 的中点，连接BM .（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，并延长DM 交BC 于点N ，可探究得出BD 与BM 的数量关系为；（2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.MECBAD解：(1)BD=2BM. ……………………………………………………………………………2分图①图②NMDECABABCD E F(2)结论成立.证明:连接DM ，过点C 作CF ∥ED ，与DM 的延长线交于点F ，连接BF ，可证得△MDE ≌△MFC.………………………………… 3分 ∴DM=FM, DE=FC. ∴AD=ED=FC.作AN ⊥EC 于点N. 由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，可证得∠1=∠2, ∠3=∠4.……………………………4分 ∵CF ∥ED ，∴∠1=∠FCM.∴∠BCF=∠4+∠FCM =∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD.∴△BCF ≌△BAD. …………………………………………………………………………5分 ∴BF=BD ，∠5=∠6.∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°.∴△DBF 是等腰直角三角形. ………………………………………………………………6分 ∵点M 是DF 的中点，则△BMD 是等腰直角三角形.∴BD=2BM. …………………………………7分（说明：以上答案仅供参考，若有不同解法，只要过程和解法都正确，可相应给分．）13．(海淀)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且AC ⊥AB ，求AB 的长．14丰台.已知:如图，在四边形ABFC 中，ACB ∠=90°,BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE.(1) 求证：四边形BECF 是菱形；(2) 当A ∠的大小为多少度时,四边形BECF 是正方形？A DCBDC BA ABC DA B CD15．如图，梯形ABCD 中, AD //BC , ∠ABC =45︒ , ∠ADC =120︒ , AD =DC , AB =22, 求BC的长.16西城．已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，∠BAC=105°，AD =CD =4．求BC 的长．17.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分）DC B A图① 图② （1）已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；19崇文．（本小题满分８分）在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时=LQ；（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q= （用x、L表示）．20.海淀．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30︒,∠ADB=∠BEC=60︒.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30︒，∠ADB=∠BEC=60︒，原问题中的其他条件不变，你在ABC DEF （1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB =∠BEC =2∠ABC , 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图1 图2 图313．(海淀)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且AC ⊥AB ，求AC 的长．解：过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则∠AED =∠DEC =90°.………….……………………1分 ∵ AC ⊥AB ，∴ ∠BAC =90°. ∵ ∠B =60°,∴ ∠ACB =30°.∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC =∠ACB =30°.………….……………………2分∴ 在Rt △ADE 中，DE =12AD =3，AE =，∠ADE =60°. ….………3分 ∵ ∠ADC=105°，∴ ∠EDC =45°.∴ 在Rt △CDE 中， CE =DE =3.…………….……………………………4分∴ AC =AE +CE =3.14丰台.已知:如图，在四边形ABFC 中，ACB ∠=90°,BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE.(3) 求证：四边形BECF 是菱形；BECAD FDACE FBEFCBAD ADCB ADCBEAB CDEF(4) 当A ∠的大小为多少度时,四边形BECF 是正方形？⑴∵ EF 垂直平分BC,∴CF=BF,BE=CE ，∠BDE=90° …………………………1’又∵ ∠ACB=90°∴EF ∥AC∴E 为AB 中点，即BE=AE ………………………………2’ ∵CF=AE ∴CF=BE∴CF=FB=BE=CE …………………………………………3’ ∴四边形是BECF 菱形. …………………………………4’ ⑵当∠A= 45°时，四边形是BECF 是正方形. …………5’15．如图，梯形ABCD 中, AD //BC , ∠ABC =45︒ , ∠ADC =120︒ , AD =DC , AB =22, 求BC的长.16西城．已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，∠BAC=105°，AD =CD =4．求BC 的长．作AE ∥DC 交BC 于点E ，AF ⊥BC 于点F （如图2）． ······································· 1分∵AD ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形． ······················································ 2分 ∵AD=CD ，∴四边形ADCE 是菱形． ∴ AE=EC =CD=AD =4． ······················ 3分 ∴∠EAC ＝∠ACB ，∵∠B=45°，∠BAC=105°，∴∠ACB=180°－∠B －∠BAC=30°．∴∠AEB =∠EAC ＋∠ACB =60°．在Rt △AEF 中，221==AE EF ，323==EF AF ． ··························· 4分 DC B AD AB C E F 图2DC BA ABC DA B CD在Rt △ABF 中，32==BF AF ．∴BC =BF ＋EF ＋EC =326+．························································ 5分17.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.图1 图2 图318. 朝阳（本小题8分）图① 图② （1）已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AC=BC，∴∠A＝∠B＝45°.以CE为一边作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF=CB，则CF=CB=AC. 图①连接DF、EF，则△CFE≌△CBE. ………………………………………………1分∴FE=BE，∠1＝∠B＝45°.∵∠DCE＝∠ECF＋∠DCF＝45°，∴∠DCA＋∠ECB＝45°.∴∠DCF＝∠DCA.∴△DCF≌△DCA. ……………………………………………………………2分∴∠2＝∠A＝45°，DF＝AD.∴∠DFE＝∠2＋∠1＝90°.∴△DFE是直角三角形.又AD=DF，EB=EF，∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形. ……………………………4分（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能如图②，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA.∴AD=DF，EF=BE.图②∴∠DFE＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＝120°. ……………………………………5分若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE.∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形. ……………6分且顶角∠DFE为120°.19崇文．（本小题满分８分）在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时=LQ；（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．解：（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时32=L Q ．（II ）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．CD BD =,且 120=∠BDC ．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又ABC ∆是等边三角形，∴90MBD NCD ∠=∠=．在MBD ∆与ECD ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM∴≅∆MBD ECD ∆(SAS) ． ∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN在MDN ∆与EDN ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴≅∆MDN EDN ∆(SAS) ∴MN=NE=NC+BMAMN ∆的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB而等边ABC ∆的周长L=3AB∴3232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= 2x +L 32（用x 、L 表示）．25．怀柔如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF 、BD 之间的位置关系为，数量关系为．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？A B C D E F图1 图2 FE D C B AF E D C B A 图3（2）①如果AB=AC ，∠BAC≠90º，点D 在射线BC 上运动．在图4中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；②如果∠BAC=90º，AB≠AC ，点D 在射线BC 上运动．在图5中同样作出正方形ADEF ，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；答：（3）要使（1）问中CF ⊥BC 的结论成立，试探究：△ABC 应满足的一个．．条件，（点C 、F 重合除外）？画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；（1）①CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等；……1分②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．由正方形ADEF得AD=AF ，∠DAF=90º．∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ，∴∠DAB=∠FAC.又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC.∴CF=BD.∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90º，AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD.……………3分（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立.②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立.……4分（3）当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图6）．理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG.可证：△GAD≌△CAF∴∠ ACF=∠AGD=45º .∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD.…………………………………5分图620.海淀．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB=90︒, ∠ABC=45︒，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90︒，连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC =30︒,∠ADB =∠BEC =60︒. 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系；（2）如图2，若∠ABC =30︒，∠ADB =∠BEC =60︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB =∠BEC =2∠ABC , 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图1 图2 图3解: （1）DF= EF . ………………………………………………………………1分（2）猜想：DF= FE .证明：过点D 作DG ⊥AB 于G , 则∠DGB =90︒. ∵ DA =DB , ∠ADB =60︒.∴ AG =BG , △DBA 是等边三角形. ∴ DB =BA .∵ ∠ACB =90︒ , ∠ABC =30︒,∴ AC =21AB =BG . …………………………………………………………2分 ∴ △DBG ≌△BAC .∴ DG =BC . ……………………………………………………3分 ∵ BE=EC , ∠BEC =60︒ , ∴ △EBC 是等边三角形. ∴ BC =BE , ∠CBE =60︒.∴ DG = BE , ∠ABE =∠ABC +∠CBE =90︒ . ∵ ∠DFG =∠EFB , ∠DGF =∠EBF , ∴ △DFG ≌△EFB .∴ DF= EF . ……………………………………………………4分（3）猜想：DF= FE .证法一：过点D 作DH ⊥AB 于H , 连接HC , HE , HE 交CB 于K , 则∠DHB =90︒. ∵ DA =DB ,∴ AH =BH , ∠1=∠HDB .∵ ∠ACB =90︒, ∴ HC =HB .BECAD FDACE FBEFCBAD K H BFECAD 2431∵ EB =EC , HE =HE ,∴ △HBE ≌△HCE . ……………………………5分 ∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH . ∴ HK ⊥BC .∴ ∠BKE =90︒. ……………………………6分 ∵ ∠ADB =∠BEC =2∠ABC , ∴ ∠HDB =∠BEH =∠ABC .∴ ∠DBC =∠DBH +∠ABC =∠DBH +∠HDB =90︒，∠EBH =∠EBK +∠ABC =∠EBK +∠BEK =90︒. ∴ DB //HE , DH //BE .∴ 四边形DHEB 是平行四边形.∴ DF =EF . ………………………………………………………………………7分证法二：分别过点D 、E 作DH ⊥AB 于H , EK ⊥BC 于K , 连接HK , 则∠DHB =∠EKB =90︒.∵ ∠ACB =90︒,∴ EK //AC .∵ DA =DB , EB =EC ,∴ AH =BH , ∠1=∠HDB ,CK =BK , ∠2=∠BEK .∴ HK //AC . ∴ 点H 、K 、E 在同一条直线上. …………………5分D A CE F B H K 12。

中考数学经典难题集锦

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：1≤L ＜中考数学经典难题集锦2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a4、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．。

初三数学难题精选答案及讲解

1、如果将点P 绕定点M 旋转180°后与点Q 重合，那么称点P 与点Q 关于点M 对称，定点M 叫做对称中心。

此时，M 是线段PQ 的中点。

如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点A ，B ，O 的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）。

点列P 1，P 2，P 3，…中的相邻两点都关于△ABO 的一个顶点对称：点P 1与点P 2关于点A 对称，点P 2与点P 3关于点B 对称，点P 3与点P 4关于点O 对称，点P 4与点P 5关于点A 对称，点P 5与点P 6关于点B 对称，点P 6与点P 7关于点O 对称…对称中心分别是A ，B ，O ，A ，B ，O ，…，且这些对称中心依次循环。

已知点P 1的坐标是（1，1），则点P 2017的坐标为。

解：P 2的坐标是（1，-1），P 2017的坐标是（1，-1）。

理由：作P 1关于A 点的对称点，即可得到P 2（1，-1），P 3（-1，3），P 4（1，-3），P 5（1，3），P 6（-1，-1），又回到原来P 1的坐标，P 7（-1，-1）；由此可知，每6个点为一个周期，作一次循环，2017÷6＝336…1，循环了336次后又回到了原来P 1的坐标，故P 2017的坐标与P 1的坐标一样为（1，1）。

点评：此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P 的坐标每6个一循环是解题关键．2、如图①，已知△ABC 是等边三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且DE=EC ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转60°至△ACF ，连接EF 。

试证明：AB=DB+AF 。

【类比探究】（1）如图②，如果点E 在线段AB 的延长线上，其它条件不变，线段AB 、DB 、AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由。

（2）如果点E 在线段BA 的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB ，DB ，AF 之间数量关系，不必说明理由。

初中数学难题精选(附答案)

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）APCDB AFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、NBC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．D2C2B2A2D1C1B1C BD AA1B经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）F3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．FP DE CBAA2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC 上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

初中数学经典难题(含答案)

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．经典难题（一）1、2、3、4、经典难题（二）1、2、4、经典难题（三）1、3、4、1、2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示则S △ADE =21S ABCD =S △DFC ∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC1、2、3、3、4、。

中考数学经典难题集锦

经典难题(一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB,EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．(初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．(初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中,AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证:∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点）,O（1)求证：AH ＝2OM ； (2）若∠BAC ＝600,求证:AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证:AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证:AP ＝AQ ．(初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二经典难题(三1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．(初二)3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点,PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证:PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三)经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求:∠APB 的度数．(初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy(托勒密)定理：设ABCD 为圆内接凸四边形,求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二)经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证:1≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC ∠EBA ＝200,求∠BED 的度数．。

中考巨难数学试卷及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1，若f(x)在x=1处的切线斜率为k，则k的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：由导数的定义，f'(x) = 6x^2 - 6x + 4，代入x=1得f'(1) = 6 - 6 + 4= 4，所以切线斜率k=4。

2. 在等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则第10项an的值为：A. 19B. 20C. 21D. 22答案：A解析：由等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，得an= 1 + (10-1)×2 = 1 + 18 = 19。

3. 已知三角形ABC中，AB=AC，BC=4，则角A的正弦值为：A. 1/2B. √2/2C. √3/2D. 1答案：C解析：由勾股定理，AB=AC=√(BC^2/4) = √(4^2/4) = √4 = 2。

在直角三角形ABC中，sinA = 对边/斜边 = BC/AB = 4/2 = 2。

4. 若复数z满足|z-1|+|z+1|=4，则复数z对应的点在复平面上的轨迹是：A. 矩形B. 等腰梯形C. 矩形D. 等腰梯形答案：B解析：由复数的几何意义，|z-1|表示点z到点(1,0)的距离，|z+1|表示点z到点(-1,0)的距离。

因为|z-1|+|z+1|=4，所以点z到这两个点的距离之和为4，对应的轨迹是一个等腰梯形。

5. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f'(2) = 6，则a+b+c的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B解析：由导数的定义，f'(x) = 2ax + b，代入x=2得f'(2) = 4a + b = 6。

又因为f(1) = a + b + c = 2，解得a+b+c=3。

二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像与x轴的交点坐标为______。

中考数学试卷超难题

1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a > 0D. a < 02. 若等差数列{an}的公差d=2，且前n项和S_n = 2n^2 + n，则数列{an}的通项公式是（）A. an = n + 1B. an = n + 2C. an = 2n + 1D. an = 2n3. 在平面直角坐标系中，若点A(2,3)，B(-1,1)，C(m,2m)共线，则m的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 24. 已知等比数列{an}的公比q=2，且前n项和S_n = 2^n - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^(n-1) - 1C. an = 2^n + 1D. an = 2^(n-1) + 1二、填空题（每题4分，共16分）5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=-1时取得最小值，则a，b，c的关系是______。

6. 若等差数列{an}的首项a_1 = 3，公差d = 2，则第10项a_10 = ______。

7. 已知点P(1,2)，Q(x,y)在直线y=2x-1上，且PQ的中点坐标为(3,2)，则x=______。

8. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处取得极值，则该极值为______。

三、解答题（每题12分，共36分）9. （12分）已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（a≠0）的图像如图所示，且f(-1) = 0，f(1) = 0。

（1）求a，b，c，d的值。

（2）若函数g(x) = f(x) + x^2 - 2x，求g(x)的极值。

10. （12分）已知等差数列{an}的首项a_1 = 1，公差d = 2，等比数列{bn}的首项b_1 = 1，公比q = 2。

初三数学题目大全难题

初三数学题目大全难题初三的小伙伴们呀，今天咱就来唠唠那些让人又爱又恨的数学难题。

一、函数相关难题函数在初三数学里那可是个大头啊。

比如说二次函数的综合题，它就像一个多变的小怪兽。

有时候呢，它会让你求二次函数的解析式，这可不是简单的把数字往公式里一套就行哦。

它可能会给你几个点的坐标，但是这些点的坐标就像是藏在迷宫里一样，你得先在脑海里把二次函数的图像想出来，然后再去分析这些点和函数的关系。

像那种已知顶点坐标和另外一个点坐标求解析式的题，你要是没搞清楚顶点式是怎么回事，那可就真的要被它绕晕啦。

还有二次函数和几何图形结合的题，这就更复杂啦。

二次函数的抛物线可能会和三角形、四边形纠缠在一起。

它会问你什么时候三角形的面积最大呀，或者四边形是特殊四边形时函数的参数是多少。

这时候你就得把几何图形的性质和函数的知识都拿出来，在脑袋里不停地捣鼓，就像厨师在做一道超级复杂的菜肴，各种调料（知识）都要恰到好处才行。

二、几何难题几何难题也是初三数学的大麻烦。

圆的题目就特别让人头疼。

圆里的切线问题，就像两个调皮的小朋友在玩捉迷藏。

你得先找到圆心到切线的距离等于半径这个关键线索。

然后还有圆中的角度问题，圆周角、圆心角那些关系，就像是一张密密麻麻的蜘蛛网，一不小心就会被困在里面。

比如说一个圆里有好多条弦，然后让你求某个圆周角的度数，你得先找出和这个圆周角相关的圆心角或者其他圆周角，这中间要经过好多弯弯绕绕。

三角形的相似问题在初三几何里也不简单。

要判断两个三角形相似，那条件可多了。

有时候是两角对应相等，有时候是三边对应成比例。

可这些条件不会明明白白地摆在你面前呀，你得自己去挖掘。

就像寻宝一样，你得在图形里找那些隐藏的线索，可能是一条小小的平行线，也可能是一个看起来不起眼的角。

三、方程与不等式难题方程和不等式的难题也不少呢。

一元二次方程的根的判别式相关的题目，就像一个神秘的魔法盒。

它会告诉你方程有两个相等的根或者没有实数根，然后让你求方程里的参数。

初中数学难题精选(附答案)

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）APCDB AFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、NBC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．D2C2B2A2D1C1B1C BD AA1B经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A与D、E，直线EB与CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）F3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．FP DE CBAAPCB2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC 上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

中考数学难题集锦

中考数学难题集锦难题一：甲、乙两个机器同时开始工作。

甲每分钟可以工作4件产品，乙每分钟可以工作6件产品。

请问，甲、乙两个机器同时工作10分钟，能生产多少件产品？解析：甲每分钟可以生产4件产品，那么在10分钟内甲可以生产4x10=40件产品。

同样地，乙每分钟可以生产6件产品，所以在10分钟内乙可以生产6x10=60件产品。

因此，甲、乙两个机器同时工作10分钟，总共可以生产40+60=100件产品。

难题二：若一个角的余弦值等于0.6，那么这个角的弧度值是多少？解析：根据三角函数的定义，余弦值等于邻边长度与斜边长度的比例。

假设该角对应的直角边长为x，斜边长为1。

根据勾股定理，可得到x2+12=1，即x^2=0，所以x=0。

因此，该角的弧度值为0。

难题三：一个立方体的边长为a，体积为V，若将该立方体的体积增加到原来的8倍，边长变为原来的一半，求增加后的体积。

解析：原立方体的体积为V，边长为a。

增加后的立方体边长为a/2，体积为8V。

我们可以通过体积的公式得到方程：(a/2)3=8V。

将等式两边同时开立方，得到a3/8=8V，化简为a^3=64V。

所以，增加后的体积为64V。

难题四：某商场原价为100元的商品打六折促销，然后进行满减活动，满200元减20元。

问若购买者购买该商品2件，实际需要支付的金额是多少？解析：首先，打六折，原价100元的商品会有60元的折扣，所以每件商品的价格为100-60=40元。

购买2件商品的总价为2x40=80元。

然后，根据满减活动，若满200元减20元，则购买者需要支付的金额为总价80元-20元=60元。

难题五：若正方形的边长为x，那么它的对角线长度是多少？解析：正方形的对角线可以看作是直角三角形的斜边。

直角三角形的两条直角边分别为正方形的边长，假设为x。

根据勾股定理，可得对角线的长度为√(x2+x2)=√(2x^2)=x√2。

以上是一些中考数学的难题集锦及其解析。

这些题目涵盖了各个考点，帮助学生通过解题训练提高数学思维和解题能力。

初三中考数学压轴难题有答案

1．矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4．（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．2．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为 2 ，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N 的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．3．问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C 分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝ 2 CD，从而得出结论：AC＋BC＝ 2 C D．简单应用：（1）在图①中，若AC＝ 2 ，BC＝2 2 ，则CD＝___________．（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，⌒AD＝⌒BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的长．拓展规律：（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）（4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足AE＝13AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是_______________________．4．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC ＝b，AB＝c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠P AB＝1，c＝4 2 时，a＝_________，b＝_________；如图2，当∠P AB＝30°，c＝2时，a＝_________，b＝_________；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，□ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3 5 ，AB＝3，求AF的长．1．如图，抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A（－1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，－3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为___________（面积单位）．2．如图，点A为函数y＝9x（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝1x（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为_____________．3．书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是_____________．4．已知抛物线y＝ax2－4ax＋c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3．将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P的坐标为_________________．5．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A 、B 、C 三点的坐标为（ 3 ，0）、（3 3 ，0）、（0，5），点D 在第一象限，且∠ADB ＝60°，则线段CD 的长的最小值为____________．6．若直线y ＝m （m 为常数）与函数y ＝ ⎩⎨⎧x 22(x ≤2)4x (x ＞2) 的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是_____________．7．如图，在正方形ABCD 外侧作直线DE ，点C 关于直线DE 的对称点为M ，连接CM ，AM ．其中AM 交直线DE 于点N ．若45°＜∠CDE ＜90°，则当MN ＝4，AN ＝3时，正方形ABCD 的边长为_____________．8．如图1，在平面直角坐标系中，将▱ABCD 放置在第一象限，且AB ∥x 轴．直线y ＝－x 从原点出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示，那么AD 的长为 ______________．9．如图，已知A 、C 是半径为2的⊙O 上的两动点，以AC 为直角边在⊙O 内作等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，连接OB ，则OB 的最小值为__________．10．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，BC ＝3，D 为BC 边上的三等分点，BD ＝2CD ，E 为AB 边上一动点，将△DBE 沿DE 折叠到△DB ′E 的位置，连接AB ′，则线段AB ′的最小值为：_________．11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_________．12．如图，矩形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点P 在矩形ABCD 内．若AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AE ＝CG ＝3cm ，BF ＝DH ＝4cm ，四边形AEPH 的面积为5cm 2，则四边形PFCG 的面积为___________________．OCBA14．在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB ＝5，BC ＝6，则CE ＋CF 的值为_____________．15．已知：直线y ＝－ n n ＋1x ＋ 2n ＋1 （n 为整数）与两坐标轴围成的三角形面积为s n ，则s 1＋s 2＋s 3＋…s n ＝___________________．16．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则AP 的长为___________．18．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y ＝x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1 、S2、S 3 、…、S n ，则S n 的值为________．（用含n 的代数式表示，n 为正整数）AB CD19．如图，E 是正方形ABCD 内一点，E 到点A 、D 、B 的距离EA 、ED 、EB 分别为1、3 2 、2 5 ，延长AE 交CD 于点F ，则四边形BCFE 的面积为________________．20．如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（7，3），点E 在边AB 上，且AE ＝1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP ，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H ，在点P 从点F （0，254）运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为____________．21．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =2，P 是△ABC 所在平面内一点，且满足P A ⊥PB ，则PC 的取值范围为．22．已知一次函数y =－43x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，现有点M （m ，－m ），N （m ＋3，－m －4）则当四边形MNAB 周长最小时，m ＝____________．23．如图，四边形ABCD 的顶点都在坐标轴上，若AD ∥BC ，△ACD 与△BCD 的面积分别为10和20，若双曲线y ＝k x恰好经过边AB 的四等分点E （BE ＜AE ），则k 的值为____________．1.（1）16 设AM=x，则MD=4-x，得S=2(x-2)2+8,故当x=0或4时面积最大。