f分布t分布与卡方分布

f分布t分布与卡方分布Last revision on 21 December 2020

§ 常用的分布及其分位数

1. 卡平方分布

卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑i

i X 2

的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的

分布密度 p(z )=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>⎪

⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00

,2212122其他z e x n z

n n 式中的⎪⎭

⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞

+--01

2

，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛Γ21=π。2χ分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令

Y=X 21+X 22+…+X 2n

，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n

+ X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且 X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n

Y

X

的分布称为自由度等

于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度 P(z)=

)()(221

n n n ΓΓ+2121+-

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+n n z 。 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这

时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=

m

Y

n

X 的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度

p(z)=⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫

⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m

m n n 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度

的次序有关，当Z ～F (n , m )时，Z

1

～F (m ,n )。

4. t 分布与F 分布的关系 若X ～t(n )，则Y=X 2

～F(1,n )。 证：X ～t(n )，X 的分布密度p(x )=

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛Γ⎪

⎭⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π21

21+-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+n n x 。 Y=X 2的分布函数F Y (y ) =P{Y

当y ≤0时，F Y (y)=0，p Y (y )=0；

当y >0时，F Y (y ) =P{-y

=x d x p y y

)(⎰-

=2x d x p y

)(0⎰，

Y=X 2

的分布密度p Y (y )=

2

1)(121221212n y n y n n n

n ++-⎪

⎭⎫

⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪

⎭⎫ ⎝⎛+Γ•，

与第一自由度等于1、第二自由度等于n 的F 分布的分布密度相同，因此Y=X 2

～F(1,n )。

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：

4. 常用分布的分位数

1）分位数的定义

分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：

当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数α满足0 <α<1

时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα，

上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ，

双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=α的数λ1、使

P{X>λ2}=1-F(λ2)=α的数λ2。

因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；

F(λ1)=α，1-F(λ2)=α，所以双侧α分位数λ1就是α分位数x α，双侧α分位数λ2就是α分位数xα。

2）标准正态分布的α分位数记作uα，α分位数记作uα，α分位数记作uα。

当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F 0,1(uα)=α，

P{X

P{X

根据标准正态分布密度曲线的对称性，

当α=时，uα=0；

当α<时，uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u1-α，然后得到uα=-u1-α。

论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< uα}= F 0,1 (uα)=α，

P{X< u1-α}= F 0,1 (u1-α)=1-α，

P{X> u1-α}=1- F 0,1 (u1-α)=α，

故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。

例如，u =-u =，

u =-u =，

u =-u =，

u =-u =，

u =-u =。

又因为P{|X|< uα}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u α和-uα。

标准正态分布常用的上侧α分位数有：

α=，u =；

α=，u =；

α=，u =；

α=，u =；

α=，u =。

χα(n)。

3）卡平方分布的α分位数记作2

χα(n)>0，当X～2χ(n)时，P{X<2χα(n)}=α。

2

χ(4)=，2χ(4)=，

例如，2

χ(4)=，2χ(4)=，

2

χ(4)=，2χ(4)=。

2

4）t分布的α分位数记作tα(n)。

当X～t(n)时，P{X

tα(n)=-t1-α(n)，论述同uα=-u1-α。