线性系统的稳定性
§3-5线性系统稳定性及稳定判据
K* 0
560- K* 0
14 0 K* 560 即 0 K 14
若要求闭环极点 s平在面上全部位s 于1垂线之,左 则令s s1 1,代入原特征方 ,得程
s13 11s12 15s1 ( K * 27) 0 相 应 的Ro uth表 为
s13 s12
s 11
s10 则解得
或其特征根全部位于s平面的左半部。
例. 试判断系统 C(S)
1
的稳定性。
R(S) S 3 4S 2 5S 2
解:
32 S 4S
5S 2 0
2
2
(S 1)(S 3S 2) (S 1) (S 2) 0
S1 -1, S2 -1, S3 -2 由 于 三 个 特 征 根 都 具负有实 部,
00 n 0 0
an-1 an-3 0 an an-2 0
0 0
0
00 00 00
0 0 a0 0 0 0 a1 0 0 0 a2 a0
例: 设系统的特征方程式为2s4 s3 3s2 5s10 0, 试用胡尔维茨判据
判断该系统的稳定性。
解: 1 50 0
2 3 10 0 4 0 1 5 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
s4
1
1
1
s3
2
2
s2 0(用代替） 1
当ε→0时s1， s0
2
2
， 该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改
1
2 2 0
例设系统的特征方程为 s3 3s 2 0
试应用判据判别实部为正的特征根的个数。
解
s3
1
-3
改变一次
s2 0
线性系统的稳定性分析
将 0.2,n 86.6代入特征方程得
s3 34.6s2 7500s 7500K 0
由特征方程列劳斯表
s3
1
7500
s2 34.6
s1 346 7500 7500K
34.6
s0 7500K
7500K
要使系统稳定，必须满足
7500K 0
解不等式得
34.6 7500 7500K 0 34.6
3.线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环 系统特征方程的所有根都具有负实部。这个 结论好像也不新鲜。有意义吗？
二、劳斯稳定判据
由以上讨论可知：判稳先求根。但是， 对高阶系统，在求根时将会遇到较大的困 难。人们希望寻求一种不需要求根而能判 别系统稳定性的间接方法，例如:直接用系 数就可以判断系统的稳定性。而劳斯判据 就是其中的一种。
号（正值）时，则系统是稳定的，否则系统是 不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第 一列系数符号改变的次数。
注意：a0>0
例1：已知系统的特征方程如下,试用劳斯判据分析系统的稳定性。
s5 6s4 14s3 17s2 10s 2 0
解 列劳斯表 s5
1
14
10
s4
6
17
2
s3
6 14 117 67
2.物理意义上的稳定概念
A'
Af
f A
图a 摆运动示意图 （稳定系统）
图b 不稳定系统
d c
f A
图c 小范围稳定系统
3.数学意义上的稳定概念
根据上述稳定性的定义，可以用 (t) 函数作 为扰动来讨论系统的稳定性。
设线性定常系统在初始条件为零时，输入一 个理想单位脉冲 ， (这t) 相当于系统在零平衡状态 下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞ 时，系统的输出响应c(t)收敛到原来的零平衡状 态，即
信号与系统线性系统的稳定性
信号与系统线性系统的稳定性线性系统的稳定性一、系统的因果性因果系统(连续的或离散的)指的是,系统的零状态响应不出现于激励之前的系统。
也就是说,对于(或)接入的任意激励,即对于任意的,(或) (8.7-1)如果系统的零状态响应都有,(或)(8.7-2)就称该系统为因果系统,否则称为非因果系统。
连续因果系统的充分必要条件是:冲激响应(8.7-3a)或者,系统函数的收敛域为 8.7-3b即其收敛域为收敛坐标以右的半平面,换言之,的极点都在收敛轴的左边。
离散因果系统的充分必要条件是:单位序列响应为(8.7-4a)或者,系统函数的收敛域为 (8.7-4b)即其收敛域为半径等于的圆外区域,换言之,的极点都在收敛圆内部。
现在证明连续因果系统的充要条件。
设系统的输入,显然在时,这时的零状态响应为,所以若系统是因果的,则必有。
因此,式(8.7-3a)是必要的。
但式(8.7-3a)的条件能否保证对所有满足式(8.4-1)的激励,都能满足式(8.4-2),即其充分性还有待证明。
对任意激励系统的零状态响应等于与的卷积,考虑到时,有如果满足式(8.4-3a),即有,那么当,上式为,当时,上式为即时,。
因而式(8.4-3a)的条件也是充分的。
根据拉普拉斯变换的定义,如果满足式(8.4-3a),则即式(8.4-3b)。
离散因果系统的充要条件的证明也上类似,这里从略。
二、系统的稳定性在研究和设计各类系统中,系统的稳定性十分重要。
譬如,某连续时间系统的系统函数为当输入为单位阶跃函数时,系统零状态响应的象函数为考虑到,取上式的拉普拉斯变换,得上式的前两项是和衰减函数,此外还有一个正指数项,在较小时,这个正指数项可以忽略不计,可是,当很大时,这个正指数项超过其他项并随着的增长而不断增大。
实际的系统不会是完全线性的,这样,很大的信号将使设备工作在非线性部分,放大器的晶体管会饱和或截止,一个机械系统可能停止或发生故障等等。
这不仅使系统不能正常工作,有时还会发生损坏和危险,如烧毁设备等。
线性和非线性系统的稳定性和控制
线性和非线性系统的稳定性和控制在控制系统中，线性和非线性系统是常见的两种形式。
线性系统具有可加性和比例性质，非线性系统则不满足这些性质。
在这篇文章中，我们将探讨线性和非线性系统的稳定性和控制，以及它们之间的差异。
1. 线性系统的稳定性和控制在线性系统中，当系统的输入和输出之间的关系满足线性方程时，我们可以使用线性的控制方法来调节其行为。
例如，当我们使用一个比例控制器来调节温度时，我们假设系统的响应是线性的。
这意味着，如果我们两倍地增加控制器的输出，系统的响应也会两倍增加。
线性系统的稳定性可以用传输函数的极点和零点来分析。
当传输函数的所有极点实部都小于零时，系统是稳定的。
如果有任何一个极点的实部大于零，系统就是不稳定的。
我们可以使用各种线性控制器来稳定系统，例如比例控制器、积分控制器和微分控制器。
2. 非线性系统的稳定性和控制对于非线性系统，它们的行为是更加复杂的。
它们不具有可加性和比例性质，这意味着我们无法使用线性控制方法来调节系统行为。
例如，在一个非线性电路中，如果我们将输入信号的幅度加倍，输出信号的幅度可能会非常不同。
非线性系统的稳定性也比线性系统更加复杂。
我们不能简单地使用传输函数的极点和零点来分析系统的稳定性。
相反，我们需要使用更高级的数学工具，例如李雅普诺夫稳定性理论。
该理论使用能量函数来分析系统的行为，从而判断系统是否稳定。
我们可以使用各种非线性控制器来调节非线性系统，例如反馈线性化控制和滑动模态控制。
3. 线性系统和非线性系统的不同在稳定性和控制方面，线性系统和非线性系统之间存在显著的差异。
线性系统具有可加性和比例性质，可以方便地使用传输函数来分析稳定性和设计控制器。
然而，非线性系统不具备这些特性，需要使用更高级的数学工具来分析稳定性和设计控制器。
此外，非线性系统可能会表现出一些奇异的行为，例如混沌和周期性振荡。
这些行为是线性系统所不具有的，因为线性系统的行为是可预测的和稳定的。
对于非线性系统，我们需要更加小心地分析其行为，以确保系统的稳定性和符合我们的预期。
3.5线性系统稳定性分析
列劳斯表如下: D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
s4
1
s3
3
3K 20
s2 7/3
K
s1 2 9K
7
s0 K
根据劳斯判据, 系统稳定必须满足：K 0,2 9K 0 7
因此, 使系统闭环稳定的K的取值范围为 0 K 14 9
在这种情况下，利用全为零行的上一行的系数，可 组成一个辅助方程，并用这个辅助方程导数的系数取 代全零行各项，最后用劳斯判据加以判断。由辅助方 程可以求出绝对值相等符号相异的特征根。
例题：一个控制系统的特征方程为
D(s) s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
列劳斯表 S6 S5 S4 S3
1 1 0
2
a1 a0
a3 1 a2 2
5＝3 10 7 0 3
2、劳斯稳定判据
(1)系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数 ai>0均大于零。 ①不缺项。 ②系数同号。
它是系统稳定的必要条件，也就是说，只能用来 判断系统的不稳定而不能用来判别稳定。
(2)劳斯判据：线性系统稳定的充要条件是劳斯 表中第一列所有项系数均大于零，第一列系数变
根据特征方程系数判定系统稳定性
1、赫尔维茨稳定判据
D(s) 2s2 8s 12 0
（1）必要条件：ai>0（ ①不缺项， ②系数同号）。若不满 足ai>0，则系统是不稳定的。若满足，则需进一步判断。
判定以下系统的稳定性
D(s) s3 8s 12 0
D(s) s5 6s 4 9s3 2s 2 8s 12 0 不稳定
s4
1
s3
3
线性稳定性
i1
j 1
j
P3
P1
S平面
P2 P5
O 注意：稳定性与零点无关
Pn
P4
例. 试判断系统
C(S)
1
R(S) S 3 4S 2 5S 2
的稳定性。
解:
3 S
2 4S
5S
2
0
(S 1)(S2 3S 2) (S 1)2 (S 2) 0
• 系统稳定的定义，该系统是不 稳定的。
设系统特征方程为：
s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0 ((61-1(064－)-/614=))//-228==1 2
s6 1 3 5
劳
s5 2 s4 1
4 2
6 77
斯 s3 0ε --88
表
s2 2ε +8 7ε
s1 -8(2ε +8) -7ε 2
D(s) a 0s 2 a1s1 .a 2 0
二阶系统
a0>0时
1 a1 0
2
a1 a0
0 a 2 a1a 2 0
a0>0时, a1>0, a2>0(全部系数数同号)
三阶系统
D(s) a 0s3 a1s2 .a 2s a 3 0 a0>0时
s2
e1
s1
f1
s0
g1
D(s) a 0s n a1s n1 ... a n1s a n 0
a2 a4 a6 … a3 a5 a7 … b2 b3 b4 …
c2 c3 c4 …
线性系统的稳定性分析与判据
线性系统的稳定性分析与判据稳定性是线性系统分析中的重要概念，它描述了系统在输入和干扰下的响应是否趋于有界。
稳定性分析和判据在控制工程、通信工程等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性系统稳定性的基本概念、分析方法和判据。
一、线性系统稳定性的基本概念线性系统由一组线性方程表示，可用状态空间模型描述。
在进行稳定性分析之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 输入与输出：线性系统接收一个或多个输入信号，并产生相应的输出信号。
输入和输出可以是连续的信号或离散的序列。
2. 状态：系统的状态是指能够完全描述系统行为的一组变量。
状态可以是连续的或离散的，通常用向量表示。
3. 零状态响应与完全响应：零状态响应是指系统在无外部输入的情况下的输出。
完全响应是指系统在有外部输入的情况下的输出。
4. 稳定性：一个线性系统是稳定的，当且仅当其任何有界的输入所产生的响应也是有界的。
如果系统输出在有界输入下有界，我们称系统是BIBO（Bounded-Input, Bounded-Output）稳定的。
二、系统稳定性的分析方法稳定性分析主要通过判定系统的特征值来实现。
系统的特征值决定着系统的响应特性，在稳定性分析中起着关键作用。
1. 特征值分析：特征值是描述系统动态特性的重要指标。
对于连续系统，特征值是状态方程的解的指数项；对于离散系统，特征值是状态方程的解的系数。
通过计算特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 极点分析：极点是特征值的实部和虚部共同确定的。
稳定系统的特征值的实部都小于零，不稳定系统至少有一个特征值的实部大于零。
3. 频域分析：稳定性分析还可以通过频域方法进行。
常见的频域分析方法包括幅频响应法和相频响应法。
通过分析系统的频率特性，我们可以得到系统的稳定性信息。
三、线性系统稳定性的判据除了特征值分析和频域分析，我们还可以利用一些判据来判断系统的稳定性。
1. Nyquist准则：Nyquist准则是常用的稳定性判据之一。
通过计算系统的传递函数在复平面上的闭合轨迹，可以判断系统的稳定性。
线性系统稳定性分析
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结
构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极
点有关，与零点无关。
对于一阶系统，a1s
系统是稳定的。
a0
0,
s
a0 a1
,
只要
a0 , a1 都大于零，
对于二阶系统，a2s2 a1s a0 0, s1,2 a1
g1
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
an1aΒιβλιοθήκη 1an an4b2
an1 an5 an1an4 anan5
an1
an1
an an6
b3
an1 an7 an1an6 anan7
an1
an1
s
例：P70 稳定程度应用
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
[例]：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
s5 1
1
s4 2
3
s 3 0.5 1.5
s2 9
5
s1 32 0
9
s0 5
0
4
5
0 -1 3 0（ 2）
0
0
1
0
0（
9 32
）
0
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
a12 4a2a0 2a2
只有 a0 , a1, a2 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）
线性系统的稳定性分析ppt
03
时域仿真法
利用计算机仿真技术，对线性时变系统进行时域仿真。通过观察系统状
态变量的时域响应曲线，判断系统的稳定性。若系统状态变量最终趋于
零或稳定在某个固定值附近，则系统稳定。
PART 05
线性系统稳定性优化与控 制
系统稳定性优化方法
频域分析法
通过频率响应函数判断系 统稳定性，采用频域校正 方法如超前、滞后校正优 化系统性能。
根轨迹法
利用根轨迹图分析系统稳 定性，通过调整开环增益 或引入附加零点、极点改 善系统性能。
状态空间法
基于状态空间模型分析系 统稳定性，采用状态反馈 或输出反馈控制策略进行 系统优化。
控制器设计与实现
PID控制器
根据系统性能指标设计PID控制器 参数，实现闭环控制并优化系统 稳定性。
最优控制器
应用最优控制理论设计控制器，如 线性二次型调节器（LQR）或线性 二次型高斯控制（LQG），以实现 系统性能最优。
根轨迹法
01
02
03
根轨迹绘制
根据系统开环传递函数的 零点和极点，绘制根轨迹 图。
根轨迹分析
通过观察根轨迹的走向、 交点和与虚轴的相对位置， 判断系统在不同参数下的 稳定性。
根轨迹与系统性能
通过分析根轨迹与系统性 能指标（如超调量、调节 时间等）的关系，进一步 评估和优化系统性能。
PART 04
PART 03
线性时不变系统稳定性分 析方法
时域分析法
初始状态响应法
01
通过分析系统对初始状态的响应来判断稳定性，如系统的零输
入响应是否趋于零。
脉冲响应法
02
利用系统的脉冲响应函数，观察系统对脉冲输入的响应是否收
线性系统的稳定性分析与控制
线性系统的稳定性分析与控制线性系统的稳定性是控制理论中的重要概念，对于系统设计和控制算法的选择具有重要的指导意义。
本文将对线性系统的稳定性分析与控制进行探讨，并介绍一些常用的稳定性分析方法和控制策略。
一、线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性可以通过系统的特征方程来进行判断。
特征方程是描述系统动态行为的一个重要方程，其形式为 sI-A=0，其中s是复变量，I是单位矩阵，A是系统的状态矩阵。
1.定态响应法定态响应法是一种简单直观的稳定性分析方法。
通过对特征方程的根进行判断，可以得到系统的稳定性信息。
如果特征方程的所有根都具有负的实部，即根的实部小于零，那么系统是稳定的；如果特征方程存在根具有正的实部，那么系统是不稳定的。
2.奇异值分析法奇异值分析法是一种基于矩阵理论的稳定性分析方法。
通过计算系统的奇异值，可以得到系统的稳定性信息。
如果系统的奇异值都小于1，那么系统是稳定的；如果系统的奇异值存在大于1的值，那么系统是不稳定的。
3.频域分析法频域分析法是一种基于信号频谱的稳定性分析方法。
通过对系统的传递函数进行频谱分析，可以得到系统的稳定性信息。
如果系统的传递函数在整个频率范围内都满足 Nyquist 准则，即曲线不绕过点 (-1,0)，那么系统是稳定的；如果系统的传递函数在某些频率点满足 Nyquist 准则，即曲线绕过点 (-1,0)，那么系统是不稳定的。
二、线性系统的控制策略线性系统的控制旨在通过选择合适的控制策略来改变系统的动态特性，使系统满足设计要求。
1.比例控制器比例控制器是一种简单的控制策略，通过调整比例增益，使系统的输出与期望值之间保持一定的比例关系。
比例控制器可以用于稳定系统的稳态误差，并改善系统的响应速度。
然而，比例控制器无法消除系统的超调和振荡。
2.积分控制器积分控制器是一种通过积分操作来减小系统稳态误差的控制策略。
积分控制器可以消除系统的稳态误差，但会增加系统的响应时间。
同时，在实际应用中需要注意积分饱和现象的出现。
第三章 线性系统的稳定性
定义4.1 如果对给定的任一实数 0，都对应地存在
一个实数（t0 ,） 0,使得由不等式 x0 xc （t0 ,）的 任一初态出发的受扰运动都满足不等式 x(t; x0 , t0 ) - xc
t t0则称平衡状态xc是lyapunov意义下稳定的。如果 xc 0则称原点是lyapunov意义下稳定的。
下面给出原点为平衡状态的系统，其大范围渐进稳定 的判别定理，通常称为lyapunov主稳定定理。
定理1 [大范围一致渐进稳定的定理]对系统x& f ( x, t) t t0如果存在一个x和t的标量函数V ( x, t )且满足如下条件： 1） V ( x, t)，V&x ( x, t)和V&t ( x, t)对x, t连续，且V (0, t) 0 2） V ( x, t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数
a
b
向量范数，如果存在两个与
无关的正常数d1
,
d
使得
2
d1
b
a
d2
, V
b
则称范数 和 是等价的。
a
b
定理1 有限维线性空间V 上的任意两个向量范数都是
等价的。
定义4 设 A 是以C mn中的矩阵A为自变量的非负实值 函数，如果它满足以下三个条件： 1） 非负性：对A 0时，A 0.当A 0时，A 0 2） 齐次性：对任意k C , A C mn ,有 kA k A 3) 三角不等式：对任意A, B C mn , 有 A B A B 则称 A 为m n矩阵A的范数。 若 AB A B , 称 g 具备相容性条件。
2c
x(t) (t, )x( ) (t, ) x( )
x(t ) x( ) Nec( t )
线性系统的稳定性
r
t
h
et
d
r0
h
e
d
h
d
此式表明：若
ht
d
t无界，则r0也无界
必要性得证。
X
7
第
四．因果系统稳定性的判据
页
充分必要条件 ： h(t) d t 0
X
系统是稳定的。
lim h(t) 0
t
例如 1 , s p
p0
系统稳定；
1 s2 ps q
p 0, q 0 系统稳定。
X
3
第
2．不稳定系统
页
如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶
（或以上）极点
lim h(t)
t
系统是不稳定系统。
3．临界稳定系统
如果H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。 t 为,阶h(跃t) 或等幅振荡。
ht d t M
M为有界正值。
X
5
三．证明
第
页
充分性
对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：
r
t
h
et
d
代入
et
Me
rt
，得
r t
h
பைடு நூலகம் Me
et h
d
d
如果满足
X
4
二．定义（BIBO）
第 页
若系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的， 则称此系统为有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统， 简称稳定系统。
线性系统的稳定性
（2）V (x,t)正定有界，即存在两个连续的非减标量函
数α ( x ), β ( x ),其中α (0) = 0，β (0) = 0，使对一切
t ≥ t0, x ≠ 0成立
0 < α ( x ) ≤ V (x,t) ≤ β ( x )
S(ε)
x
x0
S(δ )
x(t)
x0
S(δ )
H (ε )
t
T
(a)
(b)
图4-2 渐近稳定的平衡状态
定义 4-3: 平衡状态xc是指数渐近稳定
存在υ > 0, ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0使当
x0 − xc < δ (ε ) 时，有 x(t; x0 , t0 ) − xc ε < e−υ (t−t0 )
可见，即使初始值很大地偏离了平衡状态，系统最终 将收敛。
例 4-1
x
x& = −x(1− x)
该方程的解为
1
x(t)
=
1
−
x0e−t x0 + x0e−t
o
t
两个平衡状态xc=0， xc=1。
ln x0 x0 − 1
图4-3 非线性系统的解
定义4-5: 不稳定
无论取多大的有界ε > 0, 不存在δ（ε ,t0）> 0,满足
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
x&1 x&2
= =
x2 − x1(x12 + −x1 − x2 (x12
x22 ) + x22
)
x1=x2=０是系统的唯一的平衡状态。
线性系统的稳定性
设控制系统的特征方程式为
D( s ) = a0 s n + a1s n −1 + L + an −1s + an = 0
必要条件是 （1） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是： ） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件 控制系统特征方程的所有系数 ai (i=0, 1, 2, …, n)均为 均为 正值，且特征方程式不缺项。 正值，且特征方程式不缺项。 （2）列劳斯表。 ）列劳斯表。
s ( s 2 + s + 1)( s + 2)
解： 系统的闭环传递函数为
C (s) K = 2 R( s ) s ( s + s + 1)( s + 2) + K
所以系统的特征方程为
D( s) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
4 3 2
列劳斯表如下: 列劳斯表如下
D( s ) = s + 3s + 3s + 2s + K = 0
s4 s3 s2 s1 s0 1 2 1 −6 5 3 4 5 5 0
由于该表第一列系数的符号变化了两 由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方 不稳定的 程中有两个根s右半平面, 故系统是不稳定 程中有两个根 右半平面 故系统是不稳定的。
例 2：系统如图所示，确定使系统稳定的 的取 ：系统如图所示，确定使系统稳定的K的取 值范围。 值范围。 K
ε
→ −∞ < 0
2.在劳斯表的某一行中， 出现所有元均为零的 在劳斯表的某一行中， 在劳斯表的某一行中 情况。 情况。 (1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 先用全零行的上一行 (2)再将上述辅助方程对 求导 再将上述辅助方程对s求导 再将上述辅助方程对 (3)用求导后的方程系数代替全零行的元素，继 用求导后的方程系数代替全零行的元素， 用求导后的方程系数代替全零行的元素 续完成劳斯表。 续完成劳斯表。
(完整word版)线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。
因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。
注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
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-
1
传递函数为：
K1
(s)
n2 (s K1)
s
s3 2ns2 n2s K1n2
闭环系统特征方程为：
n2 s(s 2n )
C(s)
D(s) s3 2ns2 n2s K1n2
s3 2 0.2 86.6s2 86.62 s K186.62 s3 34.6s2 7500s 7500K1
一种代数判据，1895年由Hurwitz提出。
设系统特征方程为：
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
其系数行列式为：
a1 a3 a5 a7
a2n1
a0 a2 a4 a6
a2n2
0 a1 a3 a5
a2 n 3
Dn 0 a0 a2 a4
a2n4
0 0 a1 a3
a2n5
0000
例8：系统特征方式为 s4 2s3 8s2 4s 2 0
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
解：系统特征方程式所有系数均大于0
D1 2 0 240
D3 1 8 2 40 0 024
所有奇数次赫尔维茨行列式均大于0 ，故系统稳定。
知识回顾 Knowledge
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D(s1) 2(s1 1)3 10(s1 1)2 13(s1 1) 4 2s13 4s12 s1 1
列劳斯表：
s13
4
1
s12
4
1
s11
1 2
s10
1
劳斯第一列系数的符号变化了1次, 因此该方程中
有1个根在s＝－1（新的虚轴）的右边, 故系统稳定裕
量达不到－1。
3.5.6 赫尔维茨(Hurwitz)判据（补充）
中K1为积分器时间常数有关的待定参数。已知参数
＝0.2，n ＝86.6，试用劳斯稳定判据确定使闭
环系统稳定时K1的取值范围。如果要求闭环系统的
极点全部位于s＝－1垂线之左，问K1值范围又应取
多大？
R(s) E(s) 1
-
n2 s(s 2n )
C(s)
K1 s
R(s) E(s)
解：由图可得系统闭环
s0 K
D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
根据劳斯判据, 系统稳 定必须满足
K 0, 2 9K 0 7
因此, 使系统闭环稳定的 K的取值范围为
0 K 14 9
当K=14/9时, 系统处于临 界稳定状态。
注意：劳斯表中同一行元素同乘以或除以同一个正 数，由劳斯判据所得的结论不变。
a1b4 b1
,
f1
e1d2 d1e2 e1
an
劳斯判据： 劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系
统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的 数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次 数，等于特征方程正实部根的数目。
例 1：
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
线性系统的特性或状态是由线性微分方程来 描述的, 而微分方程的解通常就是系统输出 量的时间表达式, 它包含两个部分: 稳态分 量和瞬态分量。
研究系统的稳定性, 就是研究系统输出量中 瞬态分量的运动形式。 它完全取决于系统 的特征方程, 即齐次微分方程, 这个特征方 程反映了扰动消除之后输出量的运动情况。
极点位于S左半平面，系统稳定; 极点位于S右半平面，系统不稳定; 极点位于虚轴上，系统临界稳定.
jω
0
σ
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统 本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始 条件无关；只与极点有关，与零点无关。
线性定常系统稳定性判断方法：
1）有界输入，其输出也为有界的系统为稳定系统。 2）单位冲激响应满足绝对可积。 3）其极点均位于s左半平面，则系统为稳定系统。 4）对复杂高阶系统，利用劳斯稳定判据或赫尔维兹 稳定判据进行判定。（一种代数判据）
K
C(s)
-
s(s2 s 1)(s 2)
解： 系统的闭环传递函数为
C(s)
K
R(s) s(s2 s 1)(s 2) K
所以系统的特征方程为
D(s) s4 3s3 3s2 2s K 0
列劳斯表如下:
s4 1 3 K s3 3 2 0
s2 7 K 3 7 3K
s1 2 9K 7
设控制系统的特征方程式为
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
（1） 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是： 控制系统特征方程的所有系数 ai (i=0, 1, 2, …, n)均为 正值，且特征方程式不缺项。
（2）列劳斯表。
劳斯表
sn a0 a2 a4 sn1 a1 a3 a5 sn2 b1 b2 b3 sn3 c1 c2 c3
稳定系统
不稳定系统
若线性控制系统在初始扰动的影响下，其 动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原 平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定； 反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程 随时间的推移而发散，则称系统不稳定。
3.5.2 线性系统稳定性的充要条件
线性系统的稳定性取决于系统本身的固有特 性，而与外界条件无关。
s13 31.6s12 7433.8s1 (7500K1 7466.4) 0 列劳斯表：
s13
1
7433.8
s12
31.6
7500K1 7466.4
s11
31.6 7433.8 (7500K1 7466.4) 31.6
s10
7500K1
令劳斯表第一列系数均大于0，则闭环系统的极点全 部位于s＝－1垂线之左，得：
5）利用根轨迹进行系统稳定性判定。（图解法） 6）利用奈氏稳定判据或对数频率特性进行系统稳定 性判定。 （图解法）
7）李亚普诺夫稳定性判据。
3.5.3 劳斯稳定判据
根据线性定常系统稳定性的充分必要条件, 可以 通过求取系统特征方程式的所有根, 并检查所有特征 根实部的符号来判断系统是否稳定。 但由于一般特征 方程式为高次代数方程, 因此要计算其特征根必须依 赖计算机进行数值计算。 采用劳斯稳定判据, 可以不 用求解方程, 只根据方程系数做简单的运算, 就可以确 定方程是否有(以及有几个)正实部的根, 从而判定系统 是否稳定。 以下是劳斯判据的具体内容。
0 K1 32.3
例6：已知系统的特征方程为： D(s) 2s3 10s2 13s 4 0
检验系统是否具有σ＝1的稳定裕量。 解：(1)首先判断原系统的稳定性：
列劳斯表：
s3
2
13
s2 10 4
s1 130 8 10
s0 4
由于该表第一列系数均大于0, 故原系统是稳定的。
(2)将 s s1 s1 1 代入原特征方程得：
s2 d1 d2 d3 s1 e1 e2 s0 f1
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
a6
b1
a1a2
a0a3 a1
,
a7 b4
b2
a1a4 a0a5 a1
,
b3
a1a6
a0a7 a1
,
c1
b1a3
a1b2 b1
,
c2
b1a5 a1b3 b1
,
c3
b1a7
解： 系统特征方程式的系数均大于零, 并且没有缺
项, 所以稳定的必要条件满足。列劳斯表
s4 1
3
5
s3 2
4
0
s2 1
5
s1 6
由于该表s0 第5一列系数的符号变化了两次, 因此该方
程中有两个根s右半平面, 故系统是不稳定的。
例 2：系统如图所示，确定使系统稳定的K的取
值范围。 R(s) E(s)
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
解：系统特征方程式所有系数均大于0，且
D1 1 0
15
D2 2
7 0 3
15 0 D3 2 3 10
01 5
15 0 0 2 3 10 0 D4 0 1 5 0 0 2 3 10
因为二阶主子式小于0，所以系统不稳定。
在特征方程所有系数大于0的前提下，系统稳 定的充要条件式：所有奇数次赫尔维茨行列式均 大于0，或所有偶数次赫尔维茨行列式均大于0。
D(s) s4 2s3 3s2 6s 1 0
s4 1
3
1
s3 2
6
0
s2 0 1
s1 6 2
s0 1
其中 6 2 0
由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方
程中有两个根在s右半平面, 故系统是不稳定的。
2.在劳斯表的某一行中， 出现所有元均为零的 情况。
(1)先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程 (2)再将上述辅助方程对s求导 (3)用求导后的方程系数代替全零行的元素，继 续完成劳斯表。
an
赫尔维茨判据：系统稳定的充要条件是在a0>0 的情况下，上述行列式的各阶主子式均大于0，否则 系统不稳定。即：
D1 a1 0
D2
a1 a0
a3 0 a2
a1 a3 a5 D3 a0 a2 a4 0
0 a1 a3
Dn 0
例7：系统特征方式为 2s4 s3 3s2 5s 10 0
线性定常系统稳定的充分必要条件是： 特征方程 式的所有根均为负实根或其实部为负的复根, 即特征方 程的根均在复平面的左半平面。即闭环线性定常系统 稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在s平面的 左半部分。
对于s平面右半平面没有极点, 但虚轴上存在极点的 线性定常系统, 称之为临界稳定的, 该系统在扰动消除后 的响应通常是等幅振荡的。 在工程上, 临界稳定属于不 稳定, 因为参数的微小变化就会使极点具有正实部, 从而 导致系统不稳定。