单元教学设计导数与其应用

课题名称《导数及其应用》单元教学设计设计者姓名冯德福

设计者单位酒泉市实验中学

联系电话

《导数及其应用》单元教学设计

（冯德福酒泉市实验中学）

一、教学要素分析

1、数学分析

（1）该单元在整个高中数学中的地位和作用

导数的概念是大学数学微积分的核心概念之一，是中学数学中特别重要的内容，在中学数学与高等数学之间起着承前启后的衔接作用。导数以不同的形式渗透到高中数学的好多方面，与高中数学的许多内容都有密切的联系。

导数是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率、证明不等式等的利器，为解决中学数学问题提供了新的视野。在中学数学中的应用涉及到函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等方面.应用导数可以十分方便地处理中学数学问题. 同时导数也是解决一些物理、化学问题等其他实际问题等的有力工具。

（2）导数在实际生活中的应用

导数在物理、化学、生物、天文、地理、经济等领域都有着十分广泛和主要的应用。

为了突出导数概念的实际背景，教材选用了两个物理问题作为典型实例，从平均变化率到瞬时变化率的过程，引出导数概念，揭示导数的本质——导数就是瞬时变化率。这也是导数的物理意义。

现实生活中经常遇到求利润最大、用料最省和效率最高等优化问题，这些问题常转化为数学中求函数的最值问题，而导数是求函数最值的强有力工具，因此我们利用导数解决生活中的优化问题就自然而然地用到导数了。

物理方面，学习了导数及其应用以后，学生可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：s=s(t),算出物体的瞬时速度 , 瞬时加速度；对非稳恒电流，就可以算出其瞬时电流强度；

化学与数学紧密相关。化学中的反应速度、冷却速度等都可以通过微积分的方法来解决。

（3）该单元的蕴含的基本数学思想和方法，以及数学文化价值

在知识传授上，采用从特殊到一般，从猜想到探究，由感性上升到理性的思路，让学生充分感受数学知识产生过程，学会进行数学推理和探究方法。

同时，借助函数图象的直观性，即函数的平均变化率就是曲线割线所在直线的斜率，再利用无限逼近的数学思想得到曲线的切线和导数的关系――导数的几何意义，充分体现了数形结合思想和“无限逼近”的极限思想。现实生活中的优化问题都转化为数学中求函数的最值问题，进一步体现了等价转化思想。

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及其广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。教材在多处介绍了微积分的发展史。例如，在引言中介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”，阐述了微积分在人类科学发展史上的地位，对微积分的意义和作用也作了介绍；通过拓展性栏目，给学生介绍牛顿法，展示导数在科学研究中的作用；通过实习作业，让学生收集微积分创立和发展的有关材料，让学生体会微积分在数学和科学思想史上价值，关注微积分的文化价值，领略数学文化，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观．

2、课程标准视角分析

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称为《标准》）将《导数及其应用》这部分内容安排在选修1－1的第三章和选修2－2的第一章。虽然是选修内容，但它仍然是高中数学中相当重要的一块内容。在选修2－2中还增加了定积分与微积分基本定理的内容，对运算的要求也略有提高，主要原因是文科要求较低，理科对数学的要求更高。

（1）注重导数概念和几何意义

教材让学生从平均变化率开始，通过瞬时变化率引入导数的概念，强化了对导数本质的认识，同时增强学生对导数几何意义的认识和理解。

（2）运算方面要求略有降低

《标准》对本部分的要求是：能利用导数定义求常见的6个函数的导数；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多

项式函数最大值、最小值。选修1-1不要求对复合函数求导，就是选修2-2也仅限于求一些简单的复合函数的导数。

（3）强化了应用图像研究函数的方法

新教材中通过图象理解导数概念，强化了函数图象的作用，以图像为主体设计了“思考”、“探究”、“观察”、例题和练习，把学生从抽象的极限定义中解放出来，让学生体验到导数研究函数的优越性。

（4）突出导数的实际应用

导数是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般，最有效的工具。《标准》对导数的运用有较高的要求。从导数概念的引入，到导数的应用举例都用到了大量的实例。这些实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”，从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，提高学生的思维能力。利用导数可以解决很多实际问题，诸如利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，以及运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题。定积分部分还有求曲边梯形的面积和便利做功等。

（5）关注数学文化

要求师生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

学生在必修内容中对函数的单调性已经熟悉，简单的单调性问题可以很容易解决，但是对于一些较为复杂的函数单调性问题应用已有知识已经很难解决，这就迫使学生希望有更好的方法和工具来解决这类问题。高二的学生，有强烈求知欲，喜欢探求真理，具有积极的学习态度.已经有很强的概括能力和抽象思维能力。因此，学习导数这一主要内容有很好的学生基础。

5、重点难点分析

（1）教学重点：

①使学生知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，理解导数的几何意义；

②四种常见函数的导数公式及应用；

③基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导方法；

④利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；

⑤掌握求函数极值方法；；

⑥掌握利用导数求函数的最大值和最小值的方法；

⑦掌握利用导数解决优化问题的基本方法．

（2）教学难点：

①体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的过程中采用的逼近思想；

②理解导数的概念，将导数多方面的意义联系起来；

③函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；

④根据实际问题建立适当的函数关系；

⑤利用导数解决优化问题的基本方法．

二、教学目标

1、知识与技能：

（1）通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（2）通过函数图象直观地理解导数的几何意义；