论文：数列极限求法及其应用 毕业论文

毕业论文（设计）

题目数列极限的求法及其应用

内容提要

数列极限可用N

ε-语言和A N-语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.

最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.

关键词：N

ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限

On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit

Name: Yang NO. 07

The guidance of teachers:Dong Titles:Lecturer

Abstract

The limit of a sequence can be accurately defined by N

ε-language and A N

-language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit.

Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.

Key Words

ε-definition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits N

目录

第一章数列极限的概念 (1)

1.1 数列极限的定义及分类 (1)

1.2 数列极限求法的常用定理 (2)

第二章数列极限的求法 (4)

2.1 极限定义求法 (4)

2.2 极限运算法则法 (5)

2.3 夹逼准则求法 (6)

2.4 单调有界定理求法 (8)

2.5 函数极限法 (9)

2.6 定积分定义法 (10)

2.7 Stoltz公式法 (11)

2.8 几何算术平均收敛公式法 (12)

2.9 级数法 (13)

2.10 其它方法 (15)

第三章数列极限在现实生活中的应用 (17)

3.1 几何应用-计算面积 (17)

3.2 求方程的数值解 (18)

3.3 市场经营中的稳定性问题 (19)

3.3.1 零增长模型 (19)

3.3.2 不变增长模型 (20)

3.4 购房按揭贷款分期偿还 (21)

第四章结论 (23)

致谢 (24)

参考文献 (24)

数列极限的求法及其应用

学号：071106132 作者：杨少鲜 指导老师：董建伟 职称：讲师

第一章 数列极限的概念

在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础. 1.1 数列极限的定义及分类

数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，

我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积n A 在n 无限增大（n →∞）时，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.

针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：N ε-定义，A N -定义.

定义1（N ε-语言）：设{}n a 是个数列，a 是一个常数，若0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a a ε-<，则称a 是数列{}n a 当n 无限

增大时的极限，或称{}n a 收敛于a ，记作lim n n a a →+∞=，或()n a a n →→+∞.这时，也称{}n a 的极限存在.

定义2（A N -语言）：若0A >,∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a A >,则称+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于

+∞，记作lim n n a →+∞

=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限.

对于,-∞∞的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理. 1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有 ()()lim lim lim ,

lim lim lim .n n n n n n n n n n n

n n n a b a b a b a b →∞

→∞

→∞

→∞→∞→∞

±=±⋅=⋅

若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则n n a b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

也是收敛数列，且有 lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞

→∞

⎛⎫

= ⎪⎝⎭. 定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.

定理1.2.3（∞

Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，

且lim n n x →+∞=+∞（注意：不必lim n n y →+∞

=+∞）.如果