通信原理课后习题 (1)

模块01 数字通信概论1-1 已知二进制信源(0,1),若1符号出现的概率为41,求出现0符号的信息量。

解：由题意知0出现的概率为43，0符号出现携带的信息量为： bit I 415.043log )0(2=-=1-2 某4ASK 系统的四个振幅值分别为0,1,2,3，这四个振幅是相互独立的。

（1） 振幅0,1,2,3出现的概率分别为81,81,41,21，求每个振幅的信息量和各种振幅信息的平均信息量。

（2） 设每个振幅的持续时间（码元宽度）为2s μ，求此系统的信息速率。

解：（1）每个振幅的信息量如下：bitI bitI bitI bitI 381log )3(381log )2(241log )1(121log )0(2222=-==-==-==-=各种振幅的平均信息量为：symbol bit H /75.175.05.05.081log 4141log 4121log 21222=++=---=（2）s kb H R R B b /87575.110216=⨯⨯=⋅=-1-3 某4PSK 数字通信系统用正弦波的四个相位0，23,,2πππ来传输信息，设这四个相位是相互独立的。

（1） 若每秒钟内0，23,,2πππ出现的次数分别为500,125,125,250，求此数字通信系统的码元速率和信息速率。

（2） 若每秒钟内这四个相位出现的次数均为250，求此数字通信系统的码元速率和信息速率。

解：（1）B R B 1000250125125500=+++=sym bolbit H /75.121432141log 4181log 8181log 8121log 211000250log 10002501000125log 10001251000125log 10001251000500log 100050022222222=++=----=----=s kb H R R B b /75.175.11000=⨯=⋅=（2）skb H R R sym bol bit H BR B b B /221000/2)41log 41(4100042502=⨯=⋅==-==⨯=1-4 某4PSK 数字通信系统，码t 元速率为1000B ，连续工作1小时后，接收端收到的错码为10个，试求此系统的误码率。

解：连续工作1小时后，系统的误码率为：61078.236000100010-⨯≈⨯=e P1-5 某系统经长期测定，它的误码率510-=e P ，系统码元速率为1200B ，问在多少时间内可能收到360个错误码元。

解：小时秒3.810312001036045≈⨯=⨯=-t模块02 信号2-1 试求下列概率密度函数的数字期望和方差：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,0,21)(ax a a x f（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他,0021)(2x e a x f a x解：（1）0][4121)()(2====---⎰⎰a a aa a a x a dx a xdx x f x X E3][6121)()(23222a x a dx a x dx x f x X E a a a a a a ====---⎰⎰ 3)()()(222a X E X E X D =-=（2）8)2(!1!22121)(41][414121)()(302200002222a a a dx e a x X E e de dx e a x dx x xf X E a x a x a x a x ππ====-=-===⎰⎰⎰⎰∞+-∞-∞-∞+-∞+（根据积分公式：⎰+-=12/2)2(!!222n a x n a n n dx e x π） 16121618)()()(22-=-=-=a a X E X E X D ππ2-2 已知)(t X 和)(t Y 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率谱密度函数分别为)(),(),(),(ωωττY X Y X P P R R ,试求)()()(t Y t X t Z =的自相关函数和功率谱密度。

解：)()()]()()()([)]()([)(ττττττY X Z R R t Y t X t Y t X E t Z t Z E R ⋅=++=+=)]()([21)(ωωπωY X Z P P P *=2-3 设t Y t X t Z C C ωωcos cos )(-=是一随机过程，若X 和Y 彼此统计独立，且均值都为0，方差均为2σ的高斯随机变量，试求： （1）)(t Z 的均值和方差。

（2）)(t Z 的一维概率密度函数。

（3）)(t Z 的自相关函数。

解：（1）222cos 2]][][[cos ]cos cos [)]([0cos ][cos ][]cos cos [)]([σωωωωωωωωt Y D X D t t Y t X D t Z D t Y E t X E t Y t X E t Z E c c c c c c c c =+=-==-=-=（2）)(t Z 为两高斯随机过程的线性组合，也为一高斯过程，概率密度如下： 2)(cos 4)cos(21)(σωσωπt z c c e t z f -=（3）)cos()cos(2]cos cos cos cos 2cos cos [)]cos cos )(cos cos [()],([21221221212221121t t t t Y t t XY t t X E t Y t X t Y t X E t t Z R c c c c c c c c c c c c ωωσωωωωωωωωωω=+-==--=2-4 当均值为0，双边功率谱密度为20n 的白噪声通过如图所示的RC 低通滤波器时，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。

解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：⎪⎩⎪⎨⎧≤=-其它处,0,)(Ht j f f ke f H d ω所以有:H f f k f H ≤=,)(22输出信号的功率谱密度为:H X Y f f n k f P f H f P ≤==,2)()()(022输出信号的自相关函数:)2/2(sin )4/()()(0202τπτππτωτωτH H H f f j j Y Y f f f n k df e n k df e f P R HH===⎰⎰-∞∞-模块03 信道3-1 简述窄带高斯白噪声中的“窄带”、“高斯”和“白”的含义。

答：“窄带”是系统的频带比起中心频率小得多；“高斯”是指噪声的概率密度函数服从正态分布；“白”是指噪声的功率谱密度函数是常数。

3-2 信道中常见的起伏噪声有哪些？其统计特性如何？答：起伏噪声是一种持续波随机噪声，例如热噪声、散弹噪声和宇宙噪声等。

起伏噪声（特别是热噪声）具有很宽的带宽，且始终存在，它是影响通信系统性能的主要因素。

3-3 已知有线电话信道的带宽为4KHz 。

（1）试求信道输出信噪比为20dB 时的信道容量。

（2）若在该信道中传送33.6kb/s 的数据，试求接收端要求的最小信噪比。

解：（1）由题意知10020==dB N S,由信道容量的公式有：s kb NSB C /63.2610663.2)1001(log 4000)1(log 422=⨯=+=+=（2）最小信噪比应为：794.3361246.33=-=NS3-4 假设彩色电视图像由5105⨯个像素组成，每个像素有64种颜色，每种颜色有16个灰度级，若所有颜色和灰度级的组合机会均等，且统计独立。

（1）试求每秒传送25个画面所需的信道容量。

（2）如果接收端信噪比为30dB,试求传送彩色图像所需的信道带宽。

解：（1）每个像素的信息量为：bit I P 1016641log 2=⨯-= 每秒25个画面所含的信息量为：s Mb /12510105255=⨯⨯⨯ 此时信道容量至少为：s Mb C /125=（3） 由信道容量公式：)1(log 2NSB C +=有：MHz NS C B 54.121001log 125)1(log 22==+=模块05 模拟信号的数字化传输5-1 一个信号t t t s ππ40cos 6400cos 2)(+=，用Hz f s 500=的抽样频率对它进行理想抽样，若抽样后的信号经过一个截止频率为400Hz 的理想低通滤波器，输出端会有哪些频率成分？解：原始信号含有两个频率成分Hz f Hz f 200,2021==，抽样信号的频谱是连续信号的周期延拓，周期为500Hz ，经过理想低通滤波器后，存在的频率成分有：20Hz,200Hz,300Hz.5-2 语音信号的带宽在300~3400Hz 之间，假设采用Hz f s 8000=对其抽样，若输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB ，试问均匀量化最小需要多少个电平？每个样值最少需要几个比特？解：设最小需要L 个量化电平，每个样值最少需要N 比特，则有：32lg 2030lg 20≈==L L L N S q q即：又由 5,322===N L L N5-3 已知模拟信号抽样值的概率密度函数)(x f 如下图所示。

（1）若按8电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平。

（解25.0=∆，量化电平为{-0.875，-0.625，-0.375，-0.125,0.125,0.375,0.625,0.875}。

（2）按4电平进行均匀量化，信号功率q S 、噪声功率q N 如下： 1667.061)1()1()(01122112≈=-++==⎰⎰⎰--dx x x dx x x dx x f x S q02084.000260125.00078125.00078225.00026041.0)1()75.0()1()25.0()1()25.0()1()75.0(5.0015.02205.025.012≈+++=--+--++++++=⎰⎰⎰⎰---dxx x dx x x dx x x dx x x N q802084.01667.0≈=q q N S5-4已知正弦波信号的最高频率kHz f m 4=，试分别设计一个PCM 系统，使系统的输出量化信噪比满足30dB 的要求，求系统的信息速率。

解：由信号的最高频率k H z f m 4=，根据抽样定义选取抽样频率为k H zf f m s 8.82.2== 设对抽样值最小采用L 个量化值，有：dB L N S qq30lg 20==,则32≈L每个量化值至少需要N 个二进制码进行编码，则有：L N =2,现在32=L ，则5=N这个PCM 系统的信息速率为：s Mb R b /4.42log 588002=⨯⨯=5-5 已知语音信号的最高频率Hz f m 3400=，若用PCM 系统传输，要求量化信噪比为30dB ，试求该PCM 系统的带宽。