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高数b常用公式手册完整版

高数b常用公式手册 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】常用高数公式1、乘法与因式分解公式2、三角不等式3、一元二次方程的解4、某些数列的前n项和5、二项式展开公式6、基本求导公式7、基本积分公式8、一些初等函数两个重要极限9、三角函数公式正余弦定理10、莱布尼兹公式11、中值定理12、空间解析几何和向量代数13、多元函数微分法及应用14、多元函数的极值15、级数16、微分方程的相关概念1、乘法与因式分解公式1.11.21.4 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-+--+ （n 为奇数）2、三角不等式2.12.22.32.42.63、一元二次方程的解3.2(韦达定理)根与系数的关系：4、某些数列的前n 项和4.24.34.75、二项式展开公式6、基本求导公式：7、基本积分公式：8、一些初等函数：两个重要极限：9、三角函数公式：xx x x x x x xx ax x e e a a a x x C C a xx x x 221cos 1sec )(tan sin )(cos cos )(sin 1)(ln ln 1)(log )(ln )(()((0)(=='-='='='='='='='='-为实数）为常数）αααα22222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin cot csc )(csc tan sec )(sec sin 1csc )(cot x x arc x x x x x x xx x x x x xx x +-='+='--='-='⋅-='⋅='-=-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⋅+=⋅+-==+==+=-+=++-=++=Cx xdx x C x dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx Cx x dxCx x dxCx x xdx Cx x xdx csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos arcsin 1arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec 2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+=+=+=+=-≠++==+Cx xdx C x xdx Ca a dx a C e dx e Cx dx x C x dx x Cdx xxx x cos sin sin cos ln ln 1)1(101αααα·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcot cot 1cot cot )cot(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±·倍角公式：·半角公式：·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：x arc x x x cot 2arctan arccos 2arcsin -=-=ππ10、高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：11、中值定理与导数应用：12、空间解析几何和向量代数：13、多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：14、多元函数的极值及其求法：15、级数常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix ix ix e e x e e x x i x e 或： 16、微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数非齐次线性微分方程：。

高数B()~章知识点总结

第6章定积分§6. 1 定积分的概念与性质1．概念定积分表示一个和式的极限1()lim ()nb i iai f x dx f x λξ→==∆∑⎰[],1lim ()na b n i i n i f x ξ→∞=∆∑等分其中：{}n x x x ∆∆∆=,,,max 21 λ，1--=∆i i i x x x ；[]1,i i i x x ξ-∈；几何意义：表示()y f x =，0y =，x a =，x b =所围曲边梯形面积的代数和可积的必要条件：()f x 在区间[]b a ,上有界可积的充分条件：（可积函数类）（1）若()f x 在[]b a ,上连续，则()ba f x dx ⎰必存在；（2）若()f x 在[]b a ,上有界，且只有有限个第一类间断点，则()baf x dx ⎰必存在；（3）若()f x 在[]b a ,上单调、有界，则()ba f x dx ⎰必存在。

2. 性质（1） (())0baf x dx '=⎰； ()()bbaaf x dx f t dt =⎰⎰（2） ()()b a abf x dx f x dx =-⎰⎰； ()0aaf x dx =⎰（3） ()b akdx k b a =-⎰； badx b a =-⎰（4） []()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰（5） ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（6）若()()f x g x ≤，[]b a x ,∈，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰推论1：若()0f x ≥，[]b a x ,∈，则()0baf x dx ≥⎰推论2：()()b b aaf x dx f x dx ≤⎰⎰（7）若()m f x M ≤≤，[]b a x ,∈，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰（8）若()f x 在[]b a ,上连续，()g x 在[]b a ,上不变号，存在一点(,)a b ξ∈()()()()b baaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰特别地，若()1g x =，则至少存在一点[],a b ξ∈，或(,)a b ξ∈，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰⇒ 1()()b af f x dx b a ξ=-⎰（9）若()f x 在[]b a ,上连续，则其原函数()()xax f t dt ϕ=⎰可导，且()(())()x adx f t dt f x dx ϕ'==⎰ （10）若()f x 在[]b a ,上连续，且()()F x f x '=，则()()()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰§6. 2 定积分的计算1. 换元法 []()()()()bx t af x dxf t t dt βϕαϕϕ=⎰⎰2. 分部法 bbbaaaudv uv vdu =-⎰⎰，或bbbaaauv dx uv vu dx ''=-⎰⎰3. 常用公式（1）[]02()()()()()0()a a aaf x dx f x f x dx f x f x dx f x -⎧⎪=+-=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为偶函数为奇函数（2）0()()()a aaf xg x dx C g x dx -=⎰⎰，其中()()f x f x C +-=，()g x 为连续偶函数（3）000()()()()a T T anT Tf x dx f x dxf x dx n f x dx+⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰⎰⎰，其中()()f x T f x += （4）22002200(sin )(cos )(sin ,cos )(cos ,sin )f x dx f x dx f x x dx f x x dxππππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ （5）202201cos 2cos sin 1sin 2n n n n n nxdxx xdx xdxπππ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰（6）2000(sin )(sin )(sin )2f x dx xf x dx f x dx πππππ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰（7）⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰为奇数为偶数n n dx x dx x n nsin 4sin 2020ππ（8）2200(1)!!!!2sin cos (1)!!!!n nn n n x dx x dx n n n πππ-⎧⎪⎪==⎨-⎪⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数（9）()()()()()()()()()()x x f t dt f x x f x x ψϕψψϕϕ'''=-⎰（10）222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰§6. 3 广义积分1. 无限区间的积分（无穷积分）（1）定义与性质()lim ()ba ab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰，若极限存在，则原积分收敛；()lim ()bba a f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰，若极限存在，则原积分收敛；()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，必须右边两积分都收敛，原积分才收敛； ()a f x dx +∞⎰，()bf x dx +∞⎰，()akf x dx +∞⎰，具有相同敛散性；[]()()af xg x dx +∞±⎰()()aaf x dxg x dx +∞+∞=±⎰⎰，即收敛积分和仍收敛（2）审敛法比较审敛法：设0()()f x g x ≤≤，则()()()()a a aa g x dx f x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞+∞⎧⇒⎪⎨⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰收敛收敛发散发散比较法的极限形式：设()lim ()x af x lg x +→=，则0()()0a a l g x dx f x dx l +∞+∞≤<+∞⎧⎨<≤+∞⎩⎰⎰收敛性相同与发散性相同柯西审敛法：设lim ()p x x f x l →+∞=，则0,1()0,1al p f x dx l p +∞≤<+∞>⎧=⎨<≤+∞≤⎩⎰收敛发散特别地，11p ap dx x p +∞>⎧=⎨≤⎩⎰收敛发散绝对收敛与条件收敛：()()()aaa f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰收敛，则收敛，称绝对收敛发散，而收敛，称条件收敛2. 无界函数的积分（瑕积分）（1）定义与性质()lim ()bb a a f x dx f x dx εε+-→=⎰⎰（lim ()x bf x -→→∞），若极限存在，则原积分收敛； 0()lim ()bba a f x dx f x dx εε++→=⎰⎰（lim ()x af x +→→∞），若极限存在，则原积分收敛； ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（lim ()x cf x →→∞），两积分都收敛，原积分才收敛；()ba f x dx ⎰，()bakf x dx ⎰，具有相同敛散性；[]()()baf xg x dx ±⎰()()b baaf x dxg x dx =±⎰⎰，即收敛积分和仍收敛（2）审敛法比较审敛法：设(),()f x g x 非负，且lim ()x af x +→=+∞，lim ()x ag x +→=+∞若0()()f x g x ≤≤，则()()()()b b aa bb aag x dx f x dx f x dx g x dx ⎧⇒⎪⎨⎪⇒⎩⎰⎰⎰⎰收敛收敛发散发散比较法的极限形式：若()lim ()x af x lg x +→=，则 0()()0bb aal g x dx f x dx l ≤<+∞⎧⎨<≤+∞⎩⎰⎰收敛性相同与发散性相同柯西审敛法：若lim ()()p x ax a f x l +→-=，或lim()()px bb x f x l -→-=，则 0,01()0,1bal p f x dx l p ≤<+∞<<⎧=⎨<≤+∞≥⎩⎰收敛发散特别地，1()()1b b ppaa p dx dx x ab x p <⎧⎨--≥⎩⎰⎰收敛或发散§6. 5 典型例题解析1．变限积分的求导与应用解题思路（1）利用公式()()()()()()()()()()x x f t dt f x x f x x ψϕψψϕϕ'''=-⎰（2）若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解；（3）变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无关。

高等数学b2大一知识点

高等数学b2大一知识点高等数学是大一学生在理工科、经济学等领域中必修的一门课程。

在高等数学B2中，学生将进一步学习微分学和积分学的更深层次的知识和应用。

本文将对高等数学B2课程中的一些重要知识点进行探讨和解释。

一、微分学微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化和变化率。

在高等数学B2中，学生会深入学习函数的导数和微分的性质，以及一些常见函数的导数公式。

1. 函数的导数函数的导数在微分学中有着重要的地位。

导数定义了函数的变化率，可以表示函数在某一点处的斜率。

导数的求解方法有很多种，常见的方法包括用导数的定义计算、使用导数的性质进行运算等。

2. 常见函数的导数公式在微分学中，有很多常见函数的导数公式。

例如，对于多项式函数，其导数可以通过求取每一项的导数再求和得到。

对于指数函数和对数函数，其导数具有特定的性质和公式。

此外，三角函数和反三角函数的导数也是微分学中的重要内容。

3. 微分的应用微分的应用非常广泛，特别是在物理学和工程学中。

例如，通过对物体的位移函数进行微分，可以得到速度函数；再次对速度函数进行微分，可以得到加速度函数。

在经济学中，微分还可以用来解释供求关系、市场竞争等经济现象。

二、积分学积分学是微分学的逆向过程，研究的是函数的面积和变化量。

在高等数学B2中，学生将学习积分的定义、性质以及一些常见函数的积分法。

1. 积分的定义积分的定义是通过分割一个区间，将函数的值进行求和得到。

其中，定积分是指将函数在一个区间上的面积进行计算。

不定积分是指求取函数的原函数，即求取导数的逆过程。

2. 常见函数的积分法在积分学中，有很多常见函数的积分法。

例如，多项式函数的积分可以通过反向运用导数的公式进行计算。

三角函数和反三角函数的积分具有一些特殊的形式和性质。

此外，指数函数和对数函数的积分也有一些特定的方法。

3. 积分的应用积分的应用也非常广泛，特别是在物理学和统计学中。

例如，在物理学中，通过对速度函数进行积分，可以得到位移函数；再次对位移函数进行积分，可以得到加速度函数。

《高等数学B》答案

《高等数学B 》复习资料一、选择题：A 、奇函数；B 、偶函数；C 、非奇非偶函数；D 、既是奇函数又是偶函数；E 、不能确定。

若)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则下列函数是： 1、)]([x g f （ B ）； 2、)]([x f g （ B ）；A.x y =； B 、1+-=x y ； C 、1+=x y ； D.5132+=x y ； E 、5132-=x y 。

3、曲线x y ln 2+=在点1=x 的切线方程是（ C ）；4、曲线53)12()25(+=+x y 在点)51,0(-处的切线方程是（ E ）； A 、不存在； B 、1； C 、0； D 、-1； E 、2。

5、函数|sin |)(x x f =在点0=x 处的导数是（ A ）； 6、函数x x f sin )(=在点0=x 处的导数是（ B ）；A 、 -1；B 、-3；C 、3；D 、-9；E 、-12。

若3)(0'-=x f ，则： 7、=--+→h h x f h x f h )2()(lim000（ D ）；8、=-+→hx f h x f h )()(lim000（ B ）；A.满足罗尔定理条件；B.满足拉格朗日中值定理条件；C.满足柯西定理条件；D.三个定理都不满足；E.不能确定。

9、652+-=x x y 在]3,2[上（ A ）； 10、)1ln(2x y +=在]3,0[上（ B ）； A 、c x f +)(； B 、)(x f ； C 、dx x f )(； D 、dx x f )('； E 、)('x f ；设)(x f 在],[b a 上可积，则： 11、=⎰dx x f d )('（ D ）； 12、=⎰dx x f dxd)('（ E ）；A 、x y x x f y x f x ∆∆--→∆),(),(lim 00000；B 、xy x x f y x f x x x ∆∆--→∆),(),(lim 00'00'0；C 、y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000；D 、y y x f y y x f y y y ∆-∆+→∆),(),(lim 00'00'0；E 、yy x f y y x f x x y ∆-∆+→∆),(),(lim 00'00'0。

高等数学B(上)复习资料

华南理工大学网络教育学院《高等数学（上）》辅导一、求函数值例题：1、若2()f x x =，()x x e ϕ=，则(())f x ϕ= ．解：()22(())()xx x f x f e ee ϕ===2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ．解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+即 ()23f x x =+二、常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3lim x xx →=？解：当0sin3~3x x x →，，原式=3200(3)lim lim270x x x x x→→==2、0sin3limx xx→=？解：原式=03lim 3x xx →=3、201-cos limx xx→=？解：当210cos ~2x x x →，1-原式=220112lim 2x xx →=4、0ln(13)lim x x x →+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+原式=.03lim 3x x x →=.5、201lim x x e x→-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x x x →=.三、多项式之比的极限2lim 03x xx x →∞=+，2211lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x→∞+=∞四、导数的几何意义（填空题）0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为：曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：例题：1、曲线44xy x +=-在点(2,3)M 的切线的斜率．解：222(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='+--+-'=- 2、曲线cos x xy e =在点(0,1)M 处的切线方程．解：2(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='-'= 所以曲线cos x xy e=在点(0,1)M 处的切线方程为：1(0)y x -=--，即10x y +-=3、曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程．解：53112233x x y x =='=-=-所以曲线y =在点(1,1)M 处的切线方程为：21(1)3y x -=--，即2350x y +-=五、导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：微分：()dy f x dx '= 例题：1、设y =，则'y =？解：()()1'2221112y x x -'=+⋅+=2、设2sin y x =，则'y =？解：()''222cos 2cos y x xx x =⋅=3、设sin 2x y =，则dy =？解：()''sin sin 2ln 2sin 2cos ln 2x x y x x =⋅= 则dy =sin 2cos ln 2x x dx 4、设sin x y e =，则dy =？解：()''cos cos xx xx y e eee =⋅=所以cos x x dy e e dx = 5、设2x y e-=，则dy =？（答案：22x xedx --）六、运用导数判定单调性、求极值例题：1、求ln y x x =的单调区间和极值．解：定义域(0,)x ∈+∞令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞极小值为11()y e e =-．2、求x y xe -=的单调区间和极值．解：定义域(,)x ∈-∞+∞令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =函数的单调递减区间为[1,)+∞，单调递增区间为(,1)-∞，极大值为1(1)y e -=． 3、求函数.2()x f x e-=.的单调区间和极值．解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2()2x f x xe-'=-，得0x =极大值为(0)1f =．4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2(1)3y =-，极大值为2(1)3y -=七、隐函数求导例题：1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx．解：方程两边关于x 求导，得：即 2cos 2xy e y y xy-'=-2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx．解：方程两边同时关于x 求导，得：即3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dydx．答案： cos()1cos()dy x y dx x y +=-+4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数dydx．答案： dy y dx x =-八、洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题：1、求极限011lim 1sin x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 解：原式0sin (1)lim (1)sin x x x x e e x→--=-20sin (1)lim x x x e x→--=.()0sin ~,1~xx x x e x →-　当时，. 2、求极限30sin lim tan x x x x →-00⎛⎫⎪⎝⎭ 解：原式=3sin limx x xx→-()0tan ~x x x →　当时， =22012lim 3x xx →　2101cos ~2x x x ⎛⎫→- ⎪⎝⎭　当时， 3、求201lim x x e x x →--00⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案：12）九、原函数、不定积分的概念及其性质知识点：设()()F x f x '=，则称()F x 是()f x 的一个原函数，()F x C +是()f x 的全体原函数，且有：例题：1、( )是函数33x x +的原函数．A ．233x + B ．421342x x + C ．42x x + D ．421142x x +解：因为42313342x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以421342x x +是33x x +的原函数．2、( )是函数2cos x x 的原函数． A ．22sin x -B ．22sin xC ．21sin 2x -D ．21sin 2x解：因为22211sin (cos )2cos 22x x x x x '⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭g所以21sin 2x 是2cos x x 的原函数．3是( )的原函数A ．12xBC ．ln xD解：因为'=的原函数．4、( )是函数1x的原函数．A ．21xB ．21x -C ．ln x -D ．ln ||x解：因为()1ln ||x x'=所以ln ||x 是1x的原函数．十、凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2x e dx ⎰，sin 4xdx ⎰，cos5xdx ⎰,ln ln xd x ⎰ 一般的凑微分问题：⎰，⎰，sin 1cos x dx x +⎰，ln x dx x ⎰例题： 1、⎰解：注意到2(1)2x x '-=-原式=()2112x --⎰C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭参考公式 2、⎰解：注意到2(23)6x x '-=-原式21=(23)6x --3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=319C -+ 3、sin 1cos x dx x+⎰解：注意到(1cos )sin x x '+=-原式1=(1cos )1cos d x x -++⎰1ln ||dx x C x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=ln |1cos x |C -++ 4、5x e dx +⎰解：原式=5(5)x e d x ++⎰()x x e dx e C =+⎰参考公式=5x e C ++5、cos5xdx ⎰ 解：原式1cos5(5)5xd x =⎰()cos sin xdx x C =+⎰参考公式 6、sin 3xdx ⎰ 解：原式1sin3(3)3xd x =⎰()sin cos xdx x C =-+⎰参考公式十一、不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分）等例题： 1、求不定积分t =，则221ln(1)x e t x t =-⇒=-原式=22121211t dt dt t t t ⋅=--⎰⎰2、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰3、1⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅ 十二、不定积分的分部积分法（或定积分）诸如sin x xdx ⎰，cos x xdx ⎰，x xe dx ⎰，x xe dx -⎰，ln x xdx ⎰，可采用分部积分法分部积分公式：()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰ 例题：1、求不定积分sin x xdx ⎰．解 sin (cos )x xdx xd x =-⎰⎰2、求不定积分x xe dx -⎰ 解 x x xe dx xde --=-⎰⎰3、求不定积分ln x xdx ⎰解 21ln ln ()2x xdx xd x =⎰⎰十三、定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等例题：1、定积分23ax a x e dx -⎰等于．解：因为23x x e 是x 的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sin aa x xdx -⎰等于．解：因为23sin x x 是x 的奇函数，所以原式=0 3、定积分22sin 1x xdx x π-π+⎰等于．解：因为22sin 1x xx+是x 的奇函数，所以原式=0十四、变上限积分函数求导例题：1、设函数()f x 在[,]a b 上连续，3()()x aF x f t dt =⎰，则()F x '=（ C ）．A ．()f xB ．3()f xC ．233()x f xD ．23()x f x2、设21()arctan x f x tdt =⎰，则()f x '=22arctan x x ．3、设30()sin xf x t dt =⎰，则()f x '=3sin x ．十五、凑微分法求定积分（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、10x ⎰解：注意到32(1)3x x '+=原式301(1)3x =+⎰3223x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰参考公式=13029 十六、定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分，思想与不定积分类似例题：1、4⎰．t =，则22x t dx tdt =⇒= 当0042x t x t ====时，；当时，原式=2200111221+t 1+tt tdt dt +-⋅=⎰⎰2、1⎰t =，则21x t =-，2dx tdt =当0x =时，1t =；当1x =时，t =原积分211)2t t tdt =-⋅ 十七、定积分的分部积分法（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、求定积分20sin x xdx π⎰．解220sin (cos )x xdx xd x ππ=-⎰⎰2、求定积分10x xe dx -⎰ 解11xx xe dx xde --=-⎰⎰十八、求平面图形面积知识点：X 型积分区域的面积求法 Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或Y 型积分区域的面积求法例题：1、求由ln y x =、0x =，ln 2y =及ln 7y =所围成的封闭图形的面积．解：由ln y x =得y x e =面积为ln 7ln 2(0)y S e dy =-⎰2、计算由曲线y =1y =及0x =所围成的图形的面积．解：由1y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩A 为(1,1)面积为1(1S dx =-⎰3、求由曲线1y x =与直线y x =及2x =所围成的平面图形的面积．解：由2y xx =⎧⎨=⎩得交点A 为(2,2)由1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得交点B 为(1,1)面积为211()S x dx x =-⎰。

高数b2教材大一知识点归纳

高数b2教材大一知识点归纳高等数学（高数）是大学中必修的一门基础课程，也是理工科学生的必备技能之一。

在高数课程中，B2教材是大一上学期所学的内容，它包含了许多重要的知识点。

本文将对B2教材中的一些关键知识点进行归纳整理，帮助大家更好地理解和掌握这些内容。

1. 一元函数的极限与连续：一元函数的极限是高等数学中最基本的概念之一。

通过对极限的学习，我们可以更好地理解函数的性质和行为。

在B2教材中，我们学习了极限的定义、性质以及一些常见函数的极限计算方法。

另外，连续函数也是高数中非常重要的内容之一。

我们需要掌握连续函数的定义、性质以及常见函数的连续性分析方法。

2. 导数与微分：导数是函数的变化率的量化描述，也是微积分的重要内容之一。

在B2教材中，我们学习了导数的定义、性质以及一些基本的求导法则。

同时，我们还学习了一些特殊函数的导数计算方法，如幂函数、指数函数、对数函数等。

除了导数，微分也是高数中需要重点掌握的内容。

我们需要了解微分的定义、性质，以及利用微分进行近似计算的方法。

3. 函数的应用：函数的应用是高数教材中非常重要的一部分。

在B2教材中，我们学习了函数在几何、物理、经济等领域中的应用。

例如，我们可以用函数来描述曲线的运动规律、计算物体的速度、解决最优化问题等。

这些应用不仅在理论中具有重要意义，而且在实际生活中也有广泛的应用。

4. 定积分与不定积分：定积分和不定积分是微积分中的另外两个重要概念。

在B2教材中，我们学习了定积分的定义、性质以及一些基本的定积分计算方法，如换元法、分部积分法等。

同时，我们还学习了不定积分的定义、性质以及一些基本的不定积分计算法则。

定积分主要用于计算曲线下的面积、曲线长度等问题，而不定积分则广泛应用于求函数的原函数以及解微分方程等方面。

5. 微分方程：微分方程是高数中的另一个重要内容。

在B2教材中，我们学习了一阶常微分方程的基本概念和解法。

通过学习微分方程，我们可以研究函数的变化规律，解决实际问题，如人口增长模型、药物动力学问题等。

高等数学b复习题

高等数学b复习题高等数学B复习题在大学学习的过程中，高等数学B是一门重要的课程，它涉及到微积分、线性代数、概率统计等多个方面的知识。

为了更好地掌握这门课程，复习题是不可或缺的。

本文将围绕高等数学B的复习题展开讨论，帮助读者更好地复习这门课程。

一、微积分微积分是高等数学B中最重要的部分之一。

在复习微积分时，我们可以从以下几个方面入手：1. 导数与微分导数与微分是微积分的基础概念。

我们可以通过计算导数、求解极值、应用微分等方式来复习这一部分知识。

例如，可以选择一些典型的函数进行求导，如多项式函数、三角函数等，通过计算导数的过程来熟悉导数的定义和性质。

2. 积分与定积分积分与定积分是微积分的另一个重要概念。

在复习这一部分时，可以选择一些典型的函数进行积分计算，如多项式函数、三角函数等。

同时，还可以通过解决一些应用题，如求曲线下面积、求曲线长度等，来加深对积分的理解。

3. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域。

在复习微分方程时，可以选择一些常见的微分方程进行求解，如一阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程等。

同时，还可以通过解决一些实际问题的微分方程模型，如弹簧振动问题、人口增长问题等，来加深对微分方程的理解。

二、线性代数线性代数是高等数学B中的另一个重要部分。

在复习线性代数时，我们可以从以下几个方面入手：1. 矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数的基础概念。

在复习这一部分时，可以选择一些典型的矩阵与行列式进行计算，如矩阵的加减乘除、行列式的计算等。

同时，还可以通过解决一些线性方程组的问题，如高斯消元法、矩阵求逆等，来加深对矩阵与行列式的理解。

2. 向量空间与线性变换向量空间与线性变换是线性代数的另一个重要概念。

在复习这一部分时，可以选择一些典型的向量空间与线性变换进行计算，如向量的线性组合、向量的内积、线性变换的矩阵表示等。

同时，还可以通过解决一些线性变换的问题，如矩阵的相似对角化、线性变换的特征值与特征向量等，来加深对向量空间与线性变换的理解。

高数BI复习要点简单整理

各章知识要点简单整理：第一章：函数、极限与连续一．函数：1. 函数的定义域、奇偶性；2. 有关函数：（1）分段函数（2）复合函数变量会迭代二．极限的计算1. 左右极限在极限计算中的运用（结合分段函数）2. 无穷小的概念（及等价无穷小，高阶同阶无穷小的判别）3. 渐近线（包括水平和铅直）（1）. 若 ()x lim f x A →∞= 则 A y = 水平渐近线（2）. 若 ()x Blim f x →=∞ 则 B x =垂直渐近线4. 极限的计算（方法）：（1）型∞∞ ：例 536523lim22=-+--∞→x x x x x 分子分母同除以最高次幂（2）型0：方法一是通过因式分解或有理化，约去零因子；方法二利用重要极限公式一 1sin lim 0=→xx x方法三等价无穷小替换（3）型∞1：利用重要极限公式二 e xxx =+∞→)11(lim（4）洛比达法则（未定型∞∞,00）：)()(lim)()(lim000x g x f x g x f x x x x ''=→∞∞→型或（未定型极限计算的重要方法，还包括0⋅∞、∞±∞、1∞、0∞、00型等）（5）利用导数的定义：)()()(lim0000x f hx f h x f h '=-+→三．连续性：（1）连续的定义：（2）连续性的讨论（初等函数和分段函数）（3）闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理及介值定理）第二章．导数与微分一．导数的有关概念1定义 2. 导数的写法： dx dyx f y 、、)(''3 在某点0x 的导数：00)(0x x x x dxdyx f y ==''、、二．导数的计算1. 求导公式及四则求导法则：2. 复合函数链导法3. 特殊函数的求导（1）隐函数（2）参数方程确定的函数 4. 对数求导法：（1）幂指函数（2）含有乘积、商、次幂的混合运算5. 高阶导数和微分第三章导数的应用1．曲线上一点的切线和法线方程（利用导数的几何意义：的切线点0)(0x Kx f ='）2．中值定理：（1）罗尔定理（2）拉格郎日定理（条件和结论及简单的证明）3．利用一阶导数判别函数)(x f y =的单调性（及极值点）利用二阶导数判别函数)(x f y =的凹凸性（及拐点）4．最值的两种：（1）闭区间上连续函数的最值（比较区间端点和可能极值点）.（2）唯一的极值就是最值（应用：其步骤为构造函数，再求该函数的最值）5．曲率的计算（公式记住）第四、五章：一元函数积分学一．不定积分 1. 概念：()()()()()()()()dF x f x dx F x f x F x f x f x dx F x c'=⇔=⇔⇔=+⎰是的一个原函数2. 积分法：（1）.第一类换元法（凑微分法）（2）.第二类换元法（3）.分部积分法二．定积分： 1. 概念与性质：（1）⎰b adx x f )(的几何意义：表示曲边梯形的面积（2） NL 公式：)()()()(a F b F x F dx x f b aba-==⎰（3） dx x f dx x f a bb a⎰⎰-=)()( ；()()()c b c aabf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰（4）⎰⎰=b abadt t f dx x f )()(（5）. 积分上限函数的导数、极限：)())((x f dt t f xa='⎰)（6）0,()()2(),()l llf x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰若是奇函数若是偶函数 2. 计算：（NL 公式）（1）定积分的第一、二类换元法、分部积分法（2）广义积分3. 应用：利用元素法计算：曲边梯形的面积、旋转体体积、弧长4. 证明：积分换元法（利用第2类换元积分法——换元也换限，积分值不变）。

大一高数b2知识点总结

大一高数b2知识点总结大一高等数学B2知识点总结高等数学是大学数学课程中的基础课程之一，对于学习理工科及相关专业的学生来说尤为重要。

其中，大一下学期的高等数学B2是高等数学的延续和深化，内容相对较为复杂。

本文将对大一高等数学B2的主要知识点进行总结，帮助读者理清思路，更好地掌握这门课程。

一、数列与级数1. 数列的概念和性质数列由一系列有序数构成，可以分为等差数列、等比数列等特殊类型。

数列的极限是数列研究的重要内容之一。

2. 数列的极限数列的极限是指当自变量趋于无穷大时，函数值趋于某个确定的值。

极限的定义、计算和性质是数列与级数章节的重点内容。

3. 数列极限存在准则存在着许多判定数列极限存在的准则，如夹逼准则、单调有界准则等。

通过应用这些准则，可以更方便地判断数列的极限是否存在。

4. 无穷级数级数是指将一系列数相加而得到的无穷和。

级数的概念、性质以及级数的收敛与发散等都是需要掌握的重要知识点。

二、函数的微分学1. 导数的概念与几何意义导数是函数微分学中的重要工具，表示函数在某一点的变化率。

理解导数的概念以及其在几何上的意义，对于后续的微分学习具有重要意义。

2. 导数的计算法则微分学中有一系列计算导数的法则，如常数法则、幂函数法则、和差商法则等。

这些法则的灵活应用可以大大简化计算过程。

3. 高阶导数与隐函数求导导数的概念不仅可以推广到高阶导数，还可以应用于隐函数求导的问题。

高阶导数和隐函数求导的应用非常广泛，需要掌握相应的计算方法。

4. 函数的极值与最值导数的概念与函数的极值与最值有着密切的联系。

通过求解导数为零的点或者利用导数的符号变化可以确定函数的极值与最值。

三、不定积分与定积分1. 基本不定积分不定积分是定积分的重要前提，学习基本不定积分的计算方法是掌握定积分的基础。

2. 定积分的概念与性质定积分是对函数在一定区间上的加和操作，可以理解为曲线下的面积。

定积分的计算和性质是学习定积分的重点。

3. 定积分的计算方法定积分的计算可以通过数值积分法、换元积分法、分部积分法等方法进行。

大一高等数学b知识点

大一高等数学b知识点一、导数与微分在大一高等数学B课程中，导数与微分是非常重要的知识点。

导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的瞬时变化速率。

微分是导数的一种运算形式，它可以用来近似计算函数在某一点的函数值。

1. 导数的定义导数的定义是函数在某一点的极限值，表示函数在该点的瞬时变化率。

导数可以通过求极限的方式来计算。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为：f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗导数的计算可以应用各种求导法则，如常数法则、幂法则、指数函数与对数函数的导数、三角函数的导数等。

2. 微分的定义微分是导数的一种运算形式，表示函数在某一点的线性逼近。

对于函数f(x)，它在点x处的微分可以表示为：df(x) = f'(x)dx微分的计算常常用于近似计算函数值，通过微分可以得到函数的线性近似公式。

二、常微分方程常微分方程是大一高等数学B课程中的另一个重要知识点。

它描述了未知函数及其导数之间的关系，并且通常包含一个或多个初始条件。

1. 一阶常微分方程一阶常微分方程表示函数的导数只涉及一阶导数的方程。

一阶常微分方程可以分为可分离变量方程、一阶线性方程、齐次方程、一阶 Bernoulli 方程等几种类型。

2. 高阶常微分方程高阶常微分方程表示函数的导数涉及多阶导数的方程。

高阶常微分方程通常可以通过特征根法、常数变易法、幂级数法等方式求解。

三、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是大一高等数学B课程的重点内容之一。

多元函数是指依赖于多个变量的函数，而偏导数是多元函数关于其中一个变量的导数。

1. 多元函数的定义与性质多元函数是指依赖于多个变量的函数，例如f(x,y)。

多元函数的定义与一元函数类似，可以进行加减乘除、求导等运算。

2. 偏导数的定义与计算偏导数是多元函数对其中一个变量的导数，其他变量视为常数。

对于多元函数f(x,y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x, ∂f/∂y偏导数的计算可以应用各种求导法则，与一元函数的导数计算类似。

高数B1复习知识点

高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质，常用的经济函数； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数（5类）：图像特征，性质 4、函数的连续性与间断点；（重点）间断点：第一类，第二类；5、闭区间上连续函数的性质. （二）极限1、定义2、无穷小（大）量无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 3、求极限的方法1）极限运算准则及函数连续性； 2）两类重要极限：（重点）a)1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 3）等价无穷小代换：（重点）二、导数与微分（一）导数1、定义，左（右）导数定义 2、几何意义； 3、可导与连续的关系； 4、求导的方法1）导数定义；（重点） 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）；（重点） 5）隐函数求导数；（重点） 6）参数方程求导；（重点） 7）对数求导法. （重点） 8）抽象函数求导（重点） 5、高阶导数：定义，计算 6、导数在经济中的应用：边际函数、弹性函数（二）微分 1）定义； 2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且()dy f x dx '=（重点）三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 定理：（重点），Lagrange 中值定理（重点）；（二）洛必达法则（重点）（三）单调性及极值1、单调性判别法：（重点）2、极值及其判定定理：a) 第一充分条件：（重点）b) 第二充分条件：（重点）3、凹凸性及其判断，拐点1）判定定理（重点）：3）拐点：坐标))(,(00x f x .4、最值及其判断，经济应用. （重点）（四）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；（重点）3、利用极值（最值）.（五）渐近线铅直渐近线，水平渐近线.四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：定义（重点）2、不定积分：定义，性质.3、基本积分表（13个公式）；（重点）（二）换元积分法（重点）1、第一类换元法（凑微分）： 2、第二类换元法（三角代换、倒代换、根式代换等）：（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv （重点）（四）有理函数积分1、“拆”；五、定积分（一）概念与性质：1、定义：2、性质：（7条）（二）微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）（重点）1、变上限积分：定义，求导公式2、（牛顿-莱布尼茨公式）（三）本文档部分内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！（四）1、。

高等数学b2期末复习要点

第八章空间解析几何知识要点：会向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；了解单位向量、方向余弦的概念。

两向量平行或垂直的充要条件。

向量的坐标表达式及其运算；平面方程和直线方程及其求法。

1、向量→→→→+-=k j i a 32与→→→→++=k j i b 254的夹角是（ C ） A 、4π B 、3π C 、2π D 、6π 2、向量()111,,a x y z →=与 ()222,,b x y z →=平行的充要条件是（ A ）A 、0=⨯→→b a B 、1212120x x y y z z ++= C 、cos ,0a b →∧→⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、0=⋅→→b a3、若c a b a⋅=⋅，则（ D ）A 、c b =B 、b a ⊥且c a⊥ C 、0 =a 或()0 =-c b D 、()c b a -⊥4、直线与平面的位置关系是（ D ）． A. 垂直； B.相交但不垂直； C. 直线在平面上； D. 平行． 5、直线与平面的位置关系是（ A ）． A. 垂直； B.相交但不垂直； C. 直线在平面上； D. 平行．6、直线431232--=+=-z y x 与平面03=-++z y x 的关系是（ C ） A 、垂直 B 、平行 C 、直线在平面上 D 、以上都不对7、在z 轴上与两点()7,1,4-A 和()2,5,3-B 等距离的点的坐标为 ⎪⎭⎫⎝⎛91400， 8、在轴上与点和点等距离的点为 9、z 轴上与点()1,7,3A -和点()5,5,7B -等距离的点是（0,0,2） . 10、设向量与垂直，则 8 11、设，且，则=12、设()2,1,2=→a ，()10,1,4-=→b ，→→→-=a b c λ，且→→⊥c a ，则=λ 3 13、已知两点和，平行于37423zy x =-+=-+3224=--z y x 723zy x =-=8723=+-z y x y ()7,3,1-A()5,7,5-B ()0,2,0(0,1,4)a =-(1,,2)b k =k =4,2λ=+-=+a i j k b i k ⊥a b λ12()5,0,4A ()3,1,7B AB )2,1,3-14、平行于()6,7,6a →=-的单位向量为676,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭. 15、已知点()1,3,4A -，()2,1,1B --，()3,1,1C --，则ABC ∠= 4π16、求平行于y 轴，且经过点()2,2,4-P 和()7,1,5Q 的平面方程解：y 轴的方向向量()0,1,0=s ，()9,1,1-=PQ则所求平面的法向量为()1,0,9911010-=-=⨯=k j i PQ s n 所求平面方程为()()()()0212049=+-+-+-z y x 即0389=--z x17、求过点()()27413821，，，，，P P -且垂直于平面0217531=+-+z y x ：π的平面方程。

高数b1大一上知识点

高数b1大一上知识点高数(b1)是大一上学期的一门重要课程，它为我们奠定了数学基础，培养了抽象思维和逻辑推理能力。

在这门课中，我们学习了许多重要的知识点，包括函数与极限、导数、微分和积分等等。

下面，我将以一个更具深度和广度的方式，来介绍这些重要的知识点。

首先，我们来谈谈函数与极限。

函数是数学中常见的概念，它描述了两个变量之间的关系。

在高数(b1)中，我们主要学习了一元函数和二元函数。

对于一元函数，我们学习了函数的定义域、值域、图像和性质等。

而对于二元函数，我们学习了函数的二重积分和曲线积分等。

而极限则是函数与数列的重要概念，它描述了函数在某一点或者数列在无穷时的趋势。

通过学习函数和极限，我们可以更好地理解和分析数学问题。

其次，我们来讨论导数和微分。

导数是函数的重要性质，它描述了函数在某一点的变化率。

在高数(b1)中，我们学习了导数的求法和性质，包括导数的四则运算规则、链式法则和隐函数求导等。

微分则是对导数的深入研究，它描述了函数在某一点的线性近似。

通过学习导数和微分，我们可以更好地理解函数的变化规律，从而解决一些实际问题。

最后，我们来探讨积分。

积分是对函数的另一种性质的研究，它描述了函数在一定区间上的总体变化量。

在高数(b1)中，我们学习了定积分和不定积分。

定积分描述了函数在一定区间上的面积或者曲线长度，而不定积分则是定积分的逆运算，它表示了函数在某一点的原函数。

积分在各个领域中都有广泛的应用，包括物理、经济和工程等。

通过学习积分，我们可以更好地理解和解决实际问题。

高数(b1)大一上的知识点涉及了函数与极限、导数、微分和积分等多个方面。

这些知识点不仅仅是为了应付考试，更是为了培养我们的数学思维和解决实际问题的能力。

在学习过程中，我们应该注重理论与实践相结合，通过练习和思考来巩固所学知识。

同时，我们也要注意课堂听讲和思维交流，获取更多的启发和帮助。

希望通过努力学习，我们可以在数学领域中有所建树，并能够应用数学知识解决实际问题。

高数B1复习知识点

高数B1复习知识点本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质，常用的经济函数； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数（5类）：图像特征，性质 4、函数的连续性与间断点；（重点）间断点：第一类，第二类；5、闭区间上连续函数的性质. （二）极限1、定义2、无穷小（大）量无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 3、求极限的方法1）极限运算准则及函数连续性； 2）两类重要极限：（重点）a)1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 3）等价无穷小代换：（重点）二、导数与微分（一）导数1、定义，左（右）导数定义 2、几何意义； 3、可导与连续的关系； 4、求导的方法1）导数定义；（重点） 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）；（重点） 5）隐函数求导数；（重点） 6）参数方程求导；（重点） 7）对数求导法. （重点） 8）抽象函数求导（重点） 5、高阶导数：定义，计算 6、导数在经济中的应用：边际函数、弹性函数（二）微分 1）定义； 2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且()dy f x dx '=（重点）三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 定理：（重点），Lagrange 中值定理（重点）；（二）洛必达法则（重点）（三）单调性及极值1、单调性判别法：（重点）2、极值及其判定定理：a) 第一充分条件：（重点）b) 第二充分条件：（重点）3、凹凸性及其判断，拐点1）判定定理（重点）：3）拐点：坐标))(,(00x f x .4、最值及其判断，经济应用. （重点）（四）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；（重点）3、利用极值（最值）.（五）渐近线铅直渐近线，水平渐近线.四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：定义（重点）2、不定积分：定义，性质.3、基本积分表（13个公式）；（重点）（二）换元积分法（重点）1、第一类换元法（凑微分）： 2、第二类换元法（三角代换、倒代换、根式代换等）：（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv （重点）（四）有理函数积分1、“拆”；五、定积分（一）概念与性质：1、定义：2、性质：（7条）（二）微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）（重点）1、变上限积分：定义，求导公式2、（牛顿-莱布尼茨公式）。

高等数学B1复习内容总结

第1章函数第2章极限与连续一、基本内容1、了解极限的定义2、掌握极限的性质与运算3、求极限：极限存在准则，两个重要极限，无穷小的等价代换4、无穷小的阶5、函数的连续与间断6、闭区间上连续函数的性质第3章导数一、基本内容1．导数的定义：（三种定义形式总结）2．可导与连续的关系：可导一定连续，连续未必可导3．基本求导法则和基本求导公式：4．复合函数求导数(一阶，二阶)：5．隐函数求导数(一阶，二阶)：6．幂指函数求导数（对数求导法）：7．抽象函数求导数(一阶，二阶)：8．简单的高阶导数：9．函数的微分：10．可导和可微的关系：第四章中值定理与导数的应用1．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日定理，栖西定理2．洛必达法则求极限：0,0∞∞；0,⋅∞∞-∞；001,,0∞∞3．函数性态研究：单调性与极值，最值，凹向性与拐点，渐近线4．导数在几何上的应用，导数在经济问题中的应用第五章不定积分一、不定积分的定义、性质1、原函数、不定积分的定义原函数：I x ∈∀，)()('x f x F =，称)(x F 为)(x f 的一个原函数。

不定积分：C x F dx x f +=⎰)()(2、不定积分的性质符号性：)(]')([x f dx x f =⎰ dx x f dx x f d )(])([=⎰C x F dx x F +=⎰)()(' ⎰+=C x F x dF )()(齐性⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( 0≠k加性[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰二、基本积分公式1、基本公式(1)C dx =⎰0 (2)C x dx x ++=+⎰111ααα（1-≠α） (3)C x dx x +=⎰||ln 1 )0(≠x (4)C a adx a x x +=⎰ln 1 (5)C e dx e x x +=⎰ (6)C x xdx +-=⎰cos sin (7)C x xdx +=⎰sin cos (8)C x xdx +-=⎰cot csc 2(9)C x xdx +=⎰tan sec 2 (10)C x xdx x +=⎰sec tan sec(11)C x xdx x +-=⎰csc cot csc (12)C x dx x +=-⎰arcsin 112 (13)C x dx x+=+⎰arctan 112 2、补充公式(1)tan ln |cos |xdx x c =-+⎰ (2)⎰xdx cot c x +=|sin |ln (3)221ln 2dx a x c a x a a x +=+--⎰ (4)⎰-22ax dx c a x a x a ++-=ln 21 (5)⎰+22x a dx 1arctan x c aa =+ (6)arcsin x c a =+⎰ (7)⎰+22x a dx c a x x +++=||ln 22 (8)⎰xdx csc c x x +-=|cot csc |ln (9)⎰xdx sec c x x ++=|tan sec |ln三、积分法1、常用的凑微分法 (1) 212xdx d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭2221()()2xf x dx f x dx ⇒=⎰⎰ (2) ()1ln dx d x x =1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x⇒=⎰⎰d=2f dx f ⇒=⎰⎰(4) ()()x x x x x x e dx de e f e dx f e de =⇒=⎰⎰(5) ()sin cos sin (cos )(cos )cos xdx d x xf x dx f x d x =-⇒=-⎰⎰(6) ()cos sin cos (sin )(sin )sin xdx d x xf x dx f x d x =⇒=⎰⎰ (7)()2211tan (tan )(tan )tan cos cos dx d x f x dx f x d x x x=⇒=⎰⎰ (8) ()2211cot (cot )(cot )cot sin sin dx d x f x dx f x d x x x=-⇒=-⎰⎰ (9) 2211arctan (arctan )(arctan )arctan 11dx d x f x dx f x d x x x=⇒=++⎰⎰arcsin (arcsin )(arcsin )arcsin d x f x dx f x d x =⇒=⎰ (11) sec tan sec sec tan (sec )(sec )sec x xdx d x x xf x dx f x d x =⇒=⎰⎰ (12) csc cot (csc )csc cot (csc )(csc )csc x xdx d x x xf x dx f x d x =-⇒=-⎰⎰2、常用换元法(1) 若被积函数中含有22x a -，令t a x sin =，)2,2(ππ-∈t (2) 若被积函数中含有22x a +，令t a x tan =，)2,2(ππ-∈t (3) 若被积函数中含有22a x -，令t a x sec =，)2,0(π∈t (4) 倒代换法，令1x t=(5) (R x dx ⎰，令t =(6) 2(,)R x ax bx c dx ++⎰，配方(7) 负代换：x t =- (8) 2π代换：2x t π=± (9) π代换：x t π=±(10) 周期代换：x T t =±4、分部积分(1) uvdx ⎰ 利用“LIATE ”或“对反幂三指”规则凑成分部积分公式计算(2) 被积函数为一个函数，不能利用换元积分，则直接利用分部积分公式(3) 良性循环的分部积分(4) 换元积分+分部积分(5) 递推公式第六章定积分一、基本内容1、定积分的定义及性质2、微积分基本定理3、不定积分的定义、性质，换元积分法与分部积分法4、定积分的计算5、反常积分6、定积分的应用。

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