关于高等数学b上 复习资料归纳

华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导

一、 求函数值 例题：

1、若2()f x x =，()x x e ϕ=，则(())f x ϕ= ． 解：()

2

2(())()x

x x f x f e e

e ϕ===

2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+

即 ()23f x x =+

二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：

无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替

换

例题： 1、320sin 3lim x x

x

→= 解：当0sin3~3x x x →，

， 原式=3

200(3)lim lim270x x x x x

→→==

2、0sin3lim

x x x

→=

解：原式=03lim 3x x

x →=

3、201-cos lim

x x

x

→=

解：当2

10cos ~2x x x →，1-

原式=220112lim 2

x x

x →=

4、0ln(13)

lim x x x

→+=

解：当03)~3x x x →，ln(1+

原式=.03lim

3x x

x

→=. 5、201

lim x x e x

→-=

解：当201~2x x e x →-，

原式=.02lim 2x x x →=.

三、 多项式之比的极限

2lim 03x x

x x →∞=+，22

11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x

→∞+=∞ 四、 导数的几何意义（填空题）

0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率

曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为： 例题： 1、曲线44x

y x

+=-在点(2,3)M 的切线的斜率． 解：2

22

(4)'(4)(4)(4)(4)x x x x x x y x =='

+--+-'=- 2、曲线cos x x

y e

=

在点(0,1)M 处的切线方程．

解：2

(cos )'cos ()()x x x x x x e x e y e =='

-'= 所以曲线cos x x

y e

=

在点(0,1)M 处的切线方程为： 1(0)y x -=--，即10x y +-=

3

、曲线y =

在点(1,1)M 处的切线方程．

解：5

3

11

2233x x y x =='=-=-

所以曲线y =

在点(1,1)M 处的切线方程为：

2

1(1)3y x -=--，即2350x y +-=

五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则： 微分：()dy f x dx '= 例题：

1

、设y ='y =

解：()(

)1'

2

221112

y x x -'=+⋅+=

2、设2sin y x =，则'y = 解：()

'

'

2

22cos 2cos y x x

x x =⋅=

3、设sin 2x y =，则dy =

解：()'

'sin sin 2ln 2sin 2cos ln 2x x y x x =⋅= 则dy =sin 2cos ln 2x x dx 4、设sin x y e =，则dy = 解：()'

'

cos cos x

x x

x y e e

e

e =⋅=

所以cos x x dy e e dx = 5、设2

x y e

-=，则dy =（答案：2

2x xe

dx --）

六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：

1、求ln y x x =的单调区间和极值． 解：定义域(0,)x ∈+∞

令ln 10y x '=+=，求出驻点1x e -=

函数的单调递减区间为1(0,]e -，单调递增区间为1(,)e -+∞

极小值为11

()y e e =-．

2、求x y xe -=的单调区间和极值． 解：定义域(,)x ∈-∞+∞

令(1)0x x x y e xe x e --'=-=-=，求出驻点1x =

函数的单调递减区间为[1,)+∞，

单调递增区间为(,1)-∞， 极大值为1(1)y e -=． 3、求函数.2

()x f x e

-=.的单调区间和极值．

解：定义域(,)x ∈-∞+∞ 令2

()2x f x xe -'=-，得0x =

单调递增区间：(,0)-∞，单调递减区间：(0,)+∞， 极大值为(0)1f =．

4、求函数31()3f x x x =-的极值．答案：极小值为2(1)3y =-，极大值为2

(1)3y -=

七、 隐函数求导 例题：

1、求由方程2sin 0x e y xy +-=所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx

． 解：方程两边关于x 求导，得：

即 2cos 2x

y e y y xy

-'=-

2、求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy dx

． 解：方程两边同时关于x 求导，得： 即

3、求由方程sin()y x y =+所确定的隐函数()y y x =的导数dy

dx

． 答案： cos()1cos()

dy x y dx x y +=-+ 4、求由方程ln ln 0xy x y ++=所确定的隐函数()y y x =的导数

dy

dx

． 答案： dy y dx x

=- 八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：

1、求极限01

1lim 1sin x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 解：原式0sin (1)

lim (1)sin x x x x e e x

→--=-