【2019秋人教必修2】第六章平面向量及其应用章末复习课

章末复习课

[网络构建]

1

[核心归纳]

1.五种常见的向量

(1)单位向量：模为1的向量.

(2)零向量：模为0的向量.

(3)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量.

(4)相等向量：模相等，方向相同的向量.

(5)相反向量：模相等，方向相反的向量.

2.两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.

3.两个非零向量平行、垂直的等价条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：

(1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0，

2

3

(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.

4.平面向量的三个性质

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.

(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB

→|＝

（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.

(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝

a ·

b |a ||b |

＝

x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21

x 22＋y 22

.

5.向量的投影

向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝

a ·

b |b |

，其中θ为a 与b 的夹角.

6.向量的运算律

(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ，a ·b ＝b ·a .

(2)结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ，a －b －c ＝a －(b ＋c )，(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ). (3)分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . (4)重要公式：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.

7.正弦定理与余弦定理

定理正弦定理余弦定理

内容

a

sin A

＝

b

sin B

＝

c

sin C

＝2R

a2＝b2＋c2－2bc cos A

b2＝c2＋a2－2ac cos B；

c2＝a2＋b2－2ab cos C；

变形公式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin

C；

②sin A＝

a

2R

，sin B＝

b

2R

，sin C＝

c

2R

；

③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

④

a＋b＋c

sin A＋sin B＋sin C

＝

a

sin A

cos A＝

b2＋c2－a2

2bc

；

cos B＝

a2＋c2－b2

2ca

；

cos C＝

a2＋b2－c2

2ab

要点一平面向量的线性运算及应用

向量线性运算的基本原则和求解策略

4

5

(1)基本原则：

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.

(2)求解策略：

①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.

②字符表示下线性运算的常用技巧：

首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB

→－OA →＝AB →.

【例1】 若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )

A.16

5

B.125

C.85

D.45

6

解析 因为CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →

，

所以CD →＝45CB →＝45

(AB →－AC →)＝rAB

→＋sAC →，

所以r ＝45，s ＝－4

5，所以3r ＋s ＝125－45＝8

5

.

答案 C

【训练1】 如图所示，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，

则λ＋μ等于( )

A.43

B.53

C.158

D.2

解析 因为AC

→＝λAM →＋μBD →，

＝λ(AB

→＋BM →)＋μ(BA →＋AD →) ＝λ⎝

⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB

→＋AD →)