大连理工大学单独考试数学2020年考研专业课初试大纲

大连理工大学 2020 年单独考试硕士研究生入学考试大纲
数学
单考“数学”试题分为客观题型和主观题型，其中客观题型（填空题）占 40%， 主观题型（计算题、简单的的推导与证明题）占 60%，具体复习大纲如下：
一、函数、极限、连续 1． 理解数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。
类型
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
—2—
(arccos x) 1 1 x2
(arctan
x)
1
1 x
2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
（1）[u(x) v(x)] u(x) v(x)
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x)
来自百度文库
1 1 x2
dx
d
(arc
cot
0
例如：洛必达法则：“ ， ”型
lim
f (x) lim
f (x)
0
xx0 g(x) xx0 g(x)
7. 理解函数的极值并会利用导数判别函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (水平、铅直和斜渐近线)。
1．方法：利用最值，单调性证不等式
单调性：单调升： f (x1) f (x2 ) ，当 x1 x2 时
x0 x
lim x 0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
，
f
(x0 )
lim
h0
f
( x0
h) h
f
(x0 )
和
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 ) a f(x0 ) f(x0 ) a
f ( x0
)
lim
h0
f (x0 h) h
f (x0 )
d (cos x) sin xdx
(tan x) sec2 x
d (tan x) sec2 xdx
(cot x) csc2 x
d (cot x) csc2 xdx
(sec x) sec x tan x
d (sec x) sec x tan xdx
(csc x) csc x cot x
lim
x x0
f
(x)
a
lim
x x0
f
(x)
lim
x x0
f
(x)
a
lxim
f
(x)
a
lim
x
f
(x)
lim
x
f
(x)
a
2． 理解并掌握无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。
当 x 0 时 x ~ sin x ~ ln(1 x) ~ ex 1
3． 求极限的方法：熟练理解并掌握极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹
lim
ln
f( 1
x
)
lim f (x) g x elim g ( x)ln f ( x) e g ( x)
②
有理函数
Rx
Px Qx极限（
x
x0 ,
x
）
4.理解函数的连续性（含左连续与右连续）、会求函数间断点的类型。
类型 lim x x0
f (x)
f (x0 )
lim
x x0
f (x)
lim
逼准则、两个重要极限
① 利用连续性
lxim0
sin x
x
1
②
两个重要极限
lim1
x0
1
xx
e
lim1 x
1 x x
e
② 无穷小等价代换
当 x 0 时 x ~ sin x ~ ln(1 x) ~ ex 1 1 cos x ~ x2 2
② “1 ”型 f (x) gx 利用重要极限式指数化
d (csc x) csc x cot xdx
(ax ) ax ln a
d (ax ) ax ln adx
(ex ) ex
(loga
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
d (ex ) exdx
d (loga
x)
1 x ln a
dx
d (ln x) 1 dx x
x)
1
1 x2
dx
（2）[u(x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x) ， [cu(x)] cu(x)
（3）。
u(x)
v(x)
u(x)v(x) u(x)v(x) v2 ( x)
(v(x)
0)
c
v(x)
cv( x) v2 ( x)
(v(x)
0)
(4) 复合函数导数 y f (u),u g(x), y f [g(x)] ， u 称为中间变量， dy dy du dx du dx
单调降： f (x1) f (x2 ) ，当 x1 x2 时
f 0 ， f 单调升， f 0 ， f 单调降
利用单调性证不等式，证 f (x) g(x) ， h(x) f (x) g(x) ， h(x0 ) 0
2．求导时最多到二阶
f (x) （由此可求两个参数）
4． 熟练理解并掌握闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定
理、零点定理)。
二、一元函数微分学
1. 理解导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间
的关系、掌握平面曲线的切线和法线方程的计算方法。
导数定义：
f (x0 )
y = lim
dy
x （5）
y
(t) (t)
；参数方程求二阶导数
dy dx
dt dx
dy d 2 y dy dt ， dx2 dx dx
dt
dt
x (t)
y
(t
)
d 2 y (t)(t) (t)(t)
dx2
3 (t )
3. 熟练掌握复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。 例如：隐函数求二阶导数：F(x,y)=0 y=y(x),方程两边对 x 求导，y 的函数看成 x 的 复合函数 4. 理解高阶导数的概念并会计算分段函数的二阶导数、某些简单函数的 n 阶导数。 5. 熟练理解并掌握微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理。 6. 熟练理解并掌握利用洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限。
可导必连续，连续未必可导
2. 掌握基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。
初等函数求导公式（16 个求导公式，5 个求导法则）
导数公式
微分公式
(x ) x 1
d (x ) x 1dx
(sin x) cos x
d (sin x) cos xdx
(cos x) sin x
x x0
f (x)
f (x0 )
理解续函数的性质和初等函数的连续性，能判断分段函数的连续性。
1．定义：如果 lim x x0
f (x)
f (x0 ) 那么就称函数 y
f (x) 在点 x0 连续。
lim y 0
x 0
—1—
2．主要条件： lim x x0
f
(x)
f (x0 )
lim
x x0