高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
概率论常见题型与解题方法归纳(1)高级版
概率论常见题型与解题方法归纳(1)高级版1.介绍本文档将归纳概率论中常见的题型和解题方法，旨在帮助读者更好地理解概率论并有效地解决相关题目。
2.题型分类概率论题目可以分为以下几类：2.1.单个事件概率计算题这类题目要求计算某个单个事件的概率，常见的方法有：列举法：将所有可能的情况列出，并计算出每种情况的概率，再求和得到结果。
组合计算法：根据问题条件，利用组合的概念计算概率。
2.2.多个事件概率计算题这类题目要求计算多个事件的概率，常见的方法有：相互独立事件：如果多个事件之间相互独立，即一个事件的发生不受其他事件的影响，则可以将各个事件的概率相乘得到最终结果。
互斥事件：如果多个事件之间互斥，即一个事件的发生排除其他事件的发生，则可以将各个事件的概率相加得到最终结果。
2.3.条件概率计算题这类题目要求计算给定某个条件下的概率，常见的方法有：条件概率公式：根据条件概率的定义计算给定条件下的概率。
贝叶斯公式：根据贝叶斯公式计算给定条件下的概率。
2.4.事件独立性判断题这类题目要求判断多个事件之间是否相互独立，常见的方法有：条件概率判断法：根据条件概率的定义判断事件之间的独立性。
互斥性判断法：根据事件互斥的定义判断事件之间的独立性。
3.解题方法在解题过程中，可以采用以下几种方法：3.1.符号化方法将问题中的各个事件和条件符号化，利用符号化的表示，可以更方便地进行计算和推导。
3.2.样本空间构建方法通过构建问题的样本空间，可以更清晰地理解问题，并针对样本空间进行计算和推导。
3.3.利用统计工具方法在解决复杂的概率问题时，可以利用统计工具（如计算机模拟、抽样等）来获取近似答案或验证推论。
4.总结本文档介绍了概率论中常见的题型和解题方法。
读者可以根据题目类型选择相应的解题方法，并结合符号化、样本空间构建和统计工具等方面进行解答。
希望本文档能够帮助读者更好地掌握概率论知识，提高解题能力。
高考概率的热点题型及其解法
2011年高考二轮专题7：高考概率的热点题型及其解法 概率的解答题已成为近几年高考中的必考考内容，难度中挡，主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在今年的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：（2010天津18）.（本小题满分12分） 某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。
另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ理科）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。
【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。
（1）解：设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ~25,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 22252240(2)133243P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （Ⅱ）解：设“第i 次射击击中目标”为事件(1,2,3,4,5)i A i =；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ,则 123451234512345()()()()P A P A A A A A P A A A A A P A A A A A =++ =3232321121123333333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=881（Ⅲ）解：由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6 312311(0)()327P P A A A ζ⎛⎫==== ⎪⎝⎭123123123(1)()()()P P A A A P A A A P A A A ζ==++ =222112112233333339⎛⎫⎛⎫⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1232124(2)()33327P P A A A ζ===⨯⨯= 123123(3)()()P P A A A P A A A ζ==+=2221118333327⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 123(6)()P P A A A ζ===328327⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以ξ的分布列是例2：（2010北京理数17） (本小题共13分)某同学参加3门课程的考试。
高中概率题型及解题方法
高中概率题型及解题方法概率是高中数学中重要且有趣的话题。
它涉及到事件发生的可能性，并通过数学方法计算概率值。
在高中学习中，学生经常会遇到各种概率题型。
本文将介绍一些常见的高中概率题型及解题方法。
1. 事件概率计算：在这种类型的题目中，我们需要计算某个特定事件发生的概率。
一般情况下，事件概率等于事件发生的次数除以总的可能次数。
解决这类问题时，关键是确定事件发生的次数和总的可能次数。
2. 独立事件概率计算：当我们面对多个独立事件时，我们可以将每个事件的概率相乘来得到它们同时发生的概率。
例如，投掷一枚硬币和掷一颗骰子是独立事件，我们可以计算得到同时出现正面和点数为3的概率。
3. 互斥事件概率计算：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
在这种情况下，我们可以计算每个事件发生的概率并将它们相加。
例如，抽一张扑克牌，获得红桃和黑桃的两个事件就是互斥事件，我们可以计算它们的概率并相加。
4. 条件概率计算：当我们已经知道某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，我们可以使用条件概率来解决问题。
条件概率等于两个事件同时发生的概率除以已知条件发生的概率。
解题时，我们需要明确给出的条件和需要计算的事件。
5. 排列组合问题：在一些概率问题中，我们需要考虑对象的排列顺序或组合方式。
这涉及到排列和组合的概念。
排列是指对象的顺序，组合是指对象的选择，与顺序无关。
解决这类问题时，我们需要正确地使用排列和组合的公式。
高中概率题型多种多样，每个题目都有其独特的解题方法。
关键是理解概率的基本概念，掌握如何把问题转化为数学语言，并使用适当的公式和计算方法得出正确的答案。
通过反复的练习和理解，我们可以在高中学习中显著提高我们的概率问题解决能力。
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()426511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()22323442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙∙∙∙∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∙∙∙∙=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P（A 1）=.943!3424=⋅C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P（A 3）=271334=，事件A 2的概率为P（A 2）=1－P（A 1）－P（A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P（A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。
高中数学解概率题的常用技巧和注意事项
高中数学解概率题的常用技巧和注意事项概率题是高中数学中的一个重要考点，也是让很多学生头疼的难题。
在解概率题时，我们需要掌握一些常用的技巧和注意事项，以提高解题的效率和准确性。
本文将介绍几个常见的概率题类型，并给出相应的解题技巧和注意事项。
一、排列组合型概率题在排列组合型概率题中，常常涉及到从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的情况。
例如：从10个不同的球中任意取3个，求其中有2个红球的概率是多少？解题技巧：1. 确定元素个数和要求的条件：在这个例子中，元素个数为10，要求有2个红球。
2. 计算总的可能性：从10个球中任意取3个的总共可能性为C(10,3)。
3. 计算满足条件的可能性：从10个球中选取2个红球的可能性为C(4,2)，再从剩下的6个球中选取1个非红球的可能性为C(6,1)。
4. 计算概率：满足条件的可能性除以总的可能性即为所求的概率。
注意事项：1. 在计算组合数时，要注意使用组合公式C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)。
2. 在计算概率时，要将满足条件的可能性除以总的可能性。
二、事件的互斥与独立性在概率题中，有时会涉及到多个事件的互斥或独立性。
例如：从一副扑克牌中任意抽取2张牌，求第一张是红心牌，第二张是黑桃牌的概率是多少？解题技巧：1. 确定事件的互斥与独立性：在这个例子中，第一张是红心牌与第二张是黑桃牌是两个独立的事件。
2. 计算第一张是红心牌的概率：红心牌有13张，总共有52张牌，所以第一张是红心牌的概率为13/52。
3. 计算第二张是黑桃牌的概率：黑桃牌有13张，总共有51张牌，所以第二张是黑桃牌的概率为13/51。
4. 计算概率：两个事件独立，所以将两个概率相乘即为所求的概率。
注意事项：1. 在判断事件的互斥与独立性时，要根据题目中给出的条件进行分析。
2. 在计算概率时，要注意将独立事件的概率相乘。
三、条件概率与贝叶斯定理在概率题中，有时会涉及到条件概率与贝叶斯定理。
高考数学概率大题技巧
高考数学概率大题技巧高考数学考试概率大题考查学生对概率基本概念及计算方法的掌握，需要学生通过题目的分析，灵活运用概率的基本概念，精细计算概率，从而回答问题。
以下将为大家介绍几个常见的概率大题及解题思路。
一、排列组合类型的概率题例如：已知有6本书，其中3本属于文学类，3本属于科技类。
现从这6本书中任选2本，请问这2本书属于同一类的概率是多少？解：首先我们可以看一下这道题的结构，它是一个从6本书中选2本的问题，只要明白这个，这道题的计算就容易了许多。
因此，我们可以利用组合的公式C(6,2) = 6!/[(6-2)!*2!] = 15求出选任意两本书的方案数。
然后再根据题意分别计算选两本文学类书或科技类书的方案数，分别是C(3,2) =3和C(3,2) =3。
于是，答案就是3+3/15 = 2/5。
二、条件概率型的概率题例如：有一批物品，其中有B型物品9件，C型物品5件。
从中随机取出一件物品，如果所取物品是B型，那么又将随机取出一件物品。
请问第二次所取物品是C型的概率是多少？解：首先，我们需要利用全概率公式，求出所取到的是B型物品的概率。
由于这题是前后两次随机事件，考查条件概率的概念，因此，可以分别用P(A) = 9/14 和P(B) = 5/14 来表示所取到的是B型或C型物品的概率。
然后，根据条件概率公式，我们得到P(B/C) = P(B∩C)/P(C)。
其中，P(C)是依据所取到的第一件物品的不同可能性写出的。
P(B∩C)则表示的是直接从所有的物品中随机取到一件B型，再从剩下的物品中随机取出一件C型的概率。
因此，我们可以将其分解成两个概率，即P(B)P(C/B)。
其中，P(C/B)表示条件指出第一件物品是B型的情况下，将第二次从C型物品中取到的概率。
最后，把所得的概率代入计算公式中，即可得到答案：P(B/C) = 9/14*5/9 = 5/14。
三、复合事件型的概率题例如：某小区的住户通过抽奖方式决定安排停车位，若抽中编号为0、1、2、3、4的号码牌各一张后，回收抽中的号码牌并重新抽奖，若抽到1号且抽到2的后一次，安排经过的停车位为1-2号，否则按顺序排列。
高中数学概率与统计的解题技巧
高中数学概率与统计的解题技巧概率与统计是高中数学中的一门重要的内容，它涉及到我们日常生活中的各种概率事件以及对数据的处理和分析。
在考试中，概率与统计题型常常出现，因此我们有必要掌握一些解题技巧，以提高我们的解题效率和准确性。
一、概率题型1. 确定概率事件的样本空间和事件集合在解概率题时，首先要明确概率事件的样本空间和事件集合。
样本空间是指所有可能结果的集合，事件集合则是样本空间中我们感兴趣的一部分。
例如，某次抛掷一枚骰子，样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件集合可以是“出现奇数点数的情况”。
2. 利用排列组合计算概率在一些概率题中，需要计算某个事件发生的概率。
这时，我们可以利用排列组合的知识来计算。
例如，从一副扑克牌中随机抽取5张，求其中有2张红心的概率。
我们可以先计算红心牌的组合数，再计算剩下的两张牌的组合数，最后将两者相除即可得到概率。
3. 利用条件概率解题条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
在解题时，我们可以利用条件概率来计算某个事件的概率。
例如，某班有40名男生和60名女生，从中随机抽取一人，已知被抽到的是男生，求被抽到的是女生的概率。
我们可以利用条件概率公式P(B|A) = P(A∩B) / P(A) 来计算。
二、统计题型1. 数据的收集与整理在统计题中，首先要进行数据的收集与整理。
收集数据时要注意数据的来源和真实性，整理数据时要将其按照一定的规则进行分类和排序，以便后续的分析和计算。
2. 利用频率表解题频率表是指将数据按照一定的规则进行分类，并统计每个类别的频数。
在解题时，我们可以利用频率表来计算频率、相对频率、累积频率等。
例如，某班级的学生身高数据如下：150-160cm：5人160-170cm：12人170-180cm：8人我们可以根据频率表计算出每个身高区间的频率，以及累积频率。
3. 利用直方图解题直方图是一种用矩形表示数据频数的图形。
在解题时，我们可以利用直方图来分析数据的分布情况、比较不同类别的频数、判断数据的集中趋势等。
高中数学概率与统计题型解答方法
高中数学概率与统计题型解答方法概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它涵盖了许多与概率、统计相关的数学题型。
在掌握基础知识的基础上，采用正确的解答方法，可以更好地应对这些题型。
本文将介绍几种常见的概率与统计题型，以及相应的解答方法。
一、事件概率1.求事件的概率求事件的概率是概率与统计中最基础的题型。
对于一个随机试验，事件A发生的概率可以用下列公式表示：P(A) = 事件A的可能性数 / 总的可能性数2.互斥事件的概率互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
假设A和B是两个互斥事件，则它们的概率可以用下列公式表示：P(A∪B) = P(A) + P(B)3.独立事件的概率独立事件是指两个事件的发生与否互不影响的情况。
如果A和B是两个独立事件，则它们的概率可以用下列公式表示：P(A∩B) = P(A) × P(B)二、排列与组合1.排列问题排列是指从若干个不同元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
对于从n个元素中选取k个元素进行排列的问题，可以使用下列公式进行计算：A(n,k) = n! / (n-k)!2.组合问题组合是指从若干个不同元素中选取若干个元素进行组合，不考虑其顺序。
对于从n个元素中选取k个元素进行组合的问题，可以使用下列公式进行计算：C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)三、概率分布1.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布可以通过列出其取值以及相应的概率来表示。
当给定每个取值对应的概率后，可以计算出该随机变量的期望值、方差等。
2.连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布可以通过概率密度函数来表示。
在解答问题时，常常需要计算某个取值范围内的概率，可以通过计算概率密度函数下的面积来实现。
四、抽样与推断1.简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机地选取n个样本进行调查或实验。
在进行统计推断时，可以根据样本数据来估计总体参数。
2.抽样分布抽样分布是指统计量的分布。
高中数学概率问题解决技巧与方法详细说明
高中数学概率问题解决技巧与方法详细说明概率是高中数学中的一个重要概念，也是考试中常见的题型。
掌握解决概率问题的技巧和方法，对于高中学生来说至关重要。
本文将详细说明高中数学概率问题的解决技巧和方法，帮助读者更好地应对这类题目。
一、基本概念与公式在解决概率问题之前，我们首先需要了解一些基本概念和公式。
概率是指某一事件发生的可能性，通常用一个介于0和1之间的数表示。
事件的概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A的概率，n(A)表示事件A包含的样本点个数，n(S)表示样本空间中的样本点个数。
二、排列与组合在概率问题中，排列和组合是常见的考点。
排列是指从n个不同元素中取出m 个元素进行排列，计算排列数可以使用以下公式：A(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合，计算组合数可以使用以下公式：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)三、互斥事件与独立事件在概率问题中，互斥事件和独立事件是另一个重要的概念。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，例如掷骰子出现1和出现6是互斥事件。
计算互斥事件的概率可以使用以下公式：P(A or B) = P(A) + P(B)其中，P(A or B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
独立事件指的是两个事件的发生不会相互影响，例如连续两次抛硬币出现正面是独立事件。
计算独立事件的概率可以使用以下公式：P(A and B) = P(A) * P(B)其中，P(A and B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
四、应用实例下面通过一些具体的题目来说明概率问题的解决技巧和方法。
1. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路数学是一门精确的科学，而概率与统计则是数学中的一个重要分支。
在高中阶段，学生将学习到许多与概率与统计相关的常见题型，本文将介绍这些题型以及解题的思路。
一、概率题型1. 事件的概率计算概率计算是概率论的基本概念之一。
当我们面对一个事件时，首先需要明确事件的样本空间以及事件本身的可能性。
以掷硬币为例，样本空间为{正面，反面}，而事件“掷出正面”有一半的可能性。
解题时，可以使用计数原理或者几何概型来计算概率。
2. 独立事件的概率计算当两个或多个事件相互独立时，可以使用乘法法则来计算它们同时发生的概率。
例如，从一副扑克牌中同时抽出两张牌，求两张牌都是红心的概率。
解题时，需要考虑每个事件的概率，并将它们相乘。
3. 互斥事件的概率计算互斥事件指的是两个事件不可能同时发生。
当两个事件互斥时，可以使用加法法则来计算它们发生的概率。
例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，求该牌是红心或者是黑桃的概率。
解题时，需要考虑每个事件的概率，并将它们相加。
4. 条件概率计算条件概率是在已知一定条件下某个事件发生的概率。
例如，某城市早高峰时段交通事故的概率。
解题时，需要将已知条件与事件的概率结合起来计算。
二、统计题型1. 样本调查与数据分析在统计学中，常常需要进行样本调查以获取数据。
例如，假设我们要调查全校学生的身高分布，可以通过随机抽样的方式获得样本数据，并进行统计分析。
解题时，需要了解样本调查的方法和数据分析的技巧。
2. 统计指标计算常见的统计指标包括平均数、中位数、众数、方差等。
解决统计题目时，需要根据给定的数据计算相应的统计指标。
例如，求一组数据的平均值或者方差。
3. 概率分布计算概率分布是指随机变量取各个值的概率。
在统计学中，常见的概率分布包括二项分布、正态分布等。
解决概率分布相关的题目时，需要了解不同概率分布的特点，并运用相应的公式来计算。
4. 假设检验与置信区间假设检验和置信区间是统计学中的两个重要概念。
202X年人教版高中数学第十章概率题型总结及解题方法
千里之行，始于足下。
202X年人教版高中数学第十章概率题型总结及解题方法大纲如下：概率的定义及基本原理1. 概率的定义2. 试验、样本空间、大事3. 概率的基本原理：古典概型、几何概型、无限概型概率的计算方法1. 相对频率法2. 全概率公式3. 加法定理4. 乘法定理排列与组合1. 排列的概念及计算2. 组合的概念及计算3. 各种状况下的排列组合问题概率的应用1. 条件概率2. 大事的独立性3. 贝叶斯定理4. 二项分布及其应用5. 泊松分布及其应用第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
解题方法1. 生疏概率的基本概念和公式2. 系统学习概率的计算方法3. 多练习排列组合题目，把握解题技巧4. 学会运用条件概率和贝叶斯定理解决实际问题5. 理解二项分布和泊松分布的概念及应用以下是一些常见的概率题型及解题方法：1. 古典概型问题例题：从10个不同的纸片中随机抽出3个，求抽出的3个纸片都是红色的概率。
解题思路：首先确定样本空间为C(10,3)，即从10个纸片中选出3个的组合数。
然后确定符合条件的大事，即从纸片中选出3个红色的组合数C(5,3)。
最终计算概率为C(5,3)/C(10,3)。
2. 几何概型问题例题：平面上有一条长为4的线段AB，从AB上随机取一点C，求AC>1的概率。
解题思路：确定样本空间为AB的长度4，然后确定符合条件的大事，即C 点到A点的距离大于1。
最终计算概率为(4-1)/4。
3. 无限概型问题例题：一批产品中有1%的次品，现在要从中抽检10个，求抽检出的次品数量大于等于2的概率。
解题思路：首先确定样本空间为从批次中抽取10个产品的全部可能性。
然后确定符合条件的大事，即抽检出的次品数量大于等于2。
最终计算概率为抽检出2个、3个、4个...10个次品的概率之和。
4. 全概率公式问题千里之行，始于足下。
例题：产品A的次品率为10%，产品B的次品率为5%，现在从A和B两批产品中各抽取一件，求抽取的产品不合格的概率。
高中数学概率论基本解题技巧
高中数学概率论基本解题技巧概率论是高中数学中的重要内容之一，也是考试中常见的题型。
掌握概率论的基本解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将介绍一些常见的概率论题型及其解题技巧，帮助高中学生更好地应对这一部分的考试。
一、排列组合问题排列组合是概率论中的一大考点，也是一类常见的题型。
常见的排列组合问题包括：从n个元素中选取m个元素的排列数或组合数，求解过程中需要注意以下几点：1. 确定问题类型：是求排列还是组合？排列是考虑元素的顺序，组合则不考虑顺序。
2. 确定元素个数：题目中明确给出元素的个数，需要根据题目要求进行计算。
3. 使用公式：排列数的计算公式是P(n,m)=n!/(n-m)!，组合数的计算公式是C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]。
举例说明：从A、B、C、D、E五个字母中任选三个字母，求可以组成的不同三字母的组合数。
解题思路：由于是组合问题，不考虑字母的顺序。
根据组合数的计算公式C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]，可以得到C(5,3)=5!/[2!3!]=10。
所以可以组成的不同三字母的组合数为10。
二、事件概率问题事件概率是概率论中的核心概念，也是考试中的常见题型。
常见的事件概率问题包括：求事件发生的概率、求事件的互斥和对立事件、求事件的独立性等。
解决这类问题需要注意以下几点：1. 确定样本空间：样本空间是指所有可能结果的集合，需要根据题目给出的条件进行确定。
2. 确定事件：事件是样本空间的一个子集，需要根据题目给出的条件进行确定。
3. 使用公式：事件发生的概率是指事件发生的可能性，可以通过计算事件发生的次数与样本空间中的元素个数之比来求解。
举例说明：一枚骰子投掷一次，求出现奇数的概率。
解题思路：样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件为出现奇数。
根据事件发生的概率公式，事件发生的次数为3（1、3、5），样本空间中的元素个数为6，所以出现奇数的概率为3/6=1/2。
三、条件概率问题条件概率是概率论中的重要概念，也是考试中的常见题型。
数学高考突破概率与统计的解题方法与常见题型分析
数学高考突破概率与统计的解题方法与常见题型分析在数学高考中，概率与统计是一个重要的考点，也是学生们容易出错的地方。
本文将介绍一些突破概率与统计题目的解题方法和常见题型分析，帮助同学们更好地备战高考。
一、解题方法1. 理解概念在解答概率与统计题目之前，首先需要对相关概念进行深入理解。
比如，概率的定义，事件的概念，统计学中的总体、样本等等。
只有对这些基本概念有清晰的认识，才能更好地应用解题方法。
2. 学会数学语言转化有些概率与统计的问题，可能需要将自然语言转化为数学语言，才能更好地解答。
比如，将“至少”、“不超过”等词语转化为数学符号，有助于准确理解问题和计算。
3. 掌握计算方法在解答概率与统计题目时，需要掌握一些常见的计算方法，比如，排列组合、加法和乘法原理、条件概率、频率分布等。
熟练掌握计算方法，能够快速准确地解决问题。
二、常见题型分析1. 概率计算题概率计算题是数学高考中最常见的题型之一。
其中包括求事件概率、互斥事件的概率、独立事件的概率等。
解答此类题目时，可以根据题目提供的条件，利用概率的定义和计算方法进行推导计算。
2. 极限概率问题极限概率问题是一类比较难的题目，需要通过深入理解概率的性质和计算方法来解答。
通常情况下，需要运用数学分析的知识，例如利用极限定义、函数收敛性等来求解。
3. 统计图表题统计图表题要求学生根据图表中所提供的信息，回答相应的问题。
对此类题目的解答，关键在于理解图表所代表的含义，并结合统计学知识进行分析和推断。
4. 抽样与总体问题抽样与总体问题主要考察学生对抽样方法和样本统计量的理解与应用。
解答此类题目时，需要注意样本数量的选择、样本的随机性和样本均值的分布。
5. 参数估计问题参数估计问题要求学生通过样本数据对总体参数进行估计。
解答此类题目时，需要运用区间估计的方法，结合样本的统计量求解，同时要注意抽样误差和置信水平的选择。
通过对以上常见题型的分析，我们可以发现概率与统计是一个较为形象直观的数学分支，但其中涉及的计算和推理过程也需要同学们严谨细致的思考和运算。
高中数学概率与统计题型详解与解题思路
高中数学概率与统计题型详解与解题思路概率与统计是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型。
掌握概率与统计的相关知识和解题思路，对于提高数学成绩至关重要。
本文将详细解析几种常见的概率与统计题型，并给出解题思路和技巧，帮助高中学生顺利解答这些题目。
一、排列组合题型排列组合是概率与统计中的基础知识，也是常见的考点。
在解答这类题目时，首先需要明确题目中给出的条件和要求，然后根据题目要求使用排列或组合的公式进行计算。
例如，有6个小球，其中3个红色，3个蓝色。
从中任意取出3个小球，求其中至少有一个红色小球的概率。
解题思路：根据题目要求，我们需要计算至少有一个红色小球的概率。
可以采用求反事件的方法，即计算没有红色小球的概率，然后用1减去该概率即可得到所求概率。
没有红色小球的情况只有一种，即3个蓝色小球全部取出。
因此，没有红色小球的概率为C(3,3)/C(6,3) = 1/20。
所以，至少有一个红色小球的概率为1-1/20=19/20。
二、事件的独立性与相互排斥性题型在概率与统计中，事件的独立性和相互排斥性是重要的概念。
对于独立事件，其发生与否不会影响其他事件的发生概率；而对于相互排斥事件，其发生与否会影响其他事件的发生概率。
例如，一组学生中有60%会打篮球，40%会打乒乓球，其中20%既会打篮球又会打乒乓球。
现从中任意选出一个学生，求该学生既不会打篮球也不会打乒乓球的概率。
解题思路：根据题目给出的条件，我们可以得到以下信息：打篮球的学生占60%，打乒乓球的学生占40%，既打篮球又打乒乓球的学生占20%。
我们需要求的是既不打篮球也不打乒乓球的概率。
根据概率的加法定理，我们知道打篮球的学生和打乒乓球的学生之和等于既打篮球又打乒乓球的学生。
设既不打篮球也不打乒乓球的学生为x，那么有60%+40%-20%=100%-x，解得x=80%。
所以，既不打篮球也不打乒乓球的概率为80%。
三、条件概率题型条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。
高中数学概率问题解决技巧与方法详细解读与实例分析与相关讲解
高中数学概率问题解决技巧与方法详细解读与实例分析与相关讲解概率问题在高中数学中占据着重要的位置，是数学中的一大难点。
为了帮助广大高中学生和家长更好地理解和解决概率问题，本文将详细解读概率问题的解题技巧与方法，并通过具体的题目实例进行分析与讲解。
一、概率问题的基本概念和计算方法概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在解决概率问题时，我们需要了解一些基本概念和计算方法。
首先，我们要明确事件和样本空间的概念。
事件是指我们感兴趣的事情，而样本空间是指所有可能发生的结果的集合。
例如，掷一枚骰子，事件可以是“出现的点数为3”，样本空间可以是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
其次，我们需要计算事件发生的可能性，即概率。
概率的计算公式为：P(A) =n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的可能结果数，n(S)表示样本空间中所有可能结果的数目。
例如，假设有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
红心有13张牌，总共有52张牌，因此概率为P(红心) = 13 / 52 = 1 / 4。
二、概率问题的解题技巧与方法1. 利用排列组合计算概率有些概率问题可以通过排列组合的方法来解决。
例如，从10个人中选取3个人，问其中至少有一个男生的概率是多少？首先，我们计算不选男生的情况，即选取3个女生的概率。
根据排列组合的公式，我们有C(7, 3)种选取3个女生的方法。
然后，我们计算总的选取方法，即C(10, 3)。
因此，概率为P(至少有一个男生) = 1 - C(7, 3) / C(10, 3)。
2. 利用条件概率计算概率有些概率问题需要考虑条件概率来解决。
例如，某班级有30个学生，其中20个人会打篮球，15个人会踢足球，10个人既会打篮球又会踢足球。
现在从班级中随机选取一个学生，问这个学生会打篮球的概率是多少？根据条件概率的定义，我们有P(打篮球|选中的学生) = P(打篮球且选中的学生) / P(选中的学生)。
高中数学必考知识点概率与统计应用题解析及解题技巧总结
高中数学必考知识点概率与统计应用题解析及解题技巧总结在高中数学中，概率与统计是一个重要的知识点，也是必考内容之一。
掌握好概率与统计的应用题解析和解题技巧，对于高考的数学成绩至关重要。
本文将对概率与统计应用题进行解析，并总结一些解题技巧，帮助同学们更好地应对这一考点。
一、概率与统计应用题解析1.概率应用题解析概率应用题主要涉及事件的概率计算、样本空间、互斥事件、独立事件等概念。
解决这类题目需要综合运用这些概念，并结合具体条件进行分析。
下面以一个具体的例子来进行解析。
例：某班有男生20人，女生25人。
从中抽取1名学生，求抽到女生的概率。
解析：这是一个从有限总体中抽取的概率题。
首先，我们需要确定样本空间。
样本空间即抽取一个学生可能出现的所有情况，根据题目的条件，样本空间为45人。
而事件A为抽到女生，其中有25人符合条件。
所以，事件A的概率为 P(A) = 25/45。
2.统计应用题解析统计应用题主要涉及频数、频率、平均数、中位数、众数、方差等概念。
解决这类题目需要根据给定的数据进行分析，并选择合适的统计方法。
下面以一个具体的例子来进行解析。
例：某班有30人，考试的成绩如下：80，85，90，75，65，70，60，95，90，85，80，85，90，75，65，70，60，95，90，85，80，85，90，75，65。
求这组数据的平均数。
解析：根据题目的要求，我们需要求这组数据的平均数。
平均数的计算公式为：平均数 = 所有数据的和 / 数据的个数。
将给定的数据相加得到660，数据的个数为30，所以该组数据的平均数为660/30=22。
二、解题技巧总结1.理解题目背景和要求在解决概率与统计应用题时，首先需要理解题目的背景和要求。
通读题目，搞清楚需要计算概率还是统计指标，明确题目的核心内容。
2.识别关键信息在理解题目的基础上，要能够识别出问题中涉及的关键信息。
关键信息可以是已知的条件、所给数据、需要计算的值等。
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路概率与统计是高中数学中的重要内容，也是学生们普遍感到困惑的一部分。
在考试中，概率与统计题型常常出现，因此掌握解题思路和技巧对于学生们来说非常重要。
本文将介绍一些常见的概率与统计题型，并给出相应的解题思路和方法。
一、排列组合类题型排列组合类题型是概率与统计中的基础题型，也是其他题型的基础。
例如：例1：从1、2、3、4、5这5个数字中选取3个数字，组成一个无重复的三位数，求所能组成的三位数的个数。
解析：这是一个典型的排列问题。
我们可以先确定百位上的数字，有5种选择；然后确定十位上的数字，有4种选择；最后确定个位上的数字，有3种选择。
根据乘法原理，所能组成的三位数的个数为5×4×3=60个。
类似的题型还有从n个数字中选取m个数字，求所能组成的m位数的个数等。
二、事件的概率类题型事件的概率类题型是概率与统计中的重点和难点。
例如：例2：一枚硬币抛掷3次，求抛掷结果中至少出现两次正面的概率。
解析：这是一个典型的事件的概率问题。
我们可以列出所有可能的结果：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反。
其中，至少出现两次正面的结果有6种，所以所求的概率为6/8=3/4。
类似的题型还有从一副扑克牌中抽取一张牌，求抽到红桃的概率等。
三、频率与统计量类题型频率与统计量类题型是概率与统计中的实际应用题型。
例如：例3：某班级有60名学生，其中30名男生、30名女生。
从中随机抽取5名学生，求抽到女生人数的概率。
解析：这是一个典型的频率与统计量问题。
我们可以使用组合数的知识来解决。
从30名女生中选取0名女生的组合数为C(30, 0)，从30名男生中选取5名男生的组合数为C(30, 5)。
所以所求的概率为C(30, 0) / C(60, 5)。
类似的题型还有某城市每天的降雨量数据，求降雨量超过某个值的概率等。
总结起来，掌握排列组合的基本原理、事件的概率计算方法以及频率与统计量的计算方法是解决概率与统计题型的关键。
高考数学概率题 如何应用概率知识解题
高考数学概率题如何应用概率知识解题概率作为高考数学考试的一个重要知识点，经常出现在试卷中。
掌握好概率知识，能够在解题过程中提高准确性和效率，这对于顺利通过高考是非常重要的。
本文将介绍如何应用概率知识解答高考数学概率题。
一、常见题型及解题思路高考数学概率题主要包括排列组合、事件概率、条件概率、样本空间等方面内容。
下面我们将分别介绍这几种题型的解题思路。
1.排列组合题排列组合题主要考察在一定条件下进行选择和排序的问题。
解决这类问题需要灵活运用排列组合的知识。
例如，某班有10名男生和12名女生，由这些学生随机组成一支4人的辩论队，其中必须有2名男生和2名女生。
问有多少种不同的组队方式。
解题思路：首先我们要确定组队的条件：2名男生和2名女生。
然后我们可以考虑按照以下步骤解决问题：1）从10名男生中选择2名男生的组合数为 C(10,2) = 45；2）从12名女生中选择2名女生的组合数为 C(12,2) = 66；3）将选择的男生和女生组合起来，排列数为 P(4,4) = 24。
所以，不同的组队方式有 45 * 66 * 24 = 71,280 种。
2.事件概率题事件概率题主要考察事件的概率计算。
解决这类问题需要明确事件和样本空间，并应用概率计算公式进行计算。
例如，已知在一批产品中，次品率为5%。
从中随机抽取3个产品，问其中恰好有1个次品的概率是多少？解题思路：首先我们要确定样本空间，即从中抽取3个产品。
然后我们可以考虑按照以下步骤解决问题：1）计算恰好有1个次品的事件数：选择1个次品的组合数为 C(1,1) = 1，选择2个良品的组合数为 C(4,2) = 6；2）计算样本空间的总数：从8个产品中选择3个产品的组合数为C(8,3) = 56。
所以，恰好有1个次品的概率为1/56 ≈ 0.0179。
3.条件概率题条件概率题主要考察在已知条件下的概率计算。
解决这类问题需要根据已知条件计算概率。
例如，某班有男生25人，女生30人，某次考试中选取一名学生答题。
高一数学概率题型及解题方法
高一数学概率题型及解题方法摘要：1.概率的基本概念及其应用2.高一数学概率题型分类a.单一概率事件b.复合概率事件c.条件概率与独立事件3.解题方法与技巧a.直接计算法b.概率树图法c.逆向思维法d.数学公式法4.提高概率题解题能力的建议5.例题解析正文：概率是高中数学中的一个重要知识点，它在日常生活和科学技术领域中有着广泛的应用。
对于高一学生来说，掌握概率的基本概念、了解概率题型及解题方法至关重要。
本文将为大家介绍高一数学概率题型及解题方法，希望对同学们的学习有所帮助。
首先，我们要明确概率的基本概念。
概率是用来描述某个事件在所有可能事件中发生的可能性。
概率的取值范围在0和1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
在高中阶段，我们主要学习单一概率事件和复合概率事件。
接下来，我们来看看高一数学概率题型的分类。
a.单一概率事件：这类题目要求计算一个简单事件发生的概率。
解题方法通常是利用概率公式直接计算，例如：随机抛一枚公正的硬币，求正面朝上的概率。
b.复合概率事件：这类题目涉及到两个或多个事件的同时发生。
解题方法有概率乘法公式、概率加法公式等。
例如：抛一枚公正的硬币，正面朝上和反面朝上的概率各是多少？c.条件概率与独立事件：这类题目涉及到事件的相互关系。
解题方法有条件概率公式、独立事件概率公式等。
例如：一个袋子里有5个红球、3个蓝球，先随机取出一个红球，然后再随机取出一个球，求取出两个红球的概率。
在解决概率题时，我们可以运用以下解题方法与技巧：a.直接计算法：适用于简单概率事件，直接利用概率公式计算。
b.概率树图法：适用于复合概率事件，通过画出概率树图，清晰展示事件之间的关系，从而便于计算。
c.逆向思维法：适用于条件概率与独立事件，从结果反推条件，简化计算过程。
d.数学公式法：熟练掌握概率公式，将题目中的条件代入公式进行计算。
为了提高概率题的解题能力，同学们可以多做练习，总结经验，熟练掌握各种解题方法。
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高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()426511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()22323442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙∙∙∙∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∙∙∙∙=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P（A 1）=.943!3424=⋅C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P（A 3）=271334=，事件A 2的概率为P（A 2）=1－P（A 1）－P（A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P（A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。
（结果保留三位小数）解：记“甲理论考核合格”为事件1A ；“乙理论考核合格”为事件2A ；“丙理论考核合格”为事件3A ；记i A 为i A 的对立事件，1,2,3i =；记“甲实验考核合格”为事件1B ；“乙实验考核合格”为事件2B ；“丙实验考核合格”为事件3B ；（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件解法1：()()123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++()()()()123123123123P A A A P A A P A A A P A A A =+++0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.902=解法2：()()1P C P C =-()1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++()()()()1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ⎡⎤=-+++⎣⎦()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10.098=-0.902=所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格”为事件D()()()()112233P D P A B A B A B =⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦()()()112233P A B P A B P A B =⋅⋅⋅⋅⋅()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =⋅⋅⋅⋅⋅0.90.80.80.80.70.9=⨯⨯⨯⨯⨯0.254016=0.254≈所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254题型二：概率与排列组合、等差数列、等比数列的综合。
例4：将1，2，3，…，9，这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（）A 、156B 、170C 、1336D 、1420解析：共有339633280C C A ∙=种分组的方法，三组的平均值可能是456，357，258，348，267，且各有一种分组的方法，所求的概率为5128056=，故选A 例5：从原点出发的某质点M ，按照向量(1,0)=a 移动的概率为53，按照向量(2,0)=b 移动的概率为52，设可到达点)0,(n 的概率为n P ．（Ⅰ）求概率1P 、2P ；（Ⅱ）求2+n P 与n P 、1+n P 的关系并证明数列{}12++-n n P P 是等比数列；（Ⅲ）求n P ．解(Ⅰ)M 点到达点)0,1(的概率为531=P ；M 点到达点)0,2(的事件由两个互斥事件组成：①A=“M 点先按向量)0,1(=a 到达点)0,1(，再按向量(1,0)=a 到达点)0,2(”，此时253()(=A P ；②B=“M 点先按向量(2,0)=b 移动直接到达点)0,2(”，此时52)(=B P 。
=2P +)(A P =)(B P 2)53(52+2519=(Ⅱ)M 点到达点)0,2(+n 的事件由两个互斥事件组成：①=+2n A “从点)0,1(+n 按向量(1,0)=a 移动到达点)0,2(+n ”，此时1253)(++=n n P A P ；②=+2n B “从点)0,(n 按向量)0,2(=b 移动到达点)0,2(+n ”，此时n n P B P 52)(2=+。
n n n P P P 525312+=∴++，即=-++12n n P P )(521n n P P --+∴数列{}12++-n n P P 是以25412=-P P 为首项，公比为52-的等比数列。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知=-++12n n P P n n )52()52(2542-=--=-+n n P P 1152(--n =--1n n P P 252(--n ……=-12P P 2)52(-n n P P 52()52()52(321-++-+-=-111)52(7272])52(1[72521]52(1[52----+-=---=+---=n n n 11)52(723511)52(727253---+=-+-=∴n n n P 例6：设事件A 发生的概率为p ，若在A 发生的条件下发生B 的概率为'p ，则事件,A B 同时发生的概率为'p p ∙根据这一事实解答下列问题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3…，100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即01p =）由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若出现正面，则棋子向前跳动一站，若出现反面则向前跳动两站；直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束。
已知硬币出现正、反两面的概率相等，设棋子在跳跃的过程中经过第n 站的概率为n p 。
（1）求123,,P P P （2）（2）设1(1100)n n n a P P n -=-≤≤，求证数列｛n a ｝是等比数列。
（3）求玩游戏获胜的概率。
解析：（1）012311113113151,,,2222422428P P P P =∴==⨯+==+⨯= （2）棋子跳到第n 站，必须是从第1n -站或第2n -站跳来的(2100)n ≤≤，所以12112111,()222n n n n n n n P P P P P P P -----=+∴-=--，11(2100),2n n a a n -∴=-≤≤且11012a P P =-=-，故｛n a ｝是以公比为12-，首项为12-的等比数列。
（30由（2）知1239910219998()()()a a a a P P P P P P ++++=-+-++- =2999910011121()()())22232P -+-++-⇒=- ，所以获胜的概率为9910021(132P =-例7：质点A 位于数轴0x =处，质点B 位于2x =处。
这两个质点每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为13，向右移动的概率为23。
（Ⅰ）求3秒后，质点A 位于点1x =处的概率；（Ⅱ）求2秒后，质点,A B 同时在点2x =处的概率；（Ⅲ）假若质点C 在0,1x x ==两处之间移动，并满足：当质点C 在0x =处时，1秒后必移到1x =处；当质点C 在1x =处，1秒后分别以12的概率停留在1x =处或移动到0x =处，今质点C 在1x =处，求8秒后质点C 在1x =处的概率。
解析：（1）3秒后，质点A 到1x =处，必须经过两次向右，一次向左移动；223214((339P C ∴==（2）2秒后，质点,A B 同时在点2x =处，必须质点A 两次向右，且质点B 一次向左，一次向右；故12222116333381P C =⨯⨯⨯⨯=（3）设第n 秒后，质点C 在1x =处的概率为n x ，质点C 在0x =处的概率为n y 依题意知：112n n n x x y +=+，由1,n n x y +=得11111,32(32)()22n n n n x x x x ++=-∴-=--所以｛32n x -｝是首项为111323222x -=⨯-=-，公比为12-的等比数列。