最新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案(优质课一等奖教学设计)

《5 一元二次方程的根与系数的关系》教案

教学目标：

掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和．

教学重点：

掌握一元二次方程根与系数的关系．

教学难点：

熟练应用一元二次方程根与系数的关系解决问题． 教学过程：

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

(1)x 2－2x ＝0 (2)x 2＋3x －4＝0 (3)x 2－5x ＋6＝0.

探索

一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2，由一元二次方程ax 2＋b x ＋c ＝0的求根公式知

x 1=a ac b b 242-+-，x 2=a ac b b 242---

能得出以下结果：

x 1＋x 2= 即：两根之和等于

x 1•x 2= 即：两根之积等于

12x x +=a ac b b 242-+-+a ac b b 242--- =a

ac b b ac b b 24422----+-= 12.x x =a ac b b 242-+-×a ac b b 242--- =2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+-=2224)(

)(a -=

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x 1+x 2=a b -，x 1x 2=a c

如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为

x 2＋ x ＋a c ＝0(a ≠0)，

则以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： x 2-( )x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)

例1：已知方程5x 2＋k x -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值；

解：设方程的另一个根是x 1，那么56

21-=x (为什么？)∴x 1=

又x 1+2=5k -(为什么？)∴k=

想一想，还有没有别的做法？

例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x -1＝0的两个根的

(1)平方和 (2)倒数和

解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ，x 1x 2=

(1)∵(x 1+x 2)2= x 12+2 +x 22

∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2 = (2)==

+212111x x x x

例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是2

12313，- 解：所求的方程是x

2-(212313+-)x ＋(313-)212⋅＝0 (为什

么？) 即x 2+ x- ＝0或6x 2+ x- ＝0 例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数． 解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x 2-8x ＋9＝0的两个根

解这个方程，得x 1= ，x 2=

因此，这两个数是 ， ．

练习：

1、下列方程两根的和与两根的积各是多少？

(1)y 2-3y+1=0 (2)3x 2-2x=2 (3)2x 2+3x=0

(4)3x 2+5x-2=0 (5)2y 2-5=6y (6)4p(p-1)-3=0

2、已知方程3x 2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m 的值．

3、设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．

(1)(x 1+1)(x 2+1) (2)2112x x x x

4、求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4，-7．

5、已知两个数的和等于-6，积等于2，求这两个数．