2020年湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷(文科)(5月份)(含答案解析)

2020年湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷（文科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＞1}，则( )A. A∪B＝{x|x＜1}B. A∪B＝{x|x＞0)C. A∩B＝{x|0＜x＜1)D. A∩B＝{x|x＜0)2.设复数z1满足，z2=a+i（a∈R），且|z1-z2|=5，则a=（）A. 1B. 7C. -1D. 1或73.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.74.已知p：ln（x-1）＜0，q：x（x-2）≥0，则下列说法正确的是（）A. ￢p是q的充分不必要条件B. q是￢p的充分不必要条件C. p是q的充分不必要条件D. 对∀x∈R，￢p和￢q不可能同时成立5.若函数f（x）=的最小值为f（2），则实数a的取值范围为（）A. a＜0B. a＞0C. a≤0D. a≥06.已知a＞b＞0，且a+b=1，x=（）b，y=log ab（），z=log b，则x，y，z的大小关系是（）A. z＞x＞yB. x＞y＞zC. z＞y＞xD. x＞z＞y7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面三角形中，最大面积为（）A.B. 6C.D.8.运行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A. 22B. 35C. 484D. 5199.过△ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若=恒成立，则点M是△ABC的（）A. 垂心B. 重心C. 外心D. 内心10.已知函数f（x）=2cos x，且函数y=f（ωx）在上单调递增，则正数ω的最大值为（）A. B. 1 C. D.11.在直角坐标平面内, 已知,以及动点是的三个顶点, 且,则动点的轨迹曲线的离心率是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=4x2-2x，数列{a n}满足，数列的前n项和为S n，若∃M∈Z，使得S n＜M恒成立，则M的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若数列{a n}是等差数列，对于，则数列{b n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，对于d n＞0，则d n=______时，数列{d n}也是等比数列．14.F1，F2分别是双曲线左右焦点，P是双曲线上一点，△PF1F2内切圆被渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与y轴相切，则双曲线离心率取值范围是______．15.三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB+PC=4，则当三棱锥的体积最大时，球O的表面积为______．三、解答题（本大题共8小题，共89.0分）16.若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为______．17.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+C）=4sin2．（1）求cos B；（2）若b=2，△ABC面积为2，求a+c的值．18.在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且．⑴证明：平面平面；⑵为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．19.根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量N（单位：mm）对工期的影响如表：降水量N N＜400400≤N＜600600≤N＜1000N≥1000工期延误天数X0136根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如图所示．（1）求这20天的平均降水量；（2）根据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数X=0，1，3，6的概率．20.设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．21.设函数f（x）=a（x+1）2-ln x，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，f（x））处的切线方程；（2）证明：当时，不等式在区间（1，+∞）上恒成立．22.以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立的极坐标系中，直线C1：ρsin（θ）=；在平面直角坐标系xOy中，曲线C2：（φ为参数，a＞0）．（1）求直线C1的直角坐标方程和曲线C2的极坐标方程；（2）曲线C3的极坐标方程为（ρ＞0），且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点，若|OB|=4|OA|，求a的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|ax-1|．（1）当a=-1时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查交集、并集的求法及应用，涉及指数函数单调性的应用，是基础题．先求出集合B，再利用交集定义和并集定义能求出结果．【解答】解：由2x＞1得x＞0，所以B={x|x＞0}．又集合A＝{x|x＜1}，所以A∩B={x|0＜x＜1}．A∪B=R，故选C．2.答案：D解析：解：由，得z1==4+5i，又z2=a+i，∴z1-z2=（4-a）+4i，再由|z1-z2|=5，得（4-a）2+16=25，解得a=1或7．故选：D．由已知求得z1，得到z1-z2，再由复数模的计算公式列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：【分析】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1-0.45-0.15=0.4．故选B．4.答案：B解析：解：已知p：ln（x-1）＜0，q：x（x-2）≥0，解得：p即为“1＜x＜2”，q即为“x≤0或x≥2”，则：￢p：x≤1或x≥2；￢q：0＜x＜2；由充要条件的定义可知答案B成立．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义和或且非逻辑连词的命题真假判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，或且非逻辑连词的命题真假判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．5.答案：D解析：【分析】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，考查了指对函数的单调性，属于中档题．由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得log2（x+a）≥1恒成立，可解得a的范围．【解答】解：当x≤2时，f（x）=2|x-2|=22-x，单调递减，∴f（x）的最小值为f（2）=1，当x＞2时，f（x）=log2（x+a）单调递增，若满足题意，只需log2（x+a）≥1恒成立，即x+a≥2恒成立，∴a≥（2-x）max，∴a≥0，故选D．6.答案：D解析：【分析】本题为比较大小的题目，考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意a＞b＞0，a+b=1，可得1＞a b＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：∵a＞b＞0，a+b=1，∴1＞a b＞0，∴1，∴x=（）b＞（）0=1，y=log（ab）（）=log（ab）=-1，z=log b=-log b a＞-1．∴x＞z＞y．故选D．7.答案：D解析：解：根据题中所给的三视图，可得该几何体是底面边长为3的正方形的四棱锥，且高为2，从而可求得其四个侧面三角形面积分别为，，通过比较可得最大的面积为．故选：D．根据题中所给的三视图，可得该几何体是底面边长为3的正方形的四棱锥，且高为2，分别求出四个侧面的面积得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得i=1，a=0，S=1，执行循环体，a=1，满足条件i为奇数，S=2，i=4不满足条件i≥13，执行循环体，a=5，不满足条件i为奇数，S=10，i=7不满足条件i≥13，执行循环体，a=12，满足条件i为奇数，S=22，i=10不满足条件i≥13，执行循环体，a=22，不满足条件i为奇数，S=484，i=13此时，满足条件i≥13，退出循环，输出S的值为484．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：B解析：解：本题采用特殊位置法较为简单．因为过△ABC内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则|AD|=0，有．如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点M是△ABC的重心．故选：B．△ABC内一点M作一条直线l，可将此直线特殊为过点A、B、C三个点，则一条向量为零向量可得答案．本题考查向量的加法运算，将向量转化为两个向量的和，然后抵消掉相反向量是解题的关键，属中档题．10.答案：B解析：解：依题意，f（x）=2cos x=cos x•sin x+=，则f（ωx）=，又函数y=f（ωx）在上单调递增，∴，即0＜ω，∴2，即，则，得ω≤1．故选：B．把已知函数利用辅助角公式化积，求得f（ωx），由函数y=f（ωx）在上单调递增，求得ω的范围，再由求得正数ω的最大值．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．11.答案：A解析：【分析】本题考查了三角函数的化简，考查了点的轨迹方程的求法及椭圆的离心率，属于中档题．将sin A sin B-2cos C=0，化简得tan A tan B=2，即k AC•k BC=-2，设C（x，y），依题意得k AC•k BC=-2，由A（-2，0），B（2，0），得（y≠0），由此能求出动点C的轨迹方程，进而求得离心率．【解答】解：∵sin A sin B-2cos C=0，∴sin A sin B=2cos C=-2cos（A+B）=-2（cos A cos B-sin A sin B），∴sin A sin B=2cos A cos B，即tan A tan B=2，∴k AC•k BC=-2，设C（x，y），又A（-2，0），B（2，0），所以有（y≠0），整理得，∴a=，c=2，离心率为：,故选：A．12.答案：A解析：解：函数f（x）=4x2-2x，数列{a n}满足，∴2a n+1=4a n2-2a n+1=2a n（2a n-1）+1，∴2a n+1-1=2a n（2a n-1），∴==-，∴=-，∴=2（-），∴S n=++…+=2（-+-+…+-）=2（1-），∵f（x）=4x2-2x，可知数列{a n}为递增数列，且a1=1，∴2（1-）＜2，∵∃M∈Z，使得S n＜M恒成立∴整数M的最小值是2，故选：A．先根据数列的函数特征，得到2a n+1-1=2a n（2a n-1），整理可得=2（-），再利用裂项求和即可得到S n=2（1-），由已知函数得到数列为增数列，根据首项且a1=1，利用放缩法即可求出答案．本题是对数列与函数的综合，在数列与函数的综合题中，一般是利用函数的单调性来研究数列的单调性，并考查了裂项求和和放缩法，属于难题．13.答案：解析：解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{c n}是等差数列，则对于，则数列{b n}也是等差数列．类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列{d n}也是等比数列．故答案为：本题考查的知识点是类比推理，在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n}是等差数列，则对于，则数列{b n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列{d n}也是等比数列．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．14.答案：[2+2，+∞）解析：解：根据题意，不妨设P在第一象限，M，N，A分别为△PF1F2内切圆与△PF1F2三边的切点，如图所示：∵2a=|PF1|-|PF2|=（|PM|+|MF1|）-（|PN|+|NF2|）=|MF1|-|NF2|=|AF1|-|AF2|，∴A在双曲线上，故△PF1F2内切圆圆心为（a，a），半径为a，∴圆心到渐近线bx+ay=0的距离是d==∴弦长BC=2=2=2a，依题得2a≤a，即≥．∴b-a≥c，∴b2≥（c+a）2，∵b2=c2-a2，∴c2-4ac-8a2≥0，同时除以a2得e2-4e-8≥0∴e≥2+2，故答案为e∈[2+2，+∞）．根据内切圆中切线长定理以及双曲线的性质可得内心（a，a），根据弦长公式和已知可得．本题考查了双曲线的性质，属中档题．15.答案：9π解析：【分析】本题考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P-ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC 外接圆的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，V=1•PB•PC≤（PB+PC）2=，当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P-ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=，故球的表面积是：S=4π=9π，故答案为：9π．16.答案：6解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象知当直线y=-x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6，故答案为：617.答案：解：（1）由题设及A+B+C=π，得：sin B=4sin2，故sin B=2（1-cos B）．上式两边平方，整理得：5cos2B-8cos B+3=0，解得：cos B=1（含去），cos B=．（2）由cos B=，得sin B=，又S△ABC=ac sin B=2，则ac=5．由余弦定理，b2=a2+c2-2ac cos B=（a+c）2-2ac（1+cos B）=（a+c）2-16=4．所以a+c=2．解析：本题考查了三角形面积公式及余弦定理的运用，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．（1）化简已知sin（A+C）=4sin2，平方得到关于cos B的方程，解之即可．（2）由三角形面积公式可得ac，再由余弦定理解得a+c．18.答案：解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC，又AB⊥DA．且AD∩AC=A，∴AB⊥面ADC，∵AB⊂面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC；（2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3，∴BP=DQ=DA=2，由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，∴三棱锥Q-ABP的体积V==××==1．解析：（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AC=A，即可得AB⊥面ADC，平面ACD⊥平面ABC；（2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP=DQ=DA，可得三棱锥Q-ABP的高，求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥Q-ABP的体积．本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：（1）这20天的平均降水量为+120×2+450+500×5+850+1200+240+300）=mm．（2）∵N＜400mm的天数为10，∴X=0的频率为，故估计X=0的概率为0.5．∵400mm≤N＜600mm的天数为6，∴X=1的频率为，故估计X=1的概率为0.3．∵600mm≤N＜1000mm的天数为2，∴X=3的频率为，故估计X=3的概率为0.1．∵N≥1000mm的天数为2，∴X=6的概率为，故估计X=6的概率为0.1．解析：（1）直接利用平均数公式计算．（2）N＜400mm的天数为10，400mm≤N＜600mm的天数为6，600mm≤N＜1000mm的天数为2，N≥1000mm的天数为2，由此能求出该工程施工延误天数X=0，1，3，6的频率．在估计概率本题考查平均值、频率、概率的求法，是中档题．20.答案：解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP=-1，又A点坐标为（-a，0），故，可得a=1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x-y+1=0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）=当，即时，S△APQ取最大值．故S△APQ的最大值为．…（10分）（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，可得，，又x A=-1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2=1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y=0，可得．故直线DE过定点（-2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E=-x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2-1=0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s=-2或-1，又DE不过A点，即s≠-1，故s=-2．所以DE的方程为x=ty-2，故直线DE过定点（-2，0）．…（16分）解析：（1）利用AP⊥OP，可知k AP•k OP=-1，A点坐标为（-a，0），得a，求出b，然后求解椭圆方程．（2）求出AP的方程x-y+1=0，通过Q是椭圆M上的点，故可设，然后利用三角形的面积求解最大值即可．（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，求出D、E坐标，得到直线DE的方程，利用直线系得到定点坐标．（法二）若DE垂直于y轴，则x E=-x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，利用韦达定理结合斜率关系推出DE的方程为x=ty-2，推出直线DE过定点（-2，0）．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．21.答案：（1）解：当a=1时，f（x）=（x+1）2-ln x，则f′（x）=2（x+1）-，∴f（1）=4，f′（1）=3，则函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y-4=3（x-1），即3x-y+1=0；（2）证明：令h（x）=f（x）-2ax-==，则h′（x）=2ax-=＞0，∴函数h（x）在求区间（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=2a-1≥0，∴当a时，不等式在区间（1，+∞）上恒成立．解析：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）2-ln x，求出原函数的导函数，得到f（1）与f′（1）的值，再由直线方程的点斜式得答案；（2）令h（x）=f（x）-2ax-==，求其导函数，可得h′（x）＞0，得到函数h（x）在求区间（1，+∞）上单调递增，再由h（x）＞h（1）=2a-1≥0，即可求得当a时，不等式在区间（1，+∞）上恒成立．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．22.答案：解：（1）由ρsin（θ）=，得，即x+y=1．由，消去参数φ得C2的普通方程：x2+（y-1）2=a2．又x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C2的极坐标方程为：（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=a2．即C2的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0；（2）曲线C3的直角坐标方程为y=x（x＞0），由，得A（，）．|OA|=，|OB|=．即点B的极坐标为（，），代入ρ2-2ρsinθ+1-a2=0，得a=．解析：（1）利用极坐标方程、参数方程与普通方程的互化公式直接转化即可；（2）在直角坐标系下求得A点的坐标，可得OB长，即得B的极坐标，代入C2的极坐标方程即可．本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查曲线的极坐标的应用，是中档题．23.答案：解：（1）当a=-1时，f（x）=|2x+1|+|x+1|∴f（x）＞2等价于或或，解得：x＞0或，∴f（x）＞2的解集为{x|或x＞0}；（2）∵0＜a＜2，∴，2+a＞0，2-a＞0，则f（x）=|2x+1|+|ax-1|=，∴函数f（x）在（-）上单调递减，在[]上单调递增，在（）上单调递增，∴当时，f（x）取得最小值，∵对∀x∈R，恒成立，∴，又∵a＞0，∴a2+2a-3≥0，解得a≥1（a≤-3不合题意），∴a的最小值为1．解析：（1）将a=1代入f（x）中，去绝对值后分别解不等式即可；（2）恒成立，只需求出f（x）的最小值，根据最小值大于等于可求出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属中档题．。