数学分析映射与函数

例1.2.2与例1.2.3中的映射是单射， 例1.2.1与例1.2.3中的映射是满射， 例1.2.3中的映射是双射。
设 f ： X Y 是单射，则对应关系 g ： Rf X y x （ f (x) y ）
称为 f 的逆映射，记为 f 1 ，其定义域为 Df 1 R f ，值域为 Rf 1 X 。
f ：X Y
x y x2
是一个映射。
定义1.2.2 设 f 是集合 X 到集合Y 的一个映射，若 f 的逆像也具有唯一性， 即对 X 中的任意两个不同元素 x1 x2 ，它们的像 y1 与 y2 也满足 y1 y2 ， 则称 f 为单射； 如果映射 f 满足 Rf =Y ,则称 f 为满射； 如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 是双射（又称一一对应）。
例1.2.7 是
y sin x :
π 2
,π 2
[
1,
1]
是一一映射，它的逆映射
x arcsin y :
[
1,
1]
π 2
,
π 2
。
通过复合运算，得到恒等式
sin(arcsin y) y , y [ 1, 1]；
arcsin(sin x) x ,
x
π 2
,
π 2
。
一元实函数
在定义1.2.1中取集合 X R ，集合Y R ,则映射 f ：X Y
§2 映射与函数
映射 映射是指两个集合之间的一种对应关系。
集合 X 称为映射 f 的定义域，记为 Df X 。 在映射 f 之下， X 中元素 x 的像 y 的全体称为映射 f 的值域，记 为 Rf ：
Rf { y y Y 并且 y f (x), x X } 。
例1.2.1 设 X 是平面上所有三角形的全体，Y 是平面上所有圆 的全体。则对应关系
逆映射 f 是 1 R f 到 X 上的双射。
设 g ： X U1
x u g(x)
f ：U2 Y u y f (u) ，
当 Rg U 2 D f 时， f g： X Y x y f (g(x)) ，
称为 f 和 g 的复合映射。
复合映射 f g 构成的关键在于 Rg Df 。
例1.2.5 设 X Y U1 U2 R ,映射 g 与 f 为： g ： X U1
但若将映射 g 的定义域作一限制，即换成映射 g* ：
g * ： X (1, 1 ) R
x u 1 x2
f ： R R
u y lg u 。
则
R g

*
(0,1]
Df
,于是可以构成复合映射
f g* ： X (1, 1 ) R
x y lg(1 x2 ) 。
但若将映射 g 的定义域作一限制，即换成映射 g* ：
f ：X Y x y （ y 是三角形 x 的外接圆）
是一个映射， f 的定义域与值域分别为 Df X 和 Rf Y 。
例1.2.2 设 X {,,}，Y { a, b, c, d }，则对应关系 f () a ， f ( ) d ， f ( ) b
也是一个映射， f 的定义域与值域分别为 Df X {,,}， Rf { a, b, d } Y 。
x y f (x)
称为一元实函数，简称函数。
一元实函数
在定义1.2.1中取集合 X R ，集合Y R ,则映射 f ：X Y
x y f (x)
称为一元实函数，简称函数。
由于函数表示的是实数集合与实数集合之间的对应关系，所 以在其映射表示中，第一行是不需要的，只要写成
y f (x) , x X (= Df ) 就可以了，读作“函数 y f (x) ”或“函数 f ”。
注 1． 映射要求元素的像必须是唯一的。 例如，设 X R , Y R ，对应规则 f 要求对每一个 x R ，它 的像 y R 且满足关系 y 2 x ，这样的对应规则 f 不满足像的唯一性 要求。 对于不满足像的唯一性要求的对应规则，一般只要对值域范围 稍加限制，就能使它成为映射。
例1.2.3 设 X R , Y R {x x R} ,则对应关系 f ：X Y
x y (y2 x)
是一个映射。
例1.2.3 设 X R , Y R {x x R} ,则对应关系 f ：X Y
x y (y2 x)
是一个映射。
2.映射并不要求逆像也具有唯一性。 例1.2.4 设 X Y R ，则
x u sin x
f ：U2 Y
u
y
u 1 u2
。
Rg [1, 1 ] Df ，因此可以构成复合映射
f g： X Y
x
y
f
( g( x))
sin x 1 sin2
x
。
例1.2.6 设映射 g 与 f 为 g：R R
x u 1 x2
f ：R R u y lg u ，
则 Rg (, 1 ] Df ,因此不能构成复合映射 f g 。
例1.2.2 设 X {,,}，Y { a, b, c, d }，则对应关系 f () a ， f ( ) d ， f ( ) b
也是一个映射， f 的定义域与值域分别为 Df X {,,}， Rf { a, b, d } Y 。
构成一个映射必须具备下列三个基本要素：
(1) 集合 X ，即定义域 Df X ； (2) 集合Y ，即限制值域的范围： Rf Y ； (3) 对应规则 f ，使每一个 x X ，有唯一确定的 y f (x) 与之对应。
g * ： X (1, 1 ) R
x u 1 x2
f ： R R
u y lg u 。
则
R g
*
(0,1]
Df
,于是可以构成复合映射
f g* ： X (1, 1 ) R
x y lg(1 x2 ) 。
特别地，有下述两恒等式： f f 1 ( y) y , y R f ； f 1 f (x) x , x X 。
定义1.2.2 设 f 是集合 X 到集合Y 的一个映射，若 f 的逆像也具有唯一性， 即对 X 中的任意两个不同元素 x1 x2 ，它们的像 y1 与 y2 也满足 y1 y2 ， 则称 f 为单射； 如果映射 f 满足 Rf =Y ,则称 f 为满射； 如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 是双射（又称一一对应）。