(整理)重复控制器的基本思想和稳定性分析

二 重复控制基本思想和稳定性分析

2.1 重复控制基本思想

重复控制的基本思想源于控制理论中的内膜原理，内膜原理是把系统外部信号的动态模型植入控制器内，在稳定的闭环系统中包含外部输入信号的数学模型，以构成高精度的反馈控制系统。图2.1给出基本的单位反馈系统，其中系统的输入信号为r (t )，输出信号为y (t )。

例如，对于直流信号，要实现无静差控制，则控制系统中必须包含直流信号的内膜1/s 。表2.1给出几种典型信号的内膜及其应用场合，其中T 为输入信号的周期。

根据内模原理，若要实现对正弦指令的无差跟踪，则需要在控制环路中植入一个正弦信号模型：

()()()()

()000()1111()()lim ()()()11110t s s s e s N s e t s e s s G s s D s r s G s G s G →∞→→⎡⎤=⎣⎦=⇒=⋅=⋅=⇒=⋅+++ (2.1)

图2.1 基本的单位反馈系统

表2.1 几种典型信号的数学模型及其应用

外部输入信号内膜应用

直流信号1s ω2s 2+ω2e -sTr 1-e -sTr

正弦信号周期信号

比列谐振控制器 (PR)

重复控制

1. 直流系统中PI 调节器

2. 有效值控制

3. 三相dq 坐标系下PI 调节器

图2.2给出包含周期信号内膜的重复控制器的实现过程。图中N =T /T s ，其中为T s 控制器离散过程中的采样周期。图2(c)中前向通道中的z -N 为纯延时环节，其中正反馈回路等效为周期信号的内膜。式(2.2)给出u (z )和e (z )的关系，可以看出重复控制器实际上每个N 拍(N 个采样周期)对误差进行一次累积，其作用实际上与PI 调节器类似。表2.2给出几种典型调节器的基本作用的对比。

图2.2 重复控制器的实现

()()()()()()()((()))2N u z u z z e z u k u k N e u k e k e k N e k k N -=+-+-=+⇒=-+⇒+

(2.2)

图2.3

给出了图

2.2(c)中各个点的波形，可以看出重复控制器实际上是对输入信号的逐周期叠加，当输入衰减至零时，输出仍不断重复与上周期相同的信号。若将重复控制器置于控制系统的前向通道中，当输入误差不为零时，重复控制器的输出会逐周期地增长，直到误差完全消除，即实现无差跟踪。但是也可以看出，由于重复控制器中纯延时环节z -N 的存在，其输出相对于输入延迟了N 拍。因此在暂态过程中，重复控制器延迟N 拍之后才能逐周期响应。

v v

图2.3 重复控制器各个点波形

2.2 重复控制的稳定性分析

图2.3给出基于理想重复控制器构成的闭环反馈系统，其中G p (z )。式(2.3)给出系统输出与输入及扰动之间的关系。系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的所有极点位于单位园内，即满足式(2.4)。在满足此条件下，系统可以实现无静差控制，并且能完全抑制扰动的影响，如式(2.5)和(2.6)所示。但是实际系统中控制对象很难满足式(2.4)。因此，实际系统中通常采用图2.4所示的结构。

图2.3 基于理想重复控制器构成的闭环反馈控制系统

2

2

()1()()()()1()1()N N

p d N N N

N p i p i z G z z y z r z G z d z z z G z H z z G z H -------=

+

-+-+

(2.3)

21()01()1N N N p i p z z G z H z G z ---+=⇒=-<

(2.4) 21

22

()11=0()1()1()j N

sT N s N N e e N N N N

p i p i e z z z y z z z G z H z z G z H π

ωω----==------=−−−−−−→-+-+ (2.5) 21

22

()11=0()1()1()j N

sT N s N N e e d N N N N

d p i p i

e z z z G z z z G z H z z G z H πωω----==------=−−−−−−→-+-+ (2.6)

图2.4中Q(z )为改善系统稳定性的函数，可以取为低通滤波器，也可以取为小于1的常数，S (z )为补偿函数。式(2.4)给出系统输出与输入及扰动之间的关系。系统稳定的充分必要条件是H (z)=Q (z)－G p (z )H i 2S (z )在全频段位于单位圆内，其中最理想的情况是H (z )=0。

图2.4 基于实际重复控制器构成的闭环反馈控制系统

22

()()

1()()()()()1()()()1()()()N N

p d N

N N N p i p i z G z S z Q z z y z r z G z d z Q z z z G z S z H Q z z z G z S z H -------=

+-+-+

(2.7) 221()()()0()()()=()1N N N p i p i Q z z z G z S z H z Q z G z H S z H z ---+=⇒=-<

(2.8) 21

2()1()1()1()=()1()

1()()()1()j N

sT N s N N e e N N N p i e z Q z z Q z z Q z y z H z Q z z z G z S z H H z z π

ωω----==------=−−−−−−→--+-

(2.8) 21

2()1()1()()1()

1()()()j N

sT N s N e e d N N

p i e z Q z z Q z y z H z Q z z

z G z S z H π

ωω---==----=−−−−−−→--+

(2.9)

图2.5 重复控制稳定性示意图

2.3 两中典型的复合控制策略

前面分析过，合理设计参数，采用重复控制器能实现无静差控制。但是在暂态过程中，由于重复控制器延迟一个周波输出，因此其调节速度很慢。实际系统中，常采样复合控制，例如采用PI 调节器和重复控制器相结合。稳态时，系统主要有重复控