2019-2020学年浙江省宁波市江北区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
【35套试卷合集】浙江省宁波市名校2019-2020学年数学九上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年九上数学期末模拟试卷含答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥24．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣36．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为cm．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是cm2．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是．26．（7分）已知一次函数y1=x﹣1，二次函数y2=x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1=（用含a的式子表示）；y1=（用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：．参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【分析】由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+3，∴顶点坐标为：（2，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠APB=∠AOB=×40°=20°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥2【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1﹣2m的符号，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，∴m﹣2＜0，∴m＜2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1﹣2m的符号是解答此题的关键．4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：根据弧长的公式l=，得到：4π=，解得n=60°，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴，解得：AB=120，故选：A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanB===．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=3﹣1．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×﹣1+4×=3﹣1，故答案为：3﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于4：9．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：y=x2+2．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=2即可．【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y=x2+2，故答案为：y=x2+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为3cm．【分析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：连接OA∵OC⊥AB，弦AB长为8cm，∴AC=4（cm）．根据勾股定理，得OC==3（cm）．故答案为3．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是36πcm2．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：这个扇形的面积==36 πcm2．故答案为：36π【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是a＜且a≠0．【分析】根据函数与x轴有两个交点得出△＞0且a≠0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+3x+1=0有两个实数根，即△=32﹣4a＞0且a≠0，解得：a＜且a≠0，故答案为：a＜且a≠0．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a'的不等式是解此题的关键．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【解答】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．【分析】把A的坐标代入y=﹣2x，求出n，得出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数的解析式求出k 即可．【解答】解：∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上，∴n=（﹣2）×（﹣1）=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=（﹣1）×2=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．【分析】（1）利用配方法易得y=（x+2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线x=﹣2；（2）利用描点法画二次函数图象；【解答】解：（1）y=（x2+4x）+3=（x2+4x+4﹣4）+3=（x=2）2﹣1；（2）如图：【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y=a （x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数图象与性质．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，∴BD=ABcos30°=8×=4，∴BC=8．【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴=．∴AD=BD，在等腰直角三角形ADB中，BD=ABsin45°=5×=，∴BD=．【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）【分析】设CD=x，在Rt△CDB中，CD=BD=x，在Rt△CDA中tan∠CAD=，根据图中的线段关系可得AD=AB+BD，进而可得9+x=，再解即可．【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D，∠ECB=∠CBD=45°，∠ECA=∠CAD=35°，AB=9．设CD=x，∵在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴CD=BD=x，∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=35°，∴tan∠CAD=，∴AD=，∵AB=9，AD=AB+BD，∴9+x=，解得x=21，答：CD的长为21米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？【分析】设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，由题意得出y=x2+（x﹣2）2=2（x﹣1）2+2，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米．根据题意，y与x之间的函数表达式为y=x2+（x﹣2）2=2（x﹣1）2+2，因为2＞0于是，当x=1时，y有最小值，所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次函数图象的开口方向．①当a＞0时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；②a＜0时，抛物线向下开口，函数有最大值．24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．欲证AC是半圆O的切线，只需证明∠CAB=90°即可；（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可．【解答】解：（1）∵AB是半圆直径，∴∠BDA=90°，∴∠B+∠DAB=90°，又∵∠DAC=∠B，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，∴AC是半圆O的切线．（2）由题意知，OE∥BD，∠D=90°，∴∠D=∠AFO=∠AFE=90°，∴OE⊥AD，∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，AF=AD=3，又∵AD=6∴AF=3．又∵∠B=∠DAE，∴△AEF∽△BAD，∴=，而EF=4，∴，解得BD=．【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个．【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线y=0.5与图象的交点，交点的个数是2个．【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得x=2.00cm时，y=0.91cm；（2）利用描点法，图象如图所示．（3）由图可知，当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个．故答案为2个．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题．26．（7分）已知一次函数y1=x﹣1，二次函数y2=x2﹣mx+4（其中m＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；（2）①把m=5代入y2，画图象，并求与x轴交点A、B、C三点的坐标，根据图象可得结论；②根据题意结合图象可知x=3，把x=3代入y2=x2﹣mx+4≤0，当x=4时，y2=x2﹣mx+4＞0即可求得m的取值；【解答】解：（1）∵y2=x2﹣mx+4=（x﹣）2﹣+4，∴二次函数图象的顶点坐标为：（，﹣ +4）…（2）①当m=5时，y1=x﹣1，y2=x2﹣5x+4．…（4分）如图，当y1=0时，x﹣1=0，x=2，∵A（2，0），当y2=0时，x2﹣5x+4=0，解得：x=1或4，∴B（1，0），C（4，0），因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4．…（5分）②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2，∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，∴x=3，当x=3时，y2=32﹣3m+4≤0，解得m≥，当x=4时，y2＞0，即16﹣4m+4＞0，m＜5，∴m的取值范围是：≤m＜5．…（7分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得的值．【解答】证明：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CG⊥AB于点G，∴∠ACB=∠CGB=90°．∴∠CAB=∠BCG，∵CE∥AB，∴∠CAB=∠ACE．∴∠BCG=∠ACE又∵∠ACE=∠EBG∴∠BCG=∠EBG，（2）∵sin∠CAB=，∴，由（1）知，∠HBG=∠EBG=∠ACE=∠CAB∴在Rt△HGB中，．由（1）知，∠BCG=∠CAB在Rt△BCG中，．设GH=a，则GB=2a，CG=4a．CH=CG﹣HG=3a，∵EC∥AB，∴∠ECH=∠BGH，∠CEH=∠GBH∴△ECH∽△BGH，∴．【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1=c osα（用含a的式子表示）；y1=sinα（用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：1＜y1+y2≤．．【分析】（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，由此即可解决问题；（2）①过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．只要证明△QOE≌△OPF即可解决问题；②当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形QEFP是直角梯形，PQ=，EF≤PQ，即可推出当EF=PQ=时，得到y1+y2的最大值为；【解答】解：（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，∴x1=cosα，y1=sinα，故答案为cosα，sinα；（2）①结论：y1=﹣x2．理由：过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．。
浙江省宁波市鄞州区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
鄞州区2019学年第一学期九年级期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.抛物线22y x =的开口方向是（ ）A. 向下B. 向上C. 向左D. 向右【答案】B 【解析】 【分析】抛物线的开口方向由抛物线的解析式y=ax 2+bx+c （a ≠0）的二次项系数a 的符号决定，据此进行判断即可．【详解】解：∵y=2x 2的二次项系数a=2＞0， ∴抛物线y=2x 2的开口方向是向上； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的开口方向．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的开口方向：当a ＜0时，开口方向向下；当a ＞0时，开口方向向上． 2.已知2x=5y （y ≠0），则下列比例式成立的是（ ） A. 25x y=B. 52x y =C. 25x y =D. 52x y=【答案】B 【解析】试题解析：∵2x=5y， ∴ 52x y ＝， 故选B，3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( ) A. y=2x -3 B. y=2x +3C. y=2(3)x +D. y=2(3)x -【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.【详解】，抛物线y=x2向上平移3个单位，，平移后的抛物线的解析式为：y=x2+3.故答案为：B.【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.4.下列事件中，是必然事件的是（）A. 抛掷一枚硬币正面向上B. 从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃AC. 今天太阳从西边升起D. 从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服【答案】D【解析】【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、抛掷一枚硬币正面向上，是随机事件，故本选项错误；B、从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃A，是随机事件．故本选项错误；C、今天太阳从西边升起，是不可能事件，故本选项错误；D、从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服，是必然事件，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了事件发生的可能性，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5.如果两个相似多边形面积之比为1:4，那么它们的周长之比是（）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16【答案】A【解析】【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为1:4，∴两个相似多边形周长的比等于1:2，∴这两个相似多边形周长的比是1:2．故选：A．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．6.若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为（）A. 3B.C.D. 6【答案】D【解析】【分析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．【详解】如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=60°,∵OA=OF,∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF=6.所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为6．故选D．【点睛】本题考查了正六边形的外接圆的知识,解题的关键是画出图形,找出线段之间的关系.7.对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（）A. 12B. 24C. 1188D. 1176【答案】B【解析】 【分析】由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，从而得出结论．【详解】解：根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，次品的概率为0.02， 出售1200件衬衣，其中次品大约有1200×0.02=24（件）， 故选：B ．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．8.如图，点A 、B 、C 是O e 上的点，OB AC ∥，连结BC 交OA 于点D ，若60ADB ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A. 30°B. 40︒C. 45︒D. 50︒【答案】B 【解析】 【分析】根据平行可得，∠A=∠O ，据圆周角定理可得，∠C=12∠O ，结合外角的性质得出∠ADB=∠C+∠A=60°，可求出结果．【详解】解：∵OB ∥AC ，∠A=∠O ， 又∠C=12∠O ， ∴∠ADB=∠C+∠A=12∠O +∠O=60°，∴∠O=40°． 故选：B ．【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质以及外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．9.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，过重心G 作AC 、BC 垂线，垂足分别为D 、E ，则四边形GDCE的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A.19B.16C.29D.13【答案】C 【解析】 【分析】连接AG 并延长交BC 于点F ，根据G 为重心可知，AG=2FG ，CF=BF ，再证明△ADG ∽△GEF ，得出=2DG AG ADEF FG EG==，设矩形CDGE 中，DG=a ，EG=b ，用含a,b 的式子将AC ，BC 的长表示出来，再列式化简即可求出结果．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于点F ，根据G 为重心可知，AG=2FG ，CF=BF ， 易得四边形GDCE 为矩形，∴DG ∥BC ，DG=CD=EG=CE ，∠CDG=∠CEG=90°， ∴∠AGD=∠AFC ，∠ADG=∠GEF=90°， ∴△ADG ∽△GEF ，∴=2DG AG ADEF FG EG==． 设矩形CDGE 中，DG=a ，EG=b ，的∴AC=AD+CD=2EG+EG=3b ， BC=2CF=2(CE+EF)=2(DG+12DG )=3a ， ∴2=19332GDCE ab ABC a b =⨯⨯四边形△的面积．故选：C ．【点睛】本题主要考查重心的概念及相似的判定与性质以及矩形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的突破口，掌握基本概念和性质是解题的关键．10.如图，AB 为O e 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，延长DE 交O e 于点F ，若12AC =，3AE =，则O e 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 16．【答案】C 【解析】 【分析】连接OD 交AC 于点G ，根据垂径定理以及弦、弧之间的关系先得出DF=AC ，再由垂径定理及推论得出DE 的长以及OD ⊥AC ，最后在Rt △DOE 中，根据勾股定理列方程求得半径r ，从而求出结果． 【详解】解：连接OD 交AC 于点G ， ∵AB ⊥DF ，∴»»AD AF =，DE=EF ． 又点D 是弧AC 的中点，∴»»»AD CD AF ==，OD ⊥AC ，∴»»AC DF=， ∴AC=DF=12， ∴DE=6．设O e 的半径为r ， ∴OE=AO-AE=r-3，在Rt △ODE 中，根据勾股定理得，OE 2+DE 2=OD 2， ∴(r-3)2+62=r 2， 解得r=152． ∴O e 的直径为15． 故选：C ．【点睛】本题主要考查垂径定理及其推论，弧、弦之间的关系以及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，是中考常考题型．11.若(),A a b ，()2,B a c -两点均在函数()212019y x =--的图象上，且12a ≤<，则b 与c 的大小关系为（ ） A. b c < B. b c ≤ C. b c > D. b c ≥【答案】A 【解析】 【分析】将点A （a -1，b ），B （a -2，c ）代入()212019y x =--得出方程组，根据方程组中两个方程相减可得出b -c=2a -5，结合12a ≤<可得到b -c 的正负情况，本题得以解决．【详解】解：∵点A （a-1，b ），B （a-2，c ）在二次函数()212019y x =--的图象上，∴22(2)2019(3)2019a b a c ⎧--=⎨--=⎩， ∴b-c=2a-5，又12a ≤<，∴b -c=2a -5＜0， ∴b ＜c ， 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数图象上的点以及不等式的性质，解答本题的关键是将已知点的坐标代入二次函数解析式，得出b-c=2a-5．12.如图，矩形ABCD ∽矩形FAHG ，连结BD ，延长GH 分别交BD 、BC 于点I 、J ，延长CD 、FG 交于点E ，一定能求出BIJ ∆面积的条件是（ ）A. 矩形ABJH 和矩形HJCD 的面积之差B. 矩形ABJH 和矩形HDEG 的面积之差C. 矩形ABCD 和矩形AHGF 的面积之差D. 矩形FBJG 和矩形GJCE 的面积之差【答案】B 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质得到AF AH AB BC =，即AF ·BC=AB ·AH ①．然后根据IJ ∥CD 可得，IJ BJDC BC=，再结合AF AHAB BC=以及矩形中的边相等可以得出IJ=AF=DE ．最后根据S △BIJ =12BJ ·IJ=12BJ ·DE=12(BC-DH)·DE=12BC ·AF-12DH ·DE ②，结合①②可得出结论． 【详解】解：∵矩形ABCD ∽矩形FAHG ，AF AHAB BC∴=，∴AF ·BC=AB ·AH ， 又IJ ∥CD ，∴IJ BJ DC BC=，又DC=AB ，BJ=AH ，∴=IJ AH AF BC BAB A =，∴IJ=AF=DE ． S △BIJ =12BJ ·IJ=12BJ ·DE=12(BC-DH)·DE=12BC ·AF-12DH ·DE=12AB ·AH-12DH ·DE=12(S 矩形ABJH -S矩形HDEG)．∴能求出△BIJ 面积的条件是知道矩形ABJH 和矩形HDEG 的面积之差． 故选：B ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质等知识，正确的识别图形及运用相关性质是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）13.一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一次，恰好出现“正面朝上的数字是5”的概率是___________． 【答案】16【解析】 【分析】“正面朝上的数字是5”的情况数除以总情况数6即为所求的概率．【详解】解：∵抛掷六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子共有6种结果，其中“正面朝上的数字是5”的只有1种，∴“正面朝上的数字是5”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，概率等于所求情况数与总情况数之比． 14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，4AC =，则AB 的长是__________．【答案】 【解析】 【分析】 根据cosA=ACAB可求得AB 的长．【详解】解：由题意得，cosA=AC AB ，∴cos45°=42AB =，解得AB =故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 15.在△ABC 中，点D，E 分别在AB，AC 上，∠AED=∠B ，若AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，则边AB 的长为________ ，【答案】3 【解析】 【分析】由∠AED=∠B ，∠A 是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ADE ∽△ACB ，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得2ADE ACB S AE S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后由AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCDE 的面积为5，即可求得AB 的长． 【详解】∵∠AED=∠B ，∠A 是公共角，∴△ADE ∽△ACB ，∴2ADE ACB S AE S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5， ∴△ABC 的面积为9， ∵AE=2，∴242=()9AB， 解得：AB=3． 故答案为3．【点睛】本题考查相似三角形的判定性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 16.如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转角度α（090α︒<<︒），得到AB C ''∆，若B '，C ，C '三点在同一条直线上，46B CB '∠=︒，则α的度数是___________．【答案】46︒ 【解析】 【分析】首先根据邻补角定义求出∠BCC ′=180°-∠BCB ′=134°，再根据旋转的性质得出∠BCA=∠C ′，AC=AC ′，根据等边对等角进一步可得出∠BCA=∠ACC ′=∠C ′，再利用三角形内角和求出∠CAC ′的度数，从而得出α的度数．．【详解】解：∵B ，C ，C ′三点在同一条直线上，∴∠BCC ′=180°-∠BCB ′=134°， 又根据旋转的性质可得，∠CAC ′=∠BAB ′=α，∠BCA=∠C ′，AC=AC ′， ∴∠ACC ′=∠C ′， ∴∠BCA=∠ACC ′=12∠BCC ′=67°=∠C ′， ∴∠CAC ′=180°-∠ACC ′-∠C ′=46°， ，α=46°． 故答案为：46°．【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．同时也考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和以及邻补角的定义．17.如图，点()1,B a -、(),4C b -在OA e 上，点A 在x 轴的正半轴上，点D 是A e 上第一象限内的一点，若45D ∠=︒，则圆心A 的坐标为__．【答案】()3,0 【解析】 【分析】分别过点B ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，先通过圆周角定理可得出∠BAC=90°，再证明△BEA ≌△AFC ，得出AE=CF=4，再根据AO=AE-OE 可得出结果． 【详解】解：分别过点B ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ， ∵∠D=45°，∴∠BAC=90°．∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠CAF=90°， ∴∠ABE=∠CAF ，又AB=AC ，∠AEB=∠AFC=90°， ∴△BEA ≌△AFC （AAS ）， ∴AE=CF ，又∵B ，C 的坐标为()1,B a -、(),4C b -， ∴OE=1，CF=4，∴OA=AE-OE=CF-OE=3． ∴点A 的坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）．【点睛】本题主要考查圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，根据已知条件作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，点,A B 的坐标分别是()2,2A ，()5,5B ，若二次函数2y ax bx c =++的图象过,A B 两点，且该函数图象的顶点为(),M x y ，其中x ，y 是整数，且07x <<，07y <<，则a 的值为__________．【答案】±1，13± 【解析】 【分析】先将A ，B 两点的坐标代入2y ax bx c =++，消去c 可得出b=1-7a ，c=10a ，得出x M =-2b a =712a a-，y M =224914144ac b a a a a--+-=.方法一：分以下两种情况：①a ＞0，画出示意图，可得出y M =0,1或2，进而求出a 的值；②a ＜0时，根据示意图可得，y M =5，6或7，进而求出a 的值；方法二：根据题意可知71=0,1,2,3,4,5,62a a -或7①，29141=0,1,2,3,4,5,64a a a-+-或7②，由①求出a 的值，代入②中验证取舍从而可得出a 的值．【详解】解：将A ，B 两点的坐标代入2y ax bx c =++得，2425255a b c a b c =++⎧⎨=++⎩①②，②-①得，3=21a+3b ， ∴b=1-7a ，c=10a ．∴原解析式可以化为：y=ax 2+(1-7a)x+10a ．∴x M =-2b a =712a a -，y M =224914144ac b a a a a--+-=, 方法一：①当a ＞0时，开口向上，∵二次函数经过A,B 两点，且顶点(),M x y 中，x ，y 均整数，且07x <<，07y <<，画出示意图如图①，可得0≤y M ≤2，∴y M =0,1或2，当y M 291414a a a -+-==0时，解得a=79±,不满足x M 为整数的条件，舍去；当y M 291414a a a-+-==1时，解得a=1(a=19不符合条件，舍去)； 当y M 291414a a a-+-==2时，解得a=13,符合条件．②a ＜0时，开口向下，画出示意图如图②，根据题中条件可得，5≤y M ≤7，只有当y M =5，a=-13时，当y M =6，a=-1时符合条件． 综上所述，a 的值为±1，13±．方法二：根据题意可得71=0,1,2,3,4,5,62a a -或7；29141=0,1,2,3,4,5,64a a a-+-或7③，∴当71=02a a-时，解得a=17，不符合③，舍去；当71=12a a-时，解得a=15，不符合③，舍去；当71=22a a-时，解得a=13，符合③中条件；当71=32a a-时，解得a=1，符合③中条件； 当71=42a a-时，解得a=-1，符合③中条件； 当71=52a a-时，解得a=-13，符合③中条件；当71=62a a-时，解得a=-15，不符合③舍去；当71=72a a-时，解得a=-17，不符合③舍去；综上可知a 的值为：±1，13±． 故答案为：±1，13±【点睛】本题主要考查二次函数的解析式、顶点坐标以及函数图像的整数点问题，掌握基本概念与性质是解题的关键．三、解答题19.计算：23tan30cos 452sin 60︒︒︒+-． 【答案】12【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值代入求值即可．【详解】解：原式232322⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭12=12=． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值．20.如图是由24个小正方形组成的网格图，每一个正方形的顶点都称为格点，ABC ∆的三个顶点都是格点．请按要求完成下列作图，每个小题只需作出一个符合条件的图形．（1）在图1网格中找格点D ，作直线AD ，使直线AD 平分ABC ∆的面积；（2）在图2网格中找格点E ，作直线AE ，使直线AE 把ABC ∆的面积分成1:2两部分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中线的定义画出中线即可平分三角形面积；（2）根据同高且底边长度比为1:2的两个三角形的面积比为1:2寻找点，同时利用相似三角形对应边的比相等可找出格点．【详解】解：（1）如图①，由网格易知BD=CD ，所以S △ABD =S △ADC ，作直线AD 即为所求； （2）如图②，取格点E ，由AC ∥BE 可得，21CN AC BN BE ==（或2142CM AC BM BE ===）, ∴S △ACN =2S △ABN （或S △ABM =2S △ACM,）， ∴作直线AE 即为所求．（选取其中一条即可）【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，相似的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.在一个不透明的小布袋中装有4个质地、大小完全相同的小球，它们分别标有数字0，1，2，3，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这,x y．样确定了点M的坐标()（1）画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标；（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若M在第一象限，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？请你作出判断并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）游戏是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列表法或画树状图可得出所有可能的结果；（2）利用概率公式计算出小明胜的概率，小红胜的概率，从而可判断这个游戏的公平性．【详解】解：（1）M点的坐标共12个，如下表：（2）游戏公平，理由如下：由列表可知，点M 在第一象限共有6种情况，∴小明获胜的概率为：61=122， 点M 不在第一象限共有6种情况，∴小红获胜的概率为：61122=． ∴两人获胜的概率相等，故这个游戏是公平的．【点睛】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．同时也考查了列表法与画树状图法．22.如图，在电线杆上的点C 处引同样长度的拉线CE ，CF 固定电线杆CD ，在离电线杆6米处安置测角仪AB （其中点B 、E 、D 、F 在同一条直线上），在A 处测得电线杆上点C 处的仰角为30°，测角仪AB（1）求电线杆上点C 离地面的距离CD ；（2）若拉线CE ，CF 的长度之和为18米，求固定点E 和F 之间的距离．【答案】（1）2）米【解析】 【分析】（1）过点A 作AH ⊥CD 于点H ，可得四边形ABDH 为矩形，根据A 处测得电线杆上C 处得仰角为30°，在△ACH 中求出CH 的长度，从而得出CD 的长；（2）然后在Rt △CDE 中求出DE 的长度，根据等腰三角形的性质，可得出DF=DE ，从而得出EF 的长． 【详解】解：（1）过A 作AH CD ⊥于H ，由条件知，ABDH 为矩形，，DH AB ==6BD AH ==．在Rt ACH ∆中，tan CH CAH AH ∠=6CH=，，CH =，CD ==．，CD 为（2），CE CF =，18CE CF +=，，9CE =，在Rt CED ∆中，CD =9CE =，，DE ==，CE CF =，CD EF ⊥，，DF DE ==，EF =，E 、F 之间的距离为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．23.如图1，小明用一张边长为6cm 的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为xcm 的正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为3ycm ．（1）y 关于x 的函数表达式是__________，自变量x 的取值范围是___________．（2）为探究y 随x 的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究： ，列表：请你补充表格中的数据：，描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ，连线：用光滑的曲线顺次连结各点．（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过312cm ，估计正方形边长x 的取值范围．（保留一位小数） 【答案】（1）3242436y x x x =-+，03x <<；（2），16，8；，见解析；，见解析；（3）0.5 1.6x <<（或0.4 1.7x <<）【解析】 【分析】（1）先根据已知条件用含x 的式子表示出长方体底面边长，再乘以长方体的高即可；（2）①根据（1）得出的关系式求当x=1、2时对应的y 的值补充表格；②③根据描点法画出函数图像即可；（3）根据图像知y=12时，x 的值由两个，再估算x 的值，再根据图像由y ＞12，得出x 的取值范围即可． 【详解】解：（1）由题意可得，无盖纸盒的底面是一个正方形，且边长为（6-2x ）cm ， ∴232(62)42436y x x x x x =-=-+， x 的取值范围为：0＜6-2x ＜6，解得03x <<． 故答案为：3242436y x x x =-+；03x <<；（2），当x=1时，y=4-24+36=16；当x=2时，y=4×8-24×4+36×2=8； 故答案为：16，8； ②③如图所示：（3）由图像可知，当y=12时，0＜x ＜1，或1＜x ＜2， ①当0＜x ＜1时，当x=0.4时，y=10.816，当x=0.5时，y=12.5，∴当y=12时，x ≈0.5（或0.4）；②当1＜x ＜2时，当x=1.6时，y=12.544，当x=1.7时，y=11.492，∴当y=12时，x ≈1.6（或1.7），∴当y ＞12时，x 的取值范围是0.5 1.6x <<（或0.4 1.7x <<）．【点睛】本题主要考查列函数关系式、函数图像的画法、根的估算以及函数的性质，解题的关键是掌握基本概念和性质．24.已知：如图，在半圆O 中，直径AB 的长为6，点C 是半圆上一点，过圆心O 作AB 的垂线交线段AC 的延长线于点D ，交弦BC 于点E ．（1）求证：D ABC ∠=∠；（2）记OE x =，OD y =，求y 关于x 的函数表达式；（3）若OE CE =，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）9y x =；（334π 【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°，可得∠CAB+∠ABC=90°，根据DO ⊥AB ，得出∠D+∠DAO=90°，进而可得出结果；（2）先证明OCE ODC ∆∆∽，得出OE OC OC OD=，从而可得出结果； （3）设OD 与圆弧的交点为F ，则根据S 阴影=S △AOD -S △AOC -S 扇形COF 求解．【详解】（1）证明：，AB 是直径，，90ACB ∠=︒，，90A ABC ∠+∠=︒．，⊥DO AB ，，90A D ∠+∠=︒．，D ABC ∠=∠．（2）解：，OB OC =，，OBC OCE ∠=∠．，OCE D ∠=∠．而COE COD ∠=∠，，OCE ODC ∆∆∽， ，OE OC OC OD =即33x y=， ，9y x =． （3）解：设OD 与圆弧的交点为F ，设B α∠=，则BCO α∠=，，OE CE =，，EOC BCO α∠=∠=．BCO ∆中，90180a αα++︒+=︒，，30α=︒．∴∠AOC=60°，∴又AO=CO ，∴△ACO 为等边三角形，S阴影=S △AOD -S 扇形COF -S △AOC =230133π33π23602412⨯⨯⨯-⨯⨯=-．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论、圆中不规则图形面积的求法、等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定等知识，掌握基本性质与判定方法是解题的关键．注意求不规则图形的面积时，结合割补法求解．25.定义：若函数()20y x bx c c =++≠与x 轴的交点,A B 的横坐标为A x ，B x ，与y 轴交点的纵坐标为C y ，若A x ，B x 中至少存在一个值，满足A C x y =（或B C x y =），则称该函数为友好函数．如图，函数223y x x =+-与x 轴的一个交点A 的横坐标为-3，与y 轴交点C 的纵坐标为-3，满足A C x y =，称223y x x =+-为友好函数．（1）判断243y x x =-+是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数2y x bx c =++表达式中的b 与c 之间的关系；（3）若2y x bx c =++是友好函数，且ACB ∠为锐角，求c 的取值范围．【答案】（1），理由见解析；（2）1b c +=-；（3）1c <-或0c >，且1c ≠【解析】【分析】 （1）根据友好函数的定义，求出函数与x 轴交点的横坐标以及与y 轴交点的纵坐标，即可进行判断； （2）先求出函数与y 轴交点的纵坐标为c ，再根据定义，可得当x=c 时，y=0，据此可得出结果； （3）分一下三种情况求解：（，）当C 在y 轴负半轴上时，由（2）可得：1c b =-，进而可得出结果；（，）当C 在y 轴正半轴上时，且A 与B 不重合时，画出图像可得出结果；（，）当C 与原点重合时，不符合题意．【详解】解：（1）243y x x =-+是友好函数．理由如下：当0x =时，3y =；当0y =时，1x =或3，，243y x x =-+与x 轴一个交点的横坐标和与y 轴交点的纵坐标都是3． 故243y x x =-+是友好函数．（2）当0x =时，y c =，即与y 轴交点的纵坐标为c ．，2y x bx c =++是友好函数．，x c =时，0y =，即(),0c 在2y x bx c =++上．代入得：20c bc c =++，而0c ≠，，1b c +=-． （3）（，）当C 在y 轴负半轴上时，由（2）可得：1c b =-，即21y x bx b =+--，显然当1x =时，0y =，即与x 轴的一个交点为(1,0)．则45ACO ∠=︒，，只需满足45BCO ∠<︒，即BO CO <．是∴1c <-．（，）当C 在y 轴正半轴上时，且A 与B 不重合时，，显然都满足ACB ∠为锐角．∴0c >，且1c ≠．（，）当C 与原点重合时，不符合题意．综上所述，1c <-或0c >，且1c ≠．【点睛】本题主要考查二次函数的新定义问题以及二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是理解题意． 26.如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．（1）求证：AC 是O e 的切线；（2）若点E 恰好是AO 的中点，求»BF的长； （3）若CF 的长为34． ，求O e 的半径长；，点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比．【答案】（1）见解析；（2）59π；（3），1或158；，16或95 【解析】【分析】 （1）连接DO ，如图，先根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠1=∠3，从而得到DO ∥BC ，再根据∠C=90°，可得出结果；（2）连接FO ，根据E 为中点，可以得出53AE EO DO BO ====，在Rt △AOD 中，可以求出sinA 的值，从而得出∠A 的度数，再证明△BOF 为等边三角形，从而得出∠BOF 的度数，根据弧长公式可得出结果；（3）①设圆的半径为r ，过O 作OM BC ⊥于M ，则BM FM =，四边形CDOM 是矩形．再证明ADO OMB ∆∆∽，得出AO BO DO BM=，据此列方程求解； ②作出点F 关于BD 的对称点F ′，连接DE ，DF ，DF ′，FF ′，再证明DEF BF F ''∆∆∽，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．【详解】（1）证明：连结DO ，，BD 平分ABC ∠，，12∠=∠，，DO BO =，，23∠∠=．，13∠=∠．，DO BC P ．，90C ∠=︒，，90ADO ∠=︒．∴AC 是O e 的切线．（2）解：，E 是AO 中点，，53AE EO DO BO ====． ，1sin 2OD A AO ==，，30A ∠=︒，60ABC ∠=︒． 连接FO ，又BO=OF ，∴△BOF 为等边三角形，∴60BOF ∠=︒．，»6055ππ18039BF =⨯⨯=．（3）解：，过O 作OM BC ⊥于M ，则BM FM =，四边形CDOM 是矩形．设圆的半径为r ，则5AO r =-，34BM FM r ==-． ，DO BC P ，，AOD OBM ∠=∠．而90ADO OMB ∠=︒=∠，，ADO OMB ∆∆∽． ，AO BO DO BM =即534r r r r -=-， 解之得11r =，2158r =．，作出点F 关于BD 的对称点F ′，连接FF ′，DE ，DF ，DF ′，，∠EBD=∠FBD ，，DE DF =．，BE 是直径，，90BDE ∠=︒，而F 、F '关于BD 轴对称，，BD FF '⊥，BFBF '=，DF=DF ′，，DE ∥FF ′，DE=DF ′，∠DEF ′=∠DF ′E ，，=DEF DF E BF F BFF ''''∠==∠∠∠，，DEF BF F ''∆∆∽.当1r =时，4AO =，1DO =，1BO =，由①知3544BC r BM r r =+=+-=，而34CF =， ，12BF =. 又易得△BCD ∽△BDE,∴54=,=2BC BD BD BD BE BD ∴，∴BD 2=52. 在Rt △BED 中，DE 2=BE 2-BD 2=4-52=32，∴DE=2′. ，BFF '∆与DEF '∆的面积比2116BF DF ⎛⎫ ⎪==′． 同理可得，当158r =时，BFF '∆与DEF '∆的面积比95=． ，BFF '∆与DEF '∆的面积比为16或95．【点睛】本题是圆与相似的综合题，主要考查切线的判定，弧、弦长与圆周角的关系，弧长的求法，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线再求解．。
∥3套精选试卷∥2019年宁波市江北某名校初中九年级上学期数学期末综合测试试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知点(﹣3，a)，(3，b)，(5，c)均在反比例函数y ＝21k x+的图象上，则有（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a【答案】D【分析】根据反比例函数系数k 2+1大于0，得出函数的图象位于第一、三象限内，在各个象限内y 随x 的增大而减小，据此进行解答．【详解】解：∵反比例函数系数k 2+1大于0，∴函数的图象位于第一、三象限内，在各个象限内y 随x 的增大而减小，∵﹣3＜0，0＜3＜5，∴点（﹣3，a ）位于第三象限内，点（3，b ），（5，c ）位于第一象限内，∴b ＞c ＞a ．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，解答本题的关键是确定反比例函数的系数大于0，并熟练掌握反比例函数的性质，此题难度一般．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A ．302，B ．602，C ．360，D ．603，【答案】C【解析】试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×3=23，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=12AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=12AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=12×23=3，∴S阴影=12DF×CF=12×3=32．故选C．考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．3．抛物线y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是()A．(0，﹣1) B．(﹣2，﹣1) C．(2，﹣1) D．(0，1)【答案】C【解析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.【详解】解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.4．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G ，AF⊥BE于F ，图中相似三角形的对数是（）A．5 B．7 C．8 D．10【解析】试题解析：∵矩形ABCD∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=90︒∴△EDG∽△ECB∽△BAG∵AF⊥BE∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=90︒∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA∴△GAF∽△GBA∽△ABF∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA∴共有10对故选D．5．已知P是△ABC的重心，且PE∥BC交AB于点E，BC＝33，则PE的长为（）.A．3B．33C．32D．233【答案】A【分析】如图，连接AP，延长AP交BC于D，根据重心的性质可得点D为BC中点，AP=2PD，由PE//BC 可得△AEP∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求出PE的长.【详解】如图，连接AP，延长AP交BC于D，∵点P为△ABC的重心，BC=33，∴BD=12BC=33，AP=2PD，∴AP2 AD3=，∵PE//BC，∴△AEP∽△ABD，∴AP PE AD BD=，∴PE=APBDAD⨯=2333⨯=3.故选：A.本题考查三角形重心的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在边CD的延长线上，若∠ABC＝110°，则∠ADE的度数为（）A．55°B．70°C．90°D．110°【答案】D【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠ABC=110°.故选D.点睛：本题是一道考查圆内接四边形性质的题，解题的关键是知道圆内接四边形的性质：“圆内接四边形对角互补”.7．-2019的相反数是（）A．2019 B．-2019 C．12019D．12019【答案】A【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.【详解】解：-1的相反数是1．故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.8．在做针尖落地的实验中，正确的是（）A．甲做了4 000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4 001次时，针尖肯定不会触地B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要【答案】B【解析】试题分析：根据模拟实验带有一定的偶然性，相应的条件性得到正确选项即可．A、在做第4001次时，针尖可能触地，也可能不触地，故错误，不符合题意；B、符合模拟实验的条件，正确，符合题意；C、应选择相同的图钉，在类似的条件下实验，故错误，不符合题意；D、所有的实验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；故选B．考点：本题考查的是模拟实验的条件点评：解答本题的关键是注意实验器具和实验环境应相同，实验的结果带有一定的偶然性．9．如图，点A、B、C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，∠ACD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【答案】C【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据外角求得∠ACD的度数．【详解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°，∴∠ACD=70°-50°=20°；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键．10．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（）A．300（1+x）2＝1500 B．300（1+2x）＝1500C．300（1+x2）＝1500 D．300+2x＝1500【答案】A【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x ）2，列出方程为：300（1+x ）2=1．故选A ．11．若点()()()112233,,,,,x y x y x y 都是反比例函数21a y x--=的图象上的点，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是（（ ）A ．132y y y <<B ．231y y y <<C ．321y y y <<D ．123y y y << 【答案】B【详解】解：根据题意可得：210a --∴反比例函数处于二、四象限，则在每个象限内为增函数，且当x ＜0时y ＞0，当x ＞0时，y ＜0，∴2y ＜3y ＜1y .12．如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c ；②a ﹣b+c ＜0；③b 2﹣4ac ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x 轴的交点，进而分别分析得出答案． 详解：①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c ，即二次函数的最大值为a+b+c ，故①正确；②当x=﹣1时，a ﹣b+c=0，故②错误；③图象与x 轴有2个交点，故b 2﹣4ac ＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），∴A （3，0），故当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，故④正确．故选B ．点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在⊙O 中，∠AOB=60°，则∠ACB=____度．【答案】1．【详解】解：同弧所对圆心角是圆周角的2倍，所以∠ACB=12∠AOB=1°． ∵∠AOB=60°∴∠ACB=1°故答案为：1．【点睛】本题考查圆周角定理．14．已知x ＝﹣1是方程x 2﹣2mx ﹣3＝0的一个根，则该方程的另一个根为_____．【答案】1【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设另外一个根为x ，由根与系数的关系可知：﹣x ＝﹣1，∴x ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键．15．函数2y x =-x 的取值范围是_____．【答案】2x ≥【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】依题意，得20x -≥，解得：2x ≥，故答案为2x ≥．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC 上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针旋转180º，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180º，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）则拼成的这个四边形纸片的周长的最大值为___cm．【答案】12413【分析】首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形，其周长大小取决于MN的大小．然后在矩形中探究MN的不同位置关系，得到其长度的最大值与最大值，从而问题解决．【详解】解：画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示．图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），又∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．∵BC=6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，过G 、H 点作BC 边的平行线，分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，则四边形PBCQ 是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD 的一半，∵M 是线段PQ 上的任意一点，N 是线段BC 上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN 的最小值为PQ 与BC 平行线之间的距离，即MN 最小值为4；而MN 的最大值等于矩形对角线的长度，即222246213PB BC +=+=四边形M 1N 1N 2M 2的周长=2BC+2MN=12+2MN ，∴最大值为12+2×213413故答案为：12+13【点睛】此题通过图形的剪拼，考查了动手操作能力和空间想象能力，确定剪拼之后的图形，并且探究MN 的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键．17．抛物线y ＝(x ﹣1)(x ﹣3)的对称轴是直线x ＝_____．【答案】1【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴；【详解】解：∵抛物线y ＝(x ﹣1)(x ﹣3)＝x 1﹣4x+3＝(x ﹣1)1﹣1，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.18．线段2a =，3b =的比例中项是______. 6【分析】根据比例中项的定义，若b 是a ，c 的比例中项，即b 2＝ac ．即可求解．【详解】解：设线段c 是线段a 、b 的比例中项，∴c 2＝ab ，∵a ＝2，b ＝3，∴c ＝236⨯=故答案为：6【点睛】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．三、解答题（本题包括8个小题）19．已知关于x 的一元二次方程()2m 1x 2x 10-+-=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围． 【答案】m ＞﹣1且m≠1．【分析】由关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，由一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠1且△＞1，即4﹣4m•（﹣1）＞1，两个不等式的公共解即为m 的取值范围．【详解】∵关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，∴m≠1且△＞1，即4﹣4m•（﹣1）＞1，解得m ＞﹣1，∴m 的取值范围为m ＞﹣1且m≠1，∴当m ＞﹣1且m≠1时，关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=1有两个不相等的实数根．20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）连结OD 若四边形AODE 为菱形，BC ＝8，求DH 的长．【答案】（1）见解析；（2）DH ＝3【分析】（1）连接AD ，根据直径所对的圆周角是直角，即可求出∠ADB ＝90°，从而得出AD ⊥BC ，最后根据三线合一即可证出结论；（2）连接OE ，根据菱形的性质可得OA ＝OE ＝AE ，从而证出△AOE 是等边三角形，从而得出∠A ＝60°，然后根据等边三角形的判定即可证出△ABC 是等边三角形，从而求出∠C ，根据（1）的结论即可求出CD ，最后根据锐角三角函数即可求出DH.【详解】（1）证明：如图，连接AD ．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：如图，连接OE．∵四边形AODE是菱形，∴OA＝OE＝AE，∴△AOE是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵CD＝BD=142BC=，∴DH＝CD•sinC＝23．【点睛】此题考查的是圆周角定理推论、等腰三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和解直角三角形，掌握直径所对的圆周角是直角、三线合一、菱形的性质、等边三角形的判定及性质和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.21．将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，A B'与直径AB交于点C，连接点与圆心O′.（1）求BC 的长；（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积.【答案】（1）203π（2）502533π+ 【解析】试题分析：（1）连结BC ，作O′D ⊥BC 于D ，根据旋转变换的性质求出∠CBA′的度数，根据弧长公式计算即可；（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可． 试题解析：（1）连结BC,作OD⊥BC 于D, 可求得∠BO′C=1200,O′D=5,BC 的长为203π （2）''502533OBC O A C S S S π∆=+=+白扇形 22．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是1． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（1）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （1，635-）；（1）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（2）752【解析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是1，则x 2ba=-=1，抛物线过A （0，﹣2），则：函数的表达式为：y=ax 1+bx ﹣2，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （1）分AB=AC 、AB=BC 、AC=BC ，三种情况求解即可； （2）由S △PAB 12=•PH•x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是1，则x 2ba=-=1①，抛物线过A （0，﹣2），则：函数的表达式为：y=ax 1+bx ﹣2，把B 点坐标代入上式得：9=15a+5b ﹣2②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c=﹣2，∴抛物线的解析式为：y 125=x 1485-x ﹣2．当x=1时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（1，635-）；（1）A （0，﹣2），B （5，9），则AB=12，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：①当AB=AC 时，则：（m ）1+（﹣2）1=121，解得：，即点C 坐标为：（，0）或（﹣，0）；②当AB=BC 时，则：（5﹣m ）1+91=121，解得：m=5±即：点C 坐标为（5+，0）或（5﹣，0）；③当AC=BC 时，则：5﹣m ）1+91=（m ）1+（﹣2）1，解得：m=9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C 的坐标为：（0）或（5±0）或（9710，0）；（2）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y=kx ﹣2，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣2，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣2，设点P 坐标为（m ，125m 1485-m ﹣2），则点H 坐标为（m ，125m ﹣2），S △PAB 12=•PH•x B 52=（125-m 1+11m ）=－6m 1+20m=25756()22m --+，当m=52时，S △PAB 取得最大值为：752． 答：△PAB 的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．23．已知：AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB=4，CD=6，BC=14，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长？【答案】（1）BP=2或BP=12；（2）当BP的值为2，12或5.1时，两三角形相似．【解析】试题分析：分△ABP∽△PCD和△ABP∽△DCP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．解：（1）当△ABP∽△PCD时，=，则=，解得BP=2或BP=12；（2）当△ABP∽△DCP时，=，则=，解得BP=5.1．综合以上可知，当BP的值为2，12或5.1时，两三角形相似．考点：相似三角形的性质．24．先化简，后求值：2421244x x x x +⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭，其中x ＝﹣1． 【答案】x ﹣2，-2．【分析】由题意先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 【详解】解：2421244x x x x +⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭ ＝22(2)22x x x x +--+＝x ﹣2， 当x ＝﹣1时，原式＝﹣1﹣2＝﹣2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．25．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y ＝a(x －6)2＋h.已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.（1）当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围) （2）当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 【答案】（1）y ＝－160(x －6)2＋2.6；（2）球能过网；球会出界． 【解析】解：(1)∵h ＝2.6，球从O 点正上方2 m 的A 处发出， ∴y ＝a(x －6)2＋h 过(0，2)点， ∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得：a ＝－160， 所以y 与x 的关系式为：y ＝－160(x －6)2＋2.6. (2)当x ＝9时，y ＝－160(x －6)2＋2.6＝2.45>2.43，所以球能过网； 当y ＝0时，－160(x －6)2＋2.6＝0， 解得：x 1＝6＋39>18，x 2＝6－39舍去)， 所以会出界．26．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB边上一点，D是AC边上一点，且点D不与A、C重合，ED⊥AC．（1）当sinB=12时，①求证：BE＝2CD．②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（45°＜∠CAD＜90°）．BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由．（2）当sinB=22时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝25，求线段CD的长．【答案】（1）①证明见解析；②BE＝2CD成立.理由见解析；（2）10或10．【分析】（1）①作EH⊥BC于点H，由sinB=12可得∠B=30°，∠A=60°，根据ED⊥AC可证明四边形CDEH是矩形，根据矩形的性质可得EH=CD，根据正弦的定义即可得BE＝2CD；②根据旋转的性质可得∠BAC＝∠EAD，利用角的和差关系可得∠CAD＝∠BAE，根据AC ADAB AE==12可证明△ACD∽△ABE，及相似三角形的性质可得BE ABCD AC=，进而可得BE=2CD；（2）由sinB=22可得∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，根据ED⊥AC可得AD＝DE，AC＝BC，如图，分两种情况讨论，通过证明△ACD∽△ABE，求出CD的长即可. 【详解】（1）①作EH⊥BC于点H，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=12，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∵ED⊥AC∴∠ADE＝∠C＝90°，∴四边形CDEH是矩形，即EH=CD. ∴在Rt△BEH中，∠B=30°∴BE＝2EH∴BE＝2CD.②BE＝2CD成立．理由：∵△ADE绕点A旋转到如图2的位置，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，即∠CAD＝∠BAE，∵AC：AB＝1：2，AD：AE＝1：2，∴AC AD AB AE=，∴△ACD∽△ABE，∴BE AB CD AC=，又∵Rt△ABC中，ABAC＝2，∴BECD＝2，即BE＝2CD.（2）∵sinB=22，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∵ED⊥AC，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，将△ADE绕点A旋转，∠DEB＝90°，分两种情况：①如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠F＝90°，当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝5∵AC＝10＝BC，∴AB＝2，∴Rt△ABF中，BF＝22AB AF-＝5∴BE＝BF﹣EF＝5又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，∵AC：AB＝1：2，AD：AE＝1：2，∴AC AD AB AE=，∴△ACD∽△ABE，∴BE ABCD AC=＝2，即45CD＝2，∴CD＝210；②如图所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°，∠DEB＝∠ADE＝90°，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝5又∵AC＝10＝BC，∴AB＝2，∴Rt△ABF中，BF＝22AB AF-＝5∴BE＝BF+EF＝5又∵△ACD∽△ABE，∴BE ABCD AC=2，即85CD2，∴CD＝10综上所述，线段CD 的长为210或410． 【点睛】本题考查三角函数的定义、特殊角的三角函数值及相似三角形的判定与性质，根据正弦值得出∠ABC 的度数并熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键. 27．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-- 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式；（3）D 为直线AB 下方抛物线上一动点；①连接DO 交AB 于点E ，若DE ：OE=3：4，求点D 的坐标；②是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，说明理由．【答案】（1）A(-4，0)、B （0，-2）；（2）213y x-222x =+；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）． 【分析】（1）在122y x =--中由0y =求出对应的x 的值，由x=0求出对应的y 的值即可求得点A 、B 的坐标；（2）把（1）中所求点A 、B 的坐标代入212y x bx c =++中列出方程组，解方程组即可求得b 、c 的值，从而可得二次函数的解析式；（3）①如图，过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，由此易得△DFE ∽OBE ，这样设点D 的坐标为213(m,2)22m m +-，点F 的坐标为1(m,2)2m --,结合相似三角形的性质和DE ：OE=3:4，即可列出关于m 的方程，解方程求得m 的值即可得到点D 的坐标；②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC ，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB ，则BD ∥AH ，再求出AH 的解析式可得BD 的解析式，由BD 的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D 的坐标． 【详解】解：（1）在122y x =--中，由0y =可得：1202x --=，解得：4x =-； 由0x =可得：2y =-，∴点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）；（2）把点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）代入212y x bx c =++得： 8402b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =+-； （3）①过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ， 设点D 213(m,2)22m m +-，F 1(m,2)2m --, 连接DO 交AB 于点E ，△DFE ∽OBE ， 因为DE ：OE=3：4， 所以FD ：BO=3：4， 即：FD=34BO=32 ,所以21133m 222222FD m m ⎛⎫⎛⎫=---+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解之得： m 1=-1，m 2=-3 ，∴D 的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形， ∴∠BAH=2∠BAC ，若∠DBA=2∠BAC ，则∠DBA=∠BAH ， ∴AH//DB ，由点A 的坐标（-4，0）和点H 的坐标（0，2）求得直线AH 的解析式为：1y 22x =+， ∴直线DB 的解析式是：1y 22x =-,将：2113y 2,y 2,222x x x =-=+-联立可得方程组：21y 2213y 222x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 解得：23x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点D 的坐标（-2，-3）．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解第2小题的关键是过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，从而构造出△DFE ∽OBE ，这样利用相似三角形的性质和已知条件即可求得D 的坐标；解第3小题的关键是在x 轴的上方作OH=OB ，连接AH ，从而构造出∠BAH=2∠BAC ，这样由∠DBA=∠BAH 可得AH ∥BD ，求出AH 的解析式即可得到BD 的解析式，从而将问题转化成求BD 和抛物线的交点坐标即可使问题得到解决．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列说法正确的是( )．A ．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.B ．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨D ．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等【答案】D【解析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【详解】A. 是随机事件，错误；B. 中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，错误；C. 明天下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；D. 正确。
2019-2020学年宁波市九年级上期末数学测试卷(含答案)
浙江省宁波市江北区九年级（上）期末测试数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）若，则的值为（）A．B．C．D．42．（4分）下列成语表示随机事件的是（）A．水中捞月B．水滴石穿C．瓮中捉鳖D．守株待兔3．（4分）下图是由3个相同的小正方体组成的几何体，则右边4个平面图形中是其左视图的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是（）A．B．C．D．5．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则的值为（）A．B．C．D．26．（4分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+3图象的对称轴是（）A．.直线x=1 B．直线x=﹣1C．直线x=3 D．直线x=﹣37．（4分）圆锥的底面半径为10cm，母线长为15cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πcm2B．150πcm2C．200πcm2 D．250πcm28．（4分）如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC=（）A．105°B．120°C．135°D．150°9．（4分）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y110．（4分）已知∠ADB，作图．步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA、DB于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点E，画射线DE．步骤2：在DB上任取一点O，以点O为圆心，OD长为半径画半圆，分别交DA、DB、DE于点P、Q、C；步骤3：连结PQ、OC．则下列判断：①=；②OC∥DA；③DP=PQ；④OC垂直平分PQ，其中正确的结论有（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④11．（4分）已知：如图，点D是等腰直角△ABC的重心，其中∠ACB=90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE，若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为（）A．2B．2C．4 D．312．（4分）已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（）A．x取m﹣1时的函数值小于0B．x取m﹣1时的函数值大于0C．x取m﹣1时的函数值等于0D．x取m﹣1时函数值与0的大小关系不确定二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）二次函数y=x（x﹣6）的图象与x轴交点的横坐标是．14．（4分）已知⊙O的半径为r，点O到直线1的距离为d，且|d﹣3|+（6﹣2r）2=0，则直线1与⊙O的位置关系是．（填“相切、相交、相离”中的一种）15．（4分）在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是．16．（4分）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是．17．（4分）将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y=x2+4x﹣1，则a+b+c= ．18．（4分）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（6分）计算：3tan30°+（﹣1）2018﹣（π﹣3）020．（8分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B、C在一条直线上，BC=22m．在点B、C分别测得气球A的仰角为30°、63°，求气球A离地面的高度．（精确到个位）（参考值：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）21．（8分）在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n的值；（2）在（1）的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，放回，摇均匀后，再从袋中摸出一个球，记录其颜色．请用画树状图或者列表的方法，求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率．22．（10分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，OC平分∠ACD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与直线CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=2，∠F=30°时，求BD的长．23．（10分）根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1=0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？24．（10分）如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．25．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，设AE=x．将△ABE沿BE翻折得到△ABE，点A落在矩形ABCD的内部，且∠AA′G=90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，求x的值．26．（14分）【给出定义】若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做“跳跃四边形”，这条对角线叫做“跳跃线”．【理解概念】（1）命题“凡是矩形都是跳跃四边形”是命题（填“真”或“假”）．（2）四边形ABCD为“跳跃四边形”，且对角线AC为“跳跃线”，其中AC⊥CB，∠B=30°，AB=4，求四边形ABCD的周长．【实际应用】已知抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点，与直线y=2x+b交于A，B两点．（3）直接写出C点坐标，并求出抛物线的解析式．（4）在线段AB上有一个点P，在射线BC上有一个点Q，P，Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从B出发，沿BA，BC方向运动，设运动时间为t，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．A．2．D．3．A．4．A．5．C．6．A．7．B．- 8．C．9．C．10．B．11．A．12．B．二、填空13．0或6．14．相切．15．．16．．17．1．18．4或x=4或x=2．三、解答题19．【解答】解：原式=3×+1﹣1=．-20．【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥l ，设AD=x ，则BD===x ，∴tan63°==2，∴AD=x=8+4， ∴气球A 离地面的高度约为18m ． 21．【解答】解：（1）根据题意，得： =，解得n=2；（2）画树状图如下：由树状图知，共有16种等可能结果，其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果数为10，∴先后两次摸出不同颜色的两个球的概率为=．22．∴∠ACO=∠OCD，∵∠A=∠D=∠ACO，∴∠D=∠OCD，∴OC∥DE，∵DE⊥CF，∴OC⊥CF，∴CF为⊙O的切线；（2）连接AD，∵BE∥OC，∴△FEB∽△FCO，∴，解得：r=2，∴AB=4，∵∠ABD=60°，∴BD=2．23．【解答】解：（1）∵函数y2=ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2=﹣x2+x．（2）w=（8﹣t）﹣t2+=﹣（t﹣4）2+6，∴t=4时，w的值最大，最大值为6，∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．24．【解答】解：如图所示：如图所示，格点三角形的面积最大，S=2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8=6.525．【解答】解：①如图①，∠GA'C=90°，∵∠AA'G=90°，∴点A、A'、C在同一直线上，∠BAE=∠ADC=90°，∠ABE=∠DAC，∴△ABE∽△ADC，∴，即解得：x=1；②如图②，∠A'GC=90°，∴∠DGC=∠GAA'=∠ABE，∴△ABE∽△DGC，∵AE=EA'=EG=x，∴，解得：（舍去），综上所述，x=1或1.5．26．【解答】解：【理解概念】：（1）∵矩形的对角线所分的两个三角形全等∴凡是矩形都是跳跃四边形是真命题故答案为真（2）∵AC⊥BC，∠B=30°，AB=4∴AC=2，BC=6当∠CAD=90°时，如图1：∵四边形ABCD为“跳跃四边形”∴△ABC∽△CAD∴=或∴AD=2，CD=4或AD=6，CD=4∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+4+4+6=12+4或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+6+4=12+8若∠ADC=90°如图2：∵四边形ABCD为“跳跃四边形”∴△ABC∽△CAD∴或∴AD=，CD=3或A D=3，CD=∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5综上所述：四边形ABCD的周长为12+4或12+8或9+5【实际应用】（3）∵抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点∴顶点坐标为（0，m），对称轴为y轴，点B，点C关于对称轴对称∴点C（2，0）∵抛物线y=ax2+m与直线y=2x+b交于点A，点B∴∴m=b=4，a=﹣1∴抛物线解析式y=﹣x2+4∵P，Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度∴设运动时间为t∴BP=t，BQ=5t∵点A（0，4），点B（﹣2，0）∴OA=4，OB=2∴AB=2∵且∠ABO=∠PBQ∴△ABO∽△PBQ∴∠AOB=∠BPQ=90°∵四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形∴△BPQ∽△PQM∴△PQM是直角三角形①若∠PQM=90°时，且BP与QM是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．如图3∵△BPQ∽△PQM∴=1∴BP=QM，PM=BQ∴四边形BPMQ是平行四边形∴BP∥QM∴∠PBD=∠MQE∵BP=MQ，∠PBD=∠MQE，∠PDB=∠MEQ ∴△BPD≌△MQE∴PD=ME，BD=QE∵PD∥AO∴∴=∴BD=t，PD=2t∴QE=t，ME=2t∴OE=BQ+QE﹣BO=6t﹣2∴M（6t﹣2，2t），且点M在抛物线上∴2t=﹣（6t﹣2）2+4∴t=②若∠PQM=90°时，且BP与PQ是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．如图4∵△BPD∽△MQE∴即∴QM=4t∵∠BQP+∠PBQ=90°，∠BQP+∠MQE=90°∴∠PBQ=∠MQE且∠BPQ=∠MEQ=90°∴△BPQ∽△MEQ∴∴ME=8t，QE=4t∴OE=BQ+QE﹣BO=9t﹣2∴M（9t﹣2，8t），且点M在抛物线上∴8t=﹣（9t﹣2）2+4∴t=③若∠PMQ=90°，BP与MQ是对应边，过点P作PD⊥BC∵△BPQ∽△MQP∴∠PQB=∠MPQ∴PM∥BC∵MQ⊥PM∴MQ⊥BC，且PD⊥BC∴MQ∥PD∴四边形PDQM是平行四边形且PD⊥BC∴四边形PDQM是矩形∴PD=MQ∵BD=t，PD=2t，BQ=5t∴QM=2t∵OQ=BQ﹣BO=5t﹣2∴M（5t﹣2，2t）且点M在抛物线上∴2t=﹣（5t﹣2）2+4∴t=若若∠PMQ=90°，BP与MP是对应边，过点M作EF∥BC，过点P作PD⊥BC，延长DP交EF于F，过点Q作EQ⊥EF于F．∵△BPQ∽△PMQ∴∠MQP=∠BQP又∵PD⊥BC，PM⊥MQ∴PD=PM=2t∵PD=PM，PQ=PQ∴△PDQ≌△PQM∴MQ=DQ=BQ﹣BD=5t﹣t=4t∵FE∥BC，EQ⊥EF，DFBC∴DF⊥EF，EQ⊥BC∴四边形EFDQ是矩形∴EF=DQ=4t∵∠FMP+∠FPM=90°，∠EMQ+∠FMP=90°∴∠FPM=∠EMQ且∠E=∠MFD=90°∴△FMP∽△MEQ∴∴EQ=2FM在Rt△MEQ中，MQ2=EQ2+ME2∴（4t）2=（2FM）2+（4t﹣FM）2∴FM=t∴EQ=t∴M（t﹣2， t），且点M在抛物线上∴t=﹣（t﹣2）2+4∴t=综上所述：使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”的时间t的值为：t=，t=，t=，t=。
每日一学：浙江省宁波市江北区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答
每日一学：浙江省宁波市江北区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答答案浙江省宁波市江北区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题~~第1题 ~~(2019江北.九上期末)一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.（1）如图，正方形 的边长为4，为的中点，点，分别在边和上，且，线段 与交于点 ，求证：为四边形的相似对角线；（2） 在四边形中，是四边形的相似对角线，， ，，求的长；（3）如图，已知四边形是圆的内接四边形，，，，点是的中点，点是射线上的动点，若 是四边形 的相似对角线，请直接写出线段 的长度（写出3个即可）.考点： 平行四边形的判定与性质;矩形的判定与性质;正方形的性质;垂径定理;相似三角形的判定与性质;~~ 第2题 ~~(2019江北.九上期末) 如图，在平面直角坐标系中，，，经过两点的圆交轴于点（在上方），则四边形 面积的最小值为________.~~ 第3题 ~~(2019江北.九上期末) 如图，在平面直角坐标系中，直线不经过第四象限，且与轴，轴分别交于两点，点为的中点，点在线段上，其坐标为，连结 ，，若 ，那么 的值为（ ）A . B . 4 C . 5 D . 6浙江省宁波市江北区2019届九年级上学期数学期末考试试卷_压轴题解答~~ 第1题 ~~答案：解析：答案：解析：~~ 第3题 ~~答案：D解析：。
＜合集试卷3套＞2020年宁波市江北某名校初中九年级上学期期末学业质量监测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示的工件，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，故选B ．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．2．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +++-=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．根的情况无法判断【答案】A【解析】若△＞0，则方程有两个不等式实数根，若△=0，则方程有两个相等的实数根，若△＜0，则方程没有实数根.求出△与零的大小，结果就出来了.【详解】解：∵△=()()()22214229180k k k k k +--=-+=-+＞ ，∴方程有两个不相等的实数根【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是关键.3．一同学将方程2430x x --=化成了2()x m n +=的形式，则m 、n 的值应为（ ）A ．m=1．n=7B ．m=﹣1，n=7C ．m=﹣1，n=1D ．m=1，n=﹣7 【答案】B【解析】先把（x+m ）1=n 展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x 1-4x-3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．【详解】解：∵（x+m ）1=n 可化为：x 1+1mx+m 1-n=0， ∴2243m m n =-⎧⎨-=-⎩，解得：27m n =-⎧⎨=⎩故选：B ．【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可． 4．下列事件中为必然事件的是（ ）A ．抛一枚硬币，正面向上B ．打开电视，正在播放广告C ．购买一张彩票，中奖D ．从三个黑球中摸出一个是黑球 【答案】D【分析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件逐项进行判断即可.【详解】A ，B ，C 选项中，都是可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意；D 是必然事件，符合题意.故选：D.【点睛】本题考查必然事件的定义，熟练掌握定义是关键.5．已知点()11,A y 、()2B y 、()32,C y -在函数()21212y x =+-上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）．（用“>”连结起来）A ．321y y y >>B ．123y y y >>C ．312y y y >>D ．132y y y >> 【答案】D【分析】抛物线开口向上，对称轴为x= -1．根据三点横坐标离对称轴的距离远近来判断纵坐标的大小．【详解】解：由函数()21212y x =+-可知： 该函数的抛物线开口向上，且对称轴为x=-1．∵()11,A y 、()2B y 、()32,C y -在函数()21212y x =+-上的三个点, 且三点的横坐标距离对称轴的远近为: ()11,A y 、()32,C y -、()2B y∴132y y y >>．故选: D ．【点睛】主要考查二次函数图象上点的坐标特征．也可求得()1 1, A y 的对称点()13, y -，使三点在对称轴的同一侧．6．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A ．等边三角形B ．平行四边形C ．等腰三角形D ．菱形 【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，针对每一个选项进行分析．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；故选D ．7．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是（ ）A ．22y x =B ．4y x =C ．3y x =-D ．3y x =-【答案】B 【分析】根据反比例函数图象可知，经过第一三象限，0k >，从而得出答案．【详解】解：A 、22y x =为二次函数表达式，故A 选项错误；B 、4y x=为反比例函数表达式，且0k >，经过第一三象限，符合图象，故B 选项正确； C 、3y x =-为反比例函数表达式，且0k <，经过第二四象限，不符合图象，故C 选项错误； D 、3y x =-为一次函数表达式，故D 选项错误．故答案为B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．8．如图，△ABC ≌△AEF 且点F 在BC 上，若AB=AE ，∠B=∠E ，则下列结论错误的是（ ）A ．AC=AFB ．∠AFE=∠BFEC ．EF=BCD ．∠EAB=∠FAC【答案】B 【分析】全等三角形的对应边相等，对应角相等，△ABC ≌△AEF ，可推出AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，AC ＝AF ，EF ＝BC ．【详解】∵△ABC ≌△AEF∴AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，AC ＝AF ，EF ＝BC故A ，C 选项正确．∵△ABC ≌△AEF∴∠EAF ＝∠BAC∴∠EAB ＝∠FAC故D 答案也正确．∠AFE 和∠BFE 找不到对应关系，故不一定相等．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等．9．一个袋内装有标号分别为1、2、3、4的四个球，这些球除颜色外都相同．从袋内随机摸出一个球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回摇匀后，再从中随机摸出一个球，让其标号为这个两位数的个位数字，则这个两位数是偶数的概率为（ ）A ．12B ．14C ．38D ．516【答案】A【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是偶数的结果数为8，所以成的两位数是3的倍数的概率.81=162． 故选：A ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．10．抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是( )A ．直线x ＝1B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝－2D ．直线x ＝2【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴公式：2b x a=-计算即可． 【详解】解：抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是直线2121x =-=-⨯ 故选B ．【点睛】此题考查的是求抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴公式是解决此题的关键．11．△ABC 中，∠C=90°，内切圆与AB 相切于点D ，AD=2，BD=3，则△ABC 的面积为（ ） A ．3B ．6C ．12D ．无法确定【答案】B【分析】易证得四边形OECF 是正方形，然后由切线长定理可得AC=2+r ，BC=3+r ，AB=5，根据勾股定理列方程即可求得答案．【详解】如图，设⊙O 分别与边BC 、CA 相切于点E 、F ，连接OE ，OF ，∵⊙O 分别与边AB 、BC 、CA 相切于点D 、E 、F ，∴DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，AF=AD=2，BE=BD=3，∴∠OEC=∠OFC=90°，∵∠C=90°，∴四边形OECF 是矩形，∵OE=OF ，∴四边形OECF 是正方形，设EC=FC=r ，∴AC=AF+FC=2+r ，BC=BE+EC=3+r ，AB=AD+BD=2+3=5，在Rt △ABC 中，2AB =2BC +2AC ，∴25=()23r ++()22r +，∴2560r r +-=，即160r r -+=，解得：1r =或6r =-（舍去）．∴⊙O 的半径r 为1,∴()()ABC 113121622S BC AC =⨯=⨯++=．故选：B【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．12．方程5x2﹣2＝﹣3x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5、3、﹣2 B．5、﹣3、﹣2 C．5、3、2 D．5、﹣3、2【答案】A【分析】直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案．【详解】解：5x1﹣1＝﹣3x整理得：5x1+3x﹣1＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣1．故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确认识各部分是解题关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小文在袋中放入3个白球(每个球除颜色外其余都与红球相同).摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.7左右，则袋中红球约有_____个.【答案】1【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.1，口袋中有3个白球，∵假设有x个红球，∴7310xx=+，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，∴口袋中有红球约有1个．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．14．二次函数y=3x2+3的最小值是__________．【答案】1．【分析】根据二次函数的性质求出函数的最小值即可．【详解】解：∵y=1x2+1=1（x+0）2+1，∴顶点坐标为（0，1）．∴该函数的最小值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．15．已知关于x的一元二次方程（m-2）2x2＋（2m＋1）x＋1=0有两个实数根，则m的取值范围是_____．【答案】34m≥且2m≠.【详解】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）1x1+（1m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=b1﹣4ac＞0，即（1m+1）1﹣4×（m﹣1）1×1＞0，解这个不等式得，m＞34，又∵二次项系数是（m﹣1）1≠0，∴m≠1故M得取值范围是m＞34且m≠1．故答案为m＞34且m≠1.考点：根的判别式16．如图，点G是△ABC的重心，过点G作GE//BC，交AC于点E，连结GC. 若△ABC的面积为1，则△GEC 的面积为____________.【答案】1 9【分析】如图，延长AG交BC于D,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决问题即可．【详解】解：连接AG并延长交BC于点D，∴D为BC中点∴1122 ACD ABCS S==又∵//GE CD ∴AGE ADC △∽△∵G为重心∴21 AE AG EC GD==∴224()39AGEADCSS==∴49AGES=△,29ADCS=△又∵21AGEGECS AES EC==△△∴19GECS=.【点睛】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．在菱形ABCD中，周长为16，30ABC︒∠=，则其面积为______．【答案】8【分析】根据已知求得菱形的边长，再根据含30︒的直角三角形的性质求出菱形的高，从而可求菱形的面积．【详解】解：如图，作AE⊥BC于E，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=BC=4,∵30ABC︒∠=，∴AE=12AB=2，∴菱形ABCD的面积= 428BC AE⋅=⨯=.故答案是：8.【点睛】此题主要考查了菱形的性质，利用含30︒的直角三角形的性质求出菱形的高是解题的关键．18．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为_______．【答案】25 5【解析】连接BD，根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD，∵BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，2+8=10，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴84525 cos10ADAAB====．故答案为：25.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC 与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线．（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD 的长．【详解】（1）证明：连接OA ．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．又∵OA=OC ，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．∵AP=AC ，∴∠P=∠ACP=30°．∴∠OAP=90°．∴OA ⊥AP ．∴AP 是⊙O 的切线．（2）解：连接AD ．∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CAD=90°．∴AD=AC•tan30°=3×333 ∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC ﹣∠P=60°﹣30°．∴∠P=∠PAD ．∴3．20．（1）解方程：2340x x --=（2）计算：222sin 60cos 602tan 45︒+︒-︒【答案】（1）121,4x x =-=;（2）-1【分析】（1）方程因式分解后即可求出解；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．【详解】（1）()()2x 3x 4x 4x 10--=-+=，()()x 40x 10-=+=或，x 4x 1==-所以，解得或；（2）22231sin 60cos 602tan 452144︒+︒-︒=+-⨯=1-2=-1 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．21．某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调查发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？【答案】（1）该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒；（2）当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒，列二元一次方程组即可解题 （2）根据题意，可设A 种礼盒降价m 元/盒，则A 种礼盒的销售量为：（103m +）盒，再列出关系式即可．【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒， 则有(12072)(8040)1280120802800x y x y -+-=⎧⎨+=⎩，解得1020x y =⎧⎨=⎩故该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒．（2）设A 种湘莲礼盒降价m 元/盒，利润为W 元，依题意 总利润(12072)108003m W m ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭化简得221161280(9)130733W m m m =-++=--+ ∵103a =-< ∴当9m =时，取得最大值为1307，故当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．22．如图，已知E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且AB AC AE AD=，12∠=∠. 求证：ABC AED ∠=∠.【答案】证明见解析【分析】根据两边对应成比例且其夹角相等的两三角形相似得到△ABC ∽△AED ，根据相似三角形的对应角相等即可证得结论．【详解】证明：∵12∠=∠∴12EAC EAC ∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠.又∵AB AC AE AD=， ∴AB AE AC AD= ∴ABC AED ∽△△.∴ABC AED ∠=∠.【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于判定△ABE ∽△ACD.23．如图，雨后初睛，李老师在公园散步，看见积水水面上出现阶梯上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角∠1、测量点A 到水面平台的垂直高度AB 、看到倒影顶端的视线与水面交点C 到AB 的水平距离BC ．再测得梯步斜坡的坡角∠2和长度EF ，根据以下数据进行计算，如图，AB ＝2米，BC ＝1米，EF ＝6米，∠1＝60°，∠2＝45°．已知线段ON 和线段OD 关于直线OB 对称．（以下结果保留根号）（1）求梯步的高度MO ；（2）求树高MN ．【答案】（1）43米；（2）（14+43）米．【分析】（1）作EH⊥OB于H，由四边形MOHE是矩形，解Rt EHF求得EH即可；（2）设ON＝OD＝m，作AK⊥ON于K，则四边形AKOB是矩形，AK OB＝，OK＝AB＝2，想办法构建方程求得m即可.【详解】（1）如图，作EH⊥OB于H．则四边形MOHE是矩形．∴OM＝EH，在Rt EHF中，∵∠EHF＝90°，EF＝6，∠EFH＝45°，∴EH＝FH＝OM＝2sin454643 EF︒==（2）设ON＝OD＝m．作AK⊥ON于K．则四边形AKOB是矩形，如图，AK ＝BO ，OK ＝AB ＝2∵AB ∥OD ，∴AB BC OD OC =，∴21m OC =，∴OC ＝2m ， ∴122m AK OB NK m =+=＝，﹣， 在Rt △AKN 中，∵∠1＝60°， ∴tan 603NK AK =︒=，∴2312m m⎫=+⎪⎭﹣， ∴m ＝（3 ∴MN ＝ON ﹣OM ＝33＝（3【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用参数解决几何问题.24．在直角坐标平面内，某二次函数图象的顶点为()0,4A -，且经过点()3,0B ．（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线y=-x-1与该二次函数图象的交点坐标．【答案】（1）2(1)4y x =--；（2）两个函数图象的交点坐标是()2,3-和(1,0)-． 【分析】（1）根据题意可设该二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把点()3,0B 代入函数解析式，求出a 值，进而得出该二次函数的解析式；（2）由题意直线y=-x-1与该二次函数图象有交点得2(1)41x x --=--，进行求解进而分析即可.【详解】解：（1）依题意可设该二次函数的解析式为2(1)4y a x =--，把()3,0代入函数解析式，得2(31)40a --=，解得1a =，故该二次函数的解析式是2(1)4y x =--.（2）据题意，得2(1)41x x --=--，得12x =，21x =-. 当12x =时，可得1213y x =--=--=-；当21x =-时，可得10y x =--=.故两个函数图象的交点坐标是()2,3-和(1,0)-.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是设出二次函数的顶点式，求出函数解析式． 25．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标注数字1，2，3，每个小球除所标注数字不同外，其余均相同．小勇先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再次从口袋中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小勇两次摸出的小球所标数字之和为3的概率． 【答案】树状图见详解，29【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次摸出的小球所标数字之和为3的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球所标数字之和为3的结果数为2，所以两次摸出的小球所标数字之和为3的概率＝29． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率26．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ．(1)画出△A 1B 1C ，；(2)求在旋转过程中，CA 所扫过的面积．【答案】 (1)见解析;(2)134π.【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可. （2）利用勾股定理求出AC的长，CA所扫过的面积等于扇形CAA1的面积,然后列式进行计算即可．【详解】解：(1)△A1B1C为所求作的图形：(2)∵AC=22222313AB BC+=+=，∠ACA1=90°,∴在旋转过程中，CA所扫过的面积为：() 12CAA 90π·1313π3604S==扇形．【点睛】本题考查的知识点是作图-旋转变换, 扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握作图-旋转变换, 扇形面积的计算.27．如图，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市150km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，120km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732）【答案】计划修建的这条高速铁路穿越保护区，理由见解析【分析】作PH⊥AC于H，根据等腰三角形的判定定理得到PB＝AB＝150，根据正弦的定义求出PH，比较大小得到答案．【详解】计划修建的这条高速铁路穿越保护区，理由如下：作PH⊥AC于H，由题意得，∠PBH＝60°，∠PAH＝30°，∴∠APB＝30°，∴∠BAP＝∠BPA，∴PB＝AB＝150，在Rt△PBH中，sin∠PBH＝PH PB，∴PH＝PB•sin∠PBH＝753≈129.9，129.9＞120，∴计划修建的这条高速铁路穿越保护区．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为2141.7S 甲＝，2433.3S 乙＝，则产量稳定，适合推广的品种为：（ ）A ．甲、乙均可B ．甲C ．乙D ．无法确定 【答案】B【解析】试题分析：这是数据统计与分析中的方差意义的理解，平均数相同时，方差越小越稳定，因此可知推广的品种为甲.答案为B考点：方差2．下列各坐标表示的点在反比例函数4y x =图象上的是（ ） A ．()1,4-B ．()1,4C ．()1,4-D ．()2,2-【答案】B【解析】根据反比例函数的性质，分别代入A 、B 、C 、D 点，横坐标与纵坐标的积为4即可.【详解】A 、（-1）×4= -4，故错误.B 、1×4= 4，故正确.C 、1×-4= -4，故错误.D 、2×（-2）= -4，故错误.故选B.【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征.3．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A 点、B 点的距离相等，然后思考满足到C 点、B 点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．【详解】解：如图：∵OA ＝OB ，∴O 在线段AB 的垂直平分线上，∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，∵OA＝OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，又三个交点相交于一点，∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．故选：D．【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等．4．下列说法正确的是（）．A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次【答案】C【解析】试题解析：A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误；B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误；C. “任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确；D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误.故选C.5．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．2 B．52C．3 D．92【答案】C【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、▱OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．【详解】解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则1||2OCE S k ∆=，1||2OAD S k ∆=， 过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S ▱ONMG ＝|k|，又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S ▱ONMG ＝4|k|， 由于函数图象在第一象限， ∴k ＞0，则9422k kk ++=， ∴k ＝1． 故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 6．若抛物线y ＝x 2﹣3x+c 与y 轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线与x 轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C ．当x ＝1时，y 有最大值为0D ．抛物线的对称轴是直线x ＝32【答案】D【解析】A 、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，A 选项错误；B 、由抛物线与y 轴的交点坐标可得出c 值，进而可得出抛物线的解析式，令y=0求出x 值，由此可得出抛物线与x 轴的交点为（1，0）、（1，0），B 选项错误；C 、由抛物线开口向上，可得出y 无最大值，C 选项错误；D 、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线x=-32，D 选项正确． 综上即可得出结论． 【详解】解：A 、∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上，A 选项错误；B 、∵抛物线y=x 1-3x+c 与y 轴的交点为（0，1）， ∴c=1，∴抛物线的解析式为y=x 1-3x+1．当y=0时，有x 1-3x+1=0， 解得：x 1=1，x 1=1，∴抛物线与x 轴的交点为（1，0）、（1，0），B 选项错误； C 、∵抛物线开口向上， ∴y 无最大值，C 选项错误； D 、∵抛物线的解析式为y=x 1-3x+1， ∴抛物线的对称轴为直线x=-b 2a =-321⨯=32，D 选项正确．故选D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 7．已知(x 2+y 2)(x 2+y 2-1)-6=0，则 x 2+y 2 的值是（ ） A ．3或-2 B ．-3或2 C ．3 D ．-2【答案】C【分析】设m=x 2+y 2，则有260m m --=，求出m 的值，结合x 2+y 2≥0，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，设m=x 2+y 2， ∴原方程可化为：(1)60m m --=， ∴260m m --=， 解得：3m =或2m =-； ∵220m x y =+≥， ∴3m =， ∴223x y +=； 故选：C ． 【点睛】本题考查了换元法求一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 8．如图,A 、B 、C 、D 是O 上的四点,OA BC ⊥,50AOB ∠=︒,则ADC ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】A【分析】根据垂径定理得AC AB =，结合50AOB ∠=︒和圆周角定理，即可得到答案. 【详解】∵OA BC ⊥, ∴AC AB =, ∵50AOB ∠=︒, ∴1252ADC AOB ∠=∠=︒． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键. 9．将一元二次方程x 2-4x+3=0化成(x+m)2=n 的形式，则n 等于（ ） A ．-3 B ．1C ．4D ．7【答案】B【分析】先把常数项移到方程右侧，两边加上4，利用完全平方公式得到（x-2）2=1，从而得到m=-2，n=1，然后计算m+n 即可． 【详解】x 2-4x+3=0， x 2-4x=-3 x 2-4x+4=-3+4， （x-2）2=1， 即n=1． 故选B ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解题的关键是能正确配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方（当二次项系数为1时）．10．在一个不透明的盒子中装有2个白球，若干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个白球的概率是13，则黄球的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】试题分析：设黄球的个数为x 个，根据题意得：1212x +=13，解得：x=1，经检验：x=1是原分式方程的解；∴黄球的个数为1．故选C ． 考点：概率公式．11．一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（ ）A ．12B ．13C ．310D ．15【答案】A【分析】由题意可得，共有10种等可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5种情况，利用概率公式即可求得答案．【详解】解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果， 其中摸出的球是白球的结果有5种， ∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是510＝12， 故选A ． 【点睛】此题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．如图，在ABC ∆中，中线BE CD ，相交于点O ，连接DE ，则OE OB ：的值是（ ）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．2:3【答案】B【分析】BE 、CD 是△ABC 的中线，可知 DE 是△ABC 的中位线，于是有DE ∥BC ，△ODE ∽△OCB ，根据相似三角形的性质即可判断．【详解】解：∵BE 、CD 是△ABC 的中线， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△DOE ∽△COB ， ∴12OE DE OB BC ==, 故选：B. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，证明△ODE 和△OBC 相似是关键． 二、填空题（本题包括8个小题）13．若二次函数25(0)y ax bx a =-+≠的图像经过点(2,2)，则242017b a -+的值是_______． 【答案】1【分析】首先根据二次函数25(0)y ax bx a =-+≠的图象经过点(2,2)得到243b a -=，再整体代值计算即可．【详解】解：∵二次函数25(0)y ax bx a =-+≠的图象经过点(2,2)， ∴4252a b -+=， ∴243b a -=，∴242017b a -+=32017+=1， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算，此题比较简单． 14．小杰在楼下点A 处看到楼上点B 处的小明的仰角是42度，那么点B 处的小明看点A 处的小杰的俯角等于_____度． 【答案】1【解析】根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点B 处的小明看点A 处的小杰的俯角的度数，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，∠BAO ＝1°， ∵BC ∥AD ， ∴∠BAO ＝∠ABC ， ∴∠ABC ＝1°，即点B 处的小明看点A 处的小杰的俯角等于1度， 故答案为：1． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC 交⊙O 于点D ，若∠C=50°，则∠AOD=_____________。
2019-2020学年九年级(华师大版)数学上册期末综合练习卷(含答案) (1)
九年级上册期末综合练习卷一．选择题1．下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cos B的值是（）A．B．C．D．3．四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图3所示，若AD⊥CD，AB∥CD，AB＝5，A点坐标为（﹣2，7），则点B坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，12）C．（3，7）D．（﹣7，7）4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1B．C．D．5．已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1，x2，则代数式的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20146．如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（）A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AE 7．若分式的值是正整数，则m可取的整数有（）A．4个B．5个C．6个D．10个8．一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个点．甲乙两人各掷一次，如果朝上一面的两个点数之和为奇数，则甲胜；若为偶数，则乙胜，下列说法正确的是（）A．甲获胜的可能性大B．乙获胜的可能性大C．甲乙获胜的可能性一样大D．乙一定获胜9．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210二．填空题10．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．12．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是．13．如图，ED为△ABC的中位线，点G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC交AC于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE 折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为．三．解答题（共8小题，满分75分）15．计算下列各题（1）（2）（3）（4）16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．18．在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝2，BD＝1，求CE的长．参考答案一．选择题1．C．2．B．3．C．4．B．5．D．6．C．7．A．8．C．9．B．二．填空题10．解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．11．解：如图，tanα＝＝故答案为：．12．解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2+2﹣2，即y＝（x+2）2，故答案为y＝（x+2）2．13．解：∵ED为△ABC的中位线，∴AD、CE为△ABC的中线，∴点G为△ABC的重心，∴AG＝2GD，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，∴CD＝GF＝×4＝6，∴BC＝2CD＝12．故答案为12．14．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝1，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，∴A′N＝＝0，即A′与N重合，∴A′M＝1，∴A′E2＝EM2+A′M2，∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，解得：A′E＝1，∴AE＝1；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B＝2PB，∴∠P A′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；综上所述：AE的长为1或；故答案为：1或．三．解答题15．解：（1）原式＝﹣1+4﹣2＝+1；（2）原式＝2﹣3﹣（3﹣2）+3＝2﹣；（3）原式＝10+3+2＝15；（4）原式＝3+4+4﹣4+2＝9．16．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．18．解：（1）∵转动转盘①一共有3种可能，∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；故答案为：；（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）45 6BA11，41，51，622，42，52，633，43，53，6共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A ）＝．（说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确情况得（4分）；没有说明等可能性扣（1分）．）19．解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD ＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．20．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，又因为∠DEC＝∠ADE+∠CAD＝45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB＝∠C+∠CAD＝45°+∠CAD，∴∠DEC＝∠ADB，又∠ABD＝∠DCE＝45°，∴△ABD∽△DCE；（2）∵AB＝2，∴BC＝2，∵△ABD∽△DCE，∴＝，即＝，＝，CE＝﹣．。
浙江省宁波市江北区九年级(上)期末数学试卷【含答案】
浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）若32a b=，则ab的值为()A．53B．52C．23D．322．（4分）下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．（4分）如图所示的几何体的主视图为()A．B．C．D．4．（4分）九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是()A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛5．（4分）在Rt ABC∆中，90C∠=︒，10AB=，8BC=，则tan B的值是()A．34B．43C．45D．356．（4分）已知ABC∆内接于O，连接AO并延长交BC于点D，若50C∠=︒，则BAD∠的度数是()A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒7．（4分）已知二次函数2y ax bx c =++与自变量x 的部分对应值如表所示，下列说法正确的是()x⋯013⋯y⋯131⋯A ．0a >B ．1x >时y 随x 的增大而减小C ．y 的最大值是3D ．关于x 的方程23ax bx c ++=的解是11x =，22x =8．（4分）如图，在ABCD 中，点O 是对角线BD 上的一点，且12OD OB =，连接CO 并延长交AD 于点E ，若COD ∆的面积是2，则四边形ABOE 的面积是()A ．3B ．4C ．5D ．69．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，O 的半径为2，圆心在AB 边上运动，当O 与ABC ∆的边恰有4个交点时，OA 的取值范围是()A ．7.58OA <<B ．7.58OA <<或25OA <<C ．107.53OA <<D ．7.58OA <<或1023OA <<10．（4分）如图，已知O 的半径为3，弦4CD =，A 为O 上一动点（点A 与点C 、D 不重合），连接AO 并延长交CD 于点E ，交O 于点B ，P 为CD 上一点，当120APB ∠=︒时，则AP BP ⋅的最大值为()A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：抽取只数（只)50100150500100020001000050000合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为．12．（5分）已知圆锥的高为4cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积为2cm ．13．（5分）二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是．14．（5分）如图，A 是O 外一点，AB ，AC 分别与O 切于点B ，C ．点P 是 BC上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），过点P 作O 的切线，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若13AO =，5BO =，则AMN ∆的周长为．15．（5分）如图，有一圆形木制艺术品，记为O ，其半径为12cm ，在距离圆心8cm 的点A 处发生虫蛀，现需沿过点A 的直线PQ 将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ 进行粘贴，则美化材料（即弦PQ 的长）最少需要cm ．16．（5分）如图，在Rt ABCC∠=︒，点D，E在BC上，连接AD，AE．记CD a=，∆中，90==，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则aDE EB bb=．三、解答题（本题有8小题，共80分17．（8分）计算：0+--︒．2021|3|2sin6018．（8分）如图，将一个直角三角形形状的楔子(Rt ABC)∆从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10︒，其高度AC为1.8cm，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3cm，那么木桩上升了多少厘米？(sin100.17cm︒≈，cos100.98︒≈，结果精确到0.1)︒≈，tan100.1819．（8分）为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表：“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表级别成绩（分)频数x< 22A95100x< 18B9095x<C8590D8085x < 3（1）本次共随机抽取了名学生，在频数分布统计表中，成绩是C 级的频数是；（2）在扇形统计图中，成绩是B 级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A 级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．20．（10分）图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36︒、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知ABC ∆相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．21．（10分）如图，已知抛物线2y x bx c =-++与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中(2,0)A -，(4,0)B ．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出0y >时，x 的取值范围；（3）若要使抛物线与x 轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？22．（10分）如图，ABC∆内接于O，且AB为O的直径，OE AB⊥交AC于点E，在OE 的延长线上取点D，使得DE DC=．（1）求证：CD是O的切线；（2）若25AC=5BC=，求CD的长．23．（12分）扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y千克．（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？24．（14分）如图1，ABC∆内接于O，60ACB∠=︒，D，E分别是 AC， BC的中点，连接DE分别交AC，BC于点F，G．（1）求证：DFC CGE∆∆∽；（2）若3DF=，3tan4GCE∠=，求FG的长；（3）如图2，连接AD，BE，若CF xDF=，ABEDCDESyS∆=四边形，求y关于x的函数表达式．参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（4分）若32a b=，则ab的值为()A．53B．52C．23D．32【分析】直接利用比例的性质变形得出答案．【解答】解：32a b=，∴23 ab=．故选：C．2．（4分）下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据中心对称图形的概念解答．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．3．（4分）如图所示的几何体的主视图为()A ．B ．C ．D ．【分析】利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．【解答】解：从正面看所得的图形为，故选：C ．4．（4分）九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是()A ．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛B ．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛C ．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次D ．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛【分析】根据概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解： 小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”只能说明九年级（1）班获胜的可能性很大，∴九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛，故选：D ．5．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，则tan B 的值是()A ．34B ．43C ．45D ．35【分析】直接利用勾股定理求出AC 的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：Rt ABC ∆ 中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，221086AC ∴-=，则63tan 84AC B BC ===．故选：A ．6．（4分）已知ABC ∆内接于O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数是()A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【分析】连接OB ，根据圆周角定理和圆的半径相等即可解决问题．【解答】解：如图，连接OB ，50C ∠=︒ ，2100AOB C ∴∠=∠=︒，OA OB = ，40OAB OBA ∴∠=∠=︒，则BAD ∠的度数是40︒．故选：A ．7．（4分）已知二次函数2y ax bx c =++与自变量x 的部分对应值如表所示，下列说法正确的是()x⋯013⋯y⋯131⋯A ．0a >B ．1x >时y 随x 的增大而减小C ．y 的最大值是3D ．关于x 的方程23ax bx c ++=的解是11x =，22x =【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A 进行判断；利用0x =和3x =时函数值相等可得到抛物线的对称轴，则可对B 、C 进行判断；利用抛物线的对称性可得1x =和2x =的函数值相等，则可对D 进行判断．【解答】解： 二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，0a <，故A 错误；抛物线过点(0,1)和(3,1)，∴抛物线的对称轴为直线32x =，32x ∴=对应的y 的值最大，故C 错误； 抛物线开口向下，32x ∴>时y 随x 的增大而减小，故B 错误； 抛物线的对称轴为直线32x =，且抛物线经过点(1,3)，∴点(1,3)关于对称轴的对称点为(2,3)，∴关于x 的方程23ax bx c ++=的解是11x =，22x =，故D 正确；故选：D ．8．（4分）如图，在ABCD 中，点O 是对角线BD 上的一点，且12OD OB =，连接CO 并延长交AD 于点E ，若COD ∆的面积是2，则四边形ABOE 的面积是()A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】由题意可得BOC ∆的面积为4，通过证明DOE BOC ∆∆∽，可求1DOE S ∆=，即可求解．【解答】解：12OD OB =，COD ∆的面积是2，BOC ∴∆的面积为4，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，246ABD BCD S S ∆∆==+=，DOE BOC ∴∆∆∽，∴21()4DOE BOC S OD S OB ∆∆==，1DOE S ∆∴=，∴四边形ABOE 的面积615=-=，故选：C ．9．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，O 的半径为2，圆心在AB 边上运动，当O 与ABC ∆的边恰有4个交点时，OA 的取值范围是()A ．7.58OA <<B ．7.58OA <<或25OA <<C ．107.53OA <<D ．7.58OA <<或1023OA <<【分析】由勾股定理可求10AB =，求出O 与ABC ∆的边恰有3个交点时，OA 的长，即可求解．【解答】解：90C ∠=︒ ，6BC =，8AC =，22366410AB BC AC ∴=++=，如图1，当O 过点A 时，此时O 与ABC ∆的边恰有3个交点，此时2OA =，当O ' 过点B 时，此时O ' 与ABC ∆的边恰有3个交点，此时2O B '=，则8O A '=；如图2，当O 与AC 相切于点E 时，此时O 与ABC ∆的边恰有3个交点，连接OE ，OE AC ∴⊥，90AEO ACB ∴∠=∠=︒，又A A ∠=∠ ，AEO ACB ∴∆∆∽，∴EO AO BC AB =，∴2610AO =，103AO ∴=，当O ' 与BC 相切于点F 时，此时O ' 与ABC ∆的边恰有3个交点，同理可求 2.5O B '=，7.5O A '∴=，∴当O 与ABC ∆的边恰有4个交点时，OA 的取值范围为7.58OA <<或1023OA <<．故选：D ．10．（4分）如图，已知O 的半径为3，弦4CD =，A 为O 上一动点（点A 与点C 、D 不重合），连接AO 并延长交CD 于点E ，交O 于点B ，P 为CD 上一点，当120APB ∠=︒时，则AP BP ⋅的最大值为()A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】延长AP 交O 于T ，连接BT ．设PC x =．构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：延长AP 交O 于T ，连接BT ．设PC x =．AB 是直径，90ATB ∴∠=︒，120APB ∠=︒ ，60BPT ∴∠=︒，1cos602PT PB PB ∴=⋅︒=，2222(4)2(2)8PA PB PA PT PC PD x x x ⋅=⋅=⋅=⋅-=--+ ，20-< ，2x ∴=时，PA PB ⋅的最大值为8，故选：C ．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：抽取只数（只)50100150500100020001000050000合格频率0.820.830.820.830.840.840.840.84估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．【分析】观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可．【解答】解： 随着抽样数量的增多，合格的频率趋近于0.84，∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．故答案为：0.84．12．（5分）已知圆锥的高为4cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积为15π2cm ．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径为3cm ，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：根据题意，圆锥的底面圆的半径3()cm ==，所以圆锥的侧面积2123515()2cm ππ=⨯⨯⨯=．故答案为15π．13．（5分）二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是(1,3)．【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．【解答】解： 二次函数2(1)3y x =-+，∴该函数图象的顶点坐标为(1,3)，故答案为：(1,3)．14．（5分）如图，A 是O 外一点，AB ，AC 分别与O 切于点B ，C ．点P 是 BC上任意一点（点P 与点B ，C 不重合），过点P 作O 的切线，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若13AO =，5BO =，则AMN ∆的周长为24．【分析】先利用切线的性质得到OB AB ⊥，则利用勾股定理可计算出12AB =，再根据切线长定理得到AB AC =，MB MP =，NC NP =，然后利用等线段代换得到AMN ∆的周长2AB =．【解答】解：AB ，AC 分别与O 切于点B ，C ，AB AC ∴=，OB AB ⊥，在Rt AOB ∆中，12AB ===，MN 与O 相切于P ，MB MP ∴=，NC NP =，AMN ∴∆的周长AM MN AN=++AM MP NP AN=+++AM BM NC AN=+++AB AC=+2AB=212=⨯24=．故答案为24．15．（5分）如图，有一圆形木制艺术品，记为O ，其半径为12cm ，在距离圆心8cm 的点A 处发生虫蛀，现需沿过点A 的直线PQ 将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ 进行粘贴，则美化材料（即弦PQ 的长）最少需要．【分析】如图，连接OA ，过点A 作弦P Q OA ''⊥，连接OQ '，此时P Q ''的值最小．利用勾股定理以及垂径定理求解即可．【解答】解：如图，连接OA ，过点A 作弦P Q OA ''⊥，连接OQ '，此时P Q ''的值最小．在Rt OAQ ∆'中，)AQ cm '===，OA P Q ⊥'' ，AQ AP ∴'='，2)P Q AQ cm ∴''='=，故答案为：．16．（5分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ．记CD a =，DE EB b ==，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则a b =或14-+．【分析】根据分两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解： 恰好存在两对相似三角形，∴其中一对一定为ADE BDA ∆∆∽，∴DE AD AD BD=，2222AD DE BD b b b ∴=⋅=⋅=，第二对：①若ACD BCA ∆∆∽，∴CD AC AC CB=，2(2)AC CD CB a a b ∴=⋅=+，222a AC AD += ，22222a a ab b ∴++=，即2220a b b +-=，两边同除以2b ，可得：2()10a a b b+-=，令0a m b=>，210m m ∴+-=，解得：1211,22m m ---==（舍去），∴12a mb -==，②若ACD ECA ∆∆∽，∴AC CD CE AC =，2()AC CE CD a a b ∴=⋅=+，222AC a AD ∴+=，2222a ab a b ∴++=，∴2202ab a b +-=，两边同除以2b ，可得：21()102a a b b+⋅-=，令0a n b=>，∴2102n n +-=，解得：12117117,44n n -+--==（舍去），∴1174a nb -+==，综上所述，a b的值为512-或1174-+．故答案为：512-或1174-+．三、解答题（本题有8小题，共80分17．（8分）计算：02021|3|2sin 60+--︒．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式31322=+-⨯133=+-1=．18．（8分）如图，将一个直角三角形形状的楔子(Rt ABC)∆从木桩的底端点P 沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10︒，其高度AC 为1.8cm ，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC 为3cm ，那么木桩上升了多少厘米？(sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈，结果精确到0.1)cm 【分析】根据正切的定义求出BC ，再根据正切的定义计算，得到答案．【解答】解：在Rt ABC ∆中，10ABC ∠=︒，tan AC ABC BC∠=，则1.810()tan0.18ACBC cmABC=≈=∠，7()BH BC HC cm∴=-=，在Rt ABC∆中，10ABC∠=︒，tanPH ABCBH∠=，则tan70.18 1.3()PH BH ABC cm=⨯∠≈⨯≈，答：木桩上升了大约1.3厘米19．（8分）为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表：“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表级别成绩（分)频数A95100x< 22B9095x< 18C8590x<D8085x< 3（1）本次共随机抽取了50名学生，在频数分布统计表中，成绩是C级的频数是；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数是多少？（3）学校将从获得A级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．【分析】（1）由D级的人数和所占百分比求出抽取的人数，减去A、B、D的人数得出成绩是C级的频数即可；（2）由360︒乘以B级所占的比例即可；（3）画树状图，共有12个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次共随机抽取了学生的人数为：36%50÷=（名)，成绩是C 级的频数是50221837---=，故答案为：50，7；（2）在扇形统计图中，成绩是B 级的圆心角的度数为：18360129.650︒⨯=︒；（3）把小江、小北分别记为A 、B ，其他2名学生记为C 、D ，画树状图如图：共有12个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有2个，∴小江、小北两人同时被选中的概率为21126=．20．（10分）图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36︒、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知ABC ∆相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可完成画图．图①中，36EDF BAC ∠=∠=︒，DE DF =，AB AC =；图②中，//GH AB ，//HQ BC ；图③中，108BAC ∠=︒，AB AC =．【解答】解：如图，DEF ∆，GHQ ∆，MNP ∆即为所求．图①中，36EDF BAC ∠=∠=︒，DE DF =，AB AC =；图②中，//GH AB ，//HQ BC ；图③中，108BAC ∠=︒，AB AC =．21．（10分）如图，已知抛物线2y x bx c =-++与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中(2,0)A -，(4,0)B ．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出0y >时，x 的取值范围；（3）若要使抛物线与x 轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？【分析】（1）把A 点和B 点坐标分别代入2y x bx c =-++得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可；（2）根据函数图象直接得到答案；（3）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题．【解答】解：（1）把(2,0)A -，(4,0)B 代入2y x bx c =-++，得4201640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，抛物线解析式为228y x x =-++；（2）由图象知，当24x -<<时，0y >；（3）2228(1)9y x x x =-++=--+ ，∴抛物线的顶点坐标为(1,9)，∴把抛物线228y x x =-++向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．22．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，且AB 为O 的直径，OE AB ⊥交AC 于点E ，在OE 的延长线上取点D ，使得DE DC =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若AC =BC =，求CD 的长．【分析】（1）连接OC ，由等腰三角形的性质得出DCE DEC ∠=∠，A ACO ∠=∠，可得出90DCE ACO ∠+∠=︒，则可得出结论．（2）过点D作DF CE⊥于点F，由勾股定理求出5AB=，证明AOE ACB∆∆∽，得出比例线段AO AEAC AB=，可求出AE，证明DFC ACB∆∆∽，由相似三角形的性质得出CF DCBC AB=，则可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，如图1，DC DE=，DCE DEC∴∠=∠，DEC AEO∠=∠，DCE AEO∴∠=∠，OA OE⊥，90A AEO∴∠+∠=︒，90DCE A∴∠+∠=︒，OA OC=，A ACO∴∠=∠，90DCE ACO∴∠+∠=︒，OC DC∴⊥，CD∴是O的切线；（2）如图2，过点D作DF CE⊥于点F，AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒，ACB AOE ∴∠=∠，AC =，BC =，5AB ∴===，又A A ∠=∠ ，AOE ACB ∴∆∆∽，∴AO AE AC AB=，∴525AE =，4AE ∴=，CE AC AE ∴=-=-=CD DE =，12CF CE ∴==，DEC DCE ∠=∠，DEC AEO ∠=∠ ，AEO B ∠=∠，DCE B ∴∠=∠，又DFC ACB ∠=∠ ，DFC ACB ∴∆∆∽，∴CF DC BC AB=，∴5DC =，158DC ∴=．23．（12分）扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x 元，每天的销售量为y 千克．（1）求每天的销售量y 千克与销售单价x 元之间的函数关系式以及x 的取值范围；（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？【分析】（1）根据题意，可以写出每天的销售量y 千克与销售单价x 元之间的函数关系式以及x 的取值范围；（2）根据题意和（1）中的函数解析式，可以得到利润与x 的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元．【解答】解：（1）由题意可得，328010207200.5x y x -=+⨯=-+， 销售单价不低于批发价，2432x ∴ ，即每天的销售量y 千克与销售单价x 元之间的函数关系式是20720(2432)y x x =-+ ；（2）设销售利润为w 元，由题意可得，2(24)(20720)20(30)720w x x x =--+=--+，∴当30x =时，w 取得最大值，此时720w =，即当销售单价为30元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为720元．24．（14分）如图1，ABC ∆内接于O ，60ACB ∠=︒，D ，E 分别是 AC ， BC的中点，连接DE 分别交AC ，BC 于点F ，G ．（1）求证：DFC CGE ∆∆∽；（2）若3DF =，tan 4GCE ∠=，求FG 的长；（3）如图2，连接AD ，BE ，若CF x DF=，ABED CDE S y S ∆=四边形，求y 关于x的函数表达式．【分析】（1）先判断出ACD CED ∠=∠，CDE BCE ∠=∠，即可得出结论；（2）先判断出CFG ∆是等边三角形，过点C 作CH FG ⊥于H ，设FH a =，得出2FG a =，CH =，进而得出3DH a =+，再用三角函数建立方程求出a ，即可得出结论；（3）先设出MF m =，利用含30度角的直角三角形表示出DF ，DM ，进而表示出CF ，CP ，再利用三角形的面积，表示出AN ，再判断出//AD BE ，进而得出ADE ∆与ABE ∆的关系，即可得出结论．【解答】解：（1） 点D 是 AC 的中点，∴AD CD =，ACD CED ∴∠=∠，点E 是 BC的中点∴ CEBE =，CDE BCE ∴∠=∠，DFC CGE ∴∆∆∽；（2）由（1）知，ACD CED ∠=∠，CDE BCG ∠=∠，ACD CDE CED BCG ∴∠+∠=∠+∠，CFG CGF ∴∠=∠，CF CG = ，60ACB ∠=︒ ，CFG ∴∆是等边三角形，如图1，过点C 作CH FG ⊥于H ，90DHC ∴∠=︒，设FH a =，30FCH∴∠=︒，2 FG CF a ∴==，CH=，3DF=，3DH DF FH a ∴=+=+，GCE CDE ∠=∠，tan4GCE∠=，tan4CDE∴∠=，在Rt CHD∆中，tan4CHCDEDH∠==，∴=1a∴=，22FG a∴==；（3）如图2，连接AE，则60AEB ACB∠=∠=︒，60 DAE CAD CAE ACD CDF CFG∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，AEB DAE∴∠=∠，//BE AD∴，设BE与AD的距离为h，∴1212ABEADEBE hS BES ADAD h∆∆⋅==⋅，ABE ADEBES SAD∆∆∴=⋅，D，E分别是 AC， BC的中点，CD AD∴=，BE CE=，ABE ADECES SCD∆∆∴=⋅，过点D作DM AC⊥于M，AD CD=，AD CD∴=，2AC CM∴=，由（2）知，CFG ∆是等边三角形，60CFG ∴∠=︒，60DFM ∴∠=︒，30MDF ∴∠=︒，设MF m =，则DM =，2DF m =， CF x DF=，2CF x DF mx ∴=⋅=，2CG CF mx ∴==，由（1）知，DFC CGE ∆∆∽，∴DF CD CG CE =，∴212CD m CE mx x==，ABE ADE ADE CE S S xS CD ∆∆∆∴=⋅=，()1ADE ABE ADE ABED S S S x S ∆∆∆∴=+=+四边形，MF m = ，2CF x DF mx =⋅=，2(21)CM MF CF m mx x m ∴=+=+=+，22(21)AC CM x m ∴==+，2(21)22(1)AF AC CF x m mx x m ∴=-=+-=+，过点A 作AN DF ⊥于N ，1122ADF S AF DM DF AN ∆∴=⋅=⋅，2(1)1)2AF DM x m AN x m DF m⋅+∴===+，过点C 作CP FG ⊥，由（2）知，12PF CF mx ==，CP =，()()()()()211(1)2111112ADE ABEDADE CDE CDE CDE DE AN S x S S AN x y x x x x S S S CP x DE CP ∆∆∆∆∆⋅++∴===+⋅=+⋅=+⋅=+⋅⋅四边形．。
2019-2020学年浙江省宁波市江北区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（4分）成语“水中捞月”所描述的事件是( ) A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定2．（4分）若25a b =，则(ab= ) A ．25B ．52C ．2D ．53．（4分）如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（4分）O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，下列位置关系正确的是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）在中华人民共和国成立70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），在这14个字符中，随机抽取一个数字或字母，则抽取到数字“9”的概率为( )A ．37B ．314C ．326D ．1126．（4分）如图，在方格纸中，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ABC ∠的值是( )A ．2B ．12C ．55D ．57．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．则BCD ∆与ABC ∆的周长之比为( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:58．（4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A ．0a <B ．0b >C ．240b ac ->D ．0a b c ++<9．（4分）已知：在ABC ∆中，78A ∠=︒，4AB =，6AC =，下列阴影部分的三角形与原ABC ∆不相似的是( )A ．B ．C ．D ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 画圆弧，则点B 与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是( )A ．(5,2)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(6,2)11．（4分）如图，O 的半径为5，将长为8的线段PQ 的两端放在圆周上同时滑动，如果点P 从点A 出发按逆时针方向滑动一周回到点A ，在这个过程中，线段PQ 扫过区域的面积为( )A ．9πB ．16πC ．25πD ．64π12．（4分）已知二次函数21(52)y x bx b =--+-<<，则函数图象随着b 的逐渐增大而( )A ．先往右上方移动，再往右平移B ．先往左下方移动，再往左平移C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往左下方移动，再往左上方移动 二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）比较三角函数值的大小：sin 30︒ cos30︒（填入“>”或“<” )． 14．（4分）底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于 ． 15．（4分）抛物线(1)(3)y x x =--的对称轴是直线x = ．16．（4分）如图，已知在ABC ∆中，AB AC =．以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ．若40BAC ∠=︒，则AD 的度数是 度．17．（4分）如图，在ABCEF AB，DE BC，//∆中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，//CF=，则DE的长为．:5:3AD BD=，618．（4分）如图，已知O的半径为2，弦23∆AB=，点P为优弧APB上动点，点I为PAB 的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为．三、解答题（本大题有8小题，第19题6分，第20，21，22题各8分，第23题10分，第24题12分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：03|2|202022sin308-+-︒+20．（8分）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加知识竞赛的学生共有 人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，m = ，n = ，C 等级对应的圆心角为 度；（3）小明是四名获A 等级的学生中的一位，学校将从获A 等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率． 21．（8分）已知二次函数223y x x =--（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象； （2）根据图象直接回答：当0y <时，求x 的取值范围；当3y >-时，求x 的取值范围．22．（8分）如图，某航天飞机在地球表面点P 的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q ，即AQ 是O 的切线，若QAP α∠=，地球半径为R ， 求：（1）航天飞机距地球表面的最近距离AP 的长；（2）P 、Q 两点间的地面距离，即PQ 的长．（注：本题最后结果均用含α，R 的代数式表示）23．（10分）如图，直线MN 交O 于A ，B 两点，AC 是O 直径，CAM ∠的平分线交O 于点D ，过点D 作DE MN ⊥于点E ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）若6DE cm =，3AE cm =，求O 的半径．24．（12分）（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，点1E ，2E 是AB 三等分点，点1F ，2F 是CD 三等分点，11E F ，22E F 分别交AC 于点1G ，2G ，求证：1122AG G G G C ==．（2）如图2，由64个边长为1的小正方形组成的一个网格图，线段MN 的两个端点在格点上，请用一把无刻度的尺子，画出线段MN 三等分点P ，Q ．（保留作图痕迹）25．（12分）每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏． （1）写出月销售利润y （单位：元）与销售价x （单位：元/盏）之间的函数表达式； （2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？ 26．（14分）问题提出：如图1，在等边ABC ∆中，9AB =，C 半径为3，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求13AP BP +的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP 转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）如图2，连结CP ，在CB 上取点D ，使1CD =，则有13CD CP CP CB == 又PCD ∠=∠ △ ∽△ ∴13PD BP = 13PD BP ∴=13AP BP AP PD ∴+=+∴当A ，P ，D 三点共线时，AP PD +取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：13AP BP +的最小值为 ．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD 中，6BC =，8AB =，P 为矩形内部一点，且4PB =，则12AP PC +的最小值为 ．（请在图3中添加相应的辅助线） （3）拓展延伸：如图4，在扇形COD 中，O 为圆心，120COD ∠=︒，4OC =．2OA =，3OB =，点P 是CD 上一点，求2PA PB +的最小值，画出示意图并写出求解过程．参考答案一、选择题（每小题4分，共48分，在每个小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）成语“水中捞月”所描述的事件是( ) A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定解：水中捞月是不可能事件， 故选：C ．2．（4分）若25a b =，则(ab= ) A ．25B ．52C ．2D ．5解：两边都除以2b ，得 52a b =， 故选：B ．3．（4分）如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．解：它的主视图是：故选：C．4．（4分）O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是() A．B．C．D．解：O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，53>，即：d r<，∴直线L与O的位置关系是相交．故选：B．5．（4分）在中华人民共和国成立70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），在这14个字符中，随机抽取一个数字或字母，则抽取到数字“9”的概率为()A．37B．314C．326D．112解：由题意可得：9出现3次，故在这14个字符中，随机抽取一个数字或字母，则抽取到数字“9”的概率为：314．故选：B．6．（4分）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan ABC∠的值是()A．2B．12C55D5解：作AE BC ⊥．90AEC ∠=︒，4AE =，2BE =，4tan 22AE ABC BE ∴∠===， 故选：A ．7．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．则BCD ∆与ABC ∆的周长之比为( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:5解：B B ∠=∠，90BDC BCA ∠=∠=︒， BCD BAC ∴∆∆∽；① 30BCD A ∴∠=∠=︒；Rt BCD ∆中，30BCD ∠=︒，则2BC BD =；由①得：::1:2BCD BAC C C BD BC ∆∆==； 故选：A ．8．（4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A ．0a <B ．0b >C ．240b ac ->D ．0a b c ++<解：A 、抛物线开口向下，则0a <，所以A 选项的关系式正确；B 、抛物线的对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，则0b >，所以B 选项的关系式正确；C 、抛物线与x 轴有2个交点，则△240b ac =->，所以D 选项的关系式正确；D 、当1x =时，0y >，则0a b c ++>，所以D 选项的关系式错误．故选：D ．9．（4分）已知：在ABC ∆中，78A ∠=︒，4AB =，6AC =，下列阴影部分的三角形与原ABC ∆不相似的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 画圆弧，则点B 与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是( )A ．(5,2)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(6,2)解：如图，过格点A ，B ，C 画圆弧，则点B 与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(6,2)．故选：D ．11．（4分）如图，O 的半径为5，将长为8的线段PQ 的两端放在圆周上同时滑动，如果点P 从点A 出发按逆时针方向滑动一周回到点A ，在这个过程中，线段PQ 扫过区域的面积为( )A ．9πB ．16πC ．25πD ．64π解：如图，线段PQ 扫过的面积是图中圆环面积．作OE PQ ⊥于E ，连接OQ ．OE PQ ⊥，142EQ PQ ∴==， 5OQ =，2222543OE OQ QE ∴=-=-=，∴线段PQ 扫过区域的面积225316πππ=-=，故选：B ．12．（4分）已知二次函数21(52)y x bx b =--+-<<，则函数图象随着b 的逐渐增大而( )A ．先往右上方移动，再往右平移B ．先往左下方移动，再往左平移C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往左下方移动，再往左上方移动解：二次函数21(52)y x bx b =--+-<<，当5b =-时，251y x x =-++2529()24x =--+ 顶点坐标为5(2，29)4；当0b =时，21y x =-+顶点坐标为(0,1)；当2b =时，221y x x =--+2(1)2x =-++顶点坐标为(1,2)-．故函数图象随着b 的逐渐增大而先往左下方移动，再往左上方移动．故选：D ．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）比较三角函数值的大小：sin 30︒ < cos30︒（填入“>”或“<” )．解：1sin 302︒=，cos30︒=．sin 30cos30∴︒<︒．故答案为：<．14．（4分）底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于 2π ．解：圆锥的侧面积2222ππ=⨯÷=．故答案为：2π．15．（4分）抛物线(1)(3)y x x =--的对称轴是直线x = 2 ． 解：抛物线22(1)(3)43(2)1y x x x x x =--=-+=--，∴该抛物线的对称轴是直线2x =，故答案为：2．16．（4分）如图，已知在ABC ∆中，AB AC =．以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ．若40BAC ∠=︒，则AD 的度数是 140 度．解：连接AD 、OD ，AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，即AD BC ⊥，AB AC =，1202BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠=︒，BD DC =， 70ABD ∴∠=︒，140AOD ∴∠=︒ ∴AD 的度数为140︒；故答案为140．17．（4分）如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，//DE BC ，//EF AB ，:5:3AD BD =，6CF =，则DE 的长为 10 ．解：//DE BC ， ∴53AE AD EC DB ==，AED C ∠=∠， //EF AB ，CEF A ∴∠=∠，又AED C ∠=∠，AED ECF ∴∆∆∽，∴53DE AE FC EC ==，即563DE =， 解得，10DE =，故答案为：10．18．（4分）如图，已知O 的半径为2，弦23AB =，点P 为优弧APB 上动点，点I 为PAB ∆的内心，当点P 从点A 向点B 运动时，点I 移动的路径长为 43π ．解：连接OB ，OA ，过O 作OD AB ⊥，132AD BD AB ∴===， 2OA OB ==，1OD ∴=，60AOD BOD ∴∠=∠=︒，120AOB ∴∠=︒，1602P AOB ∴∠=∠=︒， 连接IA ，IB ，点I 为PAB ∆的内心，12IAB PAB ∴∠=∠，12IBA PBA ∠=∠， 120PAB PBA ∠+∠=︒，1180()1202AIB PAB PBA ∴∠=︒-∠+∠=︒， 点P 为弧AB 上动点，P ∴∠始终等于60︒，∴点I 在以AB 为弦，并且所对的圆周角为120︒的一段劣弧上运动，设A ，B ，I 三点所在的圆的圆心为O '，连接O A '，O B '，则120AO B ∠'=︒，O A O B '='，30O AB O BA ∴∠'=''=︒，连接O D '，AD BD =，O D AB ∴'⊥，2cos30AD AO ∴'===︒，∴点I 移动的路径长120241803ππ==． 故答案为：43π． 三、解答题（本大题有8小题，第19题6分，第20，21，22题各8分，第23题10分，第24题12分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：0|202030+-︒+解：0|202030+-︒+1122=+-+ 3=20．（8分）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加知识竞赛的学生共有40人，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，m=，n=，C等级对应的圆心角为度；（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．解：（1）1230%40÷=人，4020%8⨯=人，故答案为：40，补全条形统计图如图所示：（2）44010%÷=，164040%÷=，36040%144︒⨯=︒．故答案为：10，40，144；（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为61 122=．21．（8分）已知二次函数223y x x =--（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；（2）根据图象直接回答：当0y <时，求x 的取值范围；当3y >-时，求x 的取值范围．解：（1）2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)-，当0x =时，2233y x x =--=-，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)-， 当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，则抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，(3,0)， 如图，（2）当13x -<<时，0y <；当0x <或2x >时，3y >-．22．（8分）如图，某航天飞机在地球表面点P 的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q ，即AQ 是O 的切线，若QAP α∠=，地球半径为R ， 求：（1）航天飞机距地球表面的最近距离AP 的长；（2）P 、Q 两点间的地面距离，即PQ 的长．（注：本题最后结果均用含α，R 的代数式表示）解：（1）由题意，从A 处观测到地球上的最远点Q ，AQ ∴是O 的切线，切点为Q ，连接OQ ，则OQ 垂直于AQ ，如图则在直角OAQ ∆中有sin R R APα=+， 即sin R AP R α=-； （2）在直角OAQ ∆中则90O α∠=︒-，由弧长公式得PQ 的长(90)180R απ-=．23．（10分）如图，直线MN交O于A，B两点，AC是O直径，CAM∠的平分线交O 于点D，过点D作DE MN⊥于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若6=，求O的半径．AE cm=，3DE cm【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：OA OD=，∴∠=∠，32AD平分CAM∠，21∴∠=∠，∴∠=∠，13∴，//MN OD⊥，DE MN∴⊥，DE OD∴是O的切线；DE（2）解：连接CD，如图所示：AC是O的直径，∴∠=︒，ADC902222AD DE AE cm∴=+=+=，6335()⊥，DE MN∴∠=︒，90AEDADC AED ∴∠=∠，又21∠=∠， ADC AED ∴∆∆∽， ∴AC ADAD AE=， 即35335AC =， 15()AC cm ∴=， 11522OA AC cm ∴==， 即O 的半径为152cm ．24．（12分）（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，点1E ，2E 是AB 三等分点，点1F ，2F 是CD 三等分点，11E F ，22E F 分别交AC 于点1G ，2G ，求证：1122AG G G G C ==．（2）如图2，由64个边长为1的小正方形组成的一个网格图，线段MN 的两个端点在格点上，请用一把无刻度的尺子，画出线段MN 三等分点P ，Q ．（保留作图痕迹）【解答】（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，//AD BC ，113DF CD =，113AE AB =，11DF AE ∴=，∴四边形11ADF E 是平行四边形，11//AD E F ∴， 11//E G BC ∴， ∴113AG AE AC AB ==， 同法可证：2213CG CF CA CD ==， 1213AG CG AC ∴==， 1122AG G G G C ∴==．（2）如图，点P ，Q 即为所求．25．（12分）每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏． （1）写出月销售利润y （单位：元）与销售价x （单位：元/盏）之间的函数表达式； （2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？ 解：（1）设售价为x 元/盏，月销售利润y 元，根据题意得：2(30)[20010(80)]10130030000y x x x x =-+-=-+-；（2）221013003000010(65)12250y x x x =-+-=--+，∴当销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．26．（14分）问题提出：如图1，在等边ABC ∆中，9AB =，C 半径为3，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求13AP BP +的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP 转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整） 如图2，连结CP ，在CB 上取点D ，使1CD =，则有13CD CP CP CB == 又PCD ∠=∠ BCP △ ∽△ ∴13PD BP = 13PD BP ∴=13AP BP AP PD ∴+=+∴当A ，P ，D 三点共线时，AP PD +取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：13AP BP +的最小值为 ．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD 中，6BC =，8AB =，P 为矩形内部一点，且4PB =，则12AP PC +的最小值为 ．（请在图3中添加相应的辅助线）（3）拓展延伸：如图4，在扇形COD 中，O 为圆心，120COD ∠=︒，4OC =．2OA =，3OB =，点P 是CD 上一点，求2PA PB +的最小值，画出示意图并写出求解过程．解：（1）如图1，连结AD ，过点A 作AF CB ⊥于点F ， 13AP BP AP PD +=+，要使13AP BP +最小，AP AD ∴+最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP AD +最小， 即：13AP BP +最小值为AD ，9AC =，AF BC ⊥，60ACB ∠=︒92CF ∴=，932AF =9322DF CF CD ∴=-=-=，2273AD AF DF ∴=+=12AP BP ∴+73； 73；（2）如图2，在AB 上截取2BF =，连接PF ，PC ， 8AB =，4PB =，2BF =， ∴12BP BFAB BP==，且ABP ABP ∠=∠， ABP PBF ∴∆∆∽， ∴12FP BP AP AB ==，12PF AP ∴= ∴12AP PC PF PC +=+， ∴当点F ，点P ，点C 三点共线时，AP PC +的值最小，222262210CF BF BC ∴=+=+=，∴，12AP PC +的值最小值为210， 故答案为：210；（3）如图3，延长OC ，使4CF =，连接BF ，OP ，PF ，过点F 作FB OD ⊥于点M ， 4OC =，4FC =，8FO∴=，且4OP=，2OA=，∴12OA OPOP OF==，且AOP AOP∠=∠AOP POF∴∆∆∽∴12 AP OAPF OF==，2PF AP∴=2PA PB PF PB∴+=+，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP PB+的值最小，120COD∠=︒，60FOM∴∠=︒，且8FO=，FM OM⊥4OM∴=，FM=437MB OM OB∴=+=+=FB∴==2PA PB∴+。
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷 解析版
2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+14．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．306．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n10015020050080010006000到白球的次数m58961162954846013601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.6010.600小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：；②m＝（用含S1，S3的代数式表示m）．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列各图中，能通过一个三角形绕一点旋转一次得到另一三角形的图形是（）A．B．C．D．【分析】直接利用旋转的定义得出答案即可．【解答】解：根据旋转的定义，A，B，C中的三角形绕一点旋转一次不能得到另一三角形，不符合题意，选项D符合题意．故选：D．2．气象台预明天下雨的概率为70%，则下列理解正确的是（）A．明天30%的地区不会下雨B．明天下雨的可能性较大C．明天70%的时间会下雨D．明天下雨是必然事件【分析】根据概率的意义找到正确选项即可．【解答】解：天气台预报明天下雨的概率为70%，说明明天下雨的可能性很大，故B正确．故选：B．3．把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（）A．y＝（x+2）2+1B．y＝（x﹣2）2+1C．y＝（x+4）2+1D．y＝（x﹣4）2+1【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．【解答】解：把二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为y＝（x﹣1+3）2﹣3+4，即y＝（x+2）2+1．故选：A．4．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（）A．3：2B．1：C．1：D．：【分析】设圆的半径是R，则可表示出两个多边形的边长，进而求解．【解答】解：设此圆的半径为R，它的内接正六边形的边长为R，则它的内接正方形的边长为R，内接正六边形和内接四边形的边长比为R：R＝1：．故选：C．5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC＝2：5，EF＝15，则DF的长等于（）A．18B．20C．25D．30【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后把已知条件代入计算即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴DF＝25．故选：C．6．在4×5网格中，A，B，C为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．cos A＝【分析】根据网格构造直角三角形利用勾股定理可求出三角形ABC的三边的长，进而得出此三角形是等腰直角三角形，在利用特殊锐角三角函数值得出答案．【解答】解：由网格构造直角三角形可得，AB2＝12+32＝10，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，∵AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴sin A＝sin45°＝，cos A＝cos45°＝，tan A＝tan45°＝1，∴选项D是正确的，故选：D．7．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π【分析】连接OB，求出∠BOD的度数，利用弧长公式求解即可．【解答】解：如图，连接OB．∵CD⊥AB，CD是直径，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝30°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠COB＝∠AOB＝60°，∴∠DOB＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π，8．如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°，此商场门前的台阶高出地1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需（）（精确到0.1米．参考值：sin10°＝0.7，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）A．8.5米B．8.8米C．8.3米D．9米【分析】根据坡度坡角定义即可求出结果．【解答】解：由于台阶共高出地面1.53米，斜坡的坡角不得超过10°，斜坡的水平宽度AB至少为AB＝≈8.5（米）．故选：A．9．如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A．x＝y B．3x＝2y C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2【分析】分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，∴＝，可得3x＝2y，选项B符合题意，当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，∴＝，推不出：x＝y或3x＝2y或x＝1，y＝2或x＝3，y＝2．故选项A，B，C，D都不满足条件，此种情形不存在．∴矩形ABCD∽矩形EFGH，可得3x＝2y，10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f（e，f 为常数）的图象的顶点分别为A、B，且相交于C（m，n）和D（m+8，n），若∠ACB＝90°，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】根据二次函数图象的性质，再结合二次函数图象，可以表达对称轴，并结合几何图形，利用相似三角形得出等量关系，建立等式，求解．【解答】解：∵C（m，n）和D（m+8，n），∴CD∥x轴，且二次函数的对称轴x＝m+4，∴AB⊥CD，∵点C，D在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）与二次函数y＝x2+ex+f （e，f为常数）的图象上，∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，y＝（x﹣m）（x﹣m﹣8）+n，∴A（m+4，n﹣16a），B（m+4，n﹣8），设AB与CD的交点为E，则E（m+4，n），则CE＝4，AE＝﹣16a，BE＝8；在△ABC中，∠ACB＝90°，且AB⊥CD，则CE2＝AE•BE，∴42＝﹣16a×8，解得，．故选：C．二、填空题（每题5分，共30分）11．（5分）如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则cosα＝．【分析】过点P作x轴的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数看求出答案．【解答】解：过点P（4，3）作PQ⊥x轴，垂足为Q，则PQ＝3，OQ＝4，在Rt△POQ中，OP＝＝＝5，所以cosα＝＝，故答案为：．12．（5分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记第下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000600058961162954846013601到白球的次数m0.580.640.580.590.6050.6010.600摸到白球的频率小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸10000次，则频率一定为0.6；②可以估计摸一次得白球的概率约为0.6．则这两个判断正确的是②（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）．【分析】根据题意和表格中的数据、概率的含义，可以判断①和②的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，若摸10000次，则频率不一定为0.6，可能为0.6，故①错误；由表格中的数据可以估计摸一次得白球的概率约为0.6，故②正确；故答案为：②．13．（5分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝﹣ax2+2ax ﹣1（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣ax2+2ax﹣1（a＞0），∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝1，∴A（4，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣2，y3），∵﹣2＜﹣1＜﹣0.5，∴y3＜y1＜y2，故答案为y3＜y1＜y2．14．（5分）如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB 于N，连接BM，则∠BMN的度数为45°．【分析】连接OM．想办法求出∠MNB，∠NBM，即可解决问题．【解答】解：连接OM．∵AB是直径，＝2，∴∠BOC＝×180°＝60°，∵＝，∴∠MOB＝∠COM＝30°，∵OM＝OB，∴∠B＝∠OMB＝（180°﹣30°）＝75°，∵OC∥MN，∴∠MNB＝∠COB＝60°，∴∠BMN＝180°﹣∠BNM﹣∠NBM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，故答案为：45°．15．（5分）如图，将一张面积为10的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片，根据图中标示的长度，则平行四边形纸片的面积为．【分析】如图，由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求得△ADE的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．【解答】解：如图，作AM⊥BC于M，AM交DE于N．∵S△ABC＝BC•AM＝10，BC＝5，∴AM＝4．∵DE∥BC，AM⊥BC，∴△ADE∽△ABC，AM⊥DE，∴＝，即＝，∴AN＝，∴平行四边形DEGF的高MN＝AM﹣AN＝4﹣＝，∴平行四边形纸片的面积＝2×＝．故答案为：．16．（5分）如图1，是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》中所给勾股定理的证明．同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法，如图2，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD，EFGH，IJKL的面积分别为S1，S2，S3，分别连接AK，BL，CI，DJ并延长构成四边形MNOP，它的面积为m．①请用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系为：S2＝（S1+S3）；②m＝．（用含S1，S3的代数式表示m）．【分析】①由题意可得：S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，代入化简即可得到答案；②先证明△MLK∽△KEH，设AE＝x，PE＝y，结合四边形MNOP的面积为m，可得答案．【解答】解：①观察图像（2）可知，S1＝8S△AEH+S3，4S△AEH＝S2﹣S3，∴S1＝2（S2﹣S3）+S3，∴2S2＝S1+S3，∴S2＝（S1+S3），故答案为：S2＝（S1+S3）．②∵HE⊥EF，AK⊥HE，∴AK∥EF，同理：BL∥GF，DJ∥HE，CI∥GH，∴四边形MNOP是平行四边形，且△MKL≌△NLI≌△OIJ≌△PJK，∴MN∥GF∥EH，∴∠LMK＝∠EKH＝90°，∠MLK＝∠HEL，∴△MLK∽△KEH，∴＝＝，设AE＝x，PE＝y，则：＝＝，∴ML＝，MK＝＝LN，∴MN＝+＝，∴m＝MN2＝2＝，∵S1＝（x+y）2，S2＝x2+y2，S3＝（x﹣y）2，∴m＝＝＝．故答案为：．三、解答题（第17、18、19题各8分，第20、21、22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）计算求值：（1）已知，求的值；（2）2sin30°﹣tan60°•cos30°．【分析】（1）直接利用一个未知数表示出a，b，进而代入化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：（1）∵，∴设a＝3x，则b＝4x，∴＝＝﹣；（2）原式＝2×﹣×＝1﹣＝﹣．18．（8分）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC（正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件．（1）与△ABC有一公共角；（2）与△ABC相似但不全等．【分析】根据网格即可画出满足两个条件的三角形．【解答】解：如图所示，△ADE和△ADB即为所求．19．（8分）某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）小丽通过A通道进入校园的概率为；（2）列表如下：A B CA A，A B，A C，AB A，B B，B C，BC A，C B，C C，C由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个不同通道进入校园的有6种可能，∴小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为＝．20．（10分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm．（1）若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53．）（2）调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF．【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB ＝∠BOG＝28°，再利用锐角三角函数即可解决问题；（2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度．【解答】解：（1）如图，过O作OG⊥BD于点G，∵AE⊥BD，∴OG∥AE，∵BO＝DO，∴OG平分∠BOD，∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°，∴∠EAB＝∠BOG＝28°，在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm），∴AE＝AB•cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm），答：点A离地面的高度AE约为132cm；（2）∵OG∥AE，∴∠EAB＝∠BOG，∵CF⊥BD，∴CF∥OG，∴∠DCF＝∠DOG，∵∠BOG＝∠DOG，∴∠BAE＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△CFD，∴＝，∴CF＝＝＝100（cm），答：C点离地面的高度CF为100cm．21．（10分）如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场（靠墙一面不用篱笆）．（1）求下列情形下养鸡场的面积的最大值；①a＝15；②a＝10．（2）若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．【分析】（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，设矩形的面积为S，根据题意用含x的式子表示出S，将其写成二次函数的顶点式，则可知其对称轴，然后分别对①a＝15；②a＝10计算求得相应的最大值即可．（2）令S＝67.5得关于x的一元二次方程，求得方程的解并结合由（1）的结论可得答案．【解答】解：（1）设矩形的长为x米，则宽为米，由题意可知x≤a，∴设矩形的面积为S，则S＝x×＝﹣x2+12x＝﹣（x﹣12）2+72，∵﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝12，∴当0＜x≤12时，S随x的增大而增大，当x≥12时，S随x的增大而减小；①a＝15时，x≤a即x≤15；∴当x＝12时，S有最大值为72平方米；②a＝10时，x≤a即x≤10，∴当x＝10时，面积的最大值为﹣×（10﹣12）2+72＝70（平方米）．（2）令S＝67.5得：﹣（x﹣12）2+72＝67.5，解得x＝9或x＝15，由x≤a可知，当x＝15时，a≥15，由（1）知，此时矩形最大值在x＝12时取得，面积最大值为72平方米，故x＝15舍去．∴a＝9．22．（10分）如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接P A，PB，分别交⊙O 于点C，D，＝．（1）求证：P A＝PB；（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O 于E．证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），推出OM＝ON，再证明Rt△POM≌Rt△PON （HL），可得结论．（2）过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R，首先证明∠AOC＝30°，利用三角形的面积公式求出R，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OA，OC，OD，OB，设OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP 交⊙O于E．∵＝，∴AC＝BD，∵OA＝OC＝OB＝OD，OM⊥AC，ON⊥BD，∴CM＝AM，BN＝DN，∠OMC＝∠OND＝90°，∴CM＝DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，在Rt△POM和Rt△PON中，，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴PM＝PN，∵AM＝BN，∴P A＝PB．（2）解：∵∠APB＝60°，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MON＝120°，∵△POM≌△PON，∴∠POM＝∠PON＝60°，∵＝3，∴∠COE＝3∠COM，∴∠COM＝15°，∴∠AOC＝2∠COM＝30°，过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R∴S△AOC＝9，∴•R••R＝9，∴R＝6，∴S阴＝S阴＝S阴﹣S△AOC＝﹣9＝3π﹣9．23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），与y轴交于点C．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，作PM∥y轴交BC于M．①求证：△PQM∽△COA；②求线段PQ的长度的最大值．【分析】（1）利用待定系数可求解析式；（2）先求出AB，AC，BC，由勾股定理的逆定理可求解；（3）①由平行线的性质可得∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，由相似三角形的判定定理可得△PQM∽△COA；②先求出BC解析式，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），由锐角三角函数可求PQ的长，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0），E（1，3），∴，解得：，∴二次函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，∴点C（0，2），又∵点A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC＝＝＝，BC＝＝＝2，∵AB2＝25，AC2+BC2＝25，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）①∵∠ACB＝∠AOC＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°＝∠ACO+∠CAO，∴∠BCO＝∠CAO，∵PQ∥AC，PM∥y轴，∴∠ACB＝∠CQP＝∠PQM＝90°，∠PMQ＝∠BCO＝∠CAO，∴△PMQ∽△COA；②如图，延长PM交AB于H，∵∠PMQ＝∠BMH，∠PQM＝∠PHB＝90°，∴∠QPM＝∠CBA，∵B（4，0），点C（0，2），∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m2+m+2），则点M（m，﹣m+2），∴PM＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣（m﹣2）2+2，∵cos∠CBA＝cos∠QPM，∴，∴＝，∴PQ＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PQ有最大值为．24．（14分）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）如图1．①求证：点P为的中点；②求sin∠BAC的值；（2）如图2，若点A为的中点，求CE的长；（3）若△ABC为非锐角三角形，求P A•AE的最大值．【分析】（1）①证明：如图1，连接PC，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得：∠PCB＝∠PBC，所以弦相等，弧相等，可得结论；②如图2，作辅助线，构建直径PG，根据垂径定理得：BG＝3，∠BOG＝∠BAC，最后由三角函数定义可得结论；（2）如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，根据勾股定理计算OG和PC的长，根据各角的关系证明∠APC＝∠E，则CE和PC的长相等，可得结论；（3）如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，证明△ACE∽△APB，列比例式得：P A•AE＝AC •AB，根据三角形面积公式得P A•AE＝S△ABC，由图形可知：点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，从而得结论．【解答】（1）①证明：如图1，连接PC，∵A、P、B、C四点内接于⊙O，∴∠P AF＝∠PBC，∵AP平分∠BAF，∴∠P AF＝∠BAP，∵∠BAP＝∠PCB，∴∠PCB＝∠PBC，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；②解：如图2，过P作PG⊥BC于G，交BC于G，交⊙O于H，连接OB，∴，∴PH是直径，∵∠BPC＝∠BAC，∠BOG＝∠BPG＝∠BPC，∵OG⊥BC，∴BG＝BC＝3，Rt△BOG中，∵OB＝5，∴sin∠BAC＝sin∠BOG＝＝；（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，连接OC，由（1）知：PG过圆心O，且CG＝3，OC＝OP＝5，∴OG＝4，∴PG＝4+5＝9，∴PC＝＝＝3，设∠APC＝x，∵A是的中点，∴＝，∴∠ABC＝∠ABP＝x，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝2x，△PCE中，∠PCB＝∠CPE+∠E，∴∠E＝2x﹣x＝x＝∠CPE，∴CE＝PC＝3；（3）解：如图4，过点C作CQ⊥AB于Q，∵∠ACE＝∠P，∠CAE＝∠P AF＝∠P AB，∴△ACE∽△APB，∴，∴P A•AE＝AC•AB，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC＝AC，∴S△ABC＝AB•CQ＝，∴P A•AE＝S△ABC，∵△ABC为非锐角三角形，∴点A运动到使△ABC为直角三角形时，如图5，△ABC的面积最大，Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，此时P A•AE＝×＝80．。
2017浙江省宁波市江北区九年级上期末数学试卷解析版
2017-2018学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若，则的值为（）A．B．C．D．42．下列成语表示随机事件的是（）A．水中捞月B．水滴石穿C．瓮中捉鳖D．守株待兔3．下图是由3个相同的小正方体组成的几何体，则右边4个平面图形中是其左视图的是（）A．B．C．D．4．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则的值为（）A．B．C．D．26．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3图象的对称轴是（）A．.直线x=1B．直线x=﹣1C．直线x=3D．直线x=﹣37．圆锥的底面半径为10cm，母线长为15cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πcm2B．150πcm2C．200πcm2D．250πcm28．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC=（）A．105°B．120°C．135°D．150°9．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y110．已知∠ADB，作图．步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA、DB于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点E，画射线DE．步骤2：在DB上任取一点O，以点O为圆心，OD长为半径画半圆，分别交DA、DB、DE于点P、Q、C；步骤3：连结PQ、OC．则下列判断：①=；②OC∥DA；③DP=PQ；④OC垂直平分PQ，其中正确的结论有（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④11．已知：如图，点D是等腰直角△ABC的重心，其中∠ACB=90°，将线段CD绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE，若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为（）A．2B．2C．4D．312．已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（）A．x取m﹣1时的函数值小于0B．x取m﹣1时的函数值大于0C．x取m﹣1时的函数值等于0D．x取m﹣1时函数值与0的大小关系不确定二、填空题（每小题4分，共24分）13．二次函数y=x（x﹣6）的图象与x轴交点的横坐标是．14．已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d﹣3|+（6﹣2r）2=0，则直线l 与⊙O的位置关系是．（填“相切、相交、相离”中的一种）15．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是．16．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是．17．将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y=x2+4x ﹣1，则a+b+c=．18．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（6分）计算：3tan30°+（﹣1）2018﹣（π﹣3）020．（8分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B、C在一条直线上，BC=22m．在点B、C分别测得气球A的仰角为30°、63°，求气球A离地面的高度．（精确到个位）（参考值：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）21．（8分）在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和n个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n的值；（2）在（1）的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，放回，摇均匀后，再从袋中摸出一个球，记录其颜色．请用画树状图或者列表的方法，求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率．22．（10分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，OC平分∠ACD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与直线CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=2，∠F=30°时，求BD的长．23．（10分）根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1=0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？24．（10分）如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．25．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，设AE=x．将△ABE沿BE翻折得到△ABE，点A落在矩形ABCD的内部，且∠AA′G=90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，求x的值．26．（14分）【给出定义】若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做“跳跃四边形”，这条对角线叫做“跳跃线”．【理解概念】（1）命题“凡是矩形都是跳跃四边形”是命题（填“真”或“假”）．（2）四边形ABCD为“跳跃四边形”，且对角线AC为“跳跃线”，其中AC⊥CB，∠B=30°，AB=4，求四边形ABCD的周长．【实际应用】已知抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点，与直线y=2x+b 交于A，B两点．（3）直接写出C点坐标，并求出抛物线的解析式．（4）在线段AB上有一个点P，在射线BC上有一个点Q，P，Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从B出发，沿BA，BC方向运动，设运动时间为t，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若，则的值为（）A．B．C．D．4【分析】直接利用比例的性质得出a，b的关系，进而代入化简即可．【解答】解：∵，∴b=3a，∴==．故选：A．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确得出a，b的关系是解题关键．2．下列成语表示随机事件的是（）A．水中捞月B．水滴石穿C．瓮中捉鳖D．守株待兔【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【解答】解：水中捞月是不可能事件，故选项A不符合题意；B、水滴石穿是必然事件，故选项B不符合题意；C、瓮中捉鳖是必然事件，故选项C不符合题意；D、守株待兔是随机事件，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．下图是由3个相同的小正方体组成的几何体，则右边4个平面图形中是其左视图的是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从左面看，可看到上下两个正方形，故选A．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴AC==3，∴sinB==，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．5．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，若AD=2，DB=1，△ADE、△ABC的面积分别为S1、S2，则的值为（）A．B．C．D．2【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3图象的对称轴是（）A．.直线x=1B．直线x=﹣1C．直线x=3D．直线x=﹣3【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3图象的对称轴是直线x=1，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．7．圆锥的底面半径为10cm，母线长为15cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πcm2B．150πcm2C．200πcm2D．250πcm2【分析】先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：圆锥的底面周长是：2×10π=20π，则×20π×15=150π．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆上的两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC=（）A．105°B．120°C．135°D．150°【分析】连接AC，根据圆周角定理，由BC为半圆的直径，可证∠BAC=90°，又A为半圆弧的中点，可证AB=AC，即可得∠B=∠ACB=45°，根据圆内接四边形的对角互补得∠ADC=180°﹣45°=135°．【解答】解：连接AC，∵BC为半圆的直径，∴∠BAC=90°，又A为半圆弧的中点，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=180°﹣45°=135°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质和圆心角、弧的关系，利用直径所对的圆周角是直角，是在圆中构造直角三角形常用的方法．9．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，根据对称性解答问题．【解答】解：抛物线y=﹣2x2﹣8x+m的对称轴为x=﹣2，且开口向下，x=﹣2时取得最大值．∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距离大于﹣1到﹣2的距离，根据二次函数的对称性，y3＜y1．∴y3＜y1＜y2．∴故选C．【点评】此题考查了二次函数的性质，通常根据开口方向、对称轴，结合草图即可判断函数值的大小．10．已知∠ADB，作图．步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA、DB于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点E，画射线DE．步骤2：在DB上任取一点O，以点O为圆心，OD长为半径画半圆，分别交DA、DB、DE于点P、Q、C；步骤3：连结PQ、OC．则下列判断：①=；②OC∥DA；③DP=PQ；④OC垂直平分PQ，其中正确的结论有（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】由DQ为直径可得出DA⊥PQ，结合OC⊥PQ可得出DA∥OC，结论②正确；由作图可知∠CDQ=∠PDC，进而可得出=，OC平分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB 的度数未知，不能得出DP=PQ，即结论③错误．综上即可得出结论．【解答】解：∵DQ为直径，∴∠DPQ=90°，DA⊥PQ．∵OC⊥PQ，∴DA∥OC，结论②正确；由作图可知：∠CDQ=∠PDC，∴=，OC 平分∠AOB ，结论①④正确；∵∠ADB 的度数未知，∠PDQ 和∠PQD 互余，∴∠PDQ 不一定等于∠PQD ，∴DP 不一定等于PQ ，结论③错误．综上所述：正确的结论有①②④．故选：B ．【点评】本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键．11．已知：如图，点D 是等腰直角△ABC 的重心，其中∠ACB=90°，将线段CD 绕点C逆时针旋转90°得到线段CE ，连结DE ，若△ABC 的周长为6，则△DCE 的周长为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．3【分析】延长CD 交AB 于F ．如图，利用等腰直角三角形的性质和重心的性质得到CF平分AB ，CD=2DF ，则CF=AB=CA ，所以CD=CA ，再利用旋转的性质可判断△CDE 为等腰直角三角形，于是可判定△CDE ∽△CAB ，然后根据相似三角形的性质计算△CDE 的周长．【解答】解：延长CD 交AB 于F ．如图，∵点D 是等腰直角△ABC 的重心，∴CF平分AB，CD=2DF，∴CF=AB=•CA=CA，∴CD=CF=CA，∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴△CDE为等腰直角三角形，∴△CDE∽△CAB，∴△CDE的周长：△CAB的周长=CD：CA=，∴△CDE的周长=×6=2．故选：A．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．12．已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（）A．x取m﹣1时的函数值小于0B．x取m﹣1时的函数值大于0C．x取m﹣1时的函数值等于0D．x取m﹣1时函数值与0的大小关系不确定【分析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可；【解答】解：由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=，设抛物线与x轴交于点A、B．∴AB＜1，∵x取m时，其相应的函数值小于0，∴观察图象可知，x=m﹣1在点A的左侧，x=m﹣1时，y＞0，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想．二、填空题（每小题4分，共24分）13．二次函数y=x（x﹣6）的图象与x轴交点的横坐标是0或6．【分析】代入y=0求出x值，此题得解．【解答】解：当y=0时，有x（x﹣6）=0，解得：x1=0，x2=6，∴二次函数y=x（x﹣6）的图象与x轴交点的横坐标是0或6．故答案为：0或6．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，代入y=0求出x的值是解题的关键．14．已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d﹣3|+（6﹣2r）2=0，则直线l 与⊙O的位置关系是相切．（填“相切、相交、相离”中的一种）【分析】利用非负数的性质求出d和r，即可判断；【解答】解：∵|d﹣3|+（6﹣2r）2=0，又∵|d﹣3|≥0，（6﹣2r）2≥0，∴d=3，r=3，∴d=r，∴直线l是⊙O的切线，故答案为：相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是．【分析】如图，连接OA，OB，则OC=OB，求得∠OBC=30°，根据平行线的性质得到∠BOE=30°，同理∠DOA=30°，根据扇形的面积公式计算即可；【解答】解：如图，∵OC=OB，∠OCB=90°，∴∠OBC=30°，∵BC∥OE，∴∠BOE=30°，同理∠DOA=30°，∴∠AOB=90°﹣30°﹣30°=30°，==，∴S扇形OAB故答案为．【点评】本题考查了扇形的面积公式、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC的值是．【分析】如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．首先证明∠APC=∠ECD，再证明∠CDE=90°，根据tan∠APC=tan∠ECD，即可解决问题；【解答】解：如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．由题意：EC∥AB，∴∠APC=∠ECD，∵∠CDO=60°，∠EDB=30°，∴∠CDE=90°，∵CD=2，DE=，∴tan∠APC=tan∠ECD==，故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．将抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y=x2+4x ﹣1，则a+b+c=1．【分析】抛物线平移．不改变二次项系数，平移后抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），根据平移规律可推出原抛物线顶点坐标为（0，0），根据顶点式可求抛物线解析式．【解答】解：平移后的抛物线y=x2+4x﹣1=（x+2）2﹣5，顶点为（﹣2，﹣5），根据平移规律，得原抛物线顶点坐标为（0，0），又平移不改变二次项系数，∴原抛物线解析式为y=x2，∴a=1，b=c=0，∴a+b+c=1，故答案为1．【点评】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．18．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则x的值是4或x=4或x=2．【分析】考虑四种特殊位置，求出x的值即可解决问题；【解答】解：如图1中，当△P2MN是等边三角形时满足条件，作P2H⊥OA于H．在Rt△P2HN中，P2H=NH=2，∵∠O=∠HP2O=45°，∴OH=HP2=2，∴x=OM=OH﹣MH=2﹣2．如图2中，当⊙M与OB相切于P1，MP1=MN=4时，x=OM=4，此时满足条件；如图3中，如图当⊙M经过点O时，x=OM=4，此时满足条件的点P有3个．如图4中，当⊙N与OB相切于P2时，x=OM=4﹣4，观察图3和图4可知：当4时，满足条件，综上所述，满足条件的x的值为：4或x=4或x=2，故答案为4或x=4或x=2．【点评】本题考查等腰三角形的判定、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，三条中考填空题中的压轴题．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（6分）计算：3tan30°+（﹣1）2018﹣（π﹣3）0【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=3×+1﹣1=．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B、C在一条直线上，BC=22m．在点B、C分别测得气球A的仰角为30°、63°，求气球A离地面的高度．（精确到个位）（参考值：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0）【分析】作AD⊥l，设AD=x，Rt△ABD中求得BD==x，再由tan63°==2求出x即可得．【解答】解：如图，过点A作AD⊥l，设AD=x，则BD===x，∴tan63°==2，∴AD=x=8+4，∴气球A 离地面的高度约为18m ．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角是向上看的视线与水平线的夹角、俯角是向下看的视线与水平线的夹角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（8分）在一个不透明的袋子里有1个红球，1个黄球和n 个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）从这个袋子里摸出一个球，记录其颜色，然后放回，摇均匀后，重复该实验，经过大量实验后，发现摸到白球的频率稳定于0.5左右，求n 的值；（2）在（1）的条件下，先从这个袋中摸出一个球，记录其颜色，放回，摇均匀后，再从袋中摸出一个球，记录其颜色．请用画树状图或者列表的方法，求出先后两次摸出不同颜色的两个球的概率．【分析】（1）由“摸到白球的频率稳定于0.5左右”利用概率公式列方程计算可得； （2）画树状图展示所有可能的结果数，找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）根据题意，得： =，解得n=2；（2）画树状图如下：由树状图知，共有16种等可能结果，其中先后两次摸出不同颜色的两个球的结果数为10，∴先后两次摸出不同颜色的两个球的概率为=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（10分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，OC平分∠ACD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与直线CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF=2，∠F=30°时，求BD的长．【分析】（1）根据角平分线的定义和根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；（2）连结AD．根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：（1）∵OC平分∠ACD，∴∠ACO=∠OCD，∵∠A=∠D=∠ACO，∴∠D=∠OCD，∴OC∥DE，∵DE⊥CF，∴OC⊥CF，∴CF为⊙O的切线；（2）连接AD，∵BE∥OC，∴△FEB∽△FCO，∴，解得：r=2，∴AB=4，∵∠ABD=60°，∴BD=2．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．（10分）根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1=0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2=ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）销售利润之和W=甲种水果的利润+乙种水果的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可．【解答】解：（1）∵函数y2=ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2=﹣x2+x．（2）w=（8﹣t）﹣t2+t=﹣（t﹣4）2+6，∴t=4时，w的值最大，最大值为6，∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．【点评】考查二次函数的应用；得到甲乙两种商品的利润是解决本题的突破点；得到总利润的关系式是解决本题的关键．24．（10分）如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【分析】依据格点△ABC的三边长分别为，2、，将该三角形的各边扩大一定倍数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【解答】解：如图所示：如图所示，格点三角形的面积最大，S=2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8=6.5【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的判定方法得出是解题关键．把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．25．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=9，设AE=x．将△ABE沿BE翻折得到△ABE，点A落在矩形ABCD的内部，且∠A A′G=90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，求x的值．【分析】分两种情况，根据相似三角形的判定和性质以及翻折的性质解答即可．【解答】解：①如图①，∠GA'C=90°，∵∠AA'G=90°，∴点A、A'、C在同一直线上，∠BAE=∠ADC=90°，∠ABE=∠DAC，∴△ABE∽△ADC，∴，即解得：x=1；②如图②，∠A'GC=90°，∴∠DGC=∠GAA'=∠ABE，∴△ABE∽△DGC，∵AE=EA'=EG=x，∴，解得：（舍去），综上所述，x=1或1.5．【点评】此题考查了翻折问题，关键是根据翻折不变性解答．26．（14分）【给出定义】若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫做“跳跃四边形”，这条对角线叫做“跳跃线”．【理解概念】（1）命题“凡是矩形都是跳跃四边形”是真命题（填“真”或“假”）．（2）四边形ABCD为“跳跃四边形”，且对角线AC为“跳跃线”，其中AC⊥CB，∠B=30°，AB=4，求四边形ABCD的周长．【实际应用】已知抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点，与直线y=2x+b 交于A，B两点．（3）直接写出C点坐标，并求出抛物线的解析式．（4）在线段AB上有一个点P，在射线BC上有一个点Q，P，Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度同时从B出发，沿BA，BC方向运动，设运动时间为t，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【分析】【理解概念】：（1）由定义可直接得；（2）分情况∠DAC=90°和∠ADC=90°两种情况讨论，可求四边形ABCD的周长；【实际应用】（3）根据点B，点C关于对称轴对称，可求点C坐标，用待定系数法可求抛物线解析式；（4）由题意可证△ABO∽△BPQ，可证PQ⊥AB，四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”，可得△BPQ∽△PQM，分∠PQM=90°或∠PMQ=90°两种情况讨论，可求t 的值．【解答】解：【理解概念】：（1）∵矩形的对角线所分的两个三角形全等∴凡是矩形都是跳跃四边形是真命题故答案为真（2）∵AC⊥BC，∠B=30°，AB=4∴AC=2，BC=6当∠CAD=90°时，如图1：∵四边形ABCD为“跳跃四边形”∴△ABC∽△CAD∴=或∴AD=2，CD=4或AD=6，CD=4∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2+4+4+6=12+4或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+6+4=12+8若∠ADC=90°如图2：∵四边形ABCD为“跳跃四边形”∴△ABC∽△CAD∴或∴AD=，CD=3或AD=3，CD=∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5或四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5综上所述：四边形ABCD的周长为12+4或12+8或9+5【实际应用】（3）∵抛物线y=ax2+m（a≠0）与x轴交于B（﹣2，0），C两点∴顶点坐标为（0，m），对称轴为y轴，点B，点C关于对称轴对称∴点C（2，0）∵抛物线y=ax2+m与直线y=2x+b交于点A，点B∴∴m=b=4，a=﹣1∴抛物线解析式y=﹣x2+4∵P，Q两点分别以个单位/秒，5个单位/秒的速度∴设运动时间为t∴BP=t，BQ=5t∵点A（0，4），点B（﹣2，0）∴OA=4，OB=2∴AB=2∵且∠ABO=∠PBQ∴△ABO∽△PBQ∴∠AOB=∠BPQ=90°∵四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形∴△BPQ∽△PQM∴△PQM是直角三角形①若∠PQM=90°时，且BP与QM是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．如图3∵△BPQ∽△PQM∴=1∴BP=QM，PM=BQ∴四边形BPMQ是平行四边形∴BP∥QM∴∠PBD=∠MQE∵BP=MQ，∠PBD=∠MQE，∠PDB=∠MEQ∴△BPD≌△MQE∴PD=ME，BD=QE∵PD∥AO∴∴=∴BD=t，PD=2t∴QE=t，ME=2t∴OE=BQ+QE﹣BO=6t﹣2∴M（6t﹣2，2t），且点M在抛物线上∴2t=﹣（6t﹣2）2+4∴t=②若∠PQM=90°时，且BP与PQ是对应边，作PD⊥BC，作ME⊥BC．如图4∵△BPD∽△MQE∴即∴QM=4t∵∠BQP+∠PBQ=90°，∠BQP+∠MQE=90°∴∠PBQ=∠MQE且∠BPQ=∠MEQ=90°∴△BPQ∽△MEQ∴∴ME=8t，QE=4t∴OE=BQ+QE﹣BO=9t﹣2∴M（9t﹣2，8t），且点M在抛物线上∴8t=﹣（9t﹣2）2+4∴t=③若∠PMQ=90°，BP与MQ是对应边，过点P作PD⊥BC 如图5∵△BPQ∽△MQP∴∠PQB=∠MPQ∴PM∥BC∵MQ⊥PM∴MQ⊥BC，且PD⊥BC∴MQ∥PD∴四边形PDQM是平行四边形且PD⊥BC∴四边形PDQM是矩形∴PD=MQ∵BD=t，PD=2t，BQ=5t∴QM=2t∵OQ=BQ﹣BO=5t﹣2∴M（5t﹣2，2t）且点M在抛物线上∴2t=﹣（5t﹣2）2+4∴t=若若∠PMQ=90°，BP与MP是对应边，过点M作EF∥BC，过点P作PD⊥BC，延长DP 交EF于F，过点Q作EQ⊥EF于F．如图6∵△BPQ∽△PMQ∴∠MQP=∠BQP又∵PD⊥BC，PM⊥MQ∴PD=PM=2t∵PD=PM，PQ=PQ∴△PDQ≌△PQM∴MQ=DQ=BQ﹣BD=5t﹣t=4t∵FE∥BC，EQ⊥EF，DFBC∴DF⊥EF，EQ⊥BC∴四边形EFDQ是矩形∴EF=DQ=4t∵∠FMP+∠FPM=90°，∠EMQ+∠FMP=90°∴∠FPM=∠EMQ且∠E=∠MFD=90°∴△FMP∽△MEQ∴∴EQ=2FM在Rt△MEQ中，MQ2=EQ2+ME2∴（4t）2=（2FM）2+（4t﹣FM）2∴FM=t∴EQ=t∴M（t﹣2，t），且点M在抛物线上∴t=﹣（t﹣2）2+4∴t=综上所述：使得四边形BQMP是以PQ为“跳跃线”的“跳跃四边形”的时间t的值为：t=，t=，t=，t=【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，相似三角形的性质和判定，利用数形思想和分类思想解决问题是本题的关键．。
＜合集试卷3套＞2019年宁波市江北某名校初中九年级上学期数学期末质量检测试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次函数()20y ax bx c a =++≠图象如图，下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．若221122ax bx ax bx +=+且12x x ≠，则121x x =+C ．0a b c -+>D ．当1m ≠时，2a b am bm +>+【答案】D【分析】根据二次函数的图象得到相关信息并依次判断即可得到答案.【详解】由图象知：a<0，b>0，c>0，12ba-=，∴abc<0，故A 选项错误； 若221122ax bx ax bx +=+且12x x ≠，∴对称轴为1212x x x ==+，故B 选项错误； ∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点的横坐标小于3， ∴与x 轴的另一个交点的横坐标大于-1， 当x=-1时，得出y=a-b+c<0，故C 选项错误； ∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，开口向下， ∴函数的最大值为y=a+b+c ， ∴2(1)a b c am bm c m ++>++≠， ∴2a b am bm +>+，故D 选项正确， 故选：D . 【点睛】此题考查二次函数的图象，根据函数图象得到对应系数的符号，并判断代数式的符号，正确理解二次函数图象与系数的关系是解题的关键.2．若点P （﹣m ，﹣3）在第四象限，则m 满足（ ） A ．m ＞3 B ．0＜m≤3C ．m ＜0D ．m ＜0或m ＞3【答案】C【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可． 【详解】解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m ＞1，解得m ＜1． 故选：C ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．3．用蓝色和红色可以混合在一起调配出紫色，小明制作了如图所示的两个转盘，其中一个转盘两部分的圆心角分别是120°和240°，另一个转盘两部分被平分成两等份，分别转动两个转盘，转盘停止后，指针指向的两个区域颜色恰能配成紫色的概率是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【答案】B【解析】列表如下： 红 红 蓝 红 紫 蓝紫紫共有9种情况，其中配成紫色的有3种，所以恰能配成紫色的概率=.93= 故选B ．4．已知点(2,)A a -，(2,)B b ，(4,)C c 是抛物线24y x x =-上的三点，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >>【答案】D【分析】将A ，B ，C 三点坐标分别代入抛物线24y x x =-，然后化简计算即可. 【详解】解：∵点(2,)A a -，(2,)B b ，(4,)C c 是抛物线24y x x =-上的三点， ∴()()224212a =--⨯-=，22424b =-⨯=-， 24440c =-⨯=.∴a c b >> 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a ，b ，c 是解题的关键． 5．扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯ B ．()()13022020304x x --=⨯⨯ C ．13022020304x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯【答案】D【分析】根据空白区域的面积34=矩形空地的面积可得. 【详解】设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯， 故选D ． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 6．如图，直线y=2x 与双曲线2y x=在第一象限的交点为A ，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，将△ABO 绕点O 旋转90°，得到△A′B′O ，则点A′的坐标为( )A ．（1.0）B ．（1.0）或（﹣1.0）C ．（2.0）或（0，﹣2）D ．（﹣2.1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：联立直线与反比例解析式得：y 2x {2y x==，消去y 得到：x 2=1，解得：x=1或﹣1．∴y=2或﹣2． ∴A （1，2），即AB=2，OB=1，根据题意画出相应的图形，如图所示，分顺时针和逆时针旋转两种情况：根据旋转的性质，可得A′B′=A′′B′′=AB=2，OB′=OB′′=OB=1， 根据图形得：点A′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选D ．7．二次函数y=（x ﹣1）2+2，它的图象顶点坐标是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（2，1）C ．（2，﹣1）D ．（1，2）【答案】D【解析】二次函数的顶点式是()?y a x h k =－＋，,其中 (),h k 是这个二次函数的顶点坐标，根据顶点式可直接写出顶点坐标. 【详解】解：212y x =-+抛物线解析式为（），()12.∴二次函数图象的顶点坐标是，故选：D. 【点睛】根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等． 8．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．19【答案】B【解析】由小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动， ∴小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为：13． 故选：B ． 【点睛】本题考查概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9．己知1x =是一元二次方程()22240m x x m -+-=的一个根，则m 的值为（ ）A ．1B ．－1或2C ．－1D ．0【答案】C【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=2代入方程求解可得m的值．【详解】把x=2代入方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0得到(m﹣2)+4﹣m2=0，解得：m=﹣2或m=2．∵m﹣2≠0，∴m=﹣2．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是理解一元二次方程解的定义，属于基础题型．10．计算63a a÷，正确的结果是（）A．2 B．3a C．2a D．3a【答案】D【分析】根据同底数幂除法法则即可解答．【详解】根据同底数幂除法法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减）可得，a6÷a1＝a6﹣1＝a1．故选D．【点睛】本题考查了整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则．11．二次函数y＝x2+（t﹣1）x+2t﹣1的对称轴是y轴，则t的值为（）A．0 B．12C．1 D．2【答案】C【解析】根据二次函数的对称轴方程计算．【详解】解：∵二次函数y＝x2+（t﹣1）x+2t﹣1的对称轴是y轴，∴﹣12t-＝0，解得，t＝1，故选：C．【点睛】本题考查二次函数对称轴性质，熟练掌握对称轴的公式是解题的关键.12．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【答案】D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选D．点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，半圆O的半径为4，初始状态下其直径平行于直线l．现让半圆O沿直线l进行无滑动滚动，直到半圆O的直径与直线l重合为止．在这个滚动过程中，圆心O运动路径的长度等于_________．【答案】4π【分析】由图可知，圆心O运动路径的长度主要分两部分求解，从初始状态到垂直状态，圆心一直在一条直线上；从垂直状态到重合状态，圆心运动轨迹是14圆周，计算两部分结果，相加即可．【详解】由题意知：半圆O的半径为4，∴从初始状态到垂直状态，圆心O运动路径的长度=124=24．∴从垂直状态到重合状态，圆心O运动路径的长度=124=24．即圆心O运动路径的总长度= 22=4．故答案为4π．【点睛】本题主要考查了弧长公式和圆周公式，正确掌握弧长公式和圆周公式是解题的关键．14．在一个不透明的盒子中装有6个白球，x个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率为23，则x=_______．【答案】1【分析】直接以概率求法得出关于x的等式进而得出答案．【详解】解：由题意得：6263x=+，x=，解得3故答案为：1．【点睛】本题考查了概率的意义，正确把握概率的求解公式是解题的关键．15．方程（x﹣1）（x﹣3）＝0的解为_____．【答案】x1＝3，x2＝1【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝1，故答案为：x1＝3，x2＝1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，P为圆外一点，PC、PD均与圆相切，设∠A+∠B＝130°，∠CPD＝β，则β＝_____．【答案】100°【分析】连结OC，OD，则∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，可得∠CPD＋∠COD＝180°，根据OB＝OC，OD＝OA，可得∠BOC＝180°−2∠B，∠AOD＝180°−2∠A，则可得出α与β的关系式．进而可求出β的度数．【详解】连结OC，OD，∵PC、PD均与圆相切，∴∠PCO＝90°，∠PDO＝90°，∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD＝360°，∴∠CPD+∠COD＝180°，∵OB＝OC，OD＝OA，∴∠BOC＝180°﹣2∠B，∠AOD＝180°﹣2∠A，∴∠COD+∠BOC+∠AOD＝180°，∴180°﹣∠CPD+180°﹣2∠B+180°﹣2∠A＝180°．∴∠CPD＝100°，故答案为：100°．【点睛】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．17．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为_________．【答案】1【分析】本题中小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80−2x）（60−2x）＝12×80×60，解方程从而求解．【详解】因为小长方形的长为（80−2x）cm，宽为（60−2x）cm，则其面积为（80−2x）（60−2x）cm2根据题意得：（80−2x）（60−2x）＝12×80×60整理得：x2−70x＋600＝0解之得：x1＝1，x2＝60因x＝60不合题意，应舍去所以x＝1．故答案为：1.【点睛】此题解答时应结合图形，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．18．如图，若点A的坐标为（1，3），则∠1的度数为_____．【答案】60°．【分析】过A点作AB⊥x轴，构造直角三角形之后运用三角函数即可解答。
浙江省宁波市江北区19-20学年九年级上学期期末数学试卷 及答案解析
浙江省宁波市江北区19-20学年九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列成语描述的事件为随机事件的是()A. 水涨船高B. 守株待兔C. 水中捞月D. 缘木求鱼2.如果ab =32，那么aa+b等于()A. 23B. 25C. 35D. 533.如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，则它的主视图是()A. B. C. D.4.⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是()A. B.C. D.5.在五张完全相同的卡片上，分别写有数字0，−1，−2，1，3，现从中随机抽取一张，抽到写有负数的卡片的概率是()A. 15B. 45C. 35D. 256.如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值是()A. 12B. 23C. √53D.2√5 57.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且BC∶AC=2∶3，则BD∶AD=()A. 2∶3B. 4∶9C. 2∶5D. √2∶√38.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列关系式中正确的是()A. ac>0B. b+2a<0C. b2−4ac>0D. a−b+c<09.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()A. B.C. D.10.如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C、作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是()A. 点(0,3)B. 点(2,3)C. 点(5,1)D. 点(6,1)11.如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点(P与A，B，C，D不重合)，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，线段OQ所扫过过的面积为()A. π4B. π6C. π8D. π1212.已知二次函数y=x2−2mx+m2+3(m为常数)，下列结论正确的是()A. 当m=0时，二次函数图象的顶点坐标为(0,0)B. 当m<0时，二次函数图象的对称轴在y轴右侧C. 设二次函数的图象与y轴交点为A，过A作x轴的平行线，交图象于另一点B，抛物线的顶点为C，则△ABC的面积为m3D. 该函数图象沿y轴向下平移6个单位后，图象与x轴两交点之间的距离为2√3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.比较大小：(用“>”或“<”或“=”填空)(1)sin38°______ cos41°；(2)sin22°______ cos68°；(3)sin54°______ cos45°．14.一个圆锥的底面半径等于2，母线长为6，则该圆锥的侧面积等于______．15.抛物线y=(1−x)2+3的对称轴是直线x=______．16.如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径作半圆O，交BC于点D.若∠BAC=40°，则AD⏜的度数是________°．17.如图，在△ABC中，BCEC =83，DE//AC，则DE：AC=______．18.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是AC⏜上的中点，AC=8，OA=5，连接AD、BD，则△ABD的面积是．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.如图，已知AB切⊙O于A，连接OB，交⊙O于D。
【精选3份合集】2019-2020年宁波市江北某名校初中九年级上学期期末复习检测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列运算正确的是（ ）A ．88a a -=B ．()222a b a b -=- C ．236a a a =D ．()44a a -= 【答案】D【分析】根据题意利用合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则及幂的乘方运算法则，分别化简求出答案.【详解】解：A.合并同类项，系数相加字母和指数不变，87a a a -=，此选项不正确；B. ()222a b a b -=-，是完全平方公式，(a-b) 2=a 2-2ab+b 2,此选项错误；C. 236a a a =，同底数幂乘法底数不变指数相加，a 2·a 3=a 5，此选项不正确；D. ()44a a -=，幂的乘方底数不变指数相乘，(-a)4=(-1)4.a 4=a 4，此选项正确．故选：D【点睛】本题考查了有理式的运算法则，合并同类项的关键正确判断同类项，然后按照合并同类项的法则进行合并；遇到幂的乘方时，需要注意若括号内有“-”时，其结果的符号取决于指数的奇偶性．2．将抛物线y=（x ﹣2）2﹣8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A ．y=（x+1）2﹣13B ．y=（x ﹣5）2﹣3C ．y=（x ﹣5）2﹣13D ．y=（x+1）2﹣3 【答案】D【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=（x-2）2-8向左平移1个单位所得直线的解析式为： y=（x+1）2-8；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x-5）2-8向上平移5个单位所得抛物线的解析式为： y=（x+1）2-1．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有（ ）箱．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】先计算出这些水果的总质量，再根据剩下的足球与篮球的数量关系，通过推理判断出拿走的篮球的个数，从而计算出剩余篮球的个数．【详解】解：∵8+9+16+20+22+27=102（个）根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，∴剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是3的倍数，由于102是3的倍数，所以拿走的篮球个数也是3的倍数，只有9和27符合要求，假设拿走的篮球的个数是9个，则（102-9）÷3=31，剩下的篮球是31个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是31个，故拿走的篮球的个数不是9个，假设拿走的篮球的个数是27个，则（102-27）÷3=25，剩下的篮球是25个，只有9+16=25，所以剩下2箱篮球，故这六箱球中，篮球有3箱，故答案为：B ．【点睛】本题主要考查的是学生能否通过初步的分析、比较、推理得出正确的结论，培养学生有顺序、全面思考问题的意识．4．如图，在△ABC 中，∠C=90︒，∠B=30︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于P ，作射线AP 交BC 于点D ，下列说法不正确的是（ ）A ．∠ADC=60︒B ．AD=BDC ．13ACD ABD S S =：： D ．CD=12BD 【答案】C【分析】由题意可知AD 平分CAB ∠，求出DAB ∠，CAD ∠，利用直角三角形30角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可．【详解】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，903060CAB ∴∠=︒-︒=︒，由作图可知：AD 平分CAB ∠1302DAB CAB B ∴∠=∠=︒=∠， 60ADC DAB B ∴∠=∠+∠=︒，故A 正确DA DB =，故B 正确30CAD ∠=︒，2AD BD CD ∴==，13CD BC ∴=， :1:3ADC ABC S S ∆∆∴=，:1:2ADC ABD S S ∆∆∴=，故C 错误，设CD a =，则2AD BD a ==，12CD BD ∴=，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．下列命题正确的是( )A ．对角线相等四边形是矩形B ．相似三角形的面积比等于相似比C ．在反比例函数3y x=-图像上，y 随x 的增大而增大D ．若一个斜坡的坡度为1:30【答案】D【分析】根据矩形的判断定理、相似三角形的性质、反比例函数的性质、坡度的定义及特殊的三角函数值解答即可.【详解】对角线相等的平行四边形是矩形，故A 错误；相似三角形的面积比等于相似比的平方，故B 错误； 在反比例函数3y x=-图像上，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，故C 错误；若一个斜坡的坡度为1:3，则tan 坡角=3 ，该斜坡的坡角为30，故D 正确. 故选：D【点睛】 本题考查的是矩形的判断定理、相似三角形的性质、反比例函数的性质、坡度的定义及特殊的三角函数值，熟练的掌握各图形及函数的性质是关键.6．已知关于x 的一元二次方程2(2)0a x c -+=的两根为12x =-，26x =，则一元二次方程220ax ax a c -++=的根为( )A ．0，4B ．－3，5C ．－2，4D ．－3，1【答案】B【分析】先将12x =-，26x =代入一元二次方程2(2)0a x c -+=得出a 与c 的关系，再将c 用含a 的式子表示并代入一元二次方程220ax ax a c -++=求解即得．【详解】∵关于x 的一元二次方程2(2)0a x c -+=的两根为12x =-，26x =∴()2620a c -+=或()2220a c --+=∴整理方程即得：160a c +=∴16c a =-将16c a =-代入220ax ax a c -++=化简即得：22150x x --=解得：13x =-，25x =故选：B ．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程求解，解题关键是根据已知条件找出参数关系，并代入要求的方程化简为不含参数的一元二次方程．7．如图，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC=50°，则∠ACD=（ ）A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°【答案】C 【解析】试题分析：如图，延长AC 交EF 于点G ；∵AB ∥EF ，∴∠DGC=∠BAC=50°；∵CD ⊥EF ，∴∠CDG=90°，∴∠ACD=90°+50°=140°，故选C ．考点：垂线的定义；平行线的性质；三角形的外角性质8．某药品原价每盒28元，为响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率是x ，由题意，所列方程正确的是( )A ．28(1－2x)＝16B ．16(1+2x)＝28C ．28(1－x)2＝16D ．16(1+x)2＝28 【答案】C【解析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝1，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x ，则第一次降价后的价格为28×（1﹣x ）元， 两次连续降价后的售价是在第一次降价后的价格的基础上降低x ，为28×（1﹣x ）×（﹣x ）元， 则列出的方程是28（1﹣x ）2＝1．故选：C ．9．方程23x x =的解是（ ）A ．3x =B ．13x =，20x =C ．13x =20x =D ．3x =【答案】B【分析】用因式分解法求解即可得到结论．【详解】∵x 2﹣3x=0，∴x(x ﹣3)=0，则x=0或x ﹣3=0，解得：13x =，20x =．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．10．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线8y x =上.如果12x x <，而且120x x ⋅>，则以下不等式一定成立的是( )A ．120y y +>B ．120y y ->C ．120y y ⋅<D ．120y y < 【答案】B【解析】根据反比例函数的性质求解即可．【详解】解：反比例函数y ＝8x 的图象分布在第一、三象限，在每一象限y 随x 的增大而减小， 而12x x <，而且12,x x 同号，所以12y y >，即120y y ->，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y ＝k x（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．也考查了反比例函数的性质．11．在△ABC 中，∠C ＝90°．若AB ＝3，BC ＝1，则cosB 的值为（ ）A ．13B ．22C ．223D ．3【答案】A【分析】直接利用锐角三角函数关系的答案．【详解】如图所示：∵AB ＝3，BC ＝1，∴cosB ＝BC AB ＝13． 故选：A ．【点睛】考核知识点:余弦.熟记余弦定义是关键.12．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（ ）个A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念判断即可．【详解】矩形，平行四边形，菱形是中心对称图形，等边三角形不是中心对称图形．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题（本题包括8个小题）13．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC 高为3m .已知，冬至时北京的正午日光入射角ABC ∠约为30，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC 的长）为______m .【答案】33【分析】直接根据正切的定义求解即可.【详解】在Rt △ABC 中，ABC ∠约为30，AC 高为3m ，∵tan ∠ABC=AC BC ， ∴BC=333tan 30=故答案为：33【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.14．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是__________．【答案】12【解析】试题分析：骰子共有六个面，每个面朝上的机会是相等的，而奇数有1，3，5；根据概率公式即可计算．试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P （向上一面为奇数）=3162=. 考点：概率公式．15．如图，点A 、B 分别在反比例函数y=1k x (k 1＞0) 和 y=2k x(k 2＜0)的图象上，连接AB 交y 轴于点P ，且点A 与点B 关于P 成中心对称.若△AOB 的面积为4，则k 1-k 2=______.【答案】1【分析】作AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，如图，先证明△ACP ≌△BDP 得到S △ACP =S △BDP ，利用等量代换和k 的几何意义得到=S △AOC +S △BOD =12×|k 1|+12|k 2|=4，然后利用k 1＜0，k 2＞0可得到k 2-k 1的值． 【详解】解：作AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，如图，∵点A 与点B 关于P 成中心对称.∴P 点为AB 的中点，∴AP=BP ，在△ACP 和△BDP 中ACP BDP APC BPD AP BP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACP ≌△BDP （AAS ），∴S △ACP =S △BDP ，∴S △AOB =S △APO +S △BPO =S △AOC +S △BOD =12×|k 1|+12|k 2|=4， ∴|k 1|+|k 2|=1∵k 1＞0，k 2＜0，∴k 1-k 2=1．故答案为1．【点睛】本题考查了比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=k x图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了反比例函数的性质． 16．已知反比例函数k y x =的图象经过点()32A --，，则这个反比例函数的解析式是__________． 【答案】6y x= 【分析】把点()32A --，，代入求解即可． 【详解】解：由于反比例函数k y x=的图象经过点()32A --，， ∴把点()32A --，，代入k y x=中， 23k -=- 解得k=6， 所以函数解析式为：6y x =故答案为：6y x =【点睛】本题考查待定系数法解函数解析式，掌握待定系数法的解题步骤正确计算是关键．17．若sin α=α的度数是_____． 【答案】45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】解：∵sin 2α=， ∴α＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查的知识点特殊角的三角函数值，理解并熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.18．一元二次方程x 2=x 的解为 ．【答案】x 1=0，x 2=1．【解析】试题分析：首先把x 移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．解：x 2=x ，移项得：x 2﹣x=0，∴x （x ﹣1）=0，x=0或x﹣1=0，∴x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．考点：解一元二次方程-因式分解法．三、解答题（本题包括8个小题）19．西安市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基3.3米的一平坝内(如图)．测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°．若测角仪DE高1.3米，求这棵树的高AM．(结果保留两位小数，3≈1.732)【答案】12.20米【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度．【详解】设AB=x米．Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米．Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°3=x米．CD=BD﹣BC=(133-)x=6，解得：3即3米．∵BM=HM﹣DE=3.3﹣1.3=2，∴AM=AB﹣3≈12.20(米)．答：这棵树高12.20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．20．如图，AB是 ⊙O的直径，点C是 ⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交 ⊙O于点E．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC＝PF；（3）若AC＝8，tan∠ABC＝43，求线段BE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝2．【分析】（1）连接OC，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠OCA，得到OC∥AD，根据平行线的性质得到OC⊥PD，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC＝∠PCF，根据等腰三角形的判定定理证明；（3）连接AE，根据正切的定义求出BC，根据勾股定理求出AB，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【详解】（1）证明：连接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，又AD⊥PD，∴OC⊥PD，∴PC与⊙O相切；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴AE BE，∴∠ABE＝∠ECB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∵∠BCP+∠OCB＝90°，∴∠BCP＝∠BAC，∵∠BAC＝∠BEC，∴∠BCP＝∠BEC，∵∠PFC＝∠BEC+∠ABE，∠PCF＝∠ECB+∠BCP，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；（3）解：连接AE，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝43，AC＝8，∴BC＝6，由勾股定理得，AB＝22228610AC BC+=+=，∵AE BE=，∴AE＝BE，则△AEB为等腰直角三角形，∴BE＝2AB＝52．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定，切线的判定及勾股定理、锐角三角函数．熟练运用这些性质是解题的关键．21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．求证：∠ACO=∠BCD．【答案】证明见解析【分析】根据圆周角定理的推论即可求得.【详解】证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴BC BD=．∴∠A=∠1．又∵OA=OC ，∴∠1=∠A ．∴∠１＝∠1．即：∠ACO=∠BCD ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论：在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等.22．端午节是我国传统佳节.小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.【答案】（1）树状图见解析；（2）16【解析】分析：（1）根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果；（2）根据（1）中的树状图可以得到小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．详解：（1）肉粽记为A 、红枣粽子记为B 、豆沙粽子记为C ，由题意可得，（2）由（1）可得，小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是：21=126， 即小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是16． 点睛：本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率． 23．如图，抛物线21y=x bx c 2-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2，OC=1． (1)求抛物线的解析式．(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．注：二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴是直线x =b 2a -. 【答案】（2）211y=x x 322-++（2）P （12，54） 【详解】解：（2）∵OA=2，OC=2，∴A （－2，0），C （0，2）． 将C （0，2）代入21y=x bx c 2-++得c=2． 将A （－2，0）代入21y=x bx 32-++得，()()210=22b 32-⋅-+-+， 解得b=12， ∴抛物线的解析式为211y=x x 322-++； （2）如图：连接AD ，与对称轴相交于P ，由于点A 和点B 关于对称轴对称，则BP+DP=AP+DP ，当A 、P 、D 共线时BP+DP=AP+DP 最小． 设直线AD 的解析式为y=kx+b ，将A （-2，0），D （2，2）分别代入解析式得， 2k b 0?2k b 2-+=⎧⎨+=⎩，解得，1k ?2b 1⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AD 解析式为y=12x+2． ∵二次函数的对称轴为1 12x 1222=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴当x=12时，y=12×12+2=54．∴P （12，54）． 24．如图，ABC ∆中，5AB AC ==，以AB 为直径作O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD ,DE .（1）求证：D 是BC 的中点；（2）若1tan 2ABC ∠=，求CE 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）85CE =【分析】（1）根据题意得出AD BD ⊥，再根据三线合一即可证明； （2）在Rt ABD ∆中，根据已知可求得，2CD BD ==，24BC CD ==，再证明CEDCBA ∆∆，得出CE CD BC AC =，代入数值即可得出CE. 【详解】（1）证明：AB 是O 的直径， AD BD ∴⊥，又AB AC =BD DC ∴=D ∴是BC 中点. （2）解：5AB AC ==1tan 2ABC ∠=， 2CD BD ∴==，24BC CD ==，ABC CED ∠=∠，C C ∠=∠，CED CBA ∴∆∆.CE CD BC AC∴=, 85CE ∴=. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握定理是解题的关键.25． “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.【答案】（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围．【详解】（1）由题意得：4030055150k b k b +=⎧⎨+=⎩ 10700k b =-⎧⇒⎨=⎩． 故y 与x 之间的函数关系式为：y=-10x+700，（2）由题意，得-10x+700≥240，解得x≤46，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x 2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∵-10＜0，∴x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴x=46时，w 大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；（3）w-150=-10x 2+1000x-21000-150=3600，-10（x-50）2=-250，x-50=±5，x 1=55，x 2=45，如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．26．如图，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,2),(3,4),(2,6)A B C ---，在给出的平面直角坐标系中； （1）画出ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒后得到的11AB C ∆；并直接写出1B ，1C 的坐标；（2）计算线段AB 旋转到1AB 位置时扫过的图形面积.【答案】（1）见解析，11(1,4),(3,3)B C ；（2）2π【分析】（1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1，从而得到△A 1B 1C 1； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，再利用扇形面积求法得出答案．【详解】解：如图，由图可知，11(1,4),(3,3)B C ．（2）由22AB =，∠BAB 1=90°，得：1290π2π360BAB S AB =⋅⋅=扇形. 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及三角形、扇形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．27．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点，则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ．(2)如图2，菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点．①求AE ，DE 的长；②AC ，BD 交于点O ，求tan ∠DBC 的值．【答案】 (1)见解析；(2)①22；②tan ∠DBC=77． 【分析】（1）①证明△ABE ≌△DCE （SAS ），得出△ABE ∽△DCE 即可；②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；③由自相似菱形的性质即可得出结论；（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出AB BE AE DE AEAD==，求出AE＝22，DE＝42即可；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M ＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝22AE AM-＝7，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE=90°，在△ABE和△DCE中AB CDABE DCEBE CE=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，故答案为：假命题；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C=180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE，当∠AED=∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，故答案为：真命题；(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE=2，AB=AD=4，由(1)③得：△ABE∽△DEA，∴AB BE AE DE AE AD==∴AE2=BE•AD=2×4=8，∴2DE=AB AEBE⋅=422⨯2，。
浙江省宁波市江北区2019-2020八年级上学期期末数学试卷 及答案解析
浙江省宁波市江北区2019-2020八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，不是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.已知三角形的两边长分别为8和4，则第三边长可能是()．A. 3B. 4C. 8D. 123.若a>b，则下列各式中一定成立的是()A. a+2<b+2B. a−2<b−2C. a2>b2D. −2a>−2b4.如图，点E、F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是()A. AD//BCB. DF//BEC. ∠A=∠CD. ∠D=∠B5.在平面直角坐标系中，点A(−2,1)与点B关于原点对称，则点B的坐标为()A. (−2,1)B. (2,−1)C. (2,1)D. (−2,−1)6.把直线y=3x向上平移4个单位后所得到直线的函数表达式是()A. y=3x−4B. y=3x+4；C. y=3(x−4)D. y=3(x+4)7.如图，DE是AC的垂直平分线，AB=8cm，BC=12cm，则△BAD的周长为()A. 22cmB. 20cmC. 18cmD.16cm8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=65°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为BD，则∠A′DC=()A. 40°B. 30°C. 25°D. 20°9.关于x的一元一次不等式组{2x−1<3(x−1)x<m有三个整数解，则m的取值范围是()A. 5≤m <6B. 5<m <6C. 5≤m ≤6D. 5<m ≤6 10. 一次函数y =−25x +2的图象与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，如图，以AB 为腰，∠BAC =90°，点C 在第一象限，作等腰Rt △ABC ，则直线BC 的解析式为( )A. y =35x +2B. y =−37x +2C. y =−35x +2D. y =37x +2 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11. 用不等式表示：x 的3倍不大于4 ．12. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______ ．13. 点M(2,−3)到x 轴的距离是______．14. 已知k =a b+c =b a+c =ca+b ，试判断直线y =kx +k 一定经过______ 象限．15. 已知一个等腰三角形一边长为3，周长为15，则它的腰长等于______．16. 在一次函数y =−2x +5的图像上有A(−3,y 1)、B(−√10,y 2)两点，那么y 1 y 2(填“>”、“=”、“<”)．17. 一次函数y =2x −6的图象与y 轴的交点坐标为_________．18. 如图，在等边三角形ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，点P 在AB 上，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60∘得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）19. 解下列不等式(组)：(1)5x −4<2(x +4)(2){5x +3≥2x 3x−12<4．20.如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)21.某市推出了电脑上网包月月制，每月收取费用y(元)与上网时间x(小时)之间的函数关系式如图所示，其中OA是线段，AC是射线．(1)当x≥30时，求y与x之间的函数关系式；(2)若小李4月份上网时间为20小时，他应付多少元上网费用；(3)若小李5月份上网费用为75元，则他在5月份的上网时间是多少？22.如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函y=kx+b的图象经过点A(−2,4)，且与正比例函数y=−2x的图象交于点B(a,2)．3(1)求a的值及一次函数y=kx+b的解析式；x<kx+b的解集；(2)直接写出关于x的不等式−23x的图象向下平移(3)若一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数y=−23m(m>0)个单位长度后经过点C，求m的值．24.在平面直角坐标系中，点A(0,4)，B(m,0)在坐标轴上，点C，O关于直线AB对称，点D在线段AB上．(1)如图1，若m=8，求AB的长；(2)如图2，若m=4，连接OD，在y轴上取一点E，使OD=DE，求证：CE=√2DE；(3)如图3，若m=4√3，在射线AO上裁取AF，使AF=BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A、B、C都是轴对称图形，D是中心对称图形，不是轴对称图形，故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是正确找出对称轴．2.答案：C解析：本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和8，∴8−4<x<8+4，即4<x<12．故选C．3.答案：C解析：解：(A)a+2>b+2，故A错误；(B)a−2>b−2，故B错误；(D)−2a<−2b，故D错误；故选：C．根据不等式的性质即可求出答案．本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型．4.答案：D解析：解：∠D=∠B，理由是：∵在△ADF和△CBE中{AD=BC ∠D=∠B DF=BE，∴△ADF≌△CBE(SAS)，即选项D正确；具备选项A、选项B，选项C的条件都不能推出两三角形全等，故选：D．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上定理逐个进行判断即可．本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．5.答案：B解析：解：∵点A坐标为(−2,1)，∴点B的坐标为(2,−1)．故选B．关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)．6.答案：B解析：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．解：由“上加下减”的原则可知，将直线y=4x向上平移2个单位后，所得直线的表达式是y =3x +4．故选B ．7.答案：B解析：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，属于基础题．根据线段的垂直平分线的性质得到DA = DC ，根据三角形的周长公式计算出结果即可。
《试卷3份集锦》宁波市江北某名校初中2019-2020年九年级上学期期末监测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次函数y ＝x 2+4x+3，当0≤x≤12时，y 的最大值为（ ）A ．3B ．7C ．194 D ．214【答案】D【解析】利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【详解】解：y ＝x 2+4x+3＝x 2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，则当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而增大，∴当x ＝12时，y 的最大值为（12）2+4×12+3＝214，故选：D ．【点睛】本题考查配方法把二次函数解析式化为顶点式根据二次函数性质解答的运用2．已知抛物线y=x 2－8x+c 的顶点在x 轴上，则c 的值是（ ）A ．16B ．-4C ．4D ．8【答案】A【分析】顶点在x 轴上,所以顶点的纵坐标是0.据此作答.【详解】∵二次函数y=2x -8x+c 的顶点的横坐标为x=- 2b a = -82 =4，∵顶点在x 轴上，∴顶点的坐标是(4，0)，把(4，0)代入y=2x -8x+c 中，得：16-32+c=0，解得：c=16，故答案为A【点睛】本题考查求抛物线顶点纵坐标的公式,比较简单.3．如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为菱形，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C ，D 分别在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于（ ）A 5B ．3C ．5D ．20【答案】C 【分析】根据题意和勾股定理可得AB 长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），∴OA ＝2，OB ＝1， ∴2222215AB OA OB +=+=∴菱形ABCD 的周长等于4AB ＝5故选：C ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB 的长是解题关键．4．下列命题中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互 相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】C【解析】试题分析：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A 选项错误；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 选项错误；C 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C 选项正确；D 、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D 选项错误．故选C ．考点：命题与定理．5．如图，AOB 是直角三角形，90AOB ∠=，2OB OA =，点A 在反比例函数1y x=的图象上．若点B 在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-4【答案】D 【分析】要求函数的解析式只要求出B 点的坐标就可以，过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，根据条件得到ACO ODB ~，得到：2BD OD OB OC AC OA===，然后用待定系数法即可. 【详解】过点A 、B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，分别于C 、D ，设点A 的坐标是(),m n ，则AC n =，OC m =，90AOB ∠=︒，∴90AOC BOD ∠+∠=︒，90DBO BOD ∠+∠=︒，∴DBO AOC ∠=∠， 90BDO ACO ∠=∠=︒，∴BDO OCA ~，∴BD OD OB OC AC OA==， 2OB OA =，∴2BD m =，2OD n =，因为点A 在反比例函数1y x =的图象上，则1mn =， 点B 在反比例函数k y x=的图象上，B 点的坐标是()2,2n m -， ∴2244k n m mn =-⋅=-=-.故选：D .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式.6．若一次函数 y=ax+b （a≠0）的图像与 x 轴交点坐标为（2，0），则抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为( ) A ．直线 x=1B ．直线 x=-1C ．直线 x=2D ．直线 x=-2 【答案】A【分析】先将（2，0）代入一次函数解析式y ＝ax ＋b ，得到2a ＋b ＝0，即b ＝-2a ，再根据抛物线y=ax 2+bx+c的对称轴为直线x ＝2b a -即可求解． 【详解】解：∵一次函数y ＝ax ＋b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（2，0），∴2a ＋b ＝0，即b ＝-2a ，∴抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝2122b a a a --=-=． 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2b a -． 7．函数2y x =-与函数12y x=-在同一坐标系中的大致图象是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【分析】根据函数2y x =-与函数12y x =-分别确定图象即可得出答案． 【详解】∵2y x =-，-2＜0，∴图象经过二、四象限，∵函数12y x=-中系数小于0， ∴图象在一、三象限．故选：B ．【点睛】此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键．8．如图，将两张长为10，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么，菱形周长的最大值为（）A．265B．845C．1045D．21【答案】C【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．【详解】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，在Rt△ABC中，由勾股定理：x2＝（10﹣x）2+22，解得：x＝265，∴4x＝1045，即菱形的最大周长为1045cm．故选：C．【点睛】此题考查矩形的性质，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．9．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若2 tan5BAC∠=，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解：因为2tan5BCBACAC＝∠=，又BC＝30，所以，3025AC＝，解得：AC＝75m，所以，故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.10．《代数学》中记载，形如21039x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为392564+=，则该方程的正数解为853-=．”小聪按此方法解关于x 的方程260x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）A ．6B ．353C ．352D ．3352 【答案】B 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为32，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【详解】x 2+6x+m=0，x 2+6x=-m ，∵阴影部分的面积为36，∴x 2+6x=36，4x=6，x=32， 同理：先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为32x 的矩形，得到大正方形的面积为36+（32）2×4=36+9=45453353=． 故选：B ．【点睛】 此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）A．2 B．2.5 C．3 D．4【答案】B【解析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】如图：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12．如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．45°C．35°D．30°【答案】C【分析】先根据垂径定理得出AB=AC，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，∴AB=AC，∴∠ADC=12∠AOB=35°．故选C．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．【答案】3 8【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个地板中所占的比值63 168=，∴小球最终停留在黑色区域的概率是38，故答案为：38．【点睛】本题考查了几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．14．如图，D在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边AD一个动点，将△ABE沿BE对折成△BEF，则线段DF 长的最小值为_____．【答案】134-【分析】连接DF、BD，根据DF＞BD−BF可知当点F落在BD上时，DF取得最小值，且最小值为BD−BF的长，然后根据矩形的折叠性质进一步求解即可.【详解】如图，连接DF、BD，由图可知，DF ＞BD−BF ，当点F 落在BD 上时，DF 取得最小值，且最小值为BD−BF 的长，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=4、BC=6，∴222264213BC CD +=+=由折叠性质知AB=BF=4，∴线段DF 长度的最小值为BD−BF=2134， 故答案为：134.【点睛】本题主要考查了矩形的折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.15．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________．【答案】3：1【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：21∴两个相似三角形的相似比是3：1∴对应边上的中线的比为3：1故答案为：3：1．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．16．已知方程22210x kx k +-+=的两实数根的平方和为294，则k 的值为____． 【答案】3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出12x x +和12x x 的值，然后将平方和变形为12x x +和12x x 的形式，代入便可求得k 的值．【详解】∵22210x kx k +-+=，设方程的两个解为12x x 、 则122k x x +=-，12212k x x -+= ∵两实根的平方和为294，即()()2212x x +=294∴()()()2222121212292122422k k x x x x x x -+⎛⎫=+=+-=-- ⎪⎝⎭解得：k=3或k=－11∵当k=－11时，一元二次方程的△＜0，不符，需要舍去故答案为：3【点睛】本题考查根与系数的关系，注意在最后求解出2个值后，有一个值不符需要舍去．17．如图，直线l 1∥l 2，直线l 3与l 1、l 2分别交于点A 、B ．若∠1＝69°，则∠2的度数为_____．【答案】111°【分析】根据平行线的性质求出∠3＝∠1＝69°，即可求出答案．【详解】解：∵直线l 1∥l 2，∠1＝69°，∴∠3＝∠1＝69°，∴∠2＝180°﹣∠3＝111°，故答案为111°．【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，同位角相等．18．若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为_____________．【答案】5m <且1m ≠【解析】试题解析: ∵一元二次方程()21410m x x --+=有两个不相等的实数根， ∴m−1≠0且△=16−4(m−1)>0，解得m<5且m≠1，∴m 的取值范围为m<5且m≠1.故答案为:m<5且m≠1.点睛:一元二次方程()200.ax bx c a ++=≠方程有两个不相等的实数根时:0.∆>三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，一次函数y= -x+b 的图象与反比例函数k y x=（x>0）的图象交于点A （m , 3）和B （3 , n ）.过A 作AC ⊥x 轴于C ，交OB 于E ，且EB = 2EO （1）求一次函数和反比例函数解析式（2）点P 是线段AB 上异于A ，B 的一点，过P 作PD ⊥x 轴于D ，若四边形APDC 面积为S ，求S 的取值范围.【答案】（1）y=-x+4，3y x=，（2）0<S<4 【分析】（1）由 2EB EO =得：13OE OB =，由B 点横坐标为3得A 点的横坐标为1，将点()1?3A ，代入解析式即可求得答案； （2）设P 的坐标为() ,4?a a -+，由于点P 在线段AB 上，从而可知4PD a =-+， OD a =，由题意可知：13a <<，从而可求出S 的范围.【详解】（1）由 2EB EO =得：13OE OB =， ∵B 点横坐标为3，∴A 点的横坐标为1，即1m =. ∵点()1?3A ，在直线y x b =-+ 及k y x =上， ∴31b =-+及31k =， 解得：4?,?3b k ==， ∴一次函数的解析式为：4y x =-+，反比例函数的解析式为：3y x=； （2）设P 点坐标为(),4?(13)a a a -+<<， S=1()2AC PD CD +=12()() 341a a +－－ ()219422a =--+，∵1 02-< ， ∴当4a <时，S 随a 的增大而增大，∵当1a =时，0S =；3a =时4?S =，∵13a <<，∴04S <<.【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，学会设参数解决问题．20．如图，为测量一条河的宽度， 某学习小组在河南岸的点A 测得河北岸的树C 在点A 的北偏东60°方向，然后向东走10米到达B 点，测得树C 在点B 的北偏东30°方向，试根据学习小组的测量数据计算河宽.【答案】53米【分析】如图（见解析），过点A 作AE CD ⊥于点E ，过B 作BF CD ⊥于点F ，设河宽为x 米，则AE BF x ==，在Rt ACE ∆和Rt BCF ∆中分别利用tan 60︒和tan30︒建立x 的等式，求解即可.【详解】过点A 作AE CD ⊥于点E ，过B 作BF CD ⊥于点F设河宽为x 米，则AE BF x ==依题意得10,60,30EF AB CAE CBF ==∠=︒∠=︒在Rt ACE ∆中，tan CE CAE AE∠=，即tan 60CE x ︒= 解得：tan 603CE x x =︒=则310CF CE EF x =-=-在Rt BCF ∆中，tan CF CBF BF ∠=，即310tan30x -︒= 解得：53x =（米）答：根据学习小组的测量数据计算出河宽为53米.【点睛】本题考查了锐角三角函数中的正切的实际应用，依据题意构造出直角三角形是解题关键.21．关于x 的方程2(2)04m mx m x +++=有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m 的取值范围为m ＞﹣1且m≠1；（2）不存在符合条件的实数m ，理由见解析 .【解析】试题分析：（1）由于x 的方程mx 2+（m+2）x+4m =1有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于m 的不等式，解不等式即可求解； （2）不存在符合条件的实数m ．设方程mx 2+（m+2）x+4m =1的两根分别为x 1、x 2，由根与系数关系有：x 1+x 2=-2m m +，x 1•x 2=14，又11x +21x =1212x x x x +，然后把前面的等式代入其中即可求m ，然后利用（1）即可判定结果.试题解析：（1）由2=(2)404m m m +-⨯⋅>，得m ＞﹣1， 又∵m≠1∴m 的取值范围为m ＞﹣1且m≠1；（2）不存在符合条件的实数m ． 设方程两根为x 1，x 2则121212214110m x x m x x x x ⎧++=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩， 解得m=﹣2，此时△＜1．∴原方程无解，故不存在．22．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y 2x 80=-+. 设这种产品每天的销售利润为w 元.（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2w 2x 120x 1600=-+-；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.【解析】试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.试题解析：（1）由题意得：()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-，∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-.（2）()22w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.23．某商场以每件20元购进一批衬衫，若以每件40元出售，则每天可售出60件，经调查发现，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，若设每件衬衫涨价x 元，回答下列问题：（1）该商场每天售出衬衫 件（用含x 的代数式表示）；（2）求x 的值为多少时，商场平均每天获利1050元？（3）该商场平均每天获利 （填“能”或“不能”）达到1250元？【答案】（1）602x -；（2）当15x =时，商场平均每天获利1050元；（3）能【分析】(1)根据题意写出答案即可.(2)根据题意列出方程,解出答案即可.(3)令利润代数式为1250,解出即可判断.【详解】（1）根据题意：每天可售出60件，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，则商场每天售出衬衫：602x -（2）(4020)(602)1050x x +--=解得115x =，25x =-（不符合题意，舍去）.答：当15x =时，商场平均每天获利1050元.（3）根据题意可得：(4020)(602)1250x x +--=解得：x=5所以，商场平均每天获利能达到1250元【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于理解题意找出等量关系.24．如图，已知()4A n -，，()12B -，是一次函数y kx b =+与反比例函数()0m y m x=<图象的两个交点，AC x ⊥轴于点C ，BD y ⊥轴于点D ．（1）求一次函数的解析式及m 的值；（2）P 是线段AB 上的一点，连结PC PD 、，若PCA ∆和PBD ∆的面积相等，求点P 的坐标．【答案】（1）1522y x =+，m 的值为-2;（2）P 点坐标为55(,)24-. 【分析】（1）由已知条件求出点A ，及m 的值，将点A ，点B 代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）设P 点坐标为15(,)22t t +，根据“PCA ∆和PBD ∆的面积相等”，表达出两个三角形的面积，求出点P 坐标．【详解】（1）把B （-1，2）代入m y x=中得2m =- (4,)A n -在反比例函数m y x=图象上 42n ∴-=-12n = ∴1(4,)2A - 1(4,),(1,2)2A B --都在一次函数y kx b =+图象上 1422k b k b ⎧-+=⎪∴⎨⎪-+=⎩ 解得1252k b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴一次函数解析式为1522y x =+，m 的值为-2 （2）设P 点坐标为15(,)22t t + 则111(4)1224PAC S t t =⨯⨯+=+ 115111(2)22244PAC S t t =⨯⨯--=-- PAC PBD S S =1111444t t ∴+=-- 5155,2224t t =-+= ∴P 点坐标为55(,)24- 【点睛】本题考查了反比例函数一次函数，反比例函数与几何的综合知识，解题的关键是灵活运用函数与几何的知识．25．已知关于x 的方程：（m ﹣2）x 2+x ﹣2＝0（1）若方程有实数根，求m 的取值范围．（2）若方程的两实数根为x 1、x 2，且x 12+x 22＝5，求m 的值．【答案】（1）m≥158；（2）m ＝3 【分析】（1）根据判别式即可求出答案；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：（1）当m ﹣2≠0时，△＝1+8（m ﹣2）≥0，∴m≥158且m≠2， 当m ﹣2＝0时，x ﹣2＝0，符合题意， 综上所述，m≥158 （2）由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝12m --，x 1x 2＝22m --， ∵x 12+x 22＝5，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝5， ∴21(2)m -+42m - ＝5， ∴12m -＝1或12m -＝﹣5， ∴m ＝3或m ＝95（舍去）． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．26x ，小数部分为y ；（1）直接写出x =_________，y =__________；（2）计算)21y y +的值.【答案】（1）1x =，1y =；（2）6-.【分析】先根据算术平方根的定义得到1＜3＜2，则x=1，y=3-1，然后把x 、y 的值代入()231y y ++，再进行二次根式的混合运算即可．【详解】解： 解：∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴x=1，y=3-1，（2）当31y =-时，原式()()()2313131=+-+- ()()222313231=-+-+623=-【点睛】本题考查估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查二次根式的混合运算．27．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33m 的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门，能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米（围栏宽忽略不计)．()1每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；()2每个生态园的面积_ (填“能”或“不能”）达到108平方米．(直接填答案）【答案】（1）每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米；理由见详解（2）不能，理由见详解．【分析】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x 米，根据题意可知围栏总长33m ，所围成的图形是矩形，可得平行于墙的边长为()33+1.523x ⨯- 米，由此可得方程为()33+1.523482x x ⨯-=⨯，解方程即可． （2）由（1）可知生态园的面积为：()33+1.523S x x =⨯-，把每个生态园的面积为108平方米代入解析式，然后根据根的判别式来得出答案．【详解】（1）解：设每个生态园垂直于墙的边长为x 米， 根据题意得：()33+1.523482x x ⨯-=⨯整理，得：212320x x +=﹣，解得：1=4x 、2=8x （不合题意，舍去），∴ 当=4x 时，33+1.523363424x ⨯-=-⨯=，∴242=12÷．答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米． （2）由（1）及题意可知：()33+1.5231082x x ⨯-=⨯整理得：212720x x +=﹣()22=41241721440b ac ∆-=--⨯⨯=-＜∴原方程无实数根∴每个生态园的面积不能达到108平方米．故答案为：不能．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是通过题意设出未知数得到平行于墙的边长，要注意每个生态园开有1.5m 的门，然后根据题意列出一元二次方程即可；在解第二问时要注意利用一元二次方程根的判别式来分析．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣4 【答案】A【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：∵方程240x x c -+=有两个相等的实数根，∴2(4)411640c c =--⨯⨯=-=，解得：4c =．故选A ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．2．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】试题解析：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率=35． 故选C ．考点：1.概率公式；2.中心对称图形．3．甲袋中装有形状、大小与质地都相同的红球3个，乙袋中装有形状、大小与质地都相同的红球2个，黄球1个，下列事件为随机事件的是（ ）A ．从甲袋中随机摸出1个球，是黄球B ．从甲袋中随机摸出1个球，是红球C ．从乙袋中随机摸出1个球，是红球或黄球D ．从乙袋中随机摸出1个球，是黄球【答案】D【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A ．从甲袋中随机摸出1个球，是黄球是不可能事件；B ．从甲袋中随机摸出1个球，是红球是必然事件；C ．从乙袋中随机摸出1个球，是红球或黄球是必然事件；D ．从乙袋中随机摸出1个球，是黄球是随机事件．故选：D ．【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．如图所示的是太原市某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC 段可看成是双曲线的一部分，其中，矩形AOEB 中有一个向上攀爬的梯子，5OA =米，入口//AB OD ，且2AB =米，出口C 点距水面的距离CD 为1米，则点B C 、之间的水平距离DE 的长度为（ ）A ．5米B ．6米C ．10米D ．8米【答案】D 【分析】根据题意B 、C 所在的双曲线为反比例函数，B 点的坐标已知为B （2,5），代入即可求出反比例函数的解析式：y=10x ，C （x ，1）代入y=10x 中，求出C 点横坐标为10，可以得出DE=OD-OE 即可求出答案.【详解】解：设B 、C 所在的反比例函数为y=k xB （x B,y B ） ∴ x B =OE=AB=2 y B =EB=OA=5 代入反比例函数式中 5=2k 得到 k=10 ∴y=10x ∵ C(x C, y C ) y C =CD=1 代入y=10x中 ∴ 1= x C =10∴ DE=OD-OE= x C - x B =10-2=8故选D【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，根据已知参数求出反比例函数解析式是解题的关键.5．用16米长的铝制材料制成一个矩形窗框，使它的面积为9平方米，若设它的一边长为x ，根据题意可列出关于x 的方程为（ ）A ．()89x x +=B ．()89x x -=C ．()169x x -=D ．()1629x x -= 【答案】B【分析】一边长为x 米，则另外一边长为：8-x ，根据它的面积为9平方米，即可列出方程式．【详解】一边长为x 米，则另外一边长为：8-x ，由题意得：x （8-x ）=9，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽相出一元二次方程，解题的关键读懂题意列出方程式．6．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x = 【答案】C【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =．故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．7．以下事件为必然事件的是（ ）A ．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于6B ．多边形的内角和是360︒C ．二次函数的图象不过原点D ．半径为2的圆的周长是4π【答案】D【分析】必然事件是指一定会发生的事件，概率为1，根据该性质判断即可． 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，每一面朝上的概率为16，而小于6的情况有5种，因此概率为56，不是必然事件，所以A 选项错误；多边形内角和公式为()2180n -︒，不是一个定值，而是随着多边形的边数n 的变化而变化，所以B 选项错误；二次函数解析式的一般形式为2y ax bx c =++()0a ≠，而当c=1时，二次函数图象经过原点，因此不是必然事件，所以C 选项错误；圆周长公式为2C r π=，当r=2时，圆的周长为4π，所以D 选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了必然事件的概念，关键是根据不同选项所包含的知识点的概念进行判断对错；必然事件发生的概率为1，随机事件发生的概率为1<P<1，不可能事件发生的概率为1．8．若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（ ）A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位【答案】A【解析】先确定抛物线y=x 1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．【详解】解：抛物线y=x 1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0）， 因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），所以把抛物线y=x 1向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）1．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．9．用一个4倍放大镜照△ABC ，下列说法错误的是（ ）A ．△ABC 放大后，∠B 是原来的4倍B ．△ABC 放大后，边AB 是原来的4倍C ．△ABC 放大后，周长是原来的4倍D ．△ABC 放大后，面积是原来的16倍【答案】A【解析】试题分析：用一个4倍放大镜照△ABC ，放大后与原三角形相似且相似比为1：4，相似三角形对应角相等，对应边的比等于相似比、对应周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故A 选项错误．故选A ．考点：相似三角形的性质．10．下列说法正确的是（ ）A ．菱形都是相似图形B ．矩形都是相似图形C ．等边三角形都是相似图形D ．各边对应成比例的多边形是相似多边形【答案】C 【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；B 、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；C 、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；D 、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，故选：C ．【点睛】考查了相似图形的定义，解题的关键是牢记相似多边形的定义，难度较小．11．将二次函数y=2x 2-4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ）A ．y=2(x+1)2+1B ．y=2(x+1)2+3C ．y=2(x-3)2+1D ．y=-2(x-3)2+3 【答案】A【分析】先配方成顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”解答即可．【详解】由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x 2-4x+4配方成()2y 2x 12=-+的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得以新的抛物线的表达式是y=2(x+1)2+1，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，由y=ax 2平移得到y=a （x-h ）2+k ，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．12．已知一扇形的圆心角为60︒，半径为5，则以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为（ ） A ．53π B ．10π C ．56π D ．16π 【答案】A【分析】利用弧长公式计算出扇形的弧长，以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长即是扇形的弧长. 【详解】解：扇形的弧长＝60?••55=180?3， 以此扇形为侧面的圆锥的底面圆的周长为53π． 故选：A ．【点睛】。
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2019-2020学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（4分）成语“水中捞月”所描述的事件是( ) A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定2．（4分）若25a b =，则(ab= ) A ．25B ．52C ．2D ．53．（4分）如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（4分）O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，下列位置关系正确的是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）在中华人民共和国成立70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），在这14个字符中，随机抽取一个数字或字母，则抽取到数字“9”的概率为( )A ．37B ．314C ．326D ．1126．（4分）如图，在方格纸中，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ABC ∠的值是( )A ．2B ．12C ．55D ．57．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．则BCD ∆与ABC ∆的周长之比为( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:58．（4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A ．0a <B ．0b >C ．240b ac ->D ．0a b c ++<9．（4分）已知：在ABC ∆中，78A ∠=︒，4AB =，6AC =，下列阴影部分的三角形与原ABC ∆不相似的是( )A ．B ．C ．D ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 画圆弧，则点B 与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是( )A ．(5,2)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(6,2)11．（4分）如图，O 的半径为5，将长为8的线段PQ 的两端放在圆周上同时滑动，如果点P 从点A 出发按逆时针方向滑动一周回到点A ，在这个过程中，线段PQ 扫过区域的面积为( )A ．9πB ．16πC ．25πD ．64π12．（4分）已知二次函数21(52)y x bx b =--+-<<，则函数图象随着b 的逐渐增大而( )A ．先往右上方移动，再往右平移B ．先往左下方移动，再往左平移C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往左下方移动，再往左上方移动 二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）比较三角函数值的大小：sin 30︒ cos30︒（填入“>”或“<” )． 14．（4分）底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于 ． 15．（4分）抛物线(1)(3)y x x =--的对称轴是直线x = ．16．（4分）如图，已知在ABC ∆中，AB AC =．以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ．若40BAC ∠=︒，则AD 的度数是 度．17．（4分）如图，在ABCEF AB，DE BC，//∆中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，//CF=，则DE的长为．:5:3AD BD=，618．（4分）如图，已知O的半径为2，弦23∆AB=，点P为优弧APB上动点，点I为PAB 的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为．三、解答题（本大题有8小题，第19题6分，第20，21，22题各8分，第23题10分，第24题12分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：03|2|202022sin308-+-︒+20．（8分）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加知识竞赛的学生共有 人，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中，m = ，n = ，C 等级对应的圆心角为 度；（3）小明是四名获A 等级的学生中的一位，学校将从获A 等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率． 21．（8分）已知二次函数223y x x =--（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象； （2）根据图象直接回答：当0y <时，求x 的取值范围；当3y >-时，求x 的取值范围．22．（8分）如图，某航天飞机在地球表面点P 的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q ，即AQ 是O 的切线，若QAP α∠=，地球半径为R ， 求：（1）航天飞机距地球表面的最近距离AP 的长；（2）P 、Q 两点间的地面距离，即PQ 的长．（注：本题最后结果均用含α，R 的代数式表示）23．（10分）如图，直线MN 交O 于A ，B 两点，AC 是O 直径，CAM ∠的平分线交O 于点D ，过点D 作DE MN ⊥于点E ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）若6DE cm =，3AE cm =，求O 的半径．24．（12分）（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，点1E ，2E 是AB 三等分点，点1F ，2F 是CD 三等分点，11E F ，22E F 分别交AC 于点1G ，2G ，求证：1122AG G G G C ==．（2）如图2，由64个边长为1的小正方形组成的一个网格图，线段MN 的两个端点在格点上，请用一把无刻度的尺子，画出线段MN 三等分点P ，Q ．（保留作图痕迹）25．（12分）每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏． （1）写出月销售利润y （单位：元）与销售价x （单位：元/盏）之间的函数表达式； （2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？ 26．（14分）问题提出：如图1，在等边ABC ∆中，9AB =，C 半径为3，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求13AP BP +的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP 转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整）如图2，连结CP ，在CB 上取点D ，使1CD =，则有13CD CP CP CB == 又PCD ∠=∠ △ ∽△ ∴13PD BP = 13PD BP ∴=13AP BP AP PD ∴+=+∴当A ，P ，D 三点共线时，AP PD +取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：13AP BP +的最小值为 ．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD 中，6BC =，8AB =，P 为矩形内部一点，且4PB =，则12AP PC +的最小值为 ．（请在图3中添加相应的辅助线） （3）拓展延伸：如图4，在扇形COD 中，O 为圆心，120COD ∠=︒，4OC =．2OA =，3OB =，点P 是CD 上一点，求2PA PB +的最小值，画出示意图并写出求解过程．参考答案一、选择题（每小题4分，共48分，在每个小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）成语“水中捞月”所描述的事件是( ) A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定解：水中捞月是不可能事件， 故选：C ．2．（4分）若25a b =，则(ab= ) A ．25B ．52C ．2D ．5解：两边都除以2b ，得 52a b =， 故选：B ．3．（4分）如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．解：它的主视图是：故选：C．4．（4分）O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，下列位置关系正确的是() A．B．C．D．解：O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，53>，即：d r<，∴直线L与O的位置关系是相交．故选：B．5．（4分）在中华人民共和国成立70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），在这14个字符中，随机抽取一个数字或字母，则抽取到数字“9”的概率为()A．37B．314C．326D．112解：由题意可得：9出现3次，故在这14个字符中，随机抽取一个数字或字母，则抽取到数字“9”的概率为：314．故选：B．6．（4分）如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan ABC∠的值是()A．2B．12C55D5解：作AE BC ⊥．90AEC ∠=︒，4AE =，2BE =，4tan 22AE ABC BE ∴∠===， 故选：A ．7．（4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．则BCD ∆与ABC ∆的周长之比为( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:5解：B B ∠=∠，90BDC BCA ∠=∠=︒， BCD BAC ∴∆∆∽；① 30BCD A ∴∠=∠=︒；Rt BCD ∆中，30BCD ∠=︒，则2BC BD =；由①得：::1:2BCD BAC C C BD BC ∆∆==； 故选：A ．8．（4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A ．0a <B ．0b >C ．240b ac ->D ．0a b c ++<解：A 、抛物线开口向下，则0a <，所以A 选项的关系式正确；B 、抛物线的对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，则0b >，所以B 选项的关系式正确；C 、抛物线与x 轴有2个交点，则△240b ac =->，所以D 选项的关系式正确；D 、当1x =时，0y >，则0a b c ++>，所以D 选项的关系式错误．故选：D ．9．（4分）已知：在ABC ∆中，78A ∠=︒，4AB =，6AC =，下列阴影部分的三角形与原ABC ∆不相似的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 画圆弧，则点B 与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是( )A ．(5,2)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(6,2)解：如图，过格点A ，B ，C 画圆弧，则点B 与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(6,2)．故选：D ．11．（4分）如图，O 的半径为5，将长为8的线段PQ 的两端放在圆周上同时滑动，如果点P 从点A 出发按逆时针方向滑动一周回到点A ，在这个过程中，线段PQ 扫过区域的面积为( )A ．9πB ．16πC ．25πD ．64π解：如图，线段PQ 扫过的面积是图中圆环面积．作OE PQ ⊥于E ，连接OQ ．OE PQ ⊥，142EQ PQ ∴==， 5OQ =，2222543OE OQ QE ∴=-=-=，∴线段PQ 扫过区域的面积225316πππ=-=，故选：B ．12．（4分）已知二次函数21(52)y x bx b =--+-<<，则函数图象随着b 的逐渐增大而( )A ．先往右上方移动，再往右平移B ．先往左下方移动，再往左平移C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往左下方移动，再往左上方移动解：二次函数21(52)y x bx b =--+-<<，当5b =-时，251y x x =-++2529()24x =--+ 顶点坐标为5(2，29)4；当0b =时，21y x =-+顶点坐标为(0,1)；当2b =时，221y x x =--+2(1)2x =-++顶点坐标为(1,2)-．故函数图象随着b 的逐渐增大而先往左下方移动，再往左上方移动．故选：D ．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）比较三角函数值的大小：sin 30︒ < cos30︒（填入“>”或“<” )．解：1sin 302︒=，cos30︒=．sin 30cos30∴︒<︒．故答案为：<．14．（4分）底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于 2π ．解：圆锥的侧面积2222ππ=⨯÷=．故答案为：2π．15．（4分）抛物线(1)(3)y x x =--的对称轴是直线x = 2 ． 解：抛物线22(1)(3)43(2)1y x x x x x =--=-+=--，∴该抛物线的对称轴是直线2x =，故答案为：2．16．（4分）如图，已知在ABC ∆中，AB AC =．以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D ．若40BAC ∠=︒，则AD 的度数是 140 度．解：连接AD 、OD ，AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，即AD BC ⊥，AB AC =，1202BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠=︒，BD DC =， 70ABD ∴∠=︒，140AOD ∴∠=︒ ∴AD 的度数为140︒；故答案为140．17．（4分）如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，//DE BC ，//EF AB ，:5:3AD BD =，6CF =，则DE 的长为 10 ．解：//DE BC ， ∴53AE AD EC DB ==，AED C ∠=∠， //EF AB ，CEF A ∴∠=∠，又AED C ∠=∠，AED ECF ∴∆∆∽，∴53DE AE FC EC ==，即563DE =， 解得，10DE =，故答案为：10．18．（4分）如图，已知O 的半径为2，弦23AB =，点P 为优弧APB 上动点，点I 为PAB ∆的内心，当点P 从点A 向点B 运动时，点I 移动的路径长为 43π ．解：连接OB ，OA ，过O 作OD AB ⊥，132AD BD AB ∴===， 2OA OB ==，1OD ∴=，60AOD BOD ∴∠=∠=︒，120AOB ∴∠=︒，1602P AOB ∴∠=∠=︒， 连接IA ，IB ，点I 为PAB ∆的内心，12IAB PAB ∴∠=∠，12IBA PBA ∠=∠， 120PAB PBA ∠+∠=︒，1180()1202AIB PAB PBA ∴∠=︒-∠+∠=︒， 点P 为弧AB 上动点，P ∴∠始终等于60︒，∴点I 在以AB 为弦，并且所对的圆周角为120︒的一段劣弧上运动，设A ，B ，I 三点所在的圆的圆心为O '，连接O A '，O B '，则120AO B ∠'=︒，O A O B '='，30O AB O BA ∴∠'=''=︒，连接O D '，AD BD =，O D AB ∴'⊥，2cos30AD AO ∴'===︒，∴点I 移动的路径长120241803ππ==． 故答案为：43π． 三、解答题（本大题有8小题，第19题6分，第20，21，22题各8分，第23题10分，第24题12分，第25题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：0|202030+-︒+解：0|202030+-︒+1122=+-+ 3=20．（8分）我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）参加知识竞赛的学生共有40人，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中，m=，n=，C等级对应的圆心角为度；（3）小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．解：（1）1230%40÷=人，4020%8⨯=人，故答案为：40，补全条形统计图如图所示：（2）44010%÷=，164040%÷=，36040%144︒⨯=︒．故答案为：10，40，144；（3）设除小明以外的三个人记作A、B、C，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：共有12中可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为61 122=．21．（8分）已知二次函数223y x x =--（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；（2）根据图象直接回答：当0y <时，求x 的取值范围；当3y >-时，求x 的取值范围．解：（1）2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)-，当0x =时，2233y x x =--=-，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)-， 当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，则抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，(3,0)， 如图，（2）当13x -<<时，0y <；当0x <或2x >时，3y >-．22．（8分）如图，某航天飞机在地球表面点P 的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q ，即AQ 是O 的切线，若QAP α∠=，地球半径为R ， 求：（1）航天飞机距地球表面的最近距离AP 的长；（2）P 、Q 两点间的地面距离，即PQ 的长．（注：本题最后结果均用含α，R 的代数式表示）解：（1）由题意，从A 处观测到地球上的最远点Q ，AQ ∴是O 的切线，切点为Q ，连接OQ ，则OQ 垂直于AQ ，如图则在直角OAQ ∆中有sin R R APα=+， 即sin R AP R α=-； （2）在直角OAQ ∆中则90O α∠=︒-，由弧长公式得PQ 的长(90)180R απ-=．23．（10分）如图，直线MN交O于A，B两点，AC是O直径，CAM∠的平分线交O 于点D，过点D作DE MN⊥于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若6=，求O的半径．AE cm=，3DE cm【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：OA OD=，∴∠=∠，32AD平分CAM∠，21∴∠=∠，∴∠=∠，13∴，//MN OD⊥，DE MN∴⊥，DE OD∴是O的切线；DE（2）解：连接CD，如图所示：AC是O的直径，∴∠=︒，ADC902222AD DE AE cm∴=+=+=，6335()⊥，DE MN∴∠=︒，90AEDADC AED ∴∠=∠，又21∠=∠， ADC AED ∴∆∆∽， ∴AC ADAD AE=， 即35335AC =， 15()AC cm ∴=， 11522OA AC cm ∴==， 即O 的半径为152cm ．24．（12分）（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，点1E ，2E 是AB 三等分点，点1F ，2F 是CD 三等分点，11E F ，22E F 分别交AC 于点1G ，2G ，求证：1122AG G G G C ==．（2）如图2，由64个边长为1的小正方形组成的一个网格图，线段MN 的两个端点在格点上，请用一把无刻度的尺子，画出线段MN 三等分点P ，Q ．（保留作图痕迹）【解答】（1）证明：如图1中，四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ，//AD BC ，113DF CD =，113AE AB =，11DF AE ∴=，∴四边形11ADF E 是平行四边形，11//AD E F ∴， 11//E G BC ∴， ∴113AG AE AC AB ==， 同法可证：2213CG CF CA CD ==， 1213AG CG AC ∴==， 1122AG G G G C ∴==．（2）如图，点P ，Q 即为所求．25．（12分）每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏． （1）写出月销售利润y （单位：元）与销售价x （单位：元/盏）之间的函数表达式； （2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？ 解：（1）设售价为x 元/盏，月销售利润y 元，根据题意得：2(30)[20010(80)]10130030000y x x x x =-+-=-+-；（2）221013003000010(65)12250y x x x =-+-=--+，∴当销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．26．（14分）问题提出：如图1，在等边ABC ∆中，9AB =，C 半径为3，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求13AP BP +的最小值（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP 转化为某一条线段长，具体方法如下：（请把下面的过程填写完整） 如图2，连结CP ，在CB 上取点D ，使1CD =，则有13CD CP CP CB == 又PCD ∠=∠ BCP △ ∽△ ∴13PD BP = 13PD BP ∴=13AP BP AP PD ∴+=+∴当A ，P ，D 三点共线时，AP PD +取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：13AP BP +的最小值为 ．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD 中，6BC =，8AB =，P 为矩形内部一点，且4PB =，则12AP PC +的最小值为 ．（请在图3中添加相应的辅助线）（3）拓展延伸：如图4，在扇形COD 中，O 为圆心，120COD ∠=︒，4OC =．2OA =，3OB =，点P 是CD 上一点，求2PA PB +的最小值，画出示意图并写出求解过程．解：（1）如图1，连结AD ，过点A 作AF CB ⊥于点F ， 13AP BP AP PD +=+，要使13AP BP +最小，AP AD ∴+最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP AD +最小， 即：13AP BP +最小值为AD ，9AC =，AF BC ⊥，60ACB ∠=︒92CF ∴=，932AF =9322DF CF CD ∴=-=-=，2273AD AF DF ∴=+=12AP BP ∴+73； 73；（2）如图2，在AB 上截取2BF =，连接PF ，PC ， 8AB =，4PB =，2BF =， ∴12BP BFAB BP==，且ABP ABP ∠=∠， ABP PBF ∴∆∆∽， ∴12FP BP AP AB ==，12PF AP ∴= ∴12AP PC PF PC +=+， ∴当点F ，点P ，点C 三点共线时，AP PC +的值最小，222262210CF BF BC ∴=+=+=，∴，12AP PC +的值最小值为210， 故答案为：210；（3）如图3，延长OC ，使4CF =，连接BF ，OP ，PF ，过点F 作FB OD ⊥于点M ， 4OC =，4FC =，8FO∴=，且4OP=，2OA=，∴12OA OPOP OF==，且AOP AOP∠=∠AOP POF∴∆∆∽∴12 AP OAPF OF==，2PF AP∴=2PA PB PF PB∴+=+，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP PB+的值最小，120COD∠=︒，60FOM∴∠=︒，且8FO=，FM OM⊥4OM∴=，FM=437MB OM OB∴=+=+=FB∴==2PA PB∴+。