有理数加减乘除四则运算精讲
有理数四则运算方法
有理数四则运算1、有理数的加法（1）符号相同的两数相加，和的符号与两个加数的符号一致，和的绝对值等于两个加数绝对值之和；+14+12=+|14+12|=+26 -15-14=-|15+14|=-29（2）符号相反的两数相加：当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值；35+（-25）=+|35-25|=+1032+（-60）=-|60-32|=-28（3）互为相反的两个数相加得0；-26+（+26）=0（4）一个数同0相加，仍得这个数。
-26+0=-26 35+0=35注意：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值。
2、有理数的减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。
例如：(-25)-(-17)= -25+17=-|25-17|=-814-（+35）=14+（-35）=-|35-14|=-21(-25)+(-17)可以写成省略括号的形式：14+12 -25-17，可以读作“正14加12减25减17”，也可以读作“正14、正12、负25、负17的和。
”在把有理数加减混合运算统一为最简的形式，负数前面的加号可以省略不写。
3、有理数的乘法（1）两数相乘，同号得正，异号得负。
任何数同0相乘，都得0；（＋２）×（＋３）＝＋６ （－２）×（－３）＝＋６（同号相乘得正）（－２）×（＋３）＝－６ （＋２）×（－３）＝－６（异号相乘得负）0×3=0； 0×(－3)=0； 2×0=0； (－2)×0=0．（任何数乘0都得0）（2）互为倒数的两个数乘积是1，符号相反的两个互为倒数的乘积是-1；65×56=1 （-65）×（-56）=1 65×（-56）=-1 （-65）×56=-1 （3）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；（＋２）×（-３）×（-5）＝＋30 （负因数的个数是偶数积为正）（＋２）×（＋３）×（-5）＝-30 （负因数的个数是奇数积为负）（4）两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
第3课时-有理数的四则混合运算讲课讲稿
强化练习
下面两题的计算过程是否正确？若不正确，错
误出现在哪一步？
解：(1)
1 6
1 3
1 2
(2)
3
6
1 6
1111 6362
13 12 1 1 1.
66
23 6
3 1
3.
正确计算过程为：
解：(1)
1 6
1 3
1 2
1 6
1 6
1 6
6
1.
(2)
3
6
1 6
第3课时-有理数的四则混合运算
• 学习目标： 熟练地掌握有理数四则混合运算顺序，并能准确地 计算.
推进新课
知识点 有理数的四则混合运算 复习回顾： 化简分数的方法是怎样的？
分子分母同时除以它们的最大公约数.
有理数乘除混合运算：
乘除混合运算往往先将除法化 为 乘法 ，然后确定积的 符号 ， 最后求出结果．
2245254245
25 24
5
1 5
29 24
.
有理数加减乘除混合运算顺序：
先算乘除，再算加减； 同级运算从左往右依次计算； 如有括号，先算括号内的； 能用运算律的，应利用运算律.
例2 某公司去年1-3月平均每月亏损1.5万元，4-6月 平均盈利2万元，7-10月平均盈利1.7万元，11-12月平 均亏损2.3万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？
解：记盈利额为正数，亏损额为负数，公司去年全年 总的盈亏(单位：万元)为:
(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2
=-4.5+6+6.8-4.6
=3.7. 答：这个公司去年全年盈利3.7万元.
有理数的四则运算(优质课件)
目 录
• 有理数的概念 • 有理数的加减法 • 有理数的乘除法 • 有理数的混合运算 • 有理数的四则运算在实际问题中的应用
01
有理数的概念
定义与性质
定义
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，包括整数、分数和十进 制数。
性质
有理数具有封闭性、有序性、稠 密性和连续性等性质。
05
有理数的四则运算在实际问题 中的应用
数学建模
建立数学模型
将实际问题抽象为数学模型，运用有理数的四则 运算表示数量关系和变化规律。
确定变量和参数
识别问题中的变量和参数，为建模提供基础。
建立方程或不等式
根据问题描述，建立数学方程或不等式，以表达 数量之间的关系。
解决实际问题的方法与步骤
分析问题
异号两数相加，取绝对值较大数 的符号，并用较大的绝对值减去
较小的绝对值。即$a+b=-|ab|$或$a+b=|a-b|$。
一个数与零相加，仍得这个数。 即$a+0=a$。
运算技巧
凑整法
将加数或被加数拆分成易于计算的整 数或整十、整百的数，再进行计算。
分组法
转化法
将一些看似无法简化的有理数加法算 式转化为可以简化的形式，如利用相 反数的性质将减法转化为加法。
运算技巧
01
02
03
分解因式
将有理数乘法转化为整数 乘法，简化计算过程。
乘法分配律
利用乘法分配律简化计算， 例如a*(b+c)=a*b+a*c。
除法转化为乘法
利用除法与乘法的互逆关 系，将除法转化为乘法进 行计算。
04
有理数的混合运算
定义与性质
有理数的加减乘除混合运算PPT授课课件
―→
多种多样的气候
有利于发展多种农业经 济，旅游业等
←
自然环境复杂多样
图 1-1-1
训基础
【地理实践力】我国拥有约18 000千米的大陆海岸 线和约300万平方千米的管辖海域，面积在500平方米以 上的岛屿有6 500多个。领海基线是测量沿海国领海、 毗连区、专属经济区和大陆架的起点。图1-1-4是我国主 张管辖的海域空间结构示意图。据此回答5～6题。
训基础
3．下列国家中，与我国陆上为邻的是( C ) A．日本 B．美国 C．越南 D．菲律宾
【点拨】选项中日本、菲律宾与我国隔海相望，越南与我 国既陆上相邻又隔海相望，美国与我国既不陆上相邻又不 隔海相望。
释疑解惑
1．我国地理位置的优越性 (1)纬度位置的优越性(图1-1-1所示)：
纬度位置：大部分地区位于 中纬度，北回归线穿越南部
的海域位于图中( D ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
图1-1-5
练拔高
7．下列关于我国海洋国土的说法，正确 的是( A ) A．我国的领海宽度为12海里 B．四大边缘海中，面积最大的是东海 C．钓鱼岛是中沙群岛中面积最大的岛 屿 D．黄岩岛是三沙市的政府驻地
图1-1-5
训基础
2．【大同一中阶段检测】我国陆地面积仅次于哪两个 国家( A ) A．俄罗斯、加拿大 B．俄罗斯、美国 C．加拿大、美国 D．俄罗斯、巴西
例如，可以用计算器计算例5中的 (-1.5)×3+ 2×3+1. 7×4+ (-2. 3)×2 .如果计算器带符号键 () , 只需按键 () 1 5 3 + 2 3 + 1 7 4 + ()
2 3 2，就可以得到答案3. 7. 不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，
有理数的四则运算
第三讲有理数的四则运算⼀有理数的加减法1有理数的加法法则同号相加同号两数相加取与加数相同的符号并把绝对值相加异号相加异号两数相加取绝对值较⼤数的符号并⽤较⼤的绝对值减去较⼩的绝对值步骤10定符号永远跟着绝对值⼤的符号⾛②计算同加异减2有理数的减法法则减去⼀个数等于加上这个数的相反数步骤5-变⼗变为相反数20减数变为其相反数-a bi at b30计算⼀减变加g-8 5.3⼗-29-8--5.2-8-5.3-2.9-8-15.2-2.7t-2.9-8-5.2-2.7-12.9-2.8-5.63加减法的简便运算运算律加法交换律加法结合律简算⽅法D有相反数先把相反数相加g 3.75-15.253-75-3.75-13-755-255.25②能凑整的先凑整eg5.45-11-285-455-5.45-4.55⼗-285-12-85③同分⺟的优先相加egĪttjtÌttĚ来打⼗⼀⼗_1t C10④先把正数和负数分别相加eg lt-23tC413K21-44-1-6-2去括号eg fi⼀引⼗六2-1-5原式53-i打⽚-25D括号内⼀变千⼆Ét⼀制⼗三⼗⼀⾏2⼗-520括号外⼆变⼲⼆ÉtÉ4秋⽚2-11-5130计算-34特殊的加减乘除egl lt2⼗3⼗2019120竺20192039190g21-2-13-4-15-62019-1x T120191010eg3lt2-3-4-156-7-8t-12017-12018-2019原式⼆It2-3-4-156-7-89⼗2014-2015-2016-12017-12018-2019 1⼗0⼗0⼗⼀02018-2019O总结出现时观察符号分组计算每组的结果为定值或有规律5填符号e gl在123⼀2016中每个数字前添加年或⼆使和为0思路连续4个数能凑0如1-2-3-14-15-6-7-18t12013-2014-2015-120160g2在1232017中每个数字前添加⼗或三和能为0吗若不能和的绝对值最⼩是多少思路4个1组可凑201745041最后剩数字1时绝对值最⼩⼆有理数的乘除法1有理数的乘法法则两个不为0的数相乘同号得正异号得负再把绝对值相乘步骤先定号同号得正异号得负再算值绝对值相乘多数相乘奇负偶正负因数个数191.5个数相乘其中3个正数则结果定为正X可能有0 egz5个数相乘结果为正则有⼏个正数奇负偶正0个或2个或4个负数即1个或3个或5个正数2有理数的除法法则法则1除以⼀个数等于乘以这个数的倒数9-25-2ㄨ⼀3倒数乘积为1的两个数的倒数负数的倒数为负数0没有倒数倒数等于本身的数是⼟1法则2两数相除同号得正异号得负再把绝对值相除eg8-2-82-43乘除法混合运算eg-5Ì-4年x⼀㣌-3的原式_⼀断ㄨ⼀㣌⼀制10带分数变假分数I x⼀咸f x⼀刮②变⽂⼆致书何信830定号。
七年级数学上册专题第4讲有理数的加减乘除乘方运算重点、考点知识总结及练习
第4讲有理数的加减乘除乘方运算知识点1 加减运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. .有理数加法运算律：①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 加减混合运算技巧：把符号相同的加数相结合； 把和为整数的加数相结合；把分母相同或便于通分的加数相结合； 既有小数又有分数的运算要统一后再结合； 把带分数拆分后再结合； 分组结合； 先拆项后结合.【典例】⎧⎪⎨⎪⎩加减运算有理数的运算乘除运算乘方运算()a b a b -=+-a b b a +=+()()a b c a b c ++=++1.计算：（1）4+（﹣6）；（2）（﹣116）+（-23）；（3）-2-（﹣3.5）；（4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.【方法总结】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．注意：绝对值有括号的作用.2.【题干】计算：（1）﹣2.4+3.5﹣4.6+3.5；（2）(−478)−(−512)+(−414)−(+3178)；（3）−200956−(+200823)−(−401834)+(−112)；（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）.【方法总结】（1）把和为整数的数结合在一起；（2）把分母相同或容易通分的数结合在一起；（3）拆项法，把带分数拆成整数和分数，再把所有整数和分数分别结合在一起；（4）找规律，相邻两数之和为﹣1．本题考查的是有理数加减混合运算，掌握有理数加减混合运算的方法“将有理数加减法统一成加法”是解题的关键．能使用运算律的要使用运算律，以简化计算，减少计算错误. 【随堂练习】1．（2017秋•小店区校级月考）计算：（1）﹣3+（﹣4）﹣（﹣5）； （2）1+（﹣2）+|﹣2|﹣5； （3）﹣5﹣（+11）+；（4）．2．（2016秋•靖远县校级月考）计算题： （1）27﹣28+（﹣7）﹣32 （2）1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣4； （3）0.5+（﹣）﹣（﹣2.75）+0.25 （4）3+（﹣1）+（﹣3）+1+2．知识点2 乘除运算有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同相乘，都得．有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值． 多个有理数相乘：（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于． 有理数乘法运算律：（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．00000ab ba（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．整除：一个整数a 除以一个不为0的整数b ，商是整数，而没有余数，则我们说a 能被b 整除（或说b 能整除a ）.【典例】1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）； （2）（﹣8）÷（﹣1.25）； （3）11÷17×(−411)； （4）(−1.5)×45÷(−25)×34．【方法总结】（1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的除法运算法则进行计算即可得解；（3）把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解；（4）把小数转化为分数，除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．()()ab c a bc =()a b c ab ac +=+1本题考查了有理数的乘法和除法，熟记运算法则是解题的关键．2.计算：（1）37×（﹣45）×712×58；（2）292324÷（﹣112）；（3）﹣5×（﹣115）+13×（﹣115）﹣3×（﹣115）.【方法总结】（1）利用乘法交换律和乘法结合律，把分子或分母容易约分的因数结合；（2）先把除法转换为乘法，再利用乘法的分配律计算；（3）利用乘法分配律的逆运用，即可解答．本题考查了有理数的乘除法的运算，解决本题的关键是选用合适的乘法运算律进行计算．【随堂练习】1．（2017秋•夏邑县期中）小华在课外书中看到这样一道题：计算：（）+（）．她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题（1）前后两部分之间存在着什么关系？（2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分．（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．（4）根据以上分析，求出原式的结果．2．（2017秋•兴化市期中）小明对小丽说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加12，然后除以6，再减去你原来所想的那个数与6的差的三分之一，我可以知道你计算的结果．”请你根据小明的说法探索：（1）如果小丽一开始想的那个数是﹣5，请列式并计算结果； （2）如果小丽一开始想的那个数是2m ﹣3n ，请列式并计算结果； （3）根据（1）、（2），尝试写出一个结论．3．（2017秋•盐都区校级月考）阅读下列材料： 计算：÷﹙﹣+﹚． 解法一：原式=÷﹣÷+÷=×3﹣×4+×12=．解法二：原式=÷﹙﹣+﹚=÷=×6=．解法三：原式的倒数=﹙﹣+﹚÷=﹙﹣+﹚×24=×24﹣×24+×24=4． 所以，原式=．（1）上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的； （2）请你选择合适的解法计算：﹙﹣﹚÷﹙﹣+﹣﹚．知识点3 乘方乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．（1）一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”；（2）在中，叫做底数，叫做指数；（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂． 注意：，其底数为，；，其底数为，；，其底数为，； n n a n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个n a a n n a a n n a a n a n ()224-=()2-()()()22224-=-⨯-=224-=-2()()222121224-=-⨯=-⨯⨯=-239=749⎛⎫⎪⎝⎭372333977749⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，其底数为，； ，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算．一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写． 正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方. 科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少． 万，亿 .【典例】1.一张纸的厚度为 0.09mm （毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．【方法总结】根据乘方的定义和题意可计算出折第一次、第二次、第三次、第四次得厚度，由此可算出折第8次的厚度．一张纸的厚度为0.09mm ，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm ；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2=0.09×22mm ；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm ；对折n 次后纸的厚度为0.09×2n mm ，据此列出算式．即可求解．本题主要考查从实际问题中寻找规律的能力．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．乘方的意义就是多少个某个数字的乘积． 2.若|x −2|+(y −23)2=0，则y x =__________．【方法总结】绝对值和偶次方具有非负性，由“若几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0”可求出x 、y 的值，然后将x 、y 的值代入计算即可求解．239=77323339777⨯==221391224⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51511010n a ⨯110a ≤<n n 101n -101410=810=3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；（2）用科学记数法表示出690000这个数；（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．【方法总结】用科学记数法表示较大数的形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数．确定n的值时，要看由原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法，关键是要正确确定a的值以及n的值．【随堂练习】1．（2017秋•石景山区期末）（﹣1）2018÷．2．（2017秋•蚌埠期中）﹣32×（﹣）3=______．3．（2017秋•浦东新区期中）用简便方法计算：﹣35×（﹣）5×（﹣5）6（结果可用幂的形式表示）综合运用1.若|a|=2，b=﹣3，c是最大的负整数，a+b﹣c的值为_______．2.2.5+（﹣214）﹣1.75+（﹣12）=____．3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n次后剩下的绳子的长度是_______ 米．5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．6.计算：（﹣0.5）+|0﹣614|﹣（﹣712）﹣（﹣4.75）．7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15．（1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？（2）养护过程中，最远处离出发点有多远？（3）若汽车行驶每千米耗油量为a升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？8.计算下列各式：（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）；（2）91819×15；（3）﹣100×18﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y的平方等于它本身，求m的值.。
有理数的四则运算自学指南
自学资料一、有理数的加法【知识探索】1．有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．【注意】先定符号，再算绝对值．2．有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：．3．有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：．【错题精练】例1．下列计算中，错误的是（）第1页共13页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. (+37)+(−67)=−37；B. (−37)+(+67)=−97；C. (−37)+(−67)=−97；D. (+37)+(−37)=0．例2．绝对值不大于3的整数的和是．例3．定义一种运算☆，其规则为a☆b=1a +1b，根据这个规则，计算2☆3的值是（）A. 56； B. 15；C. 5；D. 6．例4．已知10箱苹果，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下：＋0.2，－0.2，＋0.7，－0.3，－0.4，＋0.6，0，－0.1，＋0.3，－0.2．（1）求10箱苹果的总重量；（2）若每箱苹果的重量标准为10±0.5（千克），则这10箱有几箱不合乎标准的？例5．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2012个格子中的数为（）A. 3；B. 2；C. 0；D. －1．例6．已知|x|=3，|y|=2，且x＞y，则x+y的值为（）A. 5B. ﹣1C. ﹣5或﹣1D. 5或1【举一反三】1．在探究“有理数加法法则”的过程中，我们只要通过对几类算式的运算进行归纳总结，就可以得出该第2页共13页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第3页共13页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【错题精练】例1．用简便方法计算：例2．把（-9）-（-2）+（-7）-（+5）-（-4）写成省略括号的形式为__________例3．（-18.25）-4+（+18）+（-4.4）第4页共13页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训例4．已知∣a-b∣=a-b,且∣a∣=2013,∣b∣=2014,求a-b的值例5．计算：（-1）+（-2）-3+4-5+...+(-2009)+2010-2011+2012-2013+2014=__________例6．若b<0,a>0，则=__________【举一反三】1．2．某水利勘察队，第一天向上游走了km,第二天向上游第5页共13页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训走了km,第三天向下游走了km,第四天向下游走了km，问：四天后勘察队在出发点的哪个位置，与出发点相距多少？三、有理数的加减混合运算【错题精练】例1．出租车司机老姚某天上午营运全是在东西走向的解放路上进行．如果规定向东为正，向西为负，第6页共13页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训他这天上午行车里程（单位：km）如下：+8，+6，−10，−3，+6，−5，−2，−7，+4，+8，−9，−12．（1）将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午出发点？（2）将最后一名乘客送到目的地时，老姚距上午出发点多远？在出发点的东面还是西面？（3）若汽车耗油量为0.075L/km，这天上午老姚的出租车耗油多少L？例2．出租车司机小张某天上午营运全是在东西走向的政府大道上进行的,如果规定向东为正,向西为负,他这天上午的行程是(单位:千米)+15,-3,+16,-11,+10,-12,+4,-15,16,-18.(1)将最后一名乘客送达目的地时,小张距上午出发点的距离是多少千米?在出发点的什么方向?(2)若汽车耗油量为0.6升/千米,出车时,邮箱有油72.2升,若小张将最后一名乘客送达目的地,再返回出发地,问小张今天下午是否需要加油?若要加油至少需要加多少才能返回出发地?若不用加油,请说明理由.【举一反三】1．出租车司机老王某天上午运营全是在东西走向的凌公塘路上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下：+8，+4，－10，－3，+6，－5，－2，－7．（1）将第几名乘客送到目的地时，老王刚好回到上午出发点？（2）将最后一名乘客送到目的地时，老王距上午出发地多远？（3）若汽车耗油量为0.4L/km，这天上午老王耗油多少升？四、有理数的乘法【知识探索】1．负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积．一般地，我们有有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数与0相乘，都得0．2．一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．分配律：．【说明】运算律在运算中有重要作用，它是解决许多数学问题的基础．3．一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．乘法结合律：．4．一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．乘法交换律：．第7页共13页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第8页共13页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训1．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（这是有理数除法法则的另一种说法）【说明】分数可以理解为分子除以分母．2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．这个法则也可以表示成：（）．【错题精练】例1．⑴()÷4⑵(-24)÷(-2)÷()⑶(-0.75)÷()÷(-0.3)例2．如果a÷b(b≠0)的商是负数，那么（）A. a,b异号B. a,b同为正数C. a,b同为负数D. a,b同号例3．__________例4．若|a+5|+|b–2|+|c+4|=0,则abc–=【举一反三】1．已知有理数a、b、c，满足求的值。
初一数学有理数四则运算规则详解
初一数学有理数四则运算规则详解有理数是包括正整数、负整数、零以及所有正数和负数的数集。
在初一数学学习中，有理数的四则运算是一个十分重要的内容。
掌握有理数的四则运算规则能够帮助我们解决实际问题，下面我将详细介绍有理数的四则运算规则。
一、正数与正数的加法运算首先，我们来讨论两个正数的加法运算。
当两个正数相加时，我们只需将它们的数值相加即可，符号仍为正。
例如，3+4=7，5+2=7。
二、正数与正数的减法运算接下来，我们来讨论两个正数的减法运算。
当两个正数相减时，我们只需将被减数减去减数即可，符号仍为正。
例如，8-3=5，9-2=7。
三、正数与负数的加法与减法运算接下来，我们来讨论正数与负数的加法与减法运算。
当一个正数与一个负数相加时，我们先将它们的绝对值相加，然后取较大的符号作为结果的符号。
例如，3+(-5)=-2，8+(-6)=2。
当一个正数与一个负数相减时，我们只需将它们的绝对值相加，然后取被减数的符号作为结果的符号。
例如，7-(-4)=11，9-(-2)=11。
四、负数与负数的加法与减法运算现在，我们来讨论负数与负数的加法与减法运算。
当两个负数相加时，我们先将它们的绝对值相加，然后取较小的符号作为结果的符号。
例如，(-3)+(-5)=-8，(-8)+(-2)=-10。
当两个负数相减时，我们只需将它们的绝对值相减，然后取被减数的符号作为结果的符号。
例如，(-7)-(-4)=-3，(-9)-(-2)=-7。
五、有理数的乘法运算有理数的乘法运算规则较为简单。
当两个有理数相乘时，我们只需将它们的绝对值相乘，然后根据相乘结果的正负确定最终结果的符号。
例如，2×3=6，(-2)×4=-8。
六、有理数的除法运算有理数的除法运算也相对简单。
当两个有理数相除时，我们只需将除数的绝对值除以被除数的绝对值，然后根据除法的原理确定最终结果的符号。
例如，6÷3=2，(-8)÷4=-2。
有理数的四则运算及应用
有理数的四则运算及应用一、有理数的概念•定义：有理数是可以表示为两个整数比值的数，其中分母不为零。
•分类：正有理数、负有理数和零。
二、有理数的加法•定义：两个有理数相加，就是它们的比值相加。
•法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
三、有理数的减法•定义：减去一个有理数，相当于加上它的相反数。
•法则：同号相减，取相同符号，并把绝对值相减；异号相减，先取绝对值较大的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。
四、有理数的乘法•定义：两个有理数相乘，就是它们的比值相乘。
•法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
五、有理数的除法•定义：除以一个有理数，相当于乘以它的倒数。
•法则：除以一个不等于零的有理数，等于乘以这个有理数的倒数。
六、混合运算•定义：含有加、减、乘、除四种运算的算式。
•法则：按照从左到右的顺序进行计算，先算乘除，再算加减。
•定义：运用有理数的四则运算解决实际问题。
•举例：计算购物时的找零、计算物体的高度、计算速度和时间等。
八、注意事项•定义：在进行有理数运算时需要注意的问题。
•举例：避免出现分母为零的情况，注意运算符号的运用等。
•总结：有理数的四则运算及应用是数学中的基本内容，掌握好这部分知识，对于解决实际问题和进一步学习数学都有很大的帮助。
习题及方法：1.习题：计算2/3 + 5/6方法：将两个分数的分母通分，得到4/6 + 5/6 = 9/6，化简得到答案为1 3/6，即1 1/2。
2.习题：计算-4/5 + 3/4方法：将两个分数的分母通分，得到-16/20 + 15/20 = -1/20。
3.习题：计算8/9 - 1/3方法：将两个分数的分母通分，得到8/9 - 3/9 = 5/9。
4.习题：计算-2/5 * 3/4方法：将两个分数相乘，得到-6/20，化简得到答案为-3/10。
5.习题：计算5/6 * 2/7方法：将两个分数相乘，得到10/42，化简得到答案为5/21。
有理数的四则运算知识点总结
有理数的四则运算知识点总结有理数是数学中的一类数，包括整数和分数。
研究有理数的四则运算是学习数学的基础，下面对有理数的加减乘除四种运算进行总结。
一、加法运算有理数的加法运算可以使用如下公式：a + b = c，其中a、b和c是有理数。
有理数的加法具有如下性质：1. 交换律：a + b = b + a2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)3. 零元素：a + 0 = a4. 相反数：a + (-a) = 0二、减法运算有理数的减法运算是加法运算的逆运算，可以使用如下公式：a - b = c，其中a、b和c是有理数。
有理数的减法具有如下性质：1. a - b = a + (-b)2. 零元素：a - 0 = a3. a - a = 0三、乘法运算有理数的乘法运算可以使用如下公式：a * b = c，其中a、b和c是有理数。
有理数的乘法具有如下性质：1. 交换律：a * b = b * a2. 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)3. 单位元素：a * 1 = a4. 零元素：a * 0 = 05. 倒数：a * (1/a) = 1（其中a≠0）四、除法运算有理数的除法运算是乘法运算的逆运算，可以使用如下公式：a / b = c，其中a、b和c是有理数。
需要注意的是，除数b不能为0。
有理数的除法具有如下性质：1. a / b = a * (1/b)2. a / 1 = a3. a / a = 1（其中a≠0）除了四则运算的基本性质外，还需要注意以下几个知识点：1. 当两个有理数同号时，它们的和为它们的绝对值之和；当两个有理数异号时，它们的差的绝对值等于它们的绝对值之差。
2. 两个有理数相加减时，先求它们的绝对值之和（差），然后根据它们的符号确定结果的符号。
3. 两个有理数相乘时，先求它们的绝对值之积，然后根据乘积的正负性确定结果的符号。
4. 有理数的倒数是指与这个数相乘得到1的数，0的倒数不存在。
有理数的四则运算(优质)ppt课件
－0.01
注:正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降.
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星期 一 二 三
水位变化
（米）
＋0.20 ＋0.81 －0.35
四 五六
＋0.03 ＋0.28 －0.36
日
－0.01
注:正号表示水位比前一天上升,负号表示水位比前一天下降.
(1)本周哪一天河流的水位最高?哪一天 最低?它们位于警戒水位之上还是之下? 与警戒水位的距离分别为多少米?
最高水位 10.5 米 警戒水位 8.5米 平均水位5.4米 最低水位 2.3米
下关段 水位
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住在江边的小明同学记录了今年梅雨季 节下关段一周的水位变化情况:(上周日 的水位达到了警戒水位)
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化
（米）
＋0.20 ＋0.81 －0.35
＋0.03 ＋0.28 －0.36
(5) 1 1 1 63
1 2
(2) -17-（- 32）=15
1
1
(4) 15 (22)= -3
(6) ( 3 ) ( 8 ) 2=48
(7) ( 6)4 ( 8 )=8
.
一、做一做：
先说出商的符号，再说出商：
（1） 12÷4 =3
（2）（－57）÷3 =－19
（3）（－36）÷（－9）= 4 （4）96 ÷（－16）=－6
.
方法一: 通过计算每天的实际水位进行比较
星期
一二三四五六日
水位变化(米) +0.2 +0.81 -0.35 +0.03 +0.28 -0.36 -0.01
实际水位(米) 8.7 9.51 9.16 9.19 9.47 9.11 9.10
七年级数学有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算山东教育版知识精讲
七年级数学有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算某某教育版【本讲教育信息】一. 教学内容：有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算二. 知识要点：1、有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号先算括号里面的．2、有理数运算规律：（1）在有理数运算中，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方是三级运算．一个式子里三级运算都含有时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算；同一级运算，按照从左到右的先后顺序进行运算；（2）有括号时按照小括号、中括号、大括号的顺序进行；（3）运算中应灵活运用运算律简化运算．三. 重点、难点、考点：1、重点：有理数的混合运算。
2、难点：有理数的混合运算顺序及符号的规律。
3、考点：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算。
考点分析：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算是历年中考必考的内容，本部分内容有时单独命题，有时与后面的其他知识综合命题，命题形式以解答题为主，有时也出填空题和选择题．【典例精析】例⒈计算： ⑴511×（31－21）×113÷45 ⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3）解：⑴511×（31－21）×113÷45 ＝511×（－61）×113×54 先算括号里面的 ＝－252 再算乘除 ⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3）＝－10＋8÷4―（―4）×（－3） 先算乘方＝－10＋2－12 再算乘除＝－20 最后算加减指导：解此题的关键是要严格按照混合运算的顺序进行运算．例2. 计算 ：⑴－1 4―（0.5－32）÷31×［－2―（―3）3 ］－︱81—2︱ ⑵［335－（83＋161－43）×（－4）3 ］÷5 ⑶－3 2 ×2 ÷2 ＋（－31）2×（－3）3 ÷（－1 ）2003解：⑴－14―（0.5－32）÷31×［－2―（―3）3 ］－︱81－0.5 2 ︱ ＝－1―（―61）×3×（－2＋27）－︱81－41︱ 先算乘方 ＝－1―（―61）×3×25－81 再算括号里的 ＝－1＋225－81 最后算加减 ⑵［335－（83＋161－43）×（－4）3 ］÷5 ＝［335－83×（－64）－161×（－64）＋43×（－64）］÷5 ＝［335＋24＋4－48 ］×51 ＝［335－20］×51 ＝335×51－20×51 ＝37－4 ＝－35 ⑶－3 2 × 2 ÷ 2 ＋（－31）2×（－3）3 ÷（－1）2003＝－9×2536×9100＋91×（－27）÷（－1） ＝－144＋3＝－141指导：有理数混合运算中应注意以下问题：⑴ 要注意运算顺序； ⑵ 要灵活运用运算律进行简便计算，不要搞错符号，特别是乘方符号；⑶ 要灵活进行分数、小数的互化 ⑷互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为0等特殊运算先行结合．本例中⑴小题按“＋”“－”号分为三段，再分别计算每一段；⑵小题可灵活运用乘法的分配律；⑶小题中把小数化成分数后计算较为简便．例3. （2006，某某）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为神秘数．如：4＝2 2－02 12＝42－22 20＝62 －42 因此4，12，20都是神秘数．（1）28和2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？解：（1）因为28＝4×7＝82－62 ，2012＝4×503＝5042－5022，所以是神秘数。
有理数的乘除(第4课时有理数乘除混合运算)课件(共14张PPT) (2024)沪科版数学七年级上册
=3.7.
答：这个公司去年全年盈利3.7万元.
随堂训练
1.计算
3
1
1
(1) ( ) (1 ) (2 )
4
2
4
1
3 3 4
解:原式=
2
4 2 9
2
1
(2) (3) [( ) ( )]
5
4
2
5
解:原式= (3) ( 4) 3 15
6
错误
1
）
2
正确
课堂小结
有理数加减乘除混合运算:
按照“先乘除，后加减”的顺序进行，若有括
号则遵循“先计算小括号内的、再计算中括号内的、
再计算大括号内的”的顺序进行计算．
5
解:(1)原式 125 5
7
5
1
(125 )
751 5 1125 5 7 5
1
1
25 25 .
7
7
(2) −4 ÷
2
−
5
× −5 .
(2)原式= −4 ×
5
2
5
−
2
=-(4 × × 5)
=-50.
× −5
知识讲解
2.有理数的加、减、乘、除混合运算
有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么
运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”
的顺序进行.
知识讲解
例2 计算：
（1）-8+4÷（-2）；
（2）（-7）×（-5）-90÷（-15）.
解：（1）-8+4÷（-2）
13有理数的加减乘除混合运算知识讲解
13有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算主讲：黄冈中学优秀数学教师余燕一、有理数的加减乘除混合运算1、在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．2、在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减，注意运算律．3、合理运用运算律合理运用运算律是提高有理数运算能力的基本保证，在运用时，首先要搞清楚各种运算律的名称和使用的方法.(1)加法交换律和结合律通常在加、减运算中同时使用，交换的目的在于结合，结合时一般是按正负结合，按相反数结合，总之，将容易计算的数进行结合.(2)乘法交换律和结合律通常在乘、除运算中使用，交换的目的同样是为了结合，结合时一般将能约分的数结合.(3)分配律是乘法对加法的分配，它既可以正用(即a(b＋c)＝ab＋ac)，也可以逆用(即ab＋ac＝a(b＋c))，要特别注意除法对加法没有分配律，不要出现12÷(4＋3)＝12÷4＋12÷3＝3＋4＝7的错误.4、含多重括号时，要注意灵活去括号，没必要墨守成规，总是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，也可以先去大括号，再去小括号．有理数的加减乘除混合运算，应按照“先乘除，后加减”的顺序进行．若有括号，则应先计算括号内的数．二、例题讲解例1、（1）若x·（－4）=，则x=__________；（2）已知a=－3，b=－2，c=5，则=__________；（3）等式[（－8）－△]÷（－2）=4中，△表示的数是_______．答案：（1）；（2）；（3）0例2、当a＞b＞0时，则__________0．答案：＜例3、下列计算正确的是（）A．（－1）÷（－7）×=1÷7×=1÷1=1B．12÷（3＋4）=12÷3＋12÷4=4＋3=7C．（）÷3=－66÷3－÷3=D．0÷（5－2＋3－6）=0÷0=0答案：C例4、阅读下面解题过程：计算．解：原式=．回答：（1）上面解题过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错了，第二处是第三步，错误的原因是结果错了．（2）求出正确的结果．解：原式=．例5、计算：答案：例6、在如图所示的运算流程中，若输出的数y=3，则输入的数x=_________．答案：6或5例7、小强在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，他若输入的数为－1，那么执行程序后输出的数是多少？答案：－105例8、计算：答案：（1）；（2）1例9、某市质量监督局从某食品厂生产的罐头中，随意抽取20听进行检查，超过标准质量的用正数表示，不足标准质量的用负数表示，抽查的结果如下表：与标准质量的偏－10 －5 0 ＋5 ＋10 ＋15 差（单位：克）听数 2 5 4 6 2 1试问：这批样品的平均质量比标准质量多或者少多少克？解：[－10×2＋（－5）×5＋0×4＋5×6＋10×2＋15×1]÷20＝20÷20=1所以这批样品的平均质量比标准质量多1克．- 返回 -同步测试2、计算：__________，（－10）÷[（－2）－3]=__________．3、计算：5×（－3）＋6÷（－2）=__________．4、受金融危机的影响，小明的爸爸返乡做生意，一次性投入资金4000元，最初两个月每月开支2000元，收入1000元．接着后三个月每月开支1000元，收入4000元．五个月后小明的爸爸是亏损还是盈利？__________，是__________元．5、要使等式[（－27）－□]÷3=－2成立，则“□”中应填的数是__________．隐藏答案答案：1、－16；－27；－92、－32；23、－184、盈利；30005、－216、下列正确的是（）7、若a＋b＜0，，那么（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a、b同号D．a、b异号且负数的绝对值较大8、若ab≠0，则的值是（）A．0B．±1 C．±2D．±2，0 9、计算：(1)（－8）÷25×1.25×（－8）隐藏答案9、（1）3.2；（2）；（3）；（4）；（5）5；（6）10、冷库的室温为－2℃，现存入一批食品，必须使室温为－20℃，若冷冻机每小时可使室温下降6℃，则要使冷库室温达到所需温度，需要多长时间？（列式解答）隐藏答案10、（小时）-END-课外拓展例、如果规定“⊙”为一种新的运算：a⊙b=a×b-a2+b2.例如：3⊙4=3×4-32+42=12-9+16=19，仿照例题计算：（1）（-2）⊙6；（2）（-2）⊙[（-3）⊙4]．分析：根据规定的新运算，a⊙b等于两个数的乘积减去第一个的平方再加上第二个数的平方，（1）根据新运算的含义化简（-2）⊙6，然后根据有理数混合运算的顺序，先算乘方，计算出（-2）2和62的结果，然后算乘法计算出-2×6的结果，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算化为加法运算后，利用同号两数相加的法则：取相同的符号，并把绝对值相加计算出-12+（-4）的结果，最后利用异号两数相加的法则：取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算出最后结果；（2）根据新运算的含义先化简中括号里面的（-3）⊙4，然后根据有理数混合运算的顺序，先算乘方，计算出（-3）2和42的结果，然后算乘法计算出-3×4的结果，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算化为加法运算后，利用加法法则计算出中括号里面的结果为-5，然后再根据新运算的含义化简（-2）⊙（-5），同理也根据有理数混合运算的顺序以及法则进行正确的计算得出最后的结果．解：（1）（-2）⊙6=-2×6-（-2）2+62=-12-4+36=-12+（-4）+36=-16+36=20；（2）（-2）⊙[（-3）⊙4]=（-2）⊙[（-3）×4-（-3）2+42]=（-2）⊙（-12-9+16）=（-2）⊙（-21+16）=（-2）⊙（-5）=（-2）×（-5）-（-2）2+（-5）2=10-4+25=6+25=31．点评：此题根据定义的新运算间接的考查了有理数的混合运算，解此类题的关键是搞清新运算的含义，从而根据新运算表示的含义化简要求的式子，同时也要求学生掌握有理数混合运算的运算顺序以及各种运算法则．例2、某市有一块土地共100亩，某房地产商以每亩80万元的价格购得此地，准备修建“和谐花园”住宅区．计划在该住宅区内建造八个小区（A区，B 区，C区…H区），其中A区，B区各修建一栋24层的楼房；C区，D区，E区各修建一栋18层的楼房；F区，G区，H区各修建一栋16层的楼房．为了满足市民不同的购房需求，开发商准备将A区，B区两个小区都修建成高档，每层800m2，初步核算成本为800元/m2；将C区，D区，E区三个小区都修建成中档住宅，每层800m2，初步核算成本为700元/m2；将F区，G区，H区三个小区都修建成经济适用房，每层750m2，初步核算成本为600元/m2．整个小区内其他空余部分土地用于修建小区公路通道，植树造林，建花园，运动场和居民生活商店等，这些所需费用加上物业管理费，设置安装楼层电梯等费用共计需要9900万元．开发商打算在修建完工后，将高档，中档和经济适用房以平均价格分别为3000元/m2，2600元/m2和2100元/m2的价格销售．若房屋精品资料全部出售完，请你帮忙计算出房地产开发商的赢利预计是多少元？分析：计算出开发商的总销售额和总投资，二者之差即为盈利．解：开发商共投资：100×800000+24×800×800×2+18×800×700×3+16×750×600×3+99000000=26156（万元），房屋全部出售完可得：（2×24×800×3000+3×18×800×2600+3×16×750×2100）÷10000=30312（万元），房地产开发商的赢利预计：30312-26156=4156万元．所以房地产开发商的赢利预计是4156万元．点评：此题计算量不大，思维含量也较小，但是有很大的阅读量．从大量的信息中找到和解题相关的条件，去掉无关的条件是解答此题的关键．-END-仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢11。
有理数的加减乘除乘方运算
有理数的加减乘除乘方运算有理数是我们在学习数学时经常接触到的概念之一，它包括整数和分数。
在实际生活和数学问题中，我们经常需要对有理数进行加减乘除乘方等运算。
在本文中，我们将探讨有理数的加减乘除乘方运算的规则和性质。
一、有理数的加减运算有理数的加法运算是我们最常见的运算之一，下面是有理数加法运算的规则：规则1：同号相加，异号相减。
即正数加正数得正数，负数加负数得负数，正数加负数按两数绝对值相减取结果符号。
例如，2+3=5，-2+(-3)=-5，2+(-3)=-1。
规则2：加法交换律。
即a+b=b+a。
例如，2+3=3+2。
规则3：加法结合律。
即(a+b)+c=a+(b+c)。
例如，(2+3)+4=2+(3+4)。
有理数的减法运算可以看作加法运算的特例。
我们可以通过下面的规则进行运算：规则1：减去一个数等于加上该数的相反数。
例如，5-3=5+(-3)=2。
规则2：减法的交换律不成立。
例如，2-3≠3-2。
二、有理数的乘法运算有理数的乘法运算也是我们日常生活和数学问题中经常遇到的运算。
以下是有理数乘法运算的规则：规则1：同号相乘得正，异号相乘得负。
例如，2×3=6，-2×(-3)=6，2×(-3)=-6。
规则2：乘法交换律。
即a×b=b×a。
例如，2×3=3×2。
规则3：乘法结合律。
即(a×b)×c=a×(b×c)。
例如，(2×3)×4=2×(3×4)。
有理数的除法运算可以看作乘法的逆运算。
对于除法运算，我们有以下规则：规则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
例如，6÷3=6×1/3=2。
规则2：除法的交换律不成立。
例如，2÷3≠3÷2。
三、有理数的乘方运算有理数的乘方运算是指一个数自乘若干次的运算。
以下是有理数乘方运算的规则：规则1：正数的乘方。
有理数的四则运算
有理数的四则运算有理数是指可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数和小数。
有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
本文将详细介绍有理数的四则运算规则和例题解析。
一、加法运算1. 同号有理数相加同号有理数相加，只需将它们的绝对值相加，并保持相同的符号。
例如：-3 + (-5) = -82. 异号有理数相加异号有理数相加，要先把它们的绝对值相减，差的绝对值取较大的绝对值，然后再赋予差的符号。
例如：(-3) + 5 = 2二、减法运算减法运算可以转化为加法运算。
要实现这一点，我们可以使用减法的相反数。
例如：-3 - (-5) = -3 + 5 = 2三、乘法运算有理数的乘法运算规则如下：1. 同号有理数相乘同号有理数相乘，只需将它们的绝对值相乘，并保持相同的符号。
例如：4 × 7 = 282. 异号有理数相乘异号有理数相乘，只需将它们的绝对值相乘，并赋予结果负符号。
例如：(-2) × 3 = -6四、除法运算有理数的除法运算规则如下：1. 同号有理数相除同号有理数相除，只需将它们的绝对值相除，并保持相同的符号。
例如：8 ÷ 4 = 22. 异号有理数相除异号有理数相除，只需将它们的绝对值相除，并赋予结果负符号。
例如：(-12) ÷ 3 = -4有理数的四则运算规则便是以上介绍的内容。
需要注意的是，在进行运算时，我们可以先计算括号内的运算，再进行乘除法运算，最后进行加减法运算。
同时，应注意运算符的优先级。
通过掌握有理数的四则运算规则，我们可以解决实际生活中的问题，计算几何中的等式，以及代数中的方程等。
因此，在学习数学时，有理数的四则运算是一个非常重要的基础知识。
总结：有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
同号有理数相加相乘，异号有理数相减相除。
通过掌握有理数的四则运算规则，可以解决实际生活和数学问题。
了解和熟练掌握有理数的四则运算是数学学习中的重要一步。
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常州知典教育一对一教案知识点九：有理数乘法法则的推广要点诠释：（1 ）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
（2 ）几个数相乘，只要有一个因数为0,积就为0。
知识点十：有理数乘法的运算定律要点诠释：（1 ）乘法交换律：（2 ）乘法结合律：（3 ）分配律：知识点^一：倒数的概念要点诠释：乘积是1的两个数互为倒数。
由于，所以当a是不为0的有理数时，a的倒数是。
若a、b互为倒数，则ab = 1。
知识点十二：有理数除法法则要点诠释：（1 ）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
即。
（2 ）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
二、规律方法指导1、有理数的加法运算分两种情况：同号和异号两数相加，互为相反数的两数之和为0.在运用有理数的加法运算时，关键是要确定和的符号，在具体运算过程中注意能用结合律或交换律一定要用，以便使运算简便。
2、有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，这样就把减法转化为加法解，同时注意运用运算律。
3、在进行有理数的乘法运算时，关键是确定积的符号，善于应用乘法运算律，互为倒数的两个数的积为1 ;4、有理数的除法运算可以转化为乘法运算进行。
5、在进行加减乘除的混合运算时，要注意运算顺序。
经典例题透析类型一：有理数的运算问题例1、计算思路点拨：由于上题中有互为相反数的一和+，同分母的4和一3.2 (- 3.2= —3),可以利用加法的交换律和结合律先分别计算出它们的值，使运算简便。
解：总结升华：互为相反数的两个数的和等于0。
绝对值较大的加数是正数的两个数的和等于正数。
绝对值较大的加数是负数的两个数的和等于负数。
举一反三：【变式】计算思路点拨：先根据减法法则去掉括号，写成省略加号的代数和。
再利用加法交换律把同分母的项结合到一起进行计算。
一定要注意交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。
1112 1 1 1 2” 十r2^ + 51- 3^ + 34 - 21- + 51+ 9-8解：原式=总结升华：0减去一个有理数所得的差是这个有理数的相反数。
要善于在有理数加减混合运算中运用减法法则把减法转化为加法。
此外对于运算过程中性质符号和运算符号可以互相转化。
例2、计算①②③思路点拨：①小题先确定符号，有三个负因数相乘积为负。
再利用乘法交换律先计算的值。
② 小题利用分配律进行计算。
③小题把化为再利用分配律进行计算。
J L c » L] I" L 1] 1解：①原式=F 9 ‘丿9」L11 9」99C-W5) x[-l-1-2]=-105x(-l)-W5x(-l)-105x= 35 + 21+15 = 71②原式= -='- ='③原式=总结升华：在进行有理数的乘法运算时，应先考虑计算结果的符号，再进行计算。
在进行乘法和加减运算时，应运用乘法分配律进行简算。
举一反三：【变式】计算①③思路点拨：①小题要注意运算顺序，先算乘除，再算加减，而不能从左到右依次计算。
③小题可以直接计算，也可以把写成24+后利用分配律进行计算。
类型二：有理数运算的实际问题例3、超市新进了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超过标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？思路点拨：本题运用了正负数的意义表示每箱橙子的重量，比如：+0.5表示这箱橙子的重量超过标准重量0.5千克，为（50+0.5 ）千克。
因此，计算总的重量就是求所有箱重量的和。
解：购进橙子的总重量为：（50+0.5 ）+（50+0.3 ）+（50-0.9）+（50+0.1 ）+（50+0.4 ）+（50-0.2）+（50-0.7 ）+（50+0.8）+（50+0.3 ）+（50+0.1 ）=50 X 10+ （0.5+0.3-0.9+0.1+0.4-0.2-0.7+0.8+0.3+0.1 ）=500+0.7=500.7 （千克）答：超市购进的橙子共500.7千克总结升华：注意凑整进行运算比较简便举一反三：【变式1】出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程表示如下（单位：千米）:+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6 , （1 ）将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远？（2 ）如果汽车耗油量为0.8升/千米,这天下午小李共耗油多少升？【变式2】某人用410元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果每套儿童服装以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2 , - 3 , +2 , +1 , —2, -1 , 0，—2，当它卖完8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）多少钱？【变式3】某教具厂加工正方体模型，在图纸上注明边长为（ 5 ± 0.1 ）cm，表示这种正方体的边长的标准尺寸是多少？要求边长最大不超过标准尺寸多少厘米？符合要求的正方体边长最小是多少厘米？类型三：代数式求值问题例4、已知：a的相反数是，b的倒数是，求算式的值思路点拨：根据题意，可求出字母a和b所表示的数，然后再带入需要计算的代数式。
在计算的过程中还要注意运算法则和顺序。
解：由题意知： ，把它们分别代入算式，得：= =总结升华：互为相反数的两数的和恒为0,互为倒数的两个非零数的积是常数1.举一反三：【变式1】已知x 的负倒数是5, y 的相反数是-6,求算式的值类型四：综合提高例5、计算：思路点拨：本题可直接计算，观察， 解：原式总结升华：本题是一类典型问题，解决此类题目的关键是找到分子、分母的规律。
举一反三:【变式1】【变式2】已知:则【变式4】计算:有理数的加减乘除运算 一、选择题：1、 计算：-6+3= ( ) A 、-9 B 、9C 、-3D 、3 2、 下列各组数中，互为倒数的是()A 、-1 与-1B 、0.1 与 1C 、-2 与 12D 、-43 与 433、 月球表面白天的温度可达123 ° C ,夜晚可降到-233 ° C ,那么月球表面昼夜的温差为()A 、110 ° CB 、-110 °C C 、356 ° CD 、-356 ° C4、 两个有理数在数轴上的对应点位于原点的两旁，那么这两个数的商是()A 、正数B 、负数C 、零D 、以上情况都有可能【变式2】已知:a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数。
求代数式的值。
，…,将原式进行约分即可。
5、如果两个有理数的和是正数，那么这两个加数（）A、一定都是正数或零B、一定都是负数或零C、一定都是非负数D、至少有一个是正数6、某天A种股票的开盘价为18元，上午11 : 30下跌了1.5元，下午收盘时又上涨了0.3元，贝U A种股票这天的收盘价为（）元. A . 0 . 3 B.16.2 C.16.8 D.187、一个水利勘察队沿一条河向上游走了 5.5千米，又继续向上游走了 4.8千米，然后又向下游走了5.2千米，接着又向下游走了 3.8千米，这时勘察队在出发点的（千米 C.上游10.3千米C. —5D.35）处.D.下游1.3千米A .上游1.3千米8、计算（）A.1B.下游9 B.25二、填空题：1、计算: (-2 )+5=;-8 —6= 。
2、计算：25 X(-2/5 )=;0 -(- 2.7 )= 。
3、-5的倒数是；-5的平方是。
4、按照神舟号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，“神舟”五号飞船返回舱的温度为21 ° C ± 4 ° C,该返回舱的最高温度为_________________ ° C5、找出满足下列条件的数：（每空格各写出一个即可）（1 ）加上-8，和为正数：________________ ;（2 ）乘以-8，积为正数：________________ 。
6、计算：（1-2+3-4+5-6+7-8+9-10 ）-（-5 ）= __________ 。
7、观察下面一列数的规律，然后在横线上填上适当的数：-5 , -2 , 1 , 4 , 7 , ________ 三、解答题：1、计算:(1)(2) -9-40+25(3) (4)(-16)(5)(6)⑺(8)2、某冷冻厂的一个冷库，现在的室温是-2 ° C,现有一批食品，需要在-28 ° C下冷藏，如果每小时能降温 4 ° C,要降到所需温度，需要几个小时？3. 10袋小麦，如果以40千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记做负数•称重的记录如下：+ 2 , + 1 , — 0.5 , — 1 , — 2 , + 3 , — 0.5 , — 1 , — 1 , 0 这 10 袋小麦的总重量是多 少千克？4.时数)(1 )如果现在是北京时间上午 : ,那么东京时间是多少？(2 )如果小强在北京时间下午15 : 00打电话给远在纽约的姑姑，你认为合适吗?5.)谁最重？谁最轻？()最重的与最轻的相差多少?6.某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定(1 )本周三生产了多少辆摩托车？(2 )本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少? (3 )产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆?有理数的加减乘除综合练习一、基本练习.①一个正数的绝对值是; 即：如果a>0，则|a|=;②一个负数的绝对值是; 如果a<0，则|a|=;③0的绝对值是如果a=0，则|a|=反之：若一个数的绝对值是它本身，则这个数是 ________________________ ;若一个数的绝对值是它相反数, 则这个数是；即若|a|=a ，则a 0 ;若|a|= —a，则a 0.2、有理数的加法法则：⑴同号两数相加，取的符号，并把；⑵绝对值不等的异号两数相加，取的加数的符号，并用；⑶互为相反数的两数相加得；⑷一个数同0相加，仍得___________________ .即：⑴若a >0 , b >0,贝U a+b ____________ 0 ；已知|a|=3 , |b|=2 ，贝U a+b的值为⑵若a v 0 , b v 0,则a+b __________ 0;⑶若a > 0, b v 0,且a v |b 则a+b _______________ 0.3、绝对值最小的有理数是，最大的负整数是，最小的正整数是；4、在数轴上距离原点4个单位的数是，距离表示-1的点有3个单位的数是5、数轴上的点A所对应的数是4，点B所对应的数是一2，贝U A、B两点之间的距离是.6、写出所有比一5大的非正整数为________________________ ,比5小的非负整数___________________________到原点的距离不大于3的所有整数有7、绝对值等于3的数有 ___________________ ;绝对值小于3的整数有 ________________________ ；绝对值不大于2的整数有___________________ ;相反数大于-1但不大于3的整数有___________________________ .8、一种零件的内径尺寸在图纸上是10 ± 0.05(mm),表示零件标准尺寸为kmm,加工要求最大不超过_________ ,最小不超过_________________ .9、把下列各数分别填在相应的集合的大括号内：11、有理数相乘，要先确定积的，再确定积的。