人教版数学选修1-1课后习题答案(扫描版)
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
2019-2020学年高中数学人教版选修1-1习题：第二章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。
高中数学选修1-1（全册）习题（答案详细讲解）
高中数学选修1-1（全册）习题（答案详细讲解）目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ?不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。
人教A版高中数学选修1-1习题精选(含答案)
习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则=________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则 =________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案
q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． （1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根； （2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ． 解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题 ； 否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题 ； 逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题． （2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题； 否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题 ； 逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题 ．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命
高二人教版数学选修1-1练习：3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
►基础梳理1．极值的概念．如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．求函数y＝f(x)的极值的一般方法．解方程f′(x)＝0.当f′(x)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．,►自测自评1．下面说法正确的是(B)A．可导函数必有极值B．函数在极值点一定有定义C．函数的极小值不会超过极大值D．函数在极值点处导数一定存在2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有(A)A．1个B．2个C．3个D．4个3．函数y＝1＋3x－x3有极小值________，极大值__________．解析：∵y＝1＋3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1，且y′在区间(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上的正负性依次为－，＋，－.∴当x＝－1时，y＝－1是极小值；当x＝1时，y＝3是极大值．答案：－1 31．函数y ＝2x 3－x 2的极大值为(A )A ．0B ．－9C ．0，2716 D.2716解析：y ′＝6x 2－2x ，令y ′＞0，解得x ＜0，x ＞13， 令y ′＜0，解得0＜x ＜13， ∴当x ＝0时，取得极大值0，故选A.2．若函数y ＝x 3－2mx 2＋m 2x, 当x ＝13时， 函数取得极大值， 则m 的值为(C ) A.13或1 B.13C ．1D ．都不对3．若函数y ＝13x 3＋x 2＋ax 在R 上没有极值点，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，∵f (x )在R 上没有极值点，∴Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.答案：a ≥14．求函数f (x )＝－x (x －2)2的极值．解析：函数f (x )的定义域为R .f (x )＝－x (x 2－4x ＋4)＝－x 3＋4x 2－4x ，∴f ′(x )＝－3x 2＋8x －4＝－(x －2)(3x －2)，令f ′(x )＝0得x ＝23或x ＝2. 列表：从表中可以看出，当x ＝23时，函数有极小值， 且f ⎝⎛⎭⎫23＝－23⎝⎛⎭⎫23－22＝－3227. 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝－2(2－2)2＝0. 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．求a 、b 的值与函数f (x )的单调区间．解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0，f ′（1）＝3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.即f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)．函数f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23与(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1.1．f ′(x 0)＝0是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值点的(C )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值点时不仅要f ′(x 0)＝0，而且还要x 0左右的增减性相异．故f (x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．2．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )有唯一的极值，并且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则(C )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0解析：考查函数极小值的概念，只不过换成了符号语言，抓住极小值的定义即可得出答案C.3．函数y ＝1＋3x －x 3(D)A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值3解析：y ′＝3－3x 2，令y ′＝0，得x ＝±1，易判断当x ＝1时，有极大值y ＝3，当x ＝－1时，有极小值y ＝－1.故选D.4．已知函数y ＝2x 3－ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(B )A ．(2，3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)解析：y ′＝6x 2－2ax ＋36，∵x ＝2为极值点，∴当x ＝2时，y ′＝6×4－2a ×2＋36＝0，解得a ＝15，∴y ′＝6x 2－30x ＋36，令y '＝0，得x ＝2，x ＝3，∴y ′＞0时，x ＜2或x ＞3，故选B.5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在区间(0，1)内有极小值，则(A )A ．0＜b ＜1B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12解析：问题等价于方程f ′(x )＝3x 2－3b ＝0在区间(0，1)内有解，并且其较大的解必须在区间(0，1)内．于是得到0＜b ＜1，即0＜b ＜1.故选A.6．设函数f (x )＝x 3－mx 2－nx 的图象与x 轴切于点(1，0)，则f (x )的极值为(A )A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值0 解析：根据导数的几何意义，得到f (1)＝0，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－m －n ＝0，f ′（1）＝3－2m －n ＝0，解得m ＝2，n ＝－1，此时f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，再依据求极值的方法，可以得到极大值为f ⎝⎛⎭⎫13＝427，极小值为f (1)＝0.故选A.7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________． 解析：本题考查对极值定义的理解．依题意有f ′(x )＝2x ()x ＋1－（x 2＋a ）()x ＋12， f ′(1)＝0，解得a ＝3.答案：38．已知三次函数f (x )的图象经过原点，并且当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，则函数f (x )的解析式为________________________________________________________________________．解析：依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，于是⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ′（3）＝27a ＋6b ＋c ＝0，f （1）＝a ＋b ＋c ＝4，f （3）＝27a ＋9b ＋3c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x .答案：f (x )＝x 3－6x 2＋9x点评：典型的待定系数法解题，本题的条件有多余，所以要注意验根．9．若函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2xf ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，∴f ′(2)＝c 2－8c ＋12＝0，c ＝2或c ＝6.当c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(3x －2)(x －2)，当23＜x ＜2，f ′(x )＜0，当x ＞2，f ′(x )＞0， ∴当x ＝2时有极小值．当c ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，当2＜x ＜6时，f ′(x )＜0，当x ＜2时，f ′(x )＞0，∴当x ＝2时有极大值．∴c ＝6符合题意．答案：610．(·惠州三模)已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )的极小值；(2)若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围． 解析：(1)∵当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0.当x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)时，f ′(x )＞0.∴f (x )在(－1，1)上单调递减，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递增．∴f (x )的极小值是f (1)＝－2.(2)f ′(x )＝3x 2－3a ，直线x ＋y ＋m ＝0，即y ＝－x －m ，依题意得，切线斜率k ＝f ′(x )＝3x 2－3a ≠－1，即3x 2－3a ＋1＝0无解．∴Δ＝0－4×3(－3a ＋1)＜0，∴a ＜13. 11．(·惠州一模)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n ，直线与函数f (x )、g (x )的图象都相切于点(1，0)．(1)求直线的方程及g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－g ′(x )[其中g ′(x )是g (x )的导函数]，求函数h (x )的极大值．解析：(1)∵直线是函数f (x )＝ln x 在点(1，0)处的切线，∴其斜率k ＝f ′(1)＝1.∴直线的方程y ＝x －1.又∵直线与g (x )的图象相切，且切于点(1，0)，∴g (x )＝13x 3＋12x 2＋mx ＋n 在点(1，0)的导函数值为1. ⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝0，g ′（1）＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝16.∴g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋16. (2)∵h (x )＝f (x )－g ′(x )＝ln x －x 2－x ＋1(x >0)．∴h ′(x )＝1x －2x －1＝1－2x 2－x x ＝－（2x －1）（x ＋1）x. 令h ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1(舍去)． 当0<x <12时，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 当x >12时，h ′(x )<0，h (x )单调递减． 因此，当x ＝12时，h (x )取得极大值． ∴[h (x )]极大值＝h ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12＋14. ►体验高考1(·新课标全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ∶f ′(x 0)＝0；q ∶x ＝x 0是f (x )的极值点，则(C )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 即不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．2．(·重庆卷)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x . (1)求a 得值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解析：(1)对f (x )求导数得f ′(x )＝14－a x 2－1x， 由f (x )在点(1，f (1))处切线垂直于直线y ＝12x ， 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32， 则f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数；由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5.3．(·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解析：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．4．(·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 2e －x .(1)求f (x )的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．解析：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝－e －x x (x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f (t ))，则l 的方程为y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )．所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝t －f （t ）f ′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2＋3. 由已知和①式得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h (x )＝x ＋2x(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时， h (x )的取值范围为[22，＋∞)；当x ∈(－∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪ [22＋3，＋∞)．综上，l 在x 轴的截距的取值范围是(－∞，0)∪ [22＋3，＋∞).。
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人教B版高中数学选修1-1同步练习题及答案全册汇编（可编辑）人B版高中数学选修1-1同步习题目录第1章1.1.1~1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.3.1同步练习第1章1.3.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1~3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1~3.2.2同步练习第3章3.2.3同步练习第3章3.3.1同步练习第3章3.3.2第1课时同步练习第3章3.3.2第2课时同步练习第3章3.3.3同步练习第3章章末综合检测人教B版选修1-1同步练习1.下列是全称命题且是真命题的是A.?x?R,x20B.?x?Q,x2?QC.?x0?Z,x1D.?x,y?R,x2+y20答案:B2.下列命题是真命题的为A.若=,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则=D.若xy,则x2y2解析:选A.由=,得x=y,A正确,B、C、D错误.3.判断下列命题的真假:?3?3:________;?100或50是10的倍数:________.答案:?真命题 ?真命题4.1用符号“?”表示命题“不论m取什么实数,方程x2+x-m=0 必有实根”;2用符号“?”表示命题“存在实数x,使sinxtanx”.解:1?m?R,x2+x-m=0有实根.2?x0?R,sinx0tanx0.一、选择题1.下列命题为存在性命题的是A.偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行四面体C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案:D2.下列命题是真命题的是A.?是空集B.是无限集C.π是有理数D.x2-5x=0的根是自然数解析:选D.x2-5x=0的根为x1=0,x2=5,均为自然数.3.2010年高考湖南卷下列命题中的假命题是A.?x?R,lgx=0B.?x?R,tanx=1C.?x?R,x30D.?x?R,2x0解析:选C.对于A,当x=1时,lgx=0,正确;对于B,当x=时,tanx=1,正确;对于C,当x0时,x30,错误;对于D,?x?R,2x0,正确.4.下列命题中,是正确的全称命题的是A.对任意的a,b?R,都有a2+b2-2a-2b+20B.菱形的两条对角线相等C.?x0?R,=x0D.对数函数在定义域上是单调函数解析:选D.A中含有全称量词“任意”,a2+b2-2a-2b+2=a-12+b-12?0,是假命题.B、D在叙述上没有全称量词,实际上是指“所有的”.菱形的对角线不一定相等;C是特称命题.所以选D.5.下列存在性命题不正确的是A.有些不相似的三角形面积相等B.存在一个实数x,使x2+x+1?0C.存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大D.有一个实数的倒数是它本身解析:选B.B中因为x2+x+1=x+2+?,所以不存在x使x2+x+1?0;A中等底等高的三角形面积相等但不一定相似;C中a0时,成立;D中1的倒数是它本身.6.下列命题中真命题的个数为?面积相等的两个三角形是全等三角形;?若xy=0,则|x|+|y|=0;?若ab,则a+cb+c;?矩形的对角线互相垂直.A.1B.2C.3D.4解析:选A.?错;?错,若xy=0,则x,y至少有一个为0,而未必|x|+|y|=0;?对,不等式两边同时加上同一个常数,不等号开口方向不变;?错.二、填空题7.填上适当的量词符号“?”“?”,使下列命题为真命题.1________x?R,使x2+2x+1?0;2________α,β?R,使cosα-β=cosα-cosβ.解析:1中x+12?0所以对?x?R恒成立;2为存在性命题.答案:1?;2?8.下列语句中是命题的有________,其中是假命题的有________.只填序号?垂直于同一条直线的两条直线必平行吗??一个数不是正数就是负数;?大角所对的边大于小角所对的边.解析:根据命题的概念,判断是否是命题;若是,再判断其真假.?是疑问句,没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题; ?是假命题,因为0既不是正数也不是负数;?是假命题,没有考虑到“在两个三角形中”的情况.答案:?? ??9.给出下列几个命题:?若x,y互为相反数,则x+y=0;?若ab,则a2b2;?若x-3,则x2+x-6?0;?若a,b是无理数,则ab也是无理数.其中的真命题有________个.解析:?是真命题.?设a=1b=-2,但a2b2,假命题.?设x=4-3,但x2+x-6=410,假命题.?设a=,b=,则ab=2=2是有理数,假命题.答案:1三、解答题10.用量词符号“?”或“?”表示下列命题.1一定有整数x,y,使得3x+2y=10成立;2对所有的实数x,都能使x2+2x+2?0成立.解:1?x,y?Z,使3x+2y=10;2?x?R,有x2+2x+2?0.11.判断下列语句是不是全称命题或存在性命题,如果是,找出命题中的量词.1中国的所有党派都由中国共产党统一领导;20不能作除数;3存在一个x?R,使2x+1=3;4至少有一个x?Z,使x能被2和3整除.解:1全称命题,命题中的量词是“所有”;2是命题,但不是全称命题或者存在性命题;3存在性命题,命题中的量词是“存在一个”;4存在性命题,命题中的量词是“至少有一个”.12.已知p:x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4m-2x+1=0m?R无实根,求使p正确且q正确的m的取值范围. 解:若p为真,则解得m2.若q为真,则Δ=16m-22-160,解得1m3.p真,q真,即故m的取值范围是2,3.人教B版选修1-1同步练习1.如果命题“p?q”是真命题,那么A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q同为真命题或同为假命题C.命题p与命题q只有一个是真命题D.命题p与命题q至少有一个是真命题答案:D2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”,都为真命题的是A.p:4+4=9,q:7>4B.p:a?a,b,c;q:aa,b,cC.p:15是质数;q:8是12的约数D.p:2是偶数;q:2不是质数答案:B3.判断下列命题的形式从“p?q”、“p?q”中选填一种:16?8:________;2集合中的元素是确定的且是无序的:________.答案:p?q p?q4.分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题,并判断其真假.18或6是30的约数;2矩形的对角线垂直平分.解:1p或q,p:8是30的约数假,q:6是30的约数真.“p或q”为真.2p且q,p:矩形的对角线互相垂直假,q:矩形的对角线互相平分真.“p且q”为假.一、选择题1.下列命题是真命题的是A.5>2且7>8B.3>4或3<4C.7-1?7D.方程x2-3x+4=0有实根解析:选B.虽然p:3>4假,但q:3<4真,所以p?q为真命题.2.如果命题p?q为真命题,p?q为假命题,那么A.命题p,q都是真命题B.命题p,q都是假命题C.命题p,q只有一个是真命题D.命题p,q至少有一个是真命题解析:选C.p?q为真命题,则p,q中至少有一个是真命题;p?q为假命题,则p,q中至少有一个是假命题,因此,p,q中必有一个真命题,一个假命题.因此选C.3.命题p:x=π是y=|sinx|的对称轴.命题q:2π是y=|sinx|的最小正周期.下列命题中,是真命题的个数是?p?q ?p?q ?p ?qA.0B.1C.2D.3答案:C4.“xy?0”指的是A.x?0且y?0B.x?0或y?0C.x,y至少有一个不为0D.不都是0解析:选A.x、y都不为0,即x?0且y?0.5.已知集合A=x|px=x|x是等腰三角形,B=x|qx=x|x是直角三角形,用特征性质描述法表示A?B是A.x|p且q=x|x是等腰直角三角形B.x|p或q=x|x是等腰三角形或直角三角形C.x|p且q=x|x是等腰三角形D.x|p或q=x|x是直角三角形答案:A6.若命题p:圆x-12+y-22=1被直线x=1平分;q:在?ABC中,若sin2A=sin2B,则A=B,则下列结论中正确的是A.“p?q”为假B.“p?q”为真C.“p?q”为真D.以上都不对答案:B二、填空题7.“10既是自然数又是偶数”为________形式.解析:注意逻辑联结词“且”的含义.答案:p?q8.用“或”、“且”填空,使命题成为真命题:1若x?A?B,则x?A________x?B;2若x?A?B,则x?A________x?B;3若ab=0,则a=0________b=0;4a,b?R,若a>0________b>0,则ab>0.答案:1或 2且 3或 4且9.设命题p:2x+y=3;q:x-y=6.若p?q为真命题,则x=________,y=________. 解析:若p?q为真命题,则p,q均为真命题,所以有解得答案:3 -3三、解答题10.判断下列命题的真假:1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边;2-1是偶数或奇数.解:1这个命题是p?q的形式,其中p:等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:等腰三角形顶角的平分线垂直于底边.因为p真、q真,则p?q真,所以该命题是真命题.2此命题是p?q的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.因为p为假命题,q为真命题,所以p?q为真命题,故原命题为真命题.11.分别指出由下列各组命题构成的“p?q”、“p?q”形式的命题的真假.1p:正多边形有一个内切圆;q:正多边形有一个外接圆.2p;角平分线上的点到角的两边的距离不相等;q:线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等.3p:2?2,3,4;q:矩形?菱形=正方形.4p:正六边形的对角线都相等;q:凡是偶数都是4的倍数.解:1因为p真q真,所以“p?q”真,“p?q”真.2因为p假q真,所以“p?q”假,“p?q”真.3因为p真q真,所以“p?q”真,“p?q”真.4因为p假q假,所以“p?q”假,“p?q”假.12.已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+1>0对?x?R恒成立.若p?q为假,p?q为真,求a的取值范围.解:?y=ax在R上单调递增,?p:a>1;又不等式ax2-ax+1>0对?x?R恒成立,?Δ<0,即a2-4a<0,?0<a<4,?q:0<a<4.而命题p?q为假,p?q为真,那么p、q中有且只有一个为真,一个为假.1若p真,q假,则a?4;2若p假,q真,则0<a?1,?a的取值范围为0,1]?[4,+?.人教B版选修1-1同步练习1.2011年高考辽宁卷已知命题p:?n?N,2n>1000,则?p为A.?n?N,2n?1000B.?n?N,2n>1000C.?n?N,2n?1000D.?n?N,2n<1000答案:A2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是A.一次函数都不是单调函数B.非一次函数都不是单调函数C.有些一次函数是单调函数D.有些一次函数不是单调函数解析:选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.3.A?A?B是________形式;该命题是________填“真”“假”命题.答案:“?p” 假4.写出下列命题的否定,并判断真假1所有的矩形都是平行四边形;2有些实数的绝对值是正数.解:1存在一个矩形不是平行四边形;假命题;2所有的实数的绝对值都不是正数;假命题.一、选择题1.如果命题“p?q”与命题“?p”都是真命题,那么A.命题p不一定是假命题B.命题q一定为真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真假相同解析:选B.“p?q”为真,则p、q至少有一个为真.?p为真,则p为假,?q是真命题.2.命题“对任意的x?R,x3-x2+1?0”的否定是A.不存在x?R,使得x3-x2+1?0B.存在x?R,使得x3-x2+1?0C.存在x?R,使得x3-x2+1>0D.对任意的x?R,x3-x2+1>0解析:选C.全称命题的否定为存在性命题.3.若p、q是两个简单命题,且“p?q”的否定是真命题,则必有A.p真q真B.p假q假C.p真q假D.p假q真解析:选B.?“p?q”的否定为真,则p?q为假,即p、q均为假.故选B.4.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题为真命题的是A.?p?qB.p?qC.?p??qD.?p??q解析:选D.p为真,q为假,所以?q为真,?p??q为真.5.下列命题的否定是假命题的是A.p:能被3整除的整数是奇数;?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;?p:存在一个四边形的四个顶点不共圆C.p:有些三角形为正三角形;?p:所有的三角形都不是正三角形D.p:?x0?R,x+2x0+2?0;?p:?x?R,都有x2+2x+20解析:选C.p为真命题,则?p为假命题.6.给出两个命题:p:函数y=x2-x-1有两个不同的零点;q:若1,则x1,那么在下列四个命题中,真命题是A.?p?qB.p?qC.?p??qD.?p??q解析:选D.对于p,函数对应的方程x2-x-1=0的判别式Δ=-12-4×-1=50.可知函数有两个不同的零点,故p为真.当x0时,不等式1恒成立;当x0时,不等式的解为x1.故不等式1的解为x0或x1.故命题q为假命题.所以只有?p??q为真.故选D.二、填空题7.写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定:________.解析:命题的量词是“每个”,即为全称命题,因此否定是特称命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论.答案:有些函数没有奇偶性8.命题“存在实数x,y,使得x+y1”,用符号表示为________;此命题的否定是________用符号表示,是________命题填“真”或“假”.解析:原命题为真,所以它的否定为假.也可以用线性规划的知识判断.答案:?x0,y0?R,x0+y01 ?x,y?R,x+y?1 假9.命题“方程x2=4的解是x=2或x=-2”的否定是____________________________.解析:x2=4的解是x=2或x=-2,则它的否定:解不是2也不是-2.答案:方程x2=4的解不是2也不是-2.三、解答题10.写出下列各命题的否定:1x=?3;2圆既是轴对称图形又是中心对称图形;3a,b,c都相等.解:1x?3,且x?-3;2圆不是轴对称图形或不是中心对称图形;3a,b,c不都相等,即a?b或b?c或c?a,即a,b,c中至少有两个不相等.11.用“?”“?”写出下列命题的否定,并判断真假:1二次函数的图象是抛物线;2直角坐标系中,直线是一次函数的图象;3?a,b?R,方程ax+b=0恰有一解.解:1?p:?x0?二次函数,x0的图象不是抛物线.假命题.2?p:在直角坐标系中,?x0?直线,x0不是一次函数的图象.真命题.3?p:?a0,b0?R,方程a0x+b0=0无解或至少有两解.真命题.12.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足若?p则?q成立,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0得x-3ax-a<0,又a>0,所以a<x<3a,由,得2<x?3,若?p则?q成立,设A=x|?p,B=x|?q,则A?B,又A=x|?p=x|x?a或x?3a,B=x|?q=x?2或x>3,则0<a?2,且3a>3,所以实数a的取值范围是a|1<a?2.人教B版选修1-1同步练习1.2011年高考福建卷若a?R,则“a=1”是“|a|=1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A.若a=1,则有|a|=1是真命题,即a=1?|a|=1,由|a|=1可得a=?1,所以若|a|=1,则有a=1是假命题,即|a|=1?a=1不成立, 所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件,故选A.2.“θ=0”是“sinθ=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.由于“θ=0”时,一定有“sinθ=0”成立,反之不成立,所以“θ=0”是“sinθ=0”的充分不必要条件.3.用符号“?”或“ ”填空:1整数a能被4整除________a的个位数为偶数;2ab________ac2bc2.答案:1? 24.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的什么条件?解:当a=2时,直线ax+2y=0,即2x+2y=0与直线x+y=1平行, 因为直线ax+2y=0平行于直线x+y=1,所以=1,a=2,综上,“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件.一、选择题1.设集合M=x|0x?3,N=x|0x?2,那么“a?M”是“a?N”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.M=x|0x?3,N=x|0x?2,所以NM,故a?M是a?N的必要不充分条件.2.2010年高考福建卷若向量a=x,3x?R,则“x=4是|a|=5”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A.由x=4知|a|==5;反之,由|a|==5,得x=4或x=-4. 故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件,故选A.3.“b=c=0”是“二次函数y=ax2+bx+ca?0经过原点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.b=c=0?y=ax2,二次函数一定经过原点;二次函数y=ax2+bx+c经过原点?c=0,b不一定等于0,故选A.4.已知p,q,r是三个命题,若p是r的充要条件且q是r的必要条件,那么q是p的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件,故有p ?r ?q,即p?q,q p,所以q是p的必要条件.5.已知条件p:y=lgx2+2x-3的定义域,条件q:5x-6x2,则q是p的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.p:x2+2x-30,则x1或x-3;q:5x-6x2,即x2-5x+60,则2<x<3.由小集合?大集合,?q?p,但p q.故选A.6.下列所给的p、q中,p是q的充分条件的个数是?p:x1,q:-3x-3;?p:x1,q:2-2x2;?p:x=3,q:sinxcosx;?p:直线a,b不相交,q:a‖b.A.1B.2C.3D.4解析:选C.?由于p:x1?q:-3x-3,所以p是q的充分条件;?由于p:x1?q:2-2x2即x0,所以p是q的充分条件;?由于p:x=3?q:sinxcosx,所以p是q的充分条件;?由于p:直线a,b不相交q:a‖b,所以p不是q的充分条件.二、填空题7.不等式x2-3x+20成立的充要条件是________.解析:x2-3x+20?x-1x-20?1x2.答案:1x28.在?ABC中,“sinA=sinB”是“a=b”的________条件.解析:在?ABC中,由正弦定理及sinA=sinB可得2RsinA=2RsinB,即a=b;反之也成立.答案:充要9.下列不等式:?x1;?0x1;?-1x0;?-1x1.其中,可以是x21的一个充分条件的所有序号为________.解析:由于x21即-1x1,?显然不能使-1x1一定成立,???满足题意.答案:???三、解答题10.下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件:1p:|x|=|y|,q:x=y;2p:?ABC是直角三角形,q:?ABC是等腰三角形;3p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形.解:1?|x|=|y| x=y,但x=y?|x|=|y|,?p是q的必要条件,但不是充分条件.2?ABC是直角三角形 ?ABC是等腰三角形.?ABC是等腰三角形 ?ABC是直角三角形.?p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.3四边形的对角线互相平分四边形是矩形.四边形是矩形?四边形的对角线互相平分.?p是q的必要条件,但不是充分条件.11.命题p:x0,y0,命题q:xy,,则p是q的什么条件? 解:p:x0,y0,则q:xy,成立;反之,由xy,?0,因y-x0,得xy0,即x、y异号,又xy,得x0,y0.所以“x0,y0”是“xy,”的充要条件.12.已知条件p:A=x|x2-a+1x+a?0,条件q:B=x|x2-3x+2?0, 当a为何值时1p是q的充分不必要条件;2p是q的必要不充分条件;3p是q的充要条件?解:由p:A=x|x-1x-a?0,由q:B=[1,2].1?p是q的充分不必要条件,?A?B且A?B,故A=[1,a]?1?a<2.2?p是q的必要不充分条件,?B?A且A?B,故A=[1,a]且a>2?a>2.3?p是q的充要条件,?A=B?a=2 人教B版选修1-1同步练习1.命题“若a0,则=”的逆命题为A.若a?0,则?B.若?,则a0C.若?,则a?0D.若=,则a0解析:选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调.2.2011年高考山东卷已知a,b,c?R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2?3”的否命题是A.若a+b+c?3,则a2+b2+c23B.若a+b+c=3,则a2+b2+c23C.若a+b+c?3,则a2+b2+c2?3D.若a2+b2+c2?3,则a+b+c=3解析:选A.a+b+c=3的否定是a+b+c?3,a2+b2+c2?3的否定是a2+b2+c2<3.3.命题“若A?B=B,则A?B”的否命题是________.答案:若A?B?B,则A?B4.已知命题p:“若ac?0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.1写出命题p的否命题;2判断命题p的否命题的真假.解:1命题p的否命题为:“若ac0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”;2命题p的否命题是真命题.证明如下:?ac0,?-ac0?Δ=b2-4ac0?二次方程ax2+bx+c=0有实根.?该命题是真命题.一、选择题1.若“xy,则x2y2”的逆否命题是A.若x?y,则x2?y2B.若xy,则x2y2C.若x2?y2,则x?yD.若xy,则x2y2解析:选C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题.2.命题“若?ABC有一内角为,则?ABC的三内角成等差数列”的逆命题A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题解析:选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若?ABC的三内角成等差数列,则?ABC有一内角为”,它是真命题.故选D.3.已知原命题“菱形的对角线互相垂直”,则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是A.逆命题、否命题、逆否命题都为真B.逆命题为真,否命题、逆否命题为假C.逆命题为假,否命题、逆否命题为真D.逆命题、否命题为假,逆否命题为真解析:选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题,所以它的逆否命题为真;其逆命题:“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题,所以原命题的否命题也是假命题.4.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的A.逆命题B.逆否命题C.否命题D.以上判断都不对解析:选B.命题p:若x,则y,其逆命题q:若y,则x,那么命题q的否命题r:若?y,则?x,所以p是r的逆否命题.所以选B.5.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除解析:选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题,选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题.6.存在下列三个命题:?“等边三角形的三个内角都是60?”的逆命题;?“若k0,则一元二次方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;?“全等三角形的面积相等”的否命题.其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析:选C.??正确.二、填空题7.命题“若a1,则a0”的逆命题是________,逆否命题是________.答案:若a0,则a1 若a?0,则a?18.有下列几个命题:?“若ab,则a2b2”的否命题;?“若a+b是无理数,则a,b都是无理数”的逆命题;?“若x24,则-2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案:?9.在空间中,?若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线;?若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.解析:?中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以?中的逆命题不是真命题.?中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以?中的逆命题是真命题.答案:?三、解答题10.写出下列原命题的其他三种命题,并分别判断真假.1在?ABC中,若ab,则?A?B;2正偶数不是质数.解:1逆命题:在?ABC中,若?A?B,则ab,真命题;否命题:在?ABC中,若a?b,则?A??B,真命题;逆否命题:在?ABC中,若?A??B,则a?b,真命题.2逆命题:若一个数不是质数,则它一定是正偶数,假命题;否命题:若一个数不是正偶数,则它一定是质数,假命题;逆否命题:若一个数是质数,则它一定不是正偶数,假命题.11.判断下列命题的真假:1“若x?A?B,则x?B”的逆命题与逆否命题;2“若自然数能被6整除,则自然数能被2整除”的逆命题.解:1逆命题:若x?B,则x?A?B.根据集合“并”的定义,逆命题为真.逆否命题:若x?B,则x?A?B.逆否命题为假.如2?1,5=B,A=2,3,但2?A?B.2逆命题:若自然数能被2整除,则自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除.12.判断命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.解:?m0,?12m0,?12m+40.?方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+40.?原命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真命题.又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真命题.人教B版选修1-1第1章章末综合检测时间:120分钟;满分:150分一、选择题本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.命题“若A?B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是A.0B.2C.3D.4解析:选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真.故共有2个真命题.2.若命题p:x=2且y=3,则?p为A.x?2或y?3B.x?2且y?3C.x=2或y?3D.x?2或y=3解析:选A.由于“且”的否定为“或”,所以?p:x?2或y?3.故选A.3.命题“若ab,则a-b-”的逆否命题是A.若ab,则a-b-B.若a-b-,则abC.若a?b,则a-?b-D.若a-?b-,则a?b解析:选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论,把原命题结论的否定作为条件而构成的.4.下列语句中,命题和真命题的个数分别是?垂直于同一条直线的两条直线平行吗??一个数不是奇数就是偶数;?x+y是有理数,则x、y也都是有理数;?求证:x?R,方程x2+x+1=0无实数根.A.3,1B.2,2C.2,0D.2,1解析:选C.命题是?、?,它们都是假命题,所以选C.5.下列全称命题中假命题的个数是?2x+1是整数x?R ?对所有的x?R,x3 ?对任意一个x?Z,2x2+1为奇数A.0B.1C.2D.3解析:选C.对于?,当x=时,2x+1=不是整数,假命题.对于?,当x=0时,03,假命题.对于?,当x?Z时,2x2是偶数,进而2x2+1是奇数,所以??是假命题,故选C.6.“x0”是“0”成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件解析:选A.因为当x0时,一定有0,但当0时,x0也成立,因此,x0是0成立的充分非必要条件.7.下列命题中的假命题是A.?x?R,2x-10B.?x?N*,x-120C.?x?R,lgx1D.?x?R,tanx=2解析:选B.对于A,正确;对于B,当x=1时,x-12=0,错误;对于C,当x?0,1时,lgx01,正确;对于D,正确.8.2011年高考大纲全国卷下面四个条件中,使ab成立的充分而不必要的条件是A.ab+1B.ab-1C.a2b2D.a3b3解析:选A.由a>b+1得a>b+1>b,即a>b;且由a>b不能得出a>b+1.因此,使a>b成立的充分不必要条件是a>b+1,故选A.9.fx、gx是定义在R上的函数,hx=fx+gx,则“fx、gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.若fx、gx均为偶函数,则hx一定是偶函数,但hx是偶函数,并不能保证fx、gx均为偶函数,例如:fx=x,gx=-x,fx+gx=0是偶函数,但fx与gx均为奇函数.10.已知p:x=1,?q:x2+8x-9=0,则下列为真命题的是A.若p,则qB.若?q,则pC.若q,则?pD.若?p,则q解析:选C.p:x=1,q:x?1且x?-9,易判断A、B为假命题,?x2+8x-9?0?x?1,?选项C正确.11.下列说法错误的是A.命题“若m0,则方程x2+3x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+3x-m=0无实根,则m?0”B.“x=2”是“x2-5x+6=0”的充分不必要条件C.若p?q为假命题,则p、q均为假命题D.若命题p:?x0?R,使得x+x0+10,则?p:?x?R,均有x2+x+1?0解析:选C.C项p?q为假命题,则只要p、q中至少有一个为假即可.12.已知命题p:存在x?R,使tanx=,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2,则下列结论:?命题“p且q”是真命题;?命题“p且?q”是假命题;?命题“?p或q”是真命题;?命题“?p或?q”是假命题.其中正确的是A.??B.???C.???D.????解析:选D.?p、q都是真命题,?????均正确.二、填空题本大题共4小题.把答案填在题中横线上13.命题p:内接于圆的四边形的对角互补,则p的否命题是________,非p是________.答案:不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14.用量词符号“?”或“?”表示下列命题:1凸n边形的外角和等于2π:________;2存在一个有理数x0,使得x=8:________.答案:1?x?凸n边形,x的外角和等于2π2?x0?Q,x=815.a=3是“直线l1:ax+2y+3a=0和直线l2:3x+a-1y=a-7平行且不重合”的________条件.解析:当a=3时,l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y+4=0,?l1‖l2.反之,若l1‖l2,则aa-1=6,即a=3或a=-2,但a=-2时,l1与l2重合.答案:充要16.给出下列命题:?已知a=3,4,b=0,-1,则a在b方向上的投影为-4;?函数y=tanx+的图象关于点,0成中心对称;?若a?0,则a?b=a?c是b=c成立的必要不充分条件.其中正确命题的序号是________.将所有正确命题的序号都填上解析:??|a|=5,|b|=1,a?b=-4,?cos〈a,b〉=-,?a在b方向上的投影为|a|?cos〈a,b〉=-4,?正确.?当x=时,tanx+无意义,由正切函数y=tanx的图象的性质知,?正确.?当a?0,b=c时,a?b=a?c成立.当a?0,a?b=a?c时不一定有b=c.??正确.答案:???三、解答题本大题共6小题.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知命题p:?非零向量a、b、c,若a?b-c=0,则b=c.写出其否定和否命题,并说明真假.解:?p:?非零向量a、b、c,若a?b-c=0,则b?c.?p为真命题.否命题:?非零向量a、b、c,若a?b-c?0,则b?c.否命题为真命题.18.指出下列命题中,p是q的什么条件:1p:x|x-2或x3;q:x|x2-x-60;2p:a与b都是奇数;q:a+b是偶数.解:1?x|x-2或x3=R,x|x2-x-60=x|-2x3,?x|x-2或x3x|-2x3,而x|-2x3?x|x-2或x3.?p是q的必要不充分条件.2?a、b都是奇数?a+b为偶数,而a+b为偶数a、b都是奇数,?p是q的充分不必要条件.19.根据条件,判断“p?q”,“p?q”,“?p”的真假:1p:9是144的约数,q:9是225的约数;2p:不等式x2-2x+10的解集为R,q:不等式x2-2x+1?0的解集为解:1p?q:9是144或225的约数.p?q:9是144与225的公约数.?p:9不是144的约数.?p真,q真,?p?q为真,p?q为真,而?p为假.2p?q:不等式x2-2x+10的解集为R或不等式x2-2x+1?0的解集为 p?q:不等式x2-2x+10的解集为R且不等式x2-2x+1?0的解集为 ?p:不等式x2-2x+10的解集不为R.?p假,q假,?p?q为假,p?q为假,而?p为真.20.已知p:A=x|a-4xa+4,q:B=x|x2-4x+30,且x?A是x?B的必要条件,求实数a 的取值范围.解:因为p:A=x|a-4xa+4,q:B=x|1x3.又因为x?A是x?B的必要条件,所以q?p,即B?A.所以?即-1?a?5.?实数a的取值范围是a|-1?a?5.21.已知p:x2-x?6,q:x?Z.若p?q和?q都是假命题,求x的值.解:?p?q为假命题,?p、q至少有一个为假.??q为假,?q为真,即p假q真,?x2-x6且x?Z,?-2x3且x?Z,即x=-1,0,1,2.22.π是圆周率,a、b、c、d?Q,已知命题p:若aπ+b=cπ+d,则a=c且b=d.1写出p的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假;2判断“a=c且b=d”是“aπ+b=cπ+d”的什么条件?解:1逆命题:若a=c且b=d,则aπ+b=cπ+d,真命题.逆否命题:若a?c或b?d,则aπ+b?cπ+d,真命题.否命题:若aπ+b?cπ+d,则a?c或b?d,真命题.2“a=c且b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件.充分性:?aπ+b=cπ+d;必要性:aπ+b=cπ+d?a-cπ=d-b,?d-b?Q,?a-c=0,d-b=0,即a=c且b=d 人教B版选修1-1同步练习1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于A.4B.5C.8D.10答案:D2.椭圆+=1的焦点坐标是A.?4,0B.0,?4C.?3,0D.0,?3答案:D3.已知椭圆的两个焦点为F1-1,0,F21,0,且2a=6,则椭圆的标准方程为________.答案:+=14.已知B、C是两定点,|BC|=8,且?ABC的周长等于18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.。
人教B版高中数学选修1-1同步练习题及答案全册汇编
人B版高中数学选修1-1同步习题目录第1章1.1.1~1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.3.1同步练习第1章1.3.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1~3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1~3.2.2同步练习第3章3.2.3同步练习第3章3.3.1同步练习第3章3.3.2第1课时同步练习第3章3.3.2第2课时同步练习第3章3.3.3同步练习第3章章末综合检测人教B 版选修1-1同步练习1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0 答案：B2．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x <y 2解析：选A.由1x ＝1y，得x ＝y ，A 正确，B 、C 、D 错误．3．判断下列命题的真假： ①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________. 答案：①真命题 ②真命题4．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”； (2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”． 解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根． (2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行四面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．存在实数大于等于3 答案：D2．下列命题是真命题的是( ) A ．{∅}是空集B.{}x ∈N ||x －1|<3是无限集 C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数． 3．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．4．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.5．下列存在性命题不正确的是( ) A ．有些不相似的三角形面积相等 B ．存在一个实数x ，使x 2＋x ＋1≤0C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大D ．有一个实数的倒数是它本身解析：选B.B 中因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，所以不存在x 使x 2＋x ＋1≤0；A 中等底等高的三角形面积相等但不一定相似；C 中a >0时，成立；D 中1的倒数是它本身．6．下列命题中真命题的个数为( ) ①面积相等的两个三角形是全等三角形； ②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0； ③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ； ④矩形的对角线互相垂直． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①错；②错，若xy ＝0，则x ，y 至少有一个为0，而未必|x |＋|y |＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．二、填空题7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题． (1)________x ∈R ，使x 2＋2x ＋1≥0；(2)________α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α－cos β.解析：(1)中(x ＋1)2≥0所以对∀x ∈R 恒成立；(2)为存在性命题． 答案：(1)∀；(2)∃8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号) ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况． 答案：②③ ②③9．给出下列几个命题：①若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0； ②若a >b ，则a 2>b 2；③若x >－3，则x 2＋x －6≤0；④若a ，b 是无理数，则a b 也是无理数． 其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a ＝1>b ＝－2，但a 2<b 2，假命题．③设x ＝4>－3，但x 2＋x －6＝41>0，假命题．④设a ＝(2)2，b ＝2，则a b ＝(2)2＝2是有理数，假命题．答案：1 三、解答题10．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)一定有整数x ，y ，使得3x ＋2y ＝10成立； (2)对所有的实数x ，都能使x 2＋2x ＋2≤0成立． 解：(1)∃x ，y ∈Z ，使3x ＋2y ＝10； (2)∀x ∈R ，有x 2＋2x ＋2≤0.11．判断下列语句是不是全称命题或存在性命题，如果是，找出命题中的量词．(1)中国的所有党派都由中国共产党统一领导； (2)0不能作除数；(3)存在一个x ∈R ，使2x ＋1＝3；(4)至少有一个x ∈Z ，使x 能被2和3整除． 解：(1)全称命题，命题中的量词是“所有”； (2)是命题，但不是全称命题或者存在性命题； (3)存在性命题，命题中的量词是“存在一个”； (4)存在性命题，命题中的量词是“至少有一个”．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R )无实根，求使p 正确且q 正确的m 的取值范围．解：若p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2.若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.p 真，q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <3.故m 的取值范围是(2,3)．人教B版选修1-1同步练习1．如果命题“p∨q”是真命题，那么()A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q同为真命题或同为假命题C．命题p与命题q只有一个是真命题D．命题p与命题q至少有一个是真命题答案：D2．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”，都为真命题的是()A．p：4＋4＝9，q：7＞4B．p：a∈{a，b，c}；q：{a}{a，b，c}C．p：15是质数；q：8是12的约数D．p：2是偶数；q：2不是质数答案：B3．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨q p∧q4．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线垂直平分．解：(1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．一、选择题1．下列命题是真命题的是()A．5＞2且7＞8B．3＞4或3＜4C．7－1≥7 D．方程x2－3x＋4＝0有实根解析：选B.虽然p：3＞4假，但q：3＜4真，所以p∨q为真命题．2．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题解析：选C.p∨q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题；p∧q为假命题，则p，q 中至少有一个是假命题，因此，p，q中必有一个真命题，一个假命题．因此选C.3．命题p：x＝π是y＝|sin x|的对称轴．命题q：2π是y＝|sin x|的最小正周期．下列命题中，是真命题的个数是()①p∨q②p∧q③p④qA．0 B．1C．2 D．3答案：C4．“xy≠0”指的是()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个不为0D．不都是0解析：选A.x 、y 都不为0，即x ≠0且y ≠0.5．已知集合A ＝{x |p (x )}＝{x |x 是等腰三角形}，B ＝{x |q (x )}＝{x |x 是直角三角形}，用特征性质描述法表示A ∩B 是( )A ．{x |p 且q }＝{x |x 是等腰直角三角形}B ．{x |p 或q }＝{x |x 是等腰三角形或直角三角形}C ．{x |p 且q }＝{x |x 是等腰三角形}D ．{x |p 或q }＝{x |x 是直角三角形} 答案：A 6．若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin2A ＝sin2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( )A ．“p ∨q ”为假B ．“p ∨q ”为真C ．“p ∧q ”为真D ．以上都不对 答案：B 二、填空题7．“10既是自然数又是偶数”为________形式． 解析：注意逻辑联结词“且”的含义． 答案：p ∧q8．用“或”、“且”填空，使命题成为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0. 答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且9．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 解析：若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.答案：3 －3 三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)－1是偶数或奇数．解：(1)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p 真、q 真，则p ∧q 真，所以该命题是真命题．(2)此命题是p ∨q 的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数．因为p 为假命题，q 为真命题，所以p ∨q 为真命题，故原命题为真命题．11．分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”、“p ∨q ”形式的命题的真假． (1)p ：正多边形有一个内切圆；q ：正多边形有一个外接圆．(2)p ；角平分线上的点到角的两边的距离不相等；q ：线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．(3)p ：2∈{2,3,4}；q ：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．(4)p ：正六边形的对角线都相等；q ：凡是偶数都是4的倍数． 解：(1)因为p 真q 真，所以“p ∧q ”真，“p ∨q ”真． (2)因为p 假q 真，所以“p ∧q ”假，“p ∨q ”真． (3)因为p 真q 真，所以“p ∧q ”真，“p ∨q ”真． (4)因为p 假q 假，所以“p ∧q ”假，“p ∨q ”假．12．已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．解：∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1； 又不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ＜0，即a2－4a＜0，∴0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.而命题p∧q为假，p∨q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p真，q假，则a≥4；(2)若p假，q真，则0＜a≤1，∴a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．人教B版选修1-1同步练习1．(2011年高考辽宁卷)已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则¬p为()A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n＜1000答案：A2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是()A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．3．A⃘(A∪B)是________形式；该命题是________(填“真”“假”)命题．答案：“¬p”假4．写出下列命题的否定，并判断真假(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)有些实数的绝对值是正数．解：(1)存在一个矩形不是平行四边形；假命题；(2)所有的实数的绝对值都不是正数；假命题．一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“¬p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．¬p为真，则p为假，∴q是真命题．2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，使得x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，使得x3－x2＋1＞0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0解析：选C.全称命题的否定为存在性命题．3．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有()A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真解析：选B.∵“p∨q”的否定为真，则p∨q为假，即p、q均为假．故选B.4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(¬p)∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)解析：选D.p为真，q为假，所以¬q为真，(¬p)∨(¬q)为真．5．下列命题的否定是假命题的是()A．p：能被3整除的整数是奇数；¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有些三角形为正三角形；¬p：所有的三角形都不是正三角形D ．p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；¬p ：∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋2>0 解析：选C.p 为真命题，则¬p 为假命题．6．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )解析：选D.对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0. 可知函数有两个不同的零点，故p 为真．当x <0时，不等式1x<1恒成立；当x >0时，不等式的解为x >1.故不等式1x<1的解为x <0或x >1.故命题q 为假命题． 所以只有(¬p )∨(¬q )为真．故选D. 二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x ，y ，使得x ＋y >1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断． 答案：∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0>1 ∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1 假 9．命题“方程x 2＝4的解是x ＝2或x ＝－2”的否定是____________________________．解析：x 2＝4的解是x ＝2或x ＝－2，则它的否定：解不是2也不是－2. 答案：方程x 2＝4的解不是2也不是－2. 三、解答题10．写出下列各命题的否定： (1)x ＝±3；(2)圆既是轴对称图形又是中心对称图形； (3)a ，b ，c 都相等．解：(1)x ≠3，且x ≠－3；(2)圆不是轴对称图形或不是中心对称图形；(3)a ，b ，c 不都相等，即a ≠b 或b ≠c 或c ≠a ，即a ，b ，c 中至少有两个不相等． 11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假： (1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象； (3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解． 解：(1)¬p ：∃x 0∈{二次函数}，x 0的图象不是抛物线．假命题． (2)¬p ：在直角坐标系中，∃x 0∈{直线}，x 0不是一次函数的图象．真命题． (3)¬p ：∃a 0，b 0∈R ，方程a 0x ＋b 0＝0无解或至少有两解．真命题．12．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若¬p 则¬q 成立，求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0得 (x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8＞0，得2＜x ≤3， 若¬p 则¬q 成立， 设A ＝{x |¬p }，B ＝{x |¬q }，则A ⊆B ， 又A ＝{x |¬p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， B ＝{x |¬q }＝{x ≤2或x ＞3}，则0＜a ≤2，且3a ＞3，所以实数a 的取值范围是{a |1＜a ≤2}．人教B 版选修1-1同步练习1．(2011年高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1，所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件，故选A.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．用符号“⇒”或“”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：(1)⇒ (2)4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，所以a 2＝1，a ＝2， 综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4是|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p 的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q p，所以q是p的必要条件．5．已知条件p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，则2＜x＜3.由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p q．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sin x>cos x；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sin x>cos x，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的什么条件？ 解：p ：x >0，y <0，则q ：x >y ，1x >1y成立； 反之，由x >y ，1x >1y ⇒y －x xy>0， 因y －x <0，得xy <0，即x 、y 异号，又x >y ，得x >0，y <0.所以“x >0，y <0”是“x >y ，1x >1y”的充要条件． 12．已知条件p ：A ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，条件q ：B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，当a 为何值时(1)p 是q 的充分不必要条件；(2)p 是q 的必要不充分条件；(3)p 是q 的充要条件？解：由p ：A ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，由q ：B ＝[1,2]．(1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊆B 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]⇒1≤a ＜2.(2)∵p 是q 的必要不充分条件，∴B ⊆A 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]且a ＞2⇒a ＞2.(3)∵p 是q 的充要条件，∴A ＝B ⇒a ＝2.人教B 版选修1-1同步练习1．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34 B ．若3a 4a ≠34，则a >0 C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0 D ．若3a 4a ＝34，则a >0 解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．2．(2011年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2＜3.3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．答案：若A ∪B ≠B ，则A ⃘B4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”；(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若¬y，则¬x，所以p是r的逆否命题．所以选B.5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若a＋b是无理数，则a，b都是无理数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案：③9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．答案：②三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是质数．解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是质数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是质数，假命题；逆否命题：若一个数是质数，则它一定不是正偶数，假命题．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．人教B 版选修1-1第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：选B.原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真．故共有2个真命题．2．若命题p ：x ＝2且y ＝3，则¬p 为( )A ．x ≠2或y ≠3B ．x ≠2且y ≠3C ．x ＝2或y ≠3D ．x ≠2或y ＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p ：x ≠2或y ≠3.故选A.3．命题“若a >b ，则a －5>b －5”的逆否命题是( )A ．若a <b ，则a －5<b － 5B ．若a －5>b －5，则a >bC ．若a ≤b ，则a －5≤b － 5D ．若a －5≤b －5，则a ≤b解析：选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论，把原命题结论的否定作为条件而构成的．4．下列语句中，命题和真命题的个数分别是( )①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数不是奇数就是偶数；③x ＋y 是有理数，则x 、y 也都是有理数；④求证：x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实数根．A ．3,1B ．2,2C ．2,0D ．2,1解析：选C.命题是②、③，它们都是假命题，所以选C.5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x ＋1是整数(x ∈R ) ②对所有的x ∈R ，x >3 ③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C.对于①，当x ＝14时，2x ＋1＝32不是整数，假命题．对于②，当x ＝0时，0<3，假命题．对于③，当x ∈Z 时，2x 2是偶数，进而2x 2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C.6．“x >0”是“3x 2>0”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件解析：选A.因为当x >0时，一定有3x 2>0，但当3x 2>0时，x <0也成立，因此，x >0是3x 2>0成立的充分非必要条件．7．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0,1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，故选A.9．f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)、g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(x)一定是偶函数，但h(x)是偶函数，并不能保证f(x)、g(x)均为偶函数，例如：f(x)＝x，g(x)＝－x，f(x)＋g(x)＝0是偶函数，但f(x)与g(x)均为奇函数．10．已知p：x＝1，¬q：x2＋8x－9＝0，则下列为真命题的是()A．若p，则q B．若¬q，则pC．若q，则¬p D．若¬p，则q解析：选C.p：x＝1，q：x≠1且x≠－9，易判断A、B为假命题，∵x2＋8x－9≠0⇒x≠1，∴选项C正确．11．下列说法错误的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋3x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析：选C.C项p∧q为假命题，则只要p、q中至少有一个为假即可．12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13．命题p：内接于圆的四边形的对角互补，则p的否命题是________，非p是________．答案：不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________.答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16．给出下列命题：①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4；②函数y ＝tan(x ＋π3)的图象关于点(π6，0)成中心对称； ③若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确命题的序号都填上)解析：①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝－45， ∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4，①正确．②当x ＝π6时，tan(x ＋π3)无意义， 由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确．③当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立．(当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c .)∴③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ≠c .¬p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．指出下列命题中，p 是q 的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数．解：(1)∵{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，∴p 是q 的充分不必要条件．19．根据条件，判断“p ∨q ”，“p ∧q ”，“¬p ”的真假：(1)p ：9是144的约数，q ：9是225的约数；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.解：(1)p ∨q ：9是144或225的约数．p ∧q ：9是144与225的公约数．¬p ：9不是144的约数．∵p 真，q 真，∴p ∨q 为真，p ∧q 为真，而¬p 为假．(2)p ∨q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 或不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.p ∧q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.¬p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集不为R .∵p 假，q 假，∴p ∨q 为假，p ∧q 为假，而¬p 为真．20．已知p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |1<x <3}．又因为x ∈A 是x ∈B 的必要条件，所以q ⇒p ，即B ⊆A .所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，即－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤5}．21．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若p ∧q 和¬q 都是假命题，求x 的值．解：∵p ∧q 为假命题，∴p 、q 至少有一个为假．。
人教B版高中数学选修1-1同步练习题及答案全册汇编
人B版高中数学选修1-1同步习题目录第1章1.1.1~1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.3.1同步练习第1章1.3.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1~3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1~3.2.2同步练习第3章3.2.3同步练习第3章3.3.1同步练习第3章3.3.2第1课时同步练习第3章3.3.2第2课时同步练习第3章3.3.3同步练习第3章章末综合检测人教B 版选修1-1同步练习1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0 答案：B2．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x <y 2解析：选A.由1x ＝1y，得x ＝y ，A 正确，B 、C 、D 错误．3．判断下列命题的真假： ①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________. 答案：①真命题 ②真命题4．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”； (2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”． 解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根． (2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行四面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．存在实数大于等于3 答案：D2．下列命题是真命题的是( ) A ．{∅}是空集B.{}x ∈N ||x －1|<3是无限集 C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数． 3．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．4．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.5．下列存在性命题不正确的是( ) A ．有些不相似的三角形面积相等 B ．存在一个实数x ，使x 2＋x ＋1≤0C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大D ．有一个实数的倒数是它本身解析：选B.B 中因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，所以不存在x 使x 2＋x ＋1≤0；A 中等底等高的三角形面积相等但不一定相似；C 中a >0时，成立；D 中1的倒数是它本身．6．下列命题中真命题的个数为( ) ①面积相等的两个三角形是全等三角形； ②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0； ③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ； ④矩形的对角线互相垂直． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①错；②错，若xy ＝0，则x ，y 至少有一个为0，而未必|x |＋|y |＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．二、填空题7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题． (1)________x ∈R ，使x 2＋2x ＋1≥0；(2)________α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α－cos β.解析：(1)中(x ＋1)2≥0所以对∀x ∈R 恒成立；(2)为存在性命题． 答案：(1)∀；(2)∃8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号) ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况． 答案：②③ ②③9．给出下列几个命题：①若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0； ②若a >b ，则a 2>b 2；③若x >－3，则x 2＋x －6≤0；④若a ，b 是无理数，则a b 也是无理数． 其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a ＝1>b ＝－2，但a 2<b 2，假命题．③设x ＝4>－3，但x 2＋x －6＝41>0，假命题．④设a ＝(2)2，b ＝2，则a b ＝(2)2＝2是有理数，假命题．答案：1 三、解答题10．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)一定有整数x ，y ，使得3x ＋2y ＝10成立； (2)对所有的实数x ，都能使x 2＋2x ＋2≤0成立． 解：(1)∃x ，y ∈Z ，使3x ＋2y ＝10； (2)∀x ∈R ，有x 2＋2x ＋2≤0.11．判断下列语句是不是全称命题或存在性命题，如果是，找出命题中的量词．(1)中国的所有党派都由中国共产党统一领导； (2)0不能作除数；(3)存在一个x ∈R ，使2x ＋1＝3；(4)至少有一个x ∈Z ，使x 能被2和3整除． 解：(1)全称命题，命题中的量词是“所有”； (2)是命题，但不是全称命题或者存在性命题； (3)存在性命题，命题中的量词是“存在一个”； (4)存在性命题，命题中的量词是“至少有一个”．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R )无实根，求使p 正确且q 正确的m 的取值范围．解：若p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2.若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.p 真，q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <3.故m 的取值范围是(2,3)．人教B版选修1-1同步练习1．如果命题“p∨q”是真命题，那么()A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q同为真命题或同为假命题C．命题p与命题q只有一个是真命题D．命题p与命题q至少有一个是真命题答案：D2．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”，都为真命题的是()A．p：4＋4＝9，q：7＞4B．p：a∈{a，b，c}；q：{a}{a，b，c}C．p：15是质数；q：8是12的约数D．p：2是偶数；q：2不是质数答案：B3．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨q p∧q4．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线垂直平分．解：(1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．一、选择题1．下列命题是真命题的是()A．5＞2且7＞8B．3＞4或3＜4C．7－1≥7 D．方程x2－3x＋4＝0有实根解析：选B.虽然p：3＞4假，但q：3＜4真，所以p∨q为真命题．2．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题解析：选C.p∨q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题；p∧q为假命题，则p，q 中至少有一个是假命题，因此，p，q中必有一个真命题，一个假命题．因此选C.3．命题p：x＝π是y＝|sin x|的对称轴．命题q：2π是y＝|sin x|的最小正周期．下列命题中，是真命题的个数是()①p∨q②p∧q③p④qA．0 B．1C．2 D．3答案：C4．“xy≠0”指的是()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个不为0D．不都是0解析：选A.x 、y 都不为0，即x ≠0且y ≠0.5．已知集合A ＝{x |p (x )}＝{x |x 是等腰三角形}，B ＝{x |q (x )}＝{x |x 是直角三角形}，用特征性质描述法表示A ∩B 是( )A ．{x |p 且q }＝{x |x 是等腰直角三角形}B ．{x |p 或q }＝{x |x 是等腰三角形或直角三角形}C ．{x |p 且q }＝{x |x 是等腰三角形}D ．{x |p 或q }＝{x |x 是直角三角形} 答案：A 6．若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin2A ＝sin2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( )A ．“p ∨q ”为假B ．“p ∨q ”为真C ．“p ∧q ”为真D ．以上都不对 答案：B 二、填空题7．“10既是自然数又是偶数”为________形式． 解析：注意逻辑联结词“且”的含义． 答案：p ∧q8．用“或”、“且”填空，使命题成为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0. 答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且9．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 解析：若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.答案：3 －3 三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)－1是偶数或奇数．解：(1)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p 真、q 真，则p ∧q 真，所以该命题是真命题．(2)此命题是p ∨q 的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数．因为p 为假命题，q 为真命题，所以p ∨q 为真命题，故原命题为真命题．11．分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”、“p ∨q ”形式的命题的真假． (1)p ：正多边形有一个内切圆；q ：正多边形有一个外接圆．(2)p ；角平分线上的点到角的两边的距离不相等；q ：线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．(3)p ：2∈{2,3,4}；q ：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．(4)p ：正六边形的对角线都相等；q ：凡是偶数都是4的倍数． 解：(1)因为p 真q 真，所以“p ∧q ”真，“p ∨q ”真． (2)因为p 假q 真，所以“p ∧q ”假，“p ∨q ”真． (3)因为p 真q 真，所以“p ∧q ”真，“p ∨q ”真． (4)因为p 假q 假，所以“p ∧q ”假，“p ∨q ”假．12．已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．解：∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1； 又不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ＜0，即a2－4a＜0，∴0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.而命题p∧q为假，p∨q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p真，q假，则a≥4；(2)若p假，q真，则0＜a≤1，∴a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．人教B版选修1-1同步练习1．(2011年高考辽宁卷)已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则¬p为()A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n＜1000答案：A2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是()A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．3．A⃘(A∪B)是________形式；该命题是________(填“真”“假”)命题．答案：“¬p”假4．写出下列命题的否定，并判断真假(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)有些实数的绝对值是正数．解：(1)存在一个矩形不是平行四边形；假命题；(2)所有的实数的绝对值都不是正数；假命题．一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“¬p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．¬p为真，则p为假，∴q是真命题．2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，使得x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，使得x3－x2＋1＞0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0解析：选C.全称命题的否定为存在性命题．3．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有()A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真解析：选B.∵“p∨q”的否定为真，则p∨q为假，即p、q均为假．故选B.4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(¬p)∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)解析：选D.p为真，q为假，所以¬q为真，(¬p)∨(¬q)为真．5．下列命题的否定是假命题的是()A．p：能被3整除的整数是奇数；¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有些三角形为正三角形；¬p：所有的三角形都不是正三角形D ．p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；¬p ：∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋2>0 解析：选C.p 为真命题，则¬p 为假命题．6．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )解析：选D.对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0. 可知函数有两个不同的零点，故p 为真．当x <0时，不等式1x<1恒成立；当x >0时，不等式的解为x >1.故不等式1x<1的解为x <0或x >1.故命题q 为假命题． 所以只有(¬p )∨(¬q )为真．故选D. 二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x ，y ，使得x ＋y >1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断． 答案：∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0>1 ∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1 假 9．命题“方程x 2＝4的解是x ＝2或x ＝－2”的否定是____________________________．解析：x 2＝4的解是x ＝2或x ＝－2，则它的否定：解不是2也不是－2. 答案：方程x 2＝4的解不是2也不是－2. 三、解答题10．写出下列各命题的否定： (1)x ＝±3；(2)圆既是轴对称图形又是中心对称图形； (3)a ，b ，c 都相等．解：(1)x ≠3，且x ≠－3；(2)圆不是轴对称图形或不是中心对称图形；(3)a ，b ，c 不都相等，即a ≠b 或b ≠c 或c ≠a ，即a ，b ，c 中至少有两个不相等． 11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假： (1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象； (3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解． 解：(1)¬p ：∃x 0∈{二次函数}，x 0的图象不是抛物线．假命题． (2)¬p ：在直角坐标系中，∃x 0∈{直线}，x 0不是一次函数的图象．真命题． (3)¬p ：∃a 0，b 0∈R ，方程a 0x ＋b 0＝0无解或至少有两解．真命题．12．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若¬p 则¬q 成立，求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0得 (x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8＞0，得2＜x ≤3， 若¬p 则¬q 成立， 设A ＝{x |¬p }，B ＝{x |¬q }，则A ⊆B ， 又A ＝{x |¬p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， B ＝{x |¬q }＝{x ≤2或x ＞3}，则0＜a ≤2，且3a ＞3，所以实数a 的取值范围是{a |1＜a ≤2}．人教B 版选修1-1同步练习1．(2011年高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1，所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件，故选A.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．用符号“⇒”或“”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：(1)⇒ (2)4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，所以a 2＝1，a ＝2， 综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4是|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p 的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q p，所以q是p的必要条件．5．已知条件p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，则2＜x＜3.由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p q．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sin x>cos x；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sin x>cos x，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的什么条件？ 解：p ：x >0，y <0，则q ：x >y ，1x >1y成立； 反之，由x >y ，1x >1y ⇒y －x xy>0， 因y －x <0，得xy <0，即x 、y 异号，又x >y ，得x >0，y <0.所以“x >0，y <0”是“x >y ，1x >1y”的充要条件． 12．已知条件p ：A ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，条件q ：B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，当a 为何值时(1)p 是q 的充分不必要条件；(2)p 是q 的必要不充分条件；(3)p 是q 的充要条件？解：由p ：A ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，由q ：B ＝[1,2]．(1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊆B 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]⇒1≤a ＜2.(2)∵p 是q 的必要不充分条件，∴B ⊆A 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]且a ＞2⇒a ＞2.(3)∵p 是q 的充要条件，∴A ＝B ⇒a ＝2.人教B 版选修1-1同步练习1．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34 B ．若3a 4a ≠34，则a >0 C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0 D ．若3a 4a ＝34，则a >0 解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．2．(2011年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2＜3.3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．答案：若A ∪B ≠B ，则A ⃘B4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”；(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若¬y，则¬x，所以p是r的逆否命题．所以选B.5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若a＋b是无理数，则a，b都是无理数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案：③9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．答案：②三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是质数．解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是质数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是质数，假命题；逆否命题：若一个数是质数，则它一定不是正偶数，假命题．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．人教B 版选修1-1第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：选B.原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真．故共有2个真命题．2．若命题p ：x ＝2且y ＝3，则¬p 为( )A ．x ≠2或y ≠3B ．x ≠2且y ≠3C ．x ＝2或y ≠3D ．x ≠2或y ＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p ：x ≠2或y ≠3.故选A.3．命题“若a >b ，则a －5>b －5”的逆否命题是( )A ．若a <b ，则a －5<b － 5B ．若a －5>b －5，则a >bC ．若a ≤b ，则a －5≤b － 5D ．若a －5≤b －5，则a ≤b解析：选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论，把原命题结论的否定作为条件而构成的．4．下列语句中，命题和真命题的个数分别是( )①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数不是奇数就是偶数；③x ＋y 是有理数，则x 、y 也都是有理数；④求证：x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实数根．A ．3,1B ．2,2C ．2,0D ．2,1解析：选C.命题是②、③，它们都是假命题，所以选C.5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x ＋1是整数(x ∈R ) ②对所有的x ∈R ，x >3 ③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C.对于①，当x ＝14时，2x ＋1＝32不是整数，假命题．对于②，当x ＝0时，0<3，假命题．对于③，当x ∈Z 时，2x 2是偶数，进而2x 2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C.6．“x >0”是“3x 2>0”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件解析：选A.因为当x >0时，一定有3x 2>0，但当3x 2>0时，x <0也成立，因此，x >0是3x 2>0成立的充分非必要条件．7．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0,1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，故选A.9．f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)、g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(x)一定是偶函数，但h(x)是偶函数，并不能保证f(x)、g(x)均为偶函数，例如：f(x)＝x，g(x)＝－x，f(x)＋g(x)＝0是偶函数，但f(x)与g(x)均为奇函数．10．已知p：x＝1，¬q：x2＋8x－9＝0，则下列为真命题的是()A．若p，则q B．若¬q，则pC．若q，则¬p D．若¬p，则q解析：选C.p：x＝1，q：x≠1且x≠－9，易判断A、B为假命题，∵x2＋8x－9≠0⇒x≠1，∴选项C正确．11．下列说法错误的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋3x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析：选C.C项p∧q为假命题，则只要p、q中至少有一个为假即可．12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13．命题p：内接于圆的四边形的对角互补，则p的否命题是________，非p是________．答案：不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________.答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16．给出下列命题：①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4；②函数y ＝tan(x ＋π3)的图象关于点(π6，0)成中心对称； ③若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确命题的序号都填上)解析：①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝－45， ∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4，①正确．②当x ＝π6时，tan(x ＋π3)无意义， 由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确．③当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立．(当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c .)∴③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ≠c .¬p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．指出下列命题中，p 是q 的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数．解：(1)∵{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，∴p 是q 的充分不必要条件．19．根据条件，判断“p ∨q ”，“p ∧q ”，“¬p ”的真假：(1)p ：9是144的约数，q ：9是225的约数；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.解：(1)p ∨q ：9是144或225的约数．p ∧q ：9是144与225的公约数．¬p ：9不是144的约数．∵p 真，q 真，∴p ∨q 为真，p ∧q 为真，而¬p 为假．(2)p ∨q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 或不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.p ∧q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.¬p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集不为R .∵p 假，q 假，∴p ∨q 为假，p ∧q 为假，而¬p 为真．20．已知p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |1<x <3}．又因为x ∈A 是x ∈B 的必要条件，所以q ⇒p ，即B ⊆A .所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，即－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤5}．21．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若p ∧q 和¬q 都是假命题，求x 的值．解：∵p ∧q 为假命题，∴p 、q 至少有一个为假．。
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：1.2充分条件与必要条件 Word版含答案
►基础梳理1．充分条件和必要条件． 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件． 一般地，假如既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．明显，假如p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，假如p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p(x)}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0相互垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件．解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sin A >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”．2．(2022·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：由于当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列； 但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”． 答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件． 解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.。
人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解
－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7， 由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案
►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。
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人教B版高中数学选修1-1同步练习题及答案全册汇编（可编辑）人B版高中数学选修1-1同步习题目录第1章1.1.1~1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.3.1同步练习第1章1.3.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1~3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1~3.2.2同步练习第3章3.2.3同步练习第3章3.3.1同步练习第3章3.3.2第1课时同步练习第3章3.3.2第2课时同步练习第3章3.3.3同步练习第3章章末综合检测人教B版选修1-1同步练习1.下列是全称命题且是真命题的是A.?x?R,x20B.?x?Q,x2?QC.?x0?Z,x1D.?x,y?R,x2+y20答案:B2.下列命题是真命题的为A.若=,则x=yB.若x2=1,则x=1C.若x=y,则=D.若xy,则x2y2解析:选A.由=,得x=y,A正确,B、C、D错误.3.判断下列命题的真假:?3?3:________;?100或50是10的倍数:________.答案:?真命题 ?真命题4.1用符号“?”表示命题“不论m取什么实数,方程x2+x-m=0 必有实根”;2用符号“?”表示命题“存在实数x,使sinxtanx”.解:1?m?R,x2+x-m=0有实根.2?x0?R,sinx0tanx0.一、选择题1.下列命题为存在性命题的是A.偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行四面体C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案:D2.下列命题是真命题的是A.?是空集B.是无限集C.π是有理数D.x2-5x=0的根是自然数解析:选D.x2-5x=0的根为x1=0,x2=5,均为自然数.3.2010年高考湖南卷下列命题中的假命题是A.?x?R,lgx=0B.?x?R,tanx=1C.?x?R,x30D.?x?R,2x0解析:选C.对于A,当x=1时,lgx=0,正确;对于B,当x=时,tanx=1,正确;对于C,当x0时,x30,错误;对于D,?x?R,2x0,正确.4.下列命题中,是正确的全称命题的是A.对任意的a,b?R,都有a2+b2-2a-2b+20B.菱形的两条对角线相等C.?x0?R,=x0D.对数函数在定义域上是单调函数解析:选D.A中含有全称量词“任意”,a2+b2-2a-2b+2=a-12+b-12?0,是假命题.B、D在叙述上没有全称量词,实际上是指“所有的”.菱形的对角线不一定相等;C是特称命题.所以选D.5.下列存在性命题不正确的是A.有些不相似的三角形面积相等B.存在一个实数x,使x2+x+1?0C.存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大而增大D.有一个实数的倒数是它本身解析:选B.B中因为x2+x+1=x+2+?,所以不存在x使x2+x+1?0;A中等底等高的三角形面积相等但不一定相似;C中a0时,成立;D中1的倒数是它本身.6.下列命题中真命题的个数为?面积相等的两个三角形是全等三角形;?若xy=0,则|x|+|y|=0;?若ab,则a+cb+c;?矩形的对角线互相垂直.A.1B.2C.3D.4解析:选A.?错;?错,若xy=0,则x,y至少有一个为0,而未必|x|+|y|=0;?对,不等式两边同时加上同一个常数,不等号开口方向不变;?错.二、填空题7.填上适当的量词符号“?”“?”,使下列命题为真命题.1________x?R,使x2+2x+1?0;2________α,β?R,使cosα-β=cosα-cosβ.解析:1中x+12?0所以对?x?R恒成立;2为存在性命题.答案:1?;2?8.下列语句中是命题的有________,其中是假命题的有________.只填序号?垂直于同一条直线的两条直线必平行吗??一个数不是正数就是负数;?大角所对的边大于小角所对的边.解析:根据命题的概念,判断是否是命题;若是,再判断其真假.?是疑问句,没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题; ?是假命题,因为0既不是正数也不是负数;?是假命题,没有考虑到“在两个三角形中”的情况.答案:?? ??9.给出下列几个命题:?若x,y互为相反数,则x+y=0;?若ab,则a2b2;?若x-3,则x2+x-6?0;?若a,b是无理数,则ab也是无理数.其中的真命题有________个.解析:?是真命题.?设a=1b=-2,但a2b2,假命题.?设x=4-3,但x2+x-6=410,假命题.?设a=,b=,则ab=2=2是有理数,假命题.答案:1三、解答题10.用量词符号“?”或“?”表示下列命题.1一定有整数x,y,使得3x+2y=10成立;2对所有的实数x,都能使x2+2x+2?0成立.解:1?x,y?Z,使3x+2y=10;2?x?R,有x2+2x+2?0.11.判断下列语句是不是全称命题或存在性命题,如果是,找出命题中的量词.1中国的所有党派都由中国共产党统一领导;20不能作除数;3存在一个x?R,使2x+1=3;4至少有一个x?Z,使x能被2和3整除.解:1全称命题,命题中的量词是“所有”;2是命题,但不是全称命题或者存在性命题;3存在性命题,命题中的量词是“存在一个”;4存在性命题,命题中的量词是“至少有一个”.12.已知p:x2+mx+1=0有两个不等的负根,q:方程4x2+4m-2x+1=0m?R无实根,求使p正确且q正确的m的取值范围. 解:若p为真,则解得m2.若q为真,则Δ=16m-22-160,解得1m3.p真,q真,即故m的取值范围是2,3.人教B版选修1-1同步练习1.如果命题“p?q”是真命题,那么A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q同为真命题或同为假命题C.命题p与命题q只有一个是真命题D.命题p与命题q至少有一个是真命题答案:D2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”,都为真命题的是A.p:4+4=9,q:7>4B.p:a?a,b,c;q:aa,b,cC.p:15是质数;q:8是12的约数D.p:2是偶数;q:2不是质数答案:B3.判断下列命题的形式从“p?q”、“p?q”中选填一种:16?8:________;2集合中的元素是确定的且是无序的:________.答案:p?q p?q4.分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题,并判断其真假.18或6是30的约数;2矩形的对角线垂直平分.解:1p或q,p:8是30的约数假,q:6是30的约数真.“p或q”为真.2p且q,p:矩形的对角线互相垂直假,q:矩形的对角线互相平分真.“p且q”为假.一、选择题1.下列命题是真命题的是A.5>2且7>8B.3>4或3<4C.7-1?7D.方程x2-3x+4=0有实根解析:选B.虽然p:3>4假,但q:3<4真,所以p?q为真命题.2.如果命题p?q为真命题,p?q为假命题,那么A.命题p,q都是真命题B.命题p,q都是假命题C.命题p,q只有一个是真命题D.命题p,q至少有一个是真命题解析:选C.p?q为真命题,则p,q中至少有一个是真命题;p?q为假命题,则p,q中至少有一个是假命题,因此,p,q中必有一个真命题,一个假命题.因此选C.3.命题p:x=π是y=|sinx|的对称轴.命题q:2π是y=|sinx|的最小正周期.下列命题中,是真命题的个数是?p?q ?p?q ?p ?qA.0B.1C.2D.3答案:C4.“xy?0”指的是A.x?0且y?0B.x?0或y?0C.x,y至少有一个不为0D.不都是0解析:选A.x、y都不为0,即x?0且y?0.5.已知集合A=x|px=x|x是等腰三角形,B=x|qx=x|x是直角三角形,用特征性质描述法表示A?B是A.x|p且q=x|x是等腰直角三角形B.x|p或q=x|x是等腰三角形或直角三角形C.x|p且q=x|x是等腰三角形D.x|p或q=x|x是直角三角形答案:A6.若命题p:圆x-12+y-22=1被直线x=1平分;q:在?ABC中,若sin2A=sin2B,则A=B,则下列结论中正确的是A.“p?q”为假B.“p?q”为真C.“p?q”为真D.以上都不对答案:B二、填空题7.“10既是自然数又是偶数”为________形式.解析:注意逻辑联结词“且”的含义.答案:p?q8.用“或”、“且”填空,使命题成为真命题:1若x?A?B,则x?A________x?B;2若x?A?B,则x?A________x?B;3若ab=0,则a=0________b=0;4a,b?R,若a>0________b>0,则ab>0.答案:1或 2且 3或 4且9.设命题p:2x+y=3;q:x-y=6.若p?q为真命题,则x=________,y=________. 解析:若p?q为真命题,则p,q均为真命题,所以有解得答案:3 -3三、解答题10.判断下列命题的真假:1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边;2-1是偶数或奇数.解:1这个命题是p?q的形式,其中p:等腰三角形顶角的平分线平分底边,q:等腰三角形顶角的平分线垂直于底边.因为p真、q真,则p?q真,所以该命题是真命题.2此命题是p?q的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.因为p为假命题,q为真命题,所以p?q为真命题,故原命题为真命题.11.分别指出由下列各组命题构成的“p?q”、“p?q”形式的命题的真假.1p:正多边形有一个内切圆;q:正多边形有一个外接圆.2p;角平分线上的点到角的两边的距离不相等;q:线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等.3p:2?2,3,4;q:矩形?菱形=正方形.4p:正六边形的对角线都相等;q:凡是偶数都是4的倍数.解:1因为p真q真,所以“p?q”真,“p?q”真.2因为p假q真,所以“p?q”假,“p?q”真.3因为p真q真,所以“p?q”真,“p?q”真.4因为p假q假,所以“p?q”假,“p?q”假.12.已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+1>0对?x?R恒成立.若p?q为假,p?q为真,求a的取值范围.解:?y=ax在R上单调递增,?p:a>1;又不等式ax2-ax+1>0对?x?R恒成立,?Δ<0,即a2-4a<0,?0<a<4,?q:0<a<4.而命题p?q为假,p?q为真,那么p、q中有且只有一个为真,一个为假.1若p真,q假,则a?4;2若p假,q真,则0<a?1,?a的取值范围为0,1]?[4,+?.人教B版选修1-1同步练习1.2011年高考辽宁卷已知命题p:?n?N,2n>1000,则?p为A.?n?N,2n?1000B.?n?N,2n>1000C.?n?N,2n?1000D.?n?N,2n<1000答案:A2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是A.一次函数都不是单调函数B.非一次函数都不是单调函数C.有些一次函数是单调函数D.有些一次函数不是单调函数解析:选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.3.A?A?B是________形式;该命题是________填“真”“假”命题.答案:“?p” 假4.写出下列命题的否定,并判断真假1所有的矩形都是平行四边形;2有些实数的绝对值是正数.解:1存在一个矩形不是平行四边形;假命题;2所有的实数的绝对值都不是正数;假命题.一、选择题1.如果命题“p?q”与命题“?p”都是真命题,那么A.命题p不一定是假命题B.命题q一定为真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真假相同解析:选B.“p?q”为真,则p、q至少有一个为真.?p为真,则p为假,?q是真命题.2.命题“对任意的x?R,x3-x2+1?0”的否定是A.不存在x?R,使得x3-x2+1?0B.存在x?R,使得x3-x2+1?0C.存在x?R,使得x3-x2+1>0D.对任意的x?R,x3-x2+1>0解析:选C.全称命题的否定为存在性命题.3.若p、q是两个简单命题,且“p?q”的否定是真命题,则必有A.p真q真B.p假q假C.p真q假D.p假q真解析:选B.?“p?q”的否定为真,则p?q为假,即p、q均为假.故选B.4.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题为真命题的是A.?p?qB.p?qC.?p??qD.?p??q解析:选D.p为真,q为假,所以?q为真,?p??q为真.5.下列命题的否定是假命题的是A.p:能被3整除的整数是奇数;?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数B.p:每一个四边形的四个顶点共圆;?p:存在一个四边形的四个顶点不共圆C.p:有些三角形为正三角形;?p:所有的三角形都不是正三角形D.p:?x0?R,x+2x0+2?0;?p:?x?R,都有x2+2x+20解析:选C.p为真命题,则?p为假命题.6.给出两个命题:p:函数y=x2-x-1有两个不同的零点;q:若1,则x1,那么在下列四个命题中,真命题是A.?p?qB.p?qC.?p??qD.?p??q解析:选D.对于p,函数对应的方程x2-x-1=0的判别式Δ=-12-4×-1=50.可知函数有两个不同的零点,故p为真.当x0时,不等式1恒成立;当x0时,不等式的解为x1.故不等式1的解为x0或x1.故命题q为假命题.所以只有?p??q为真.故选D.二、填空题7.写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定:________.解析:命题的量词是“每个”,即为全称命题,因此否定是特称命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论.答案:有些函数没有奇偶性8.命题“存在实数x,y,使得x+y1”,用符号表示为________;此命题的否定是________用符号表示,是________命题填“真”或“假”.解析:原命题为真,所以它的否定为假.也可以用线性规划的知识判断.答案:?x0,y0?R,x0+y01 ?x,y?R,x+y?1 假9.命题“方程x2=4的解是x=2或x=-2”的否定是____________________________.解析:x2=4的解是x=2或x=-2,则它的否定:解不是2也不是-2.答案:方程x2=4的解不是2也不是-2.三、解答题10.写出下列各命题的否定:1x=?3;2圆既是轴对称图形又是中心对称图形;3a,b,c都相等.解:1x?3,且x?-3;2圆不是轴对称图形或不是中心对称图形;3a,b,c不都相等,即a?b或b?c或c?a,即a,b,c中至少有两个不相等.11.用“?”“?”写出下列命题的否定,并判断真假:1二次函数的图象是抛物线;2直角坐标系中,直线是一次函数的图象;3?a,b?R,方程ax+b=0恰有一解.解:1?p:?x0?二次函数,x0的图象不是抛物线.假命题.2?p:在直角坐标系中,?x0?直线,x0不是一次函数的图象.真命题.3?p:?a0,b0?R,方程a0x+b0=0无解或至少有两解.真命题.12.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足若?p则?q成立,求实数a的取值范围.解:由x2-4ax+3a2<0得x-3ax-a<0,又a>0,所以a<x<3a,由,得2<x?3,若?p则?q成立,设A=x|?p,B=x|?q,则A?B,又A=x|?p=x|x?a或x?3a,B=x|?q=x?2或x>3,则0<a?2,且3a>3,所以实数a的取值范围是a|1<a?2.人教B版选修1-1同步练习1.2011年高考福建卷若a?R,则“a=1”是“|a|=1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A.若a=1,则有|a|=1是真命题,即a=1?|a|=1,由|a|=1可得a=?1,所以若|a|=1,则有a=1是假命题,即|a|=1?a=1不成立, 所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件,故选A.2.“θ=0”是“sinθ=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.由于“θ=0”时,一定有“sinθ=0”成立,反之不成立,所以“θ=0”是“sinθ=0”的充分不必要条件.3.用符号“?”或“ ”填空:1整数a能被4整除________a的个位数为偶数;2ab________ac2bc2.答案:1? 24.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的什么条件?解:当a=2时,直线ax+2y=0,即2x+2y=0与直线x+y=1平行, 因为直线ax+2y=0平行于直线x+y=1,所以=1,a=2,综上,“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充要条件.一、选择题1.设集合M=x|0x?3,N=x|0x?2,那么“a?M”是“a?N”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.M=x|0x?3,N=x|0x?2,所以NM,故a?M是a?N的必要不充分条件.2.2010年高考福建卷若向量a=x,3x?R,则“x=4是|a|=5”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:选A.由x=4知|a|==5;反之,由|a|==5,得x=4或x=-4. 故“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件,故选A.3.“b=c=0”是“二次函数y=ax2+bx+ca?0经过原点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.b=c=0?y=ax2,二次函数一定经过原点;二次函数y=ax2+bx+c经过原点?c=0,b不一定等于0,故选A.4.已知p,q,r是三个命题,若p是r的充要条件且q是r的必要条件,那么q是p的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件,故有p ?r ?q,即p?q,q p,所以q是p的必要条件.5.已知条件p:y=lgx2+2x-3的定义域,条件q:5x-6x2,则q是p的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.p:x2+2x-30,则x1或x-3;q:5x-6x2,即x2-5x+60,则2<x<3.由小集合?大集合,?q?p,但p q.故选A.6.下列所给的p、q中,p是q的充分条件的个数是?p:x1,q:-3x-3;?p:x1,q:2-2x2;?p:x=3,q:sinxcosx;?p:直线a,b不相交,q:a‖b.A.1B.2C.3D.4解析:选C.?由于p:x1?q:-3x-3,所以p是q的充分条件;?由于p:x1?q:2-2x2即x0,所以p是q的充分条件;?由于p:x=3?q:sinxcosx,所以p是q的充分条件;?由于p:直线a,b不相交q:a‖b,所以p不是q的充分条件.二、填空题7.不等式x2-3x+20成立的充要条件是________.解析:x2-3x+20?x-1x-20?1x2.答案:1x28.在?ABC中,“sinA=sinB”是“a=b”的________条件.解析:在?ABC中,由正弦定理及sinA=sinB可得2RsinA=2RsinB,即a=b;反之也成立.答案:充要9.下列不等式:?x1;?0x1;?-1x0;?-1x1.其中,可以是x21的一个充分条件的所有序号为________.解析:由于x21即-1x1,?显然不能使-1x1一定成立,???满足题意.答案:???三、解答题10.下列命题中,判断条件p是条件q的什么条件:1p:|x|=|y|,q:x=y;2p:?ABC是直角三角形,q:?ABC是等腰三角形;3p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形.解:1?|x|=|y| x=y,但x=y?|x|=|y|,?p是q的必要条件,但不是充分条件.2?ABC是直角三角形 ?ABC是等腰三角形.?ABC是等腰三角形 ?ABC是直角三角形.?p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.3四边形的对角线互相平分四边形是矩形.四边形是矩形?四边形的对角线互相平分.?p是q的必要条件,但不是充分条件.11.命题p:x0,y0,命题q:xy,,则p是q的什么条件? 解:p:x0,y0,则q:xy,成立;反之,由xy,?0,因y-x0,得xy0,即x、y异号,又xy,得x0,y0.所以“x0,y0”是“xy,”的充要条件.12.已知条件p:A=x|x2-a+1x+a?0,条件q:B=x|x2-3x+2?0, 当a为何值时1p是q的充分不必要条件;2p是q的必要不充分条件;3p是q的充要条件?解:由p:A=x|x-1x-a?0,由q:B=[1,2].1?p是q的充分不必要条件,?A?B且A?B,故A=[1,a]?1?a<2.2?p是q的必要不充分条件,?B?A且A?B,故A=[1,a]且a>2?a>2.3?p是q的充要条件,?A=B?a=2 人教B版选修1-1同步练习1.命题“若a0,则=”的逆命题为A.若a?0,则?B.若?,则a0C.若?,则a?0D.若=,则a0解析:选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调.2.2011年高考山东卷已知a,b,c?R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2?3”的否命题是A.若a+b+c?3,则a2+b2+c23B.若a+b+c=3,则a2+b2+c23C.若a+b+c?3,则a2+b2+c2?3D.若a2+b2+c2?3,则a+b+c=3解析:选A.a+b+c=3的否定是a+b+c?3,a2+b2+c2?3的否定是a2+b2+c2<3.3.命题“若A?B=B,则A?B”的否命题是________.答案:若A?B?B,则A?B4.已知命题p:“若ac?0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.1写出命题p的否命题;2判断命题p的否命题的真假.解:1命题p的否命题为:“若ac0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”;2命题p的否命题是真命题.证明如下:?ac0,?-ac0?Δ=b2-4ac0?二次方程ax2+bx+c=0有实根.?该命题是真命题.一、选择题1.若“xy,则x2y2”的逆否命题是A.若x?y,则x2?y2B.若xy,则x2y2C.若x2?y2,则x?yD.若xy,则x2y2解析:选C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题.2.命题“若?ABC有一内角为,则?ABC的三内角成等差数列”的逆命题A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题解析:选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若?ABC的三内角成等差数列,则?ABC有一内角为”,它是真命题.故选D.3.已知原命题“菱形的对角线互相垂直”,则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是A.逆命题、否命题、逆否命题都为真B.逆命题为真,否命题、逆否命题为假C.逆命题为假,否命题、逆否命题为真D.逆命题、否命题为假,逆否命题为真解析:选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题,所以它的逆否命题为真;其逆命题:“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题,所以原命题的否命题也是假命题.4.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的A.逆命题B.逆否命题C.否命题D.以上判断都不对解析:选B.命题p:若x,则y,其逆命题q:若y,则x,那么命题q的否命题r:若?y,则?x,所以p是r的逆否命题.所以选B.5.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是A.能被3整除的整数,一定能被6整除B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除D.不能被6整除的整数,不一定能被3整除解析:选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题,选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题.6.存在下列三个命题:?“等边三角形的三个内角都是60?”的逆命题;?“若k0,则一元二次方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;?“全等三角形的面积相等”的否命题.其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析:选C.??正确.二、填空题7.命题“若a1,则a0”的逆命题是________,逆否命题是________.答案:若a0,则a1 若a?0,则a?18.有下列几个命题:?“若ab,则a2b2”的否命题;?“若a+b是无理数,则a,b都是无理数”的逆命题;?“若x24,则-2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案:?9.在空间中,?若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线;?若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是________.解析:?中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以?中的逆命题不是真命题.?中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.所以?中的逆命题是真命题.答案:?三、解答题10.写出下列原命题的其他三种命题,并分别判断真假.1在?ABC中,若ab,则?A?B;2正偶数不是质数.解:1逆命题:在?ABC中,若?A?B,则ab,真命题;否命题:在?ABC中,若a?b,则?A??B,真命题;逆否命题:在?ABC中,若?A??B,则a?b,真命题.2逆命题:若一个数不是质数,则它一定是正偶数,假命题;否命题:若一个数不是正偶数,则它一定是质数,假命题;逆否命题:若一个数是质数,则它一定不是正偶数,假命题.11.判断下列命题的真假:1“若x?A?B,则x?B”的逆命题与逆否命题;2“若自然数能被6整除,则自然数能被2整除”的逆命题.解:1逆命题:若x?B,则x?A?B.根据集合“并”的定义,逆命题为真.逆否命题:若x?B,则x?A?B.逆否命题为假.如2?1,5=B,A=2,3,但2?A?B.2逆命题:若自然数能被2整除,则自然数能被6整除.逆命题为假.反例:2,4,14,22等都不能被6整除.12.判断命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题的真假.解:?m0,?12m0,?12m+40.?方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+40.?原命题“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真命题.又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真命题.人教B版选修1-1第1章章末综合检测时间:120分钟;满分:150分一、选择题本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.命题“若A?B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是A.0B.2C.3D.4解析:选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真.故共有2个真命题.2.若命题p:x=2且y=3,则?p为A.x?2或y?3B.x?2且y?3C.x=2或y?3D.x?2或y=3解析:选A.由于“且”的否定为“或”,所以?p:x?2或y?3.故选A.3.命题“若ab,则a-b-”的逆否命题是A.若ab,则a-b-B.若a-b-,则abC.若a?b,则a-?b-D.若a-?b-,则a?b解析:选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论,把原命题结论的否定作为条件而构成的.4.下列语句中,命题和真命题的个数分别是?垂直于同一条直线的两条直线平行吗??一个数不是奇数就是偶数;?x+y是有理数,则x、y也都是有理数;?求证:x?R,方程x2+x+1=0无实数根.A.3,1B.2,2C.2,0D.2,1解析:选C.命题是?、?,它们都是假命题,所以选C.5.下列全称命题中假命题的个数是?2x+1是整数x?R ?对所有的x?R,x3 ?对任意一个x?Z,2x2+1为奇数A.0B.1C.2D.3解析:选C.对于?,当x=时,2x+1=不是整数,假命题.对于?,当x=0时,03,假命题.对于?,当x?Z时,2x2是偶数,进而2x2+1是奇数,所以??是假命题,故选C.6.“x0”是“0”成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.非充分非必要条件D.充要条件解析:选A.因为当x0时,一定有0,但当0时,x0也成立,因此,x0是0成立的充分非必要条件.7.下列命题中的假命题是A.?x?R,2x-10B.?x?N*,x-120C.?x?R,lgx1D.?x?R,tanx=2解析:选B.对于A,正确;对于B,当x=1时,x-12=0,错误;对于C,当x?0,1时,lgx01,正确;对于D,正确.8.2011年高考大纲全国卷下面四个条件中,使ab成立的充分而不必要的条件是A.ab+1B.ab-1C.a2b2D.a3b3解析:选A.由a>b+1得a>b+1>b,即a>b;且由a>b不能得出a>b+1.因此,使a>b成立的充分不必要条件是a>b+1,故选A.9.fx、gx是定义在R上的函数,hx=fx+gx,则“fx、gx均为偶函数”是“hx为偶函数”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:选B.若fx、gx均为偶函数,则hx一定是偶函数,但hx是偶函数,并不能保证fx、gx均为偶函数,例如:fx=x,gx=-x,fx+gx=0是偶函数,但fx与gx均为奇函数.10.已知p:x=1,?q:x2+8x-9=0,则下列为真命题的是A.若p,则qB.若?q,则pC.若q,则?pD.若?p,则q解析:选C.p:x=1,q:x?1且x?-9,易判断A、B为假命题,?x2+8x-9?0?x?1,?选项C正确.11.下列说法错误的是A.命题“若m0,则方程x2+3x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+3x-m=0无实根,则m?0”B.“x=2”是“x2-5x+6=0”的充分不必要条件C.若p?q为假命题,则p、q均为假命题D.若命题p:?x0?R,使得x+x0+10,则?p:?x?R,均有x2+x+1?0解析:选C.C项p?q为假命题,则只要p、q中至少有一个为假即可.12.已知命题p:存在x?R,使tanx=,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2,则下列结论:?命题“p且q”是真命题;?命题“p且?q”是假命题;?命题“?p或q”是真命题;?命题“?p或?q”是假命题.其中正确的是A.??B.???C.???D.????解析:选D.?p、q都是真命题,?????均正确.二、填空题本大题共4小题.把答案填在题中横线上13.命题p:内接于圆的四边形的对角互补,则p的否命题是________,非p是________.答案:不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14.用量词符号“?”或“?”表示下列命题:1凸n边形的外角和等于2π:________;2存在一个有理数x0,使得x=8:________.答案:1?x?凸n边形,x的外角和等于2π2?x0?Q,x=815.a=3是“直线l1:ax+2y+3a=0和直线l2:3x+a-1y=a-7平行且不重合”的________条件.解析:当a=3时,l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y+4=0,?l1‖l2.反之,若l1‖l2,则aa-1=6,即a=3或a=-2,但a=-2时,l1与l2重合.答案:充要16.给出下列命题:?已知a=3,4,b=0,-1,则a在b方向上的投影为-4;?函数y=tanx+的图象关于点,0成中心对称;?若a?0,则a?b=a?c是b=c成立的必要不充分条件.其中正确命题的序号是________.将所有正确命题的序号都填上解析:??|a|=5,|b|=1,a?b=-4,?cos〈a,b〉=-,?a在b方向上的投影为|a|?cos〈a,b〉=-4,?正确.?当x=时,tanx+无意义,由正切函数y=tanx的图象的性质知,?正确.?当a?0,b=c时,a?b=a?c成立.当a?0,a?b=a?c时不一定有b=c.??正确.答案:???三、解答题本大题共6小题.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.已知命题p:?非零向量a、b、c,若a?b-c=0,则b=c.写出其否定和否命题,并说明真假.解:?p:?非零向量a、b、c,若a?b-c=0,则b?c.?p为真命题.否命题:?非零向量a、b、c,若a?b-c?0,则b?c.否命题为真命题.18.指出下列命题中,p是q的什么条件:1p:x|x-2或x3;q:x|x2-x-60;2p:a与b都是奇数;q:a+b是偶数.解:1?x|x-2或x3=R,x|x2-x-60=x|-2x3,?x|x-2或x3x|-2x3,而x|-2x3?x|x-2或x3.?p是q的必要不充分条件.2?a、b都是奇数?a+b为偶数,而a+b为偶数a、b都是奇数,?p是q的充分不必要条件.19.根据条件,判断“p?q”,“p?q”,“?p”的真假:1p:9是144的约数,q:9是225的约数;2p:不等式x2-2x+10的解集为R,q:不等式x2-2x+1?0的解集为解:1p?q:9是144或225的约数.p?q:9是144与225的公约数.?p:9不是144的约数.?p真,q真,?p?q为真,p?q为真,而?p为假.2p?q:不等式x2-2x+10的解集为R或不等式x2-2x+1?0的解集为 p?q:不等式x2-2x+10的解集为R且不等式x2-2x+1?0的解集为 ?p:不等式x2-2x+10的解集不为R.?p假,q假,?p?q为假,p?q为假,而?p为真.20.已知p:A=x|a-4xa+4,q:B=x|x2-4x+30,且x?A是x?B的必要条件,求实数a 的取值范围.解:因为p:A=x|a-4xa+4,q:B=x|1x3.又因为x?A是x?B的必要条件,所以q?p,即B?A.所以?即-1?a?5.?实数a的取值范围是a|-1?a?5.21.已知p:x2-x?6,q:x?Z.若p?q和?q都是假命题,求x的值.解:?p?q为假命题,?p、q至少有一个为假.??q为假,?q为真,即p假q真,?x2-x6且x?Z,?-2x3且x?Z,即x=-1,0,1,2.22.π是圆周率,a、b、c、d?Q,已知命题p:若aπ+b=cπ+d,则a=c且b=d.1写出p的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假;2判断“a=c且b=d”是“aπ+b=cπ+d”的什么条件?解:1逆命题:若a=c且b=d,则aπ+b=cπ+d,真命题.逆否命题:若a?c或b?d,则aπ+b?cπ+d,真命题.否命题:若aπ+b?cπ+d,则a?c或b?d,真命题.2“a=c且b=d”是“aπ+b=cπ+d”的充要条件.充分性:?aπ+b=cπ+d;必要性:aπ+b=cπ+d?a-cπ=d-b,?d-b?Q,?a-c=0,d-b=0,即a=c且b=d 人教B版选修1-1同步练习1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于A.4B.5C.8D.10答案:D2.椭圆+=1的焦点坐标是A.?4,0B.0,?4C.?3,0D.0,?3答案:D3.已知椭圆的两个焦点为F1-1,0,F21,0,且2a=6,则椭圆的标准方程为________.答案:+=14.已知B、C是两定点,|BC|=8,且?ABC的周长等于18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.。
高中数学选修1-1第三章课后习题解答
新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答第三章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P76）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P78）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P79）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组（P79）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π弧度／秒. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于0，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、函数（1）是一条直线，其斜率是一个小于0的常数；函数（2）的()f x '均大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于函数（3），当x 小于0时，()f x '小于0，当x 大于0时，()f x '大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P80）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思3．2导数的计算 练习（P85）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）41065y x x '=-+； （4）3sin 4cos y x x '=--习题3.2 A 组（P85）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）21sin y x'=-.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题3.2 B 组（P86）1、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.3．3导数在研究函数中的应用 练习（P93）当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P96）注：图象形状不唯一.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-；当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22、2x ，4x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，其中4x x =是函数()y f x =的极小值点. 练习（P98）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题3.3 A 组（P98）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =-，所以()20f x '=>. 因此，函数()24f x x =-是单调递增函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值. 5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）当112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为4924-. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4924-. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.因为3()612f x x x =-+在1[,1]3-上单调递减，且1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，128-. 习题3.3 B 组（P99）（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >.因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略 3．4生活中的优化问题举例 习题3.4 A 组（P104）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.（第2题）3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可知，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x x π'=+-=，得x =.（第3题）当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题3.4 B 组（P105）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.因为()L x 只有一个极值，所以350x =为最大值点.因此，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b +'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.第三章 复习参考题A 组（P110）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x +'=； （3）ln x xe y e x x '=+. 3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去. 由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=，0 1.6x <<. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 1x =是函数()V x 在(0,1.6)内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080,)x x N ≤≤∈. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x， 打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<. 令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.第三章 复习参考题B 组（P111）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，细菌在增加；当55t <<+时，细菌在减少. 2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.h R =是函数()V h 在(0,)R 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.把3h R =代入222r h R +=，得r =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为3α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.24x =是函数y 在(0,)+∞上唯一极值点，且是极小值点，从而是最小值点.当24x =时，9600162478424⨯+=（元）. 于是20780()940.824÷=（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈，114y ≈；当50x =，114y ≈；当100x =，138y ≈.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.。