公务员行测考试容斥问题速解宝典题集完整版

公务员行测考试容斥问题速解宝典题集
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公务员行测考试容斥问题速解宝典题集
一、两集合类型
1.解题技巧
题目中所涉及事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式题目，如下：
A∪B=A+B-A∩B
快速解题：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。

2.真题示例
【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有：
A27人B25人C19人D10人
【解析】B。

50=31+40+4-A∩B，得A∩B=25。

二、三集合类型
1.解题步骤
解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表含义；③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧
解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数
3.真题示例
【例2】某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人。

问接受调查问卷的学生共有多少人？
A.120
B.144
C.177
D.192
【解析】A。

填充三个集合公共部分数字24；根据每个区域含义应用公式：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)｝+24+15=199-{(x+y+z)+24+24+24｝
+24+15。

x+y+z只属于两集合数之和，该题所讲只选择两种考试参加人数，所以x+y+z值为46人；得本题答案为120。

【例3】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?
A.22人
B.28人
C.30人
D.36人
【解析】A。

总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数。

100=58+38+52-
{18+16+(12+x)｝+12+0，该题没有三种都不喜欢的，所以三集合之外数为0，解方程得：x=14。

52=x+12+4+y=14+12+4+y，得到y=22人。

一、工具的应用
容斥问题研究的是集合与集合之间关系，对应于不同的题型，我们往往要选择不同的工具展示题目中的关系，简化分析过程。

题型不同时要借助的工具也不一样。

普通二者或三者容斥借助文氏图分析;四者容斥往往借助表格;而一些有比较或排序类的容斥题目往往借助线段。

考生要区分不同题型、考点，明确做题工具。

二、结论的不同
不同题型不但解题工具不同，结论、公式也是不同的。

普通的二者和三者容斥考生往往都比较熟悉，下面几个特殊容斥的题目一样值得考生注意：
1、四者容斥
例：有100件衬衫，其中白色和黑色的各50%，大号有25%，小号占75%，白色大号的有10件，请问黑色小号的有几件?
中公分析：这是一道四者容斥的题目，用表格法解决。

依据比例将白色、黑色衬衣的件数和大小号衬衣的件数写在表格最右列和最下行。

大号白色10件，标在大号一列和白色一行的交叉格中，如下表所示：则大号黑色有25-10=15件，小号黑色有50-15=35件。

总结：四者容斥的题目一般都是描述某一事务在两个不同方面的四个不同属性。

利用表格可以快速解题。

2、容斥全极值
N者容斥问N者重合部分的最值即为容斥全极值问题。

考试很少考最大值，一般都是问N者重合部分最小的时候，直接利用结论做：N者极值=N个大集合的和减去(N-1)个全集。

例：某班有100人，其中语文好的有80人，数学好的有78人，英语好的有82人，请问三个科目都好的至少有几人?
中公分析：此题属于三者全极值的问题，带入公式：80+78+82-100×2=40。

即三个科目都好的人至少40人。

3、三者容斥二者最多
三者容斥求其中二者重复部分最多，直接三个大集合之和除以2，求整数部分。

例：某班有100人，其中语文好的有40人，数学好的有32人，英语好的有48人，请问其中只有两科好的至多有几人?
中公分析：三者容斥求二者最多，可以直接计算：(40+32+48)÷2=60人。

以上是中公教育专家总结的几种可能考查容斥问题的特殊题型，因为其与常规题目的差异性，考生如若没能掌握正确的思路则很难做对。

以上题目所体现的思想，希望考生好好体会，力争在考场上遇到这类题目时能快速准确地求解。

一.知识点总结
容斥原理:容斥原理是指计数时先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把重复计算的数目排斥出去。

容斥问题主要分为：两者容斥问题、三者容斥问题。

如何解决容斥问题：利用文氏图(划圈法)。

1.两者容斥问题
解决两者容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。

简记：元素的总个数=大圈-中圈(A、B为大圈，x为中圈)
方法核心：让每个重叠区域变为一层。

(x为重叠区域)
例：班级一共有240人，每个人必须至少有一门是好的，已知行测好的是160人，申论好的是120人，问既行测好又申论好的有多少人?
(x为既行测好又申论好的人)
中公解析：首先我们只需把行测好、申论好的分别看成集合，然后用文氏图表示出来，其中x为重叠区域，我们需将其变为单层。

160+120-x=240，解得x=40。

2.三者容斥问题
解决三者解决容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，先把A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。

(1、2、3、x均为重叠区域)
简记：元素的总个数=大圈-中圈+数小圈(大圈指三类元素的个数和，中圈指题目中所给重叠区域(1、2、3、1+x、2+x、3+x、1+2+3+x)，小圈为三层重叠区域x，利用此公式，我们只需数小圈即可。

方法核心：让每个重叠区域变为一层。

例：有140人，每个人都至少喜欢一种花，已知喜欢玫瑰花的有80人，喜欢牡丹花的有70人，喜欢百合花的有60人，则分别在以下三种条件下，三种花都喜欢的有多少人?
(1)喜欢玫瑰和牡丹的有30人，喜欢玫瑰和百合的有40人，喜欢牡丹和百合的有50人;
(2)只喜欢两种花的有40人;
(3)至少喜欢两种花的有50人。

中公解析：首先分析三个条件中重叠区域是哪部分，利用元素的总个数=大圈-中圈+数小圈，则大圈
=80+70+60，中圈=30+40+50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了三次，还需加一次x，故，解得
x=50。

(2)大圈=80+70+60，中圈=40，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x一次也没有被减，因此需减2x，故，解得x=15。

(3)大圈=80+70+60，中圈=50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了一次，因此需再减一次x，故，解得x=20。

总结：解决容斥问题，最重要的就是要分清题干中所给的重叠区域，然后从三层区域入手(小圈)将重叠区域变为一层。

3.容斥中的极值问题
二.经典例题
1.接受采访的100个大学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没手机的共有多少人?
A.25
B.15
C.5
D.3
【答案】D。

中公解析：画出文氏图。

88人有手机，15人有手机没电脑，则88-15=73人既有手机又有电脑，已知76人有电脑，所以有电脑没手机的有76-73=3人。

2.某公司招聘员工，按规定每人最多可报考两个职位。

结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：
A.5人
B.6人
C.7人
D.8人
【答案】C。

中公解析：：设同时报乙、丙职位的人数为x人，报考甲、乙、丙三个职位的一共有22+16+25=63人，其中报考两个职位的被重复计算了1次，则总的报名人数42=63-(8+6+x)，解得x=7人。